Resistencia de Materiales FLEXIÓN PLANA I: (Cálculo de tensiones)

Transcripción

1 Resistencia de ateriales FLEXIÓN PLANA I: (Cálculo de tensiones)

2 Resistencia de ateriales FLEXIÓN PLANA I: (Cálculo de tensiones). Introducción. Lees diagramas en vigas isostáticas. Tensiones en la barra sometida a fleión pura 3. Tensiones en la barra sometida a fleión simple 4. Tensiones principales en la barra debidas a fleión simple 5. Dimensionamiento de barras sometidas a fleión simple 6. Esfueros cortantes en elementos de pared delgada.

3 Fleión Plana I (Tensiones) Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

4 Fleión Plana I (Tensiones) Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

5 Fleión Plana I (Tensiones) Puente del Alamillo, Sevilla Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Cubierta de la terminal T4 Aeropuerto de Barajas, adrid Isla en el ur. Gra, Austria Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

6 Fleión Plana I (Tensiones) Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Fleión Simple N( ) σ da( ) 0 A( ) ( ) σ da( ) 0 A( ) V ( ) σ da( ) 0 A( ) ( ) σ da( ) 0 A( ) V ( ) σ da( ) 0 A( ) () ( σ σ ) da() 0 A() Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

7 Fleión Plana I (Tensiones) q( ) Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Fleión plana La barra prismática es plana La carga la deformación están en el mismo plano Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

8 Fleión Plana I (Tensiones) q( ) Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Fleión plana Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

9 Fleión Plana I (Tensiones) q( ) Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Fleión plana V ( ) ( ) V ( ) ( ) Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

10 Fleión Plana I (Tensiones) q( ) Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Fleión plana V ( ) ( ) V ( ) ( ) F 0 V ( ) V ( ) q( ) d 0 V ( ) V ( ) q( ) d Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

11 Fleión Plana I (Tensiones) q( ) Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Fleión plana V ( ) ( ) V ( ) ( ) V ( ) V ( ) q( ) d Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

12 Fleión Plana I (Tensiones) q( ) Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Fleión plana 0 V ( ) ( ) V ( ) ( ) V ( ) V ( ) q( ) d q( ξ) dξ ( ) ( ) V ( )( ) + q( ξ)( ξ) dξ 0 ξ Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

13 Fleión Plana I (Tensiones) q( ) Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Fleión plana V ( ) ( ) V ( ) ( ) V ( ) V ( ) q( ) d q( ξ) dξ 0 ( ) ( ) V ( )( ) + q( ξ)( ξ) dξ 0 ( ) ( ) + V ( )( ) q( ξ)( ξ) dξ Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad ξ

14 Fleión Plana I (Tensiones) q Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Fleión plana A R A R A L q B R B R B F 0 R + R 0 A B l 0 N ( ) 0 R R 0 A B Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

15 Fleión Plana I (Tensiones) q Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Fleión plana A R A R A L q B R B R B F 0 R + R 0 A B l 0 N ( ) 0 R R 0 A B F 0 RA + RB q L A 0 RBL q L 0 R A RB q L Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

16 Fleión Plana I (Tensiones) q Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Fleión plana A q B ql L ql q ( ) ql V ( ) Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

17 Fleión Plana I (Tensiones) q Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Fleión plana A q B ql L ql ql q V ( ) ( ) F 0 0 ( ) + q ql 0 ( ) ( ) q L L ( ) V ( ) ql q q Le de cortantes Le de flectores Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

18 Fleión Plana I (Tensiones) q Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas Fleión plana A q B ql L ql ql q V ( ) ( ) F 0 0 ( ) + q ql 0 ( ) ( ) q L L ( ) V ( ) ql q q Le de cortantes Le de flectores Obsérvese d ( ) d V ( ) dv d ( ) q( ) Cuidado con los signos!!! Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

19 Fleión Plana I (Tensiones) Efectivamente ( ) q( ) ( ) + d F 0 ( V + dv ) + q ( )* d V 0 V ( ) d V ( ) + dv dv d ( ) q( ) 0 d V + dv * d + q * d* d 0 ( ) ( ) Despreciando los diferenciales de orden superior d ( ) d V ( ) Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

20 Fleión Plana I (Tensiones) q Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas q Fleión plana ql ql ql L q( L ) L ( ) V ( ) q q ql ( ) V ( ) 0!!! ( ) ( ) q L ql 0!!! Sólo equilibrio ISOSTÁTICA 8 ql q ( L ) Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

21 Fleión Plana I (Tensiones) q Introducción Lees diagramas en vigas isostáticas q Fleión plana L ql ql ql q( L ) L ( ) V ( ) q Le de cortantes ql 0!!! 0!!! ( ) ( ) q L Le de flectores 8 ql q ( L ) Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

22 Fleión Plana I (Tensiones) Fleión Pura V 0 c t e Hipótesis.- σ ma <σ e.- Las secciones se mantienen planas (Hipótesis de Bernoulli) 3.- Pequeñas deformaciones. Fibras etremas más deformadas tensiones más elevadas (material homogéneo). Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

23 Fleión Plana I (Tensiones) Fleión Pura V 0 cte Deformada CIRCULAR (será demostrado posteriormente) Tensiones en la barra sometida a fleión pura O Fibras con L>0 Fibras con L<0 ρ Alguna fibra L0 (fibra neutra) P Sección A Sección B L<0 L0 Q L>0 Sección A Sección B Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

24 Fleión Plana I (Tensiones) Sección A ρ Fleión Pura 0 Sección A Sección B P Sección B Q O V cte Tensiones en la barra Hipótesis de secciones planas (Hipótesis de Bernoulli) ρ sometida a fleión pura P d c Q Sección B b a abc OPQ ab cb OP PQ L ρ d Sección A Sección A Sección B ρ L d ε σ E E ε σ > 0( traccion) ρ ε < 0 compresion ( ) Le de Hooke Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

25 Fleión Plana I (Tensiones) Fleión Pura V 0 cte Tensiones en la barra sometida a fleión pura ds σ F 0 E 0 N ( ) σ da da ρ 0 σ A( ) A( ) A( ) da Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

26 Fleión Plana I (Tensiones) Sección A ρ Sección A Sección B P Sección B F 0 Q O E 0 N ( ) σ da da ρ 0 σ A( ) A( ) A( ) da E ρ A( ) Hipótesis de secciones planas (Hipótesis de Bernoulli) da Inercia A( ) ρ da E σ I ρ I Tensiones en la barra sometida a fleión pura 0 P Sección A Sección A d c Q Fibra neutra c.d.g. σ Sección B b a Sección B Le de Navier (, ) ( ) I ( ) Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

27 Fleión Plana I (Tensiones) Le de Navier Tensiones en la barra sometida a fleión pura σ (, ) ( ) I ( ) σ ( ) ( ) ( ) σ ( ) Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

28 Fleión Plana I (Tensiones) Forma racional de las secciones rectas de vigas flectadas La tensión máima (puntos más alejados del eje neutro) no debe superar la tensión admisible σ AD. El resto de fibras trabaja por debajo de sus posibilidades. Los esfueros σ.da provocan momentos pequeños si es pequeña. El área próima al eje neutro apenas contribuen a soportar el momento flector. Perfil óptimo Área lo más lejos del eje neutro Perfil óptimo Viga en doble T. Rectángulo Viga doble T I b. h 0,67. A. h 6 ma I ma 0,3. A. h A igualdad de sección altura, perfil doble T soporta un momento flector doble. Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

29 Fleión Plana I (Tensiones) Fleión Simple V( ) 0 ( ) cte ( d ( ) d V( ) ) Tensiones en la barra sometida a fleión simple V ( ) El reparto de tensiones de cialladura no puede ser constante en la sección (Principio de reciprocidad de las tensiones de Cialladura). X τ G. γ τ (, ) 0 γ 0 ma τ 0 γ 0 Hipótesis de secciones planas queda comprometida τ τ γ γ ( ma ) ( ma ) Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

30 Fleión Plana I (Tensiones) Fleión Simple V( ) 0 ( ) cte ( d ( ) d V( ) ) Tensiones en la barra sometida a fleión simple El cortante provoca NECESARIAENTE el alabeo de la sección Hipótesis de secciones planas queda comprometida V () Alabeo diferente para diferentes tensiones normales para compatibiliar La le de Navier queda comprometida (L>0h apro.) Barras largas vs. (L<0h apro.) Barras cortas Este efecto PUEDE DESPRECIARSE Este efecto DEBE CONSIDERARSE Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

31 Fleión Plana I (Tensiones) Tensiones en la barra sometida a fleión simple Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

32 Fleión Plana I (Tensiones) Tensiones en la barra sometida a fleión simple Barras cortas Le de Navier Barras largas Le de Navier Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

33 Fleión Plana I (Tensiones) Fleión Simple V( ) 0 ( ) cte ( d ( ) d V( ) ) A( ) Tensiones en la barra sometida a fleión simple σ (, ) σ (, ) + dσ (, ) d ( ) τ V ( ) σ da ( σ + dσ ) da + τ. d. b( ) 0 A( ) A( ) d b( ) dσ. τ. da b( ) d τ (, ) F Si suponemos que la se mantiene constante para una determinada (*): (*) Como veremos más adelante esto no es estrictamente cierto la fórmula de Colignon-Jourawski no es mas que una aproimación. A( ) Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad 0 τ (, )

34 Fleión Plana I (Tensiones) Fleión Simple V ( ) 0 ( ) cte τ (, ) b( ) A( ) Suponiendo que la Le de Navier sigue siendo válida para el cálculo de σ. σ ( ) (, ξ ) I ( ) ξ dσ d El módulo de σ ( ) será: da d ( ) ξ b( ) d I ( ) Tensiones en la barra sometida a fleión simple ( ) ( ) σ(, ξ ) ξ ξ I ( ) I ( ). da I A( ) b( ) A ( ) d ( ). da d ξ d ( ) d V ( ) V ( ) S ( ) τ. da V ( ) I b( ) ξ I b( ) A( ) omento estático S () del área A() con respecto al eje (de fleión) Nota: Si en ve de quedarnos con la parte superior nos hubiéramos quedado con la parte inferior, hubiéramos obtenido el mismo valor pero con el signo contrario. V ( ) τ (, ) además V ( ) τ da A( ) Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

35 Fleión Plana I (Tensiones) Le de Navier σ (, ) ( ) I ( ) σ (, ) Le de Colignon-Jourawski S ( ) τ (, ) V ( ) I b( ) τ (, ) σ (, ) ( ) τ (, ) V ( ) Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

36 Fleión Plana I (Tensiones) Prontuario A área de la sección S omento estático de media sección, respecto a X. I omento de inercia de la sección, respecto a X. W I/h. ódulo resistente de la sección, respecto a X. i (I/A) /. Radio de giro de la sección, respecto a X I omento de inercia de la sección, respecto a Y. W I /b. ódulo resistente de la sección, respecto a Y. i (I /A) /. Radio de giro de la sección, respecto a Y I t ódulo de torsión de la sección. I a ódulo de alabeo de la sección. u Perímetro de la sección. a Diámetro del agujero del roblón normal. w Gramil, distancia entre ejes de agujeros. h Altura de la parte plana del alma. e Espesor del ala en el eje del agujero. p Peso por metro. Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

37 Fleión Plana I (Tensiones) Sección Rectangular Ejemplo de Aplicación dξ τ (, ) h ξ V() b V ( ). d τ (, ). b. d I ( ) ( ) S τ V ( ). S ( ) (, ) ( ) h ( ) b. I ( ) b h S ξ b. dξ. 4 b h V ( ) V ( ) h τ (, ) 3 3 b. h b. h 4 b. ( ) 3. V. τ (, ).. b. h h Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

38 Fleión Plana I (Tensiones) Notas: τ (, ) varía parabólicamente. El valor máimo ocurre para 0 (en la mitad de la altura) su valor es ( ) 3. V τ (, ). b. h cialladura repartida uniformemente, un 50% superior a si consideramos la tensión de Un estudio riguroso utiliando la teoría de la elasticidad muestra que la tensión de cialladura en una fibra situada a una distancia del eje neutro, no es constante, siendo máimo en los etremos: τ (, ) siendo α un coeficiente maor que uno que depende de la relación b/h del coeficiente de Poisson. ( ) 3. V α. b. h b( ) τ h/b 0,5 α,033,6,396 Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

39 Fleión Plana I (Tensiones) Si comparamos los valores máimos de ambas tensiones, en el caso de una viga trabajando a fleión simple, de sección rectangular, simplemente apoada con una carga puntual en el centro de la misma: P L / L / /0 /0 3/0 /5 /4 h/l Este resultado hace que el cálculo de la resistencia en fleión simple se haga, si no se trata de perfiles delgados, teniendo en cuenta solamente las tensiones normales debidas al momento flector no tomando en consideración las tangenciales debidas al esfuero cortante. τma/σma (%) Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

40 Fleión Plana I (Tensiones) a a/0 a a/0 a/0 a a/ a 9 a 5 a 500 ( 9a 5 ) a 9 a 00 Ejemplo de Aplicación a 7 a 0 0 S() a/ a/5 - a0 a/ -4 a -6 Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

41 Fleión Plana I (Tensiones) a a/0 6 4 S() b() a a/0 a/0 a 0 a/0 a/ a/5 - a/ -4 a -6 Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad a0

42 Fleión Plana I (Tensiones) a 6 S() a/0 4 b() I a a/0 a/0 a 0 a/0 a/ a/5 - a/ -4 a -6 Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad a0

43 Fleión Plana I (Tensiones) Ejemplo de Aplicación P q a P P 4 Pl L P L P P P P a I a a/0 07* a a/0 a/0 P P( L ) V ma L ma 0!!! 0!!! Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

44 Fleión Plana I (Tensiones) 800 σ 07a ma ma 3 τ 5V ma ma 3a σ τ ma ma 9L 07a,00 0,00 σ ma /τ ma 8,00 6,00 4,00,00 0, L/H Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

45 Fleión Plana I (Tensiones) Nota sobre la TEORÍA DE COLIGNON: Teoría de Colignon es aproimada. τn τ τt Aproimación suficientemente buena Principio de Reciprocidad Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

46 Fleión Plana I (Tensiones) Tensiones principales en la barra debidas a fleión simple σ Le de Navier (, ) I ( ) Le de Colignon-Jourawski σ (, ) τ (, ) O S ( ) τ (, ) V ( ) I b ( ) τ (, ) σ I (, ) τ (, ) θ σ III (, ) σ (, ) σ I (, ) σ III (, ) τ (, ) θ / σ (, ) O Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

47 Fleión Plana I (Tensiones) Esfueros cortantes en elementos de pared delgada. Sea un perfil como el de la figura, sometido a una fuera cortante V. Si cortamos el ala en la sección A B, vemos que en la sección de corte nos aparece una fuera dn: ( ) V. S dn I. d En el caso de secciones de pared delgada, podemos considerar que esa fuera de cialladura se reparte uniformemente en el espesor: ( ) V. S dn τ. e. d d I Al término q τ. e se le denomina flujo de corte (debido a la analogía hidrodinámica). Dado que I V son constantes para una sección situada en, el flujo de corte q únicamente depende de S() el momento estático de la sección A A con respecto al eje neutro. Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

48 Fleión Plana I (Tensiones) Esfueros cortantes en elementos de pared delgada. Se denomina flujo de corte por su similitud con el flujo de un líquido al igual que este, no puede tener variaciones súbitas. Así, en la sección en doble T, vemos que el flujo de corte en el alma será la suma de los flujos de corte en las alas. τ τ τ τ Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad

49 Fleión Plana I (Tensiones) Esfueros cortantes en elementos de pared delgada. Castillo Lópe, G. García Sánche, F. Lópe Taboada, C. Pedraa Rodrígue, C. (04) Resistencia de ateriales. OCW-Universidad