ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS

Transcripción

1 ESTRUCTURAS I ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS F.A.D.U. / UdelaR AÑO 2018

2 repaso de EQUILIBRIO ESTÁTICO Al analizar estructuras edilicias, estamos estudiando estructuras que se encuentran en equilibrio estático Frente a un sistema de fuerzas externas actuando sobre la estructura, debemos asegurar que ésta no se desplace y gire Una estructura esquematizable en el plano, y considerada como cuerpo rígido e indeformable, puede experimentar dos movimientos posibles: y desplazamiento giro Verificar el EQUILIBRIO ESTÁTICO implica: x las sumatorias de las proyecciones de las fuerzas a que está sometida, sobre dos ejes perpendiculares son nulas Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Aseguran la ausencia de desplazamientos la sumatoria de los momentos que esas acciones producen, con respecto a cualquier punto del plano, es nula Σ M = 0 Quedan planteadas 3 ecuaciones para verificar el EQULIBRIO ESTÁTICO Asegura la ausencia de giros Permiten resolver 3 incógnitas en un sistema determinado

3 Quedan planteadas 3 ecuaciones para verificar el EQULIBRIO ESTÁTICO Estructura hipostática no tienen la posibilidad de alcanzar el equilibrio para todos los posibles estados de carga que se presenten Estructura isostática Puede ser analizada mediante los principios de la Estática Estructura hiperestática vínculos sobreabundantes Grado de Hiperestaticidad 1 Grado 2 Grado Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ M = 0 Sistema determinado Las reacciones en los apoyos se det. aplicando: Sistema indeterminado Las reacciones en los apoyos se det. aplicando: Permiten resolver 3 incógnitas en un sistema determinado Nº ecuac. de equilibrio Nº ecuac. de equilibrio Cond. de equilibrio: Nº ecuac. de equilibrio Cond. de equilibrio: Nº > incógnitas Nº = incógnitas Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ M = 0 Nº < incógnitas Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ M = 0 Cond. de Deformación 3 Grado ecuaciones

4 Dos tramos de vigas aisladas ISOSTÁTICAS

5 Viga continua conformada por 2 tramos - Estructura HIPERESTÁTICA

6 Viga continua conformada por 2 tramos - Estructura HIPERESTÁTICA Diferente comportamiento Dos tramos de vigas aisladas ISOSTÁTICAS

7 Ventajas de las estructuras Hiperestáticas: Esfuerzos menores provocados por Momentos Flectores Isostática Hiperestática Dimensionado con menores secciones (ahorro de materiales) p (dan/m) p (dan/m) Estructuras más rígidas y sus deformaciones son menores. Mayor estabilidad frente a todo tipo de cargas (horizontales, verticales, etc) L L Desventaja de las estructuras Hiperestáticas: Dificultad de análisis y diseño ( debemos recurrir al estudio de las deformaciones)

8 Estructuras ISOSTÁTICAS 1. Reacciones en apoyos (Equilibrio Global) Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ M = 0 Nº ecuac. de equilibrio Nº = incógnitas 2. Solicitaciones 3. Dimensionado Se deben considerar: cargas actuantes (fuerzas exteriores) posición y tipo de vínculos ISOSTÁTICA NO tenemos en cuenta: geometría de la estructura Caract. elásticas del material Geometría de secciones transversales de c/barra

9 Estructuras HIPERESTÁTICAS El equilibrio de la estructura está asegurado con vínculos superabundantes cómo determino los valores de las reacciones en los apoyos? 2. Solicitaciones 3. Dimensionado Nº ecuac. de equilibrio Las ecuaciones de equilibrio no son suficiente Nº < incógnitas Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ M = 0 hay que recurrir a nuevas ecuaciones que nos permitan tener un sistema determinado Se abandona el principio de rigidez relativa de los cuerpos Si recordamos de ALGEBRA VECTORIAL En general, la forma de los sólidos sometidos a las acciones exteriores, varía de un modo insubstancial (deformaciones despreciables). Al formar las ecuaciones de equilibrio, esto permite considerar el sólido como indeformable y dotado de las mismas dimensiones geométricas que tenía antes de la aplicación de las cargas

10 Estructuras HIPERESTÁTICAS El equilibrio de la estructura está asegurado con vínculos superabundantes cómo determino los valores de las reacciones en los apoyos? 2. Solicitaciones 3. Dimensionado Se deben considerar: cargas actuantes (fuerzas exteriores) posición y tipo de vínculos geometría de la estructura caract. Elásticas del material geometría de secciones transversales de c/barra (predimens.) ISOSTÁTICA HIPER- ESTÁTICA ecuaciones Nº ecuac. de equilibrio Las ecuaciones de equilibrio no son suficiente Nº < incógnitas Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ M = 0 hay que recurrir a nuevas ecuaciones que nos permitan tener un sistema determinado Se abandona el principio de rigidez relativa de los cuerpos En general, la forma de los sólidos sometidos a las acciones exteriores, varía de un modo insubstancial (deformaciones despreciables). Al formar las ecuaciones de equilibrio, esto permite considerar el sólido como indeformable y dotado de las mismas dimensiones geométricas que tenía antes de la aplicación de las cargas y se recurre a ecuaciones de deformación, considerando las deformaciones elásticas: permite plantear, en cualquier punto de una estructura, la igualdad de las deformaciones estudiadas de uno y del otro lado de la sección, lo que nos brinda una fuente ilimitada de ecuaciones.

11 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross C. Métodos Matriciales (requieren uso de programas de computación) Métodos manuales Todos los métodos de resolución de estructuras hiperestáticas recurren al planteo de ecuaciones de deformación. Los distintos métodos han ido buscando las vías más adecuadas en función de la tecnología disponible en cada momento histórico.

12 A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross C. Métodos Matriciales INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

13 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross C. Métodos Matriciales Consiste en eliminar vínculos superabundantes hasta que la estructura quede isostática, y luego, mediante el Principio de Superposición, restituir las acciones que los vínculos eliminados ejercían, y hallar qué valores deben tomar para que se restablezcan las condiciones originales, para que las deformaciones queden iguales a la situación original.

14 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas P 2 P 1 P 3

15 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas P 2 P 1 P 3 R Ah R Bh R Av R Bv Incógnitas a resolver

16 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas Principio de Superposición P 2 P 1 P 3 P 2 P 1 P 3 R Ah R Bh R' Ah R Av R Bv R' Av R' Bv

17 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas Principio de Superposición P 2 P 1 P 3 P 2 P 1 P 3 R Ah R Bh R' Ah R Av R Bv R' Av R' Bv

18 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas Principio de Superposición P 2 P 1 P 3 P 2 P 1 P 3 R Ah R Bh R' Ah X X R Av R Bv R' Av R' Bv

19 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas Principio de Superposición P 2 P 1 P 3 P 2 P 1 P 3 R Ah R Bh R' Ah X X R Av R Bv R' Av R' Bv

20 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas Principio de Superposición P 2 P 1 P 3 P 2 P 1 P 3 R Ah R Bh R' Ah X X R Av R Bv R' Av R' Bv Se plantean ambas ecuaciones para ambas deformaciones, y se igualan deformaciones: deformación que producen las cargas P1, P2 y P3 deformación que produce la fuerza X Se despeja el valor de la fuerza X para igualar ambas deformaciones

21 A. Método de las Fuerzas INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

22 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas Incógnitas a resolver

23 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas Principio de Superposición

24 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas Principio de Superposición

25 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas Principio de Superposición

26 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas Principio de Superposición

27 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas Principio de Superposición Igualamos flechas: (deformaciones)

28 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas Principio de Superposición Igualamos flechas: (deformaciones) 1. Se plantean las ecuaciones de flecha para ambas situaciones, se igualan. 2. Se despeja fuerza X 3. Las otras dos incógnitas (reacciones) se pueden hallar x superposición

29 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales Ing. Hardy Cross Estados Unidos

30 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos) C. Métodos Matriciales En un sentido opuesto al caso anterior, en lugar de quitarle vínculos, le agrega más, colocando los nudos en condición de giro nulo. Es decir, aumenta el grado de hiperestaticidad, pero lleva la estructura a una situación ficticia pero conocida (giro nulo), alcanzando un sistema determinable. Luego los vínculos agregados se quitan de a uno por vez hasta restablecer las condiciones originales de la estructura. Se genera una ecuación muy sencilla para resolver la deformación (giro) del nudo Ing. Hardy Cross Estados Unidos

31 B. Método de CROSS INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

32 B. Método de CROSS INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

33 B. Método de CROSS INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

34 B. Método de CROSS INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

35 B. Método de CROSS INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

36 B. Método de CROSS INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

37 B. Método de CROSS INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

38 B. Método de CROSS INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

39 B. Método de CROSS INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

40 B. Método de CROSS INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

41 A. Método de las fuerzas B. Método de Cross C. Métodos Matriciales INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

42 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS A. Método de las fuerzas B. Método de Cross C. Métodos Matriciales (requieren uso de programas de computación) Consisten en utilizar el álgebra matricial, que permite un planteo muy compacto de las ecuaciones, lo que simplifica el algoritmo para generar un programa informático práctico y versátil.

43 ACCIONES INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS C. Métodos Matriciales Representación de las ecuaciones en forma matricial (ordena en fila y columnas): Ej: Método de Matriz de Rigidez Toma cada tramo de la estructura como un elemento, y luego, los elementos unidos entre sí. Busca las relaciones que existen entre acciones - deformaciones en los extremos de cada barra ACCIONES en los extremos de una barra DEFORMACIONES DEFORMACIONES en los extremos de una barra Representación vectorial Representación física

44 A. Método de las Fuerzas B. Método de Cross C. Métodos Matriciales INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

45 Ventajas: MÉTODO DE CROSS Método manual Permite estudiar estructuras de alto grado de hiperestaticidad mediante operaciones sencillas que pueden realizarse con una calculadora común. Permite visualizar cómo es el proceso de resolución de una estructura hiperestática (mecanismo de distribución de los momentos en la estructura) Actualmente: uso de Métodos Matriciales c/programas en computadora brindan el resultado final sin ver el proceso Simplificaciones: Para simplificar la parte operativa, Cross se centra solamente en el estudio de los giros en los nudos de la estructura Existen deformaciones producidas por: Momento (giros) Cortante Axil producen >> deformaciones Si la estructura lo requiere, en una segunda etapa, también se estudian los desplazamientos de los nudos, y los giros que en ellos se producen.

46 OBJETIVO del Método MÉTODO DE CROSS El objetivo del método de Cross es: conocer el valor de los momentos en los extremos de las barras (realizado a través del estudio de los giros) En una estructura se busca: DET. REACCIONES DET. SOLICITACIONES DIMENSIONAR Luego de conocidos éstos, las reacciones y las solicitaciones pueden ser determinadas mediante los procedimientos ya conocidos, utilizando las ecuaciones de equilibrio y la ecuación de la viga recta.

47 PASOS para aplicar el artificio del Método Se comienza estudiando una sola barra aislada para determinar expresiones matemáticas auxiliares que nos permitan conocer los ángulos de giro en los apoyos de tramos flexionados. MÉTODO DE CROSS [PASO 1] Ángulos de giro en los extremos de una barra aislada θ (theta) a) Carga transversal b) Momento aplicado en extremo izq. [PASO 2] Coeficiente de transmisión β (beta) a) Apoyo A: M A aplicado Apoyo B: frenado [PASO 3] Momentos de fijación ó Momentos frenos ó Momentos de empotramiento perfecto M.E.P. c/carga transversal cond. vínculos a) frenados [PASO 4] Coeficientes de Repartición r i Se juntan varias barras en un nudo y. qué pasa cuando se suelta un nudo en una estructura que está frenada? [PASO 5] Artificio del Método de Cross (ejemplo de aplicación) c) Momento aplicado en extremo der. Coeficiente de transmisión β que vincula M A con M B b) frenado-articulado c) articulado-frenado

48 Expresiones matemáticas auxiliares para determinar en el PASO [1] los ángulos de giro θ (theta) en extremos de una barra aislada con carga transversal MÉTODO DE CROSS a) Carga transversal

49 Expresiones matemáticas auxiliares REPASO: Clase de Flexión MÉTODO DE CROSS DEFORMACIÓN DE LA DOVELA CENTRAL

50 Expresiones matemáticas auxiliares REPASO: Clase de Flexión MÉTODO DE CROSS radio de giro r(x) d dx 1 x = K (curvatura) DEFORMACIÓN DE LA DOVELA CENTRAL M f = momento flector E = Módulo de deformación I x = Inercia de la sección

51 Expresiones matemáticas auxiliares REPASO: Clase de Flexión -p = V`(x) V(x) = M`(x) MÉTODO DE CROSS M``(x) = V`(x) = -p Relación entre p, V y M Ecuación fundamental de las vigas rectas

52 Expresiones matemáticas auxiliares MÉTODO DE CROSS Por definición la expresión de la curvatura es: Dado que la magnitud de las deformaciones son muy pequeñas, se admite: (curvatura) K z (x) (flecha o deflexión) O sea que la función de la curvatura equivale a la derivada segunda de la función de la elástica.

53 Expresiones matemáticas auxiliares Conociendo la función de la elástica: MÉTODO DE CROSS La tg a la curva de la elástica La derivada de z es el ángulo que forma la tangente a la curva con respecto al eje de las abscisas (a) o a la horizontal. Según la hipótesis de Bernouilli, las secciones planas y normales al eje del tramo, se mantienen planas y normales a la elástica, luego de la deformación. Por lo tanto, la perpendicular a la tangente es el giro de la sección, que abre con la vertical el mismo ángulo que la tangente con la horizontal: O sea: z (x) = θ(x) z (x) ángulo entre la tg y la horizontal ( ) tg z (x) = (x) = θ

54 Expresiones matemáticas auxiliares ANALOGÍA DE MÖHR MÉTODO DE CROSS z (x) = K = Mf/E.I -p = V`(x) Z = q(x) V(x) = M`(x) z``(x) = q`(x) = K = Mf/E.I M``(x) = V`(x) = -p Relación entre K, q y z Relación entre p, V y M. = θ A = θ B Expresiones de los ángulos de giro en los extremos de las barras

55 PASOS para aplicar el artificio del Método MÉTODO DE CROSS [PASO 1] Ángulos de giro en los extremos de una barra aislada θ (theta) a) Carga transversal [PASO 2] Coeficiente de transmisión β (beta) [PASO 3] Momentos de fijación ó Momentos frenos ó Momentos de empotramiento perfecto M.E.P. [PASO 4] Coeficientes de Repartición r i [PASO 5] Artificio del Método de Cross (ejemplo de aplicación) b) Momento aplicado en extremo izq. c) Momento aplicado en extremo der.

56 PASO [1]: ángulos de giro θ (theta) en extremos MÉTODO DE CROSS a) Carga transversal (caso 1) Área = A 1 Expresiones de los ángulos de giro en los extremos de las barras kappa Concepto de RIGIEZ: cuánto se oponen las propiedades físicas del tramo a que el tramo sea deformado Qué propiedades de una barra hacen que sea más o menos deformable? Inercia Módulo de elasticidad Luz de la barra Directamente inversamente RIGIDEZ: (kappa)

57 PASO [1]: ángulos de giro θ (theta) en extremos b) Momento aplicado en A (caso 2) MÉTODO DE CROSS Ángulo θ = (fórmula del momento unitario) X (valor del M A ) Diagrama de M unitario (M=1) Operativamente trabajamos con: Para inercia constante: A 2 X 2 RIGIDEZ FLEXIONAL: ó (gamma (alpha kappa) kappa)

58 PASO [1]: ángulos de giro θ (theta) en extremos b) Momento aplicado en B (caso 3) MÉTODO DE CROSS

59 PASOS para aplicar el artificio del Método MÉTODO DE CROSS [PASO 1] Ángulos de giro en los extremos de una barra aislada θ (theta) a) Carga transversal Rigidez: [PASO 2] Coeficiente de transmisión β (beta) [PASO 3] Momentos de fijación ó Momentos frenos ó Momentos de empotramiento perfecto M.E.P. [PASO 4] Coeficientes de Repartición r i [PASO 5] Artificio del Método de Cross (ejemplo de aplicación) (kappa) b) Momento aplicado en extremo izq. a) Apoyo A: M A aplicado Apoyo B: frenado c) Para Momento inercia aplicado cte.: en extremo der. Rigidez flexional: (gamma kappa) ó (alpha kappa)

60 PASO [2]: coeficiente de transmisión β (beta) cómo repercute en el extremos frenado? (caso 2) (caso 3) Para inercia constante: (giro nulo) Para inercia constante:

61 PASOS para aplicar el artificio del Método MÉTODO DE CROSS [PASO 1] Ángulos de giro en los extremos de una barra aislada θ (theta) a) Carga transversal Rigidez: (kappa) [PASO 2] Coeficiente de transmisión β (beta) [PASO 3] Momentos de fijación ó Momentos frenos ó Momentos de empotramiento perfecto M.E.P. c/carga transversal cond. vínculos [PASO 4] Coeficientes de Repartición r i [PASO 5] Artificio del Método de Cross (ejemplo de aplicación) b) Momento aplicado en extremo izq. a) Apoyo A: M A aplicado Apoyo B: frenado a) frenados c) Para Momento inercia aplicado cte.: en extremo der. Para inercia cte.: b) frenado-articulado Rigidez flexional: (gamma kappa) ó (alpha kappa) c) articulado-frenado

62 PASO [3]: M.E.P. MÉTODO DE CROSS MOMENTOS NODALES efecto de la barra sobre el nudo MOMENTOS DE FIJACIÓN MOMENTOS FRENO MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO (M.E.P.) efecto del nudo sobre la barra signo - < 0 signo + > 0

63 PASO [3]: M.E.P. MÉTODO DE CROSS θ A1 θ A2 θ A3 = 0 θ B1 θ B2 θ B3 = 0 A 1 x 1 M A A 2 x 2 M B A 3 x 3 = 0 A 1 x 1 M A A 2 x 2 M B A 3 x 3 = 0 M A = A 1 A 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 3 x 2 x 3 x 2 M B = A 1 A 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 θ A1 = A 1. x 1 κ L 2 θ B1 = A 1. x 1 κ L 2 θ A2 = M A. A 2. x 2 κ L 2 θ B2 = M A. A 2. x 2 κ L 2 θ A3 = M B. A 3. x 3 κ L 2 θ B3 = M B. A 3. x 3 κ L 2

64 PASO [3]: M.E.P. MÉTODO DE CROSS M A = A 1 A 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 3 x 2 x 3 x 2 M B = A 1 A 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 Para I = cte. y carga uniformemente repartida: M O = p L2 8 entonces M A = 2 3 M O L L 2 L L L 2 L L 2 3 L L 3 L 3 M A = 2 3 M o = 2 3 p L2 8 p (dan/m) M A A L B M B M A = p L2 12 M B = p L2 12

65 PASO [3]: M.E.P. MÉTODO DE CROSS θ A1 θ A2 = 0 A 1 x 1 M A A 2 x 2 = 0 M A = A 1 A 2 x 1 x 2 Para I = cte. y carga uniformemente repartida: M A = 2 3 M O L L 2 L L = M o p (dan/m) θ A1 = A 1. x 1 κ L 2 θ B1 = A 1. x 1 κ L 2 θ A2 = M A. A 2. x 2 κ L 2 θ B2 = M A. A 2. x 2 κ L 2 M A A M A = L p L2 8 B

66 PASO [3]: M.E.P. MÉTODO DE CROSS θ B1 θ B3 = 0 A 1 x 1 M B A 3 x 3 = 0 θ A1 = A 1. x 1 κ L 2 θ B1 = A 1. x 1 κ L 2 θ A3 = M B. A 3. x 3 κ L 2 θ B3 = M B. A 3. x 3 κ L 2 Para M B = A 1 A 3 x 1 x 3 I = cte. y carga uniformemente repartida: M B = 2 3 M O L L 2 L L = M o p (dan/m) A B M B M A = L p L2 8

67 PASO [3]: M.E.P. MÉTODO DE CROSS Expresiones para hallar las reacciones de apoyo Expresiones para la determinación de los M.E.P.

68 PASO [3]: M.E.P. MÉTODO DE CROSS Expresiones para hallar las reacciones de apoyo Expresiones para la determinación de los M.E.P.