Resistencia de Materiales TORSIÓN

Transcripción

1 Resistencia de ateriales TORSIÓN Introducción Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros Energía de deformación. Resolución de problemas hiperestáticos en torsión. Torsión en vigas de sección cualquiera (rectangular, perfiles huecos, perfiles abiertos de pared delgada).

2 Introducción

3 Introducción

4 Introducción NO SE PRODUCE ALABEO SE PRODUCE ALABEO

5 Introducción Diagramas de esfuerzos (Diagrama de momentos torsores). El convenio de signos que utilizaremos será: Positivo: Negativo: Para obtener el momento torsor actuante en una sección utilizaremos el principio del corte y las ecuaciones de equilibrio : 500 N.m t () = 0 ( ) = 500N. m t Diagrama de momentos torsores: t () t () 500 N.m 500 N.m o

6 Introducción ( ) = σ (, y, z) y σ (, y, z) z da( ) z y A( ) ( )? σ i Hipótesis de Bernouilli en torsión de barras de perfiles circulares Las secciones rectas de una barra de sección circular sometidas a torsión GIRAN UNAS CON RESPECTO A OTRAS COO DISCOS RÍGIDOS

7 Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros φ a ' a b' γ b dφ d b ' b a ' a = γ d = ρdφ ϕ = ángulo de torsión ρ = radio de la fibra estudiada dφ( ) γ = ρ = θ ( ) ρ d ÁNGULO UNITARIO DE TORSIÓN

8 Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros c ' a ' d b ' ' a ' b ' b' b a ' a a ' b ' a b b ' b a ' a = γ d = ρdφ φ( ) φ ( + d) = = φ( ) + dφ( ) ρ

9 Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros c ' a ' d ' b ' a ' b ' φ ( + d) = φ ( ) = φ( ) + dφ( ) a ' a b ' b b' b a ' a b ' b a ' a = γ d = ρdφ dφ( ) γ = ρ = θ ( ) ρ d ÁNGULO UNITARIO DE TORSIÓN ρ

10 γ = = θ ( ) ρ G Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros γ = G (*) a ' a b ' b' b a ' a b b ' b a ' a = γ d = ρdφ c ' a ' d b' ' dφ( ) γ = ρ = θ ( ) ρ d ÁNGULO UNITARIO DE TORSIÓN (*) Esta tensión tangencial ha de ser perpendicular al radio, de lo contrario la sección sufriría alabeo

11 Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros ( ) = σ (, y, z) y σ (, y, z) z da( ) z y A( ) γ = = θ ( ) ρ G INERCIA POLAR 2 2 = ρda = Gθ ρ da = Gθ ρ da ( ) ( ) ( ) A( ) A( ) A( ) c ' a ' d b' ' ( ) = Gθ ( ) I ( ) ( ) = G θ ( ) ρ = I ( ) ρ p p

12 Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros (, r) = I p ( ) ( ) r z ( ) σ (, y) = I ( ) Ley de Navier z y 2 I r da p ( ) = A( ) c ' a ' d b' '

13 σ y Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros Idéntico estado tensional y σ σ σ σ σ =σ σ σ σ III =-σ σ I =σ σ n = σ

14 Torsión en perfiles circulares. Tensiones y Giros FALLO FRÁGIL POR TORSIÓN FALLO DÚCTIL POR TORSIÓN

15 Energía de deformación en Torsión La energía de deformación acumulada en la barra sometida a torsión, suponiendo que no hay ningún tipo de pérdida de energía será igual al trabajo realizado al aplicar el momento torsor desde 0 hasta su valor : U φ L G I p φ = = = 2 2. G. I 2. L p U =. 2 φ En el caso de que el momento torsor o la sección sean variables (y el material constante): φ = θ.l U L 2 1 ( ).. d = 2. G I ( ) 0 p

16 Torsión libre en perfiles no circulares RESTRICCIÓN AL ALABEO TENSIONES NORALES (fuera de este curso) TORSIÓN LIBRE ALABEO NO RESTRINGIDO Ángulo de torsión: Sección circular: Relación lineal: φ = C =. L C G I. p Para una sección no circular C< G.I p y la energía de deformación será: U L 2 L 2 ( ). d C. θ ( ). d = = 2. C θ = φ L θ = C RIGIDEZ TORSIONAL

17 b Torsión libre en perfiles no circulares Triángulo equilátero a = 20 a ma 3 Rectángulo a θ = 80 3 a 4 G θ = = 16 π ab ma 2 16 ( ) a b 3 3 π a b G 1 1 ma = 2 θ = 3 αab βab e G b Elipse a/b α β a 1 2abe ( a + b) e 2a b e ma = θ = G b Rectángulo a

18 Torsión libre en perfiles no circulares Greenhill descubrió la analogía matemática eistente entre el fenómeno de la torsión y un particular movimiento fluido plano. ANALOGÍA HIDRODINÁICA Recipiente con fondo horizontal de forma idéntica a la sección recta de la viga sometida a torsión y con las pareces laterales verticales, conteniendo un fluido perfecto (incompresible y no viscoso), y sometido a un movimiento plano de rotación uniforme. Velocidad Proporcional Tensión tangencial ZONA UERTA, VELOCIDAD NULA, TENSIÓN NULA VELOCIDAD ÁXIA TENSIÓN ÁXIA ZONA UERTA, VELOCIDAD NULA, TENSIÓN NULA

19 Torsión libre en perfiles no circulares PENDIENTE ÁXIA Sección B ' AA' TENSIÓN ÁXIA ANALOGÍA DE LA EBRANA A A' B

20 Torsión libre en perfiles no circulares Pared delgada abierta: flujo de tensiones de sentido contrario en el espesor

21 Torsión libre en perfiles no circulares Pared delgada cerrada: flujo de tensiones del mismo sentido en el espesor

22 Torsión libre en perfiles no circulares ANALOGÍA DE LA EBRANA

23 Torsión hiperestática Búsqueda de ecuaciones complementarias aplicando compatibilidades geométricas. En el caso de torsión serán giros. Ejemplo Determínese los momentos de empotramiento y dibuje el diagrama de momentos torsores. A A a a B A t t b b C B C Σ = 0; A + B = t Ecuación de compatibilidad geométrica ψ ψ ψ C / A = B/ A + C / B = 0 1.( A. a B. b ) = 0 G. I A p b =. L t B = a. L t

24 Perfiles abiertos de pared delgada Hipótesis : espesor << dimensiones eteriores Sección Sección rectangular AA' = 1 1 ma 2 θ = 3 αab βab G a/b α β = = G. θ. b ab ma 2 θ = C C = 3 ab G 3

25 Perfiles abiertos de pared delgada Hipótesis : espesor << dimensiones eteriores = i s θ = i=n i=1 G 3e i=n i=1 i i S e 3 3 i S e i 3 i t t Sección AA' Siendo Si la longitud de la ramificación de espesor ei

26 Perfiles tubulares de pared delgada Hipótesis : espesor << dimensiones eteriores A B B F B B e B Flujo de corte es constante q =. e = cte A A e e F A X e A Ω Fibra media df ds p da q s = t 2Ω θ = t G I t donde 4Ω 1

27 Perfil cerrado vs. perfil abierto q s = t 2Ω = i s i=n i=1 3e i i S e 3 i t ~ 2 ~ ~ ~ 2

28 Forma racional de secciones sometidas a torsión Las secciones abiertas de pared delgada resisten muy mal a la torsión y deben ser pevitadas si t es importante. Las secciones tubulares son más económicas que las secciones macizas. Para que el material trabaje al máimo, hace falta coger un tubo de pared de espesor constante. Forma óptima para tubos de pared constante y peso por m determinado: Sección: L: perímetro; e: espesor omento torsor: A = L. e = cte = 2. Ω.. e omento torsor proporcional a Ω áima Ω para un perímetro determinado CIRCULO A = 2. Ω.. = 2. A.. Ω L L La capacidad de transmitir un momento torsor aumenta con la relación Ω/L, es decir mínimo espesor. LIITE PANDEO LOCAL Nervios longitudinales y diafragmas (p.e. fuselajes de avión).