1. Propiedades de la Presión Hidrostática.

Transcripción

1 Tema. Hidrostática. ropiedades de la resión Hidrostática.. Ecuación fundamental de la Hidrostática.. resión Hidrostática en los líquidos. Ecuación de equilibrio de los líquidos pesados. ota pieométrica. 4. Superficie de nivel en los líquidos pesados. 5. Variación de la presión con la profundidad. Diagrama de presiones. 6. resiones sobre superficies planas: ) álculo del valor de la presión total ) Determinación del centro de presión ) asos más frecuentes en la práctica 4) resión total sobre una pared plana rectangular con líquido a ambos lados Ya vimos en el tema que la Hidrostática es la parte de la Hidráulica que estudia el equilibrio de los líquidos en estado de reposo. En estas circunstancias, al ser nulo el gradiente de velocidad, no eisten esfueros cortantes (tangenciales), por lo que no eiste viscosidad, comportándose el líquido como perfecto. or tanto, pueden obtenerse sus leyes de forma analítica, no siendo necesario recurrir a la eperimentación para corregir las ecuaciones con coeficientes que ajusten la teoría a la realidad. ropiedades de la resión Hidrostática. La presión es la fuera que se ejerce por unidad de superficie. or lo tanto, vendrá definida por su módulo o intensidad y por su dirección, siendo evidente el sentido en que actúa (acia el cuerpo considerado). A continuación vamos a estudiar las dos propiedades que la definen.

2 . Relativa a su dirección: En una masa líquida en equilibrio, la presión idrostática en cualquiera de sus puntos debe ser normal (perpendicular) al elemento plano sobre el que actúa. Si no fuera así, eistiría una componente tangencial que rompería el equilibrio. F S siendo: F: Fuera uniformemente repartida, o bien, fuera media que actúa sobre s S: Superficie Si s se ace infinitamente pequeña, entonces se define la presión: lim ds 0 df ds. Relativa a su intensidad: En un punto de una masa líquida eiste la misma presión idrostática en todas las direcciones, es decir, la presión es independiente de la inclinación de la superficie sobre la que actúa. onsideremos un volumen elemental de líquido en reposo en forma de tetraedro OAB, según muestra la figura.. y d dy O d A B y Figura..

3 Las fueras que actúan son: Fueras másicas, es decir, las fueras eteriores que actúan sobre la masa del elemento líquido. Se deben a la gravedad, dependen del peso del elemento considerado, y por tanto son proporcionales al producto de las tres dimensiones ( d dy d), es decir, al volumen. El empuje sobre cada una de las caras del tetraedro, debido a las presiones ejercidas por el resto del líquido. omo FS, la fuera total que actúa sobre cada cara será (Fig...): ara AB SAB ara BO X SBO ara AO Y SAO ara AOB Z SAOB Estableciendo la ecuación de equilibrio de las fueras de presión intervinientes y proyectándolas sobre el eje OX se obtiene: S S AB 44 BO cos(p, ) p 44 s BO X S BO Luego S cos(, ) por tratarse de superficies infinitesimales AB Análogamente, proyectando sobre los ejes OY y OZ, se obtiene: S S AB 44 cos(p, y) 44 s AO AB 44 AOB Y cos(, ) 44 s Z S AO AOB Y Z on lo que se demuestra que, con independencia de la inclinación del elemento de superficie, las presiones unitarias son iguales. y

4 . Ecuación fundamental de la Hidrostática. Es la ecuación de equilibrio de una masa líquida. onsideremos dentro de un líquido en reposo un elemento de volumen infinitesimal en forma de paralelepípedo rectangular, de aristas paralelas a los ejes coordenados, como muestra la figura.. d D F A B d E y dy y Figura.. El paralelepípedo está sometido a las fueras eteriores o másicas, aplicada la resultante en su centro de gravedad (cdg), es decir, el peso propio, y a las presiones sobre sus caras eteriores o empuje ejercidas por el líquido circundante. Obsérvese que las presiones sobre las caras que forman el triedro que pasa por A son iguales (), según se demostró en el apartado anterior. Las condiciones de equilibrio del paralelepípedo se plantean igualando a cero la suma de todas las fueras que actúan sobre él, proyectándolas sobre 4

5 cada uno de los ejes. (, y, ) serían las componentes de la resultante de las fueras eteriores según los tres ejes. royecciones sobre OX: omponentes de las fueras eteriores ρ d dy d 44 volumen 678 s resión total sobre la cara AD dy d resión total sobre la cara BEF d dy d Las presiones que actúan sobre las demás caras dan proyecciones nulas sobre el eje OX. royecciones sobre OX 0 ρ d dy d dy d d dy d 0 d dy d ρ d dy d dy d dy d d dy d ρ d dy d dy d Simplificando se obtiene: ρ [] Operando de igual modo sobre los ejes OY y OZ, las condiciones de equilibrio serían, respectivamente: y ρ y ρ [] [] 5

6 Multiplicando las ecuaciones [], [] y [] por d, dy y d, respectivamente, y sumándolas, se obtiene: d dy d ρ ( d y dy d) y El primer miembro es una ecuación diferencial total, con lo que se puede poner de la forma: d ρ ( d y dy d) Esta ecuación se conoce como Ecuación de equilibrio de una masa líquida o Ecuación Fundamental de la Hidrostática. Las superficies de nivel son aquellas que tienen la misma presión en todos sus puntos, por lo que al ser cte, d 0, quedando la ecuación fundamental de la forma: ( d y dy d) 0 Que es la ecuación diferencial de las superficies de nivel o equipotenciales.. resión Hidrostática en los líquidos. Ecuación de equilibrio de los líquidos en reposo. ota pieométrica. En un líquido en reposo, la única fuera eterior que actúa es la de la gravedad. Si tomamos los ejes OX y OY paralelos a la superficie libre del líquido y OZ vertical y dirigido acia arriba, como muestra la figura.., las componentes de aquella fuera para cualquier líquido incompresible de densidad ρ serán: 0 y 0 -g 6

7 Superficie libre O 0 M 0 ( 0 ) 0 y 0 M () y y Figura.. La ecuación fundamental de la Hidrostática quedaría: d ρ (0 d 0 dy g d) d ρ g d ; y puesto que γ ρ g d γ d Integrando la ecuación desde una cota 0, en la que la presión es 0, asta una cota de presión, como se esquematia en la figura.4., se obtiene: Z 0 ( 0 ) Z () y Figura.4. p d γ d γ p d γ ( ) [4] 7

8 La ecuación [4] indica que la diferencia de presión entre dos puntos de un líquido en equilibrio es igual al peso de una columna del mismo líquido de sección unidad y altura la diferencia de cotas entre ambos puntos. Normalmente el origen de las se sitúa en la superficie libre del líquido, de tal forma que 0, siendo la profundidad del líquido. Entonces, según la ecuación [4]: 0 γ Y cuando el origen de presiones está en la superficie libre ( 0 0): γ La ecuación [4] también puede ponerse de la forma: γ γ γ 0 0 cte Altura o cota pieométrica γ γ Ecuación que indica que en un líquido incompresible es constante la suma de la altura geométrica o de posición y de la presión unitaria dividida por el peso específico. El cociente γ, de dimensiones una longitud denominada altura de presión (tema, conceptos), representa la altura de la columna de líquido de peso específico γ capa de producir la presión. 8

9 4. Superficie de nivel en líquidos pesados. La altura o cota pieométrica cte indica que si en cada punto γ de un líquido en reposo se levanta un segmento vertical representativo de la altura de presión en ese punto (Fig..5.), los etremos de dicos segmentos se contienen en un mismo plano oriontal, el plano de carga idrostático relativo, que si se prescinde de la presión atmosférica, coincide con la superficie libre del líquido. Superficie libre del líquido γ γ γ 4 lano de referencia Figura.5. Es evidente que en los líquidos en reposo todas las superficies de nivel son planos oriontales. ara demostrarlo, partimos de la Ecuación de Equilibrio de los líquidos en reposo deducida anteriormente. d γ d En la superficie de nivel, por su propia definición, todas las presiones son iguales, luego al ser constante, d 0. k γ d 0 γ d γ cte k cte γ Ecuación que representa a un plano paralelo a la superficie libre del líquido. 9

10 5. Variación de la presión con la profundidad. Diagrama de presiones La presión en un punto de una masa líquida es igual a la presión atmosférica más el peso de la columna de líquido de altura igual a la distancia entre dico punto y la superficie libre del líquido. lano de carga absoluto O θ 0 γ lano de carga relativo resiones (kg/cm ) θ 0 γ Altura (m) 0 γ Figura.6. La ecuación 0 γ corresponde a una recta, luego indica la variación lineal de la presión con la profundidad del líquido, cuya representación, tomando como eje oriontal las presiones y como eje vertical las profundidades, proporciona el diagrama de presiones (Fig..6.). or regla general, en la práctica se miden las presiones manométricas o relativas, quedando la epresión anterior reducida a γ, que es la ecuación de una recta que pasa por el origen y forma un ángulo θ con la vertical, de manera que: tg θ γ 0

11 6. resiones sobre superficies planas. on frecuencia, un buen aprovecamiento del agua (agrícola, idroeléctrico, etc.) precisa que sea almacenada para su uso posterior. ara proceder al cálculo de estas estructuras de almacenamiento, el ingeniero debe situar y calcular las fueras que van a actuar sobre las paredes. ualquier pared plana que contenga un líquido (muros, compuertas, depósitos, etc) soporta, en cada uno de sus puntos, una presión que a sido definida como la altura de la superficie libre del líquido al punto considerado, siempre que se trate de recipientes abiertos, que es el caso más frecuente en aplicaciones idrostáticas. or tanto, todas las fueras de presión paralelas, cuya magnitud y dirección se conocen, tendrán una resultante,, que representa el empuje del líquido sobre una superficie plana determinada, cuyo valor y punto de aplicación vamos a determinar. Figura álculo del valor de la presión total. Suponemos una pared inclinada que contiene un líquido y que forma con su superficie libre un ángulo θ, tal como muestra la figura.8., y en ella un elemento diferencial de superficie dω.

12 ε Superficie libre del líquido β θ dw ared α Figura.8. β Traa del plano que forma la superficie libre de un líquido α Traa de una pared plana finita que contiene el líquido (ambas traas respecto al plano del papel) Las traas de ambos planos forman un ángulo cualquiera θ. dω Superficie elemental sumergida, de cota, a una distancia de la traa de ambos planos, ε. La presión que actúa con intensidad uniforme sobre dω es: d dω γ dω d γ ( sen θ) dω La fuera de presión total, p, que actúa sobre la cara de una superficie plana finita será la integral en toda el área ω, puesto que todos los elementos de fuera son paralelos. γ sen θ dω γ sen θ dω [5] ω ω ω dω es el momento estático del área ω respecto a la traa Si es el cdg de dica área, su abcisa valdrá:

13 ω dω dω w ω ω ω d w d w Sustituyendo en [5] quedará: γ sen θ ω γ Z ω ω ω ω La presión total que ejerce un líquido sobre una superficie plana es el producto del área por la presión idrostática que actúa sobre su centro de gravedad. 6.. Determinación del centro de presión (cdp). θ Superficie libre Figura.9. Eje de simetría (pared) La fuera de presión resultante,, cuyo valor se a obtenido en el punto anterior, tiene su aplicación en el centro de presión ( c, y c, c ), como se muestra en la figura.9.

14 ara determinar este punto bastará normalmente, en la práctica, con determinar la coordenada c. ara ello se toman momentos a lo largo del eje de simetría. c d A su ve, d dω γ dω, luego: c como c γ dω γ sen θ γ dω sen θ dω γ sen θ dω La integral dω representa el momento de inercia del área ω respecto a la traa ε, por lo que, aplicando el teorema de Steiner: dω I ω Luego γ sen θ ( I ω) c c γ sen θ ( I ω) γ sen θ ( I ω) γ sen θ ω Ya que Total unitaria ω unitaria γ γ sen θ Si, entonces γ sen θ c ( I ω) ω c I ω 4

15 on lo que se demuestra que el centro de presión está por debajo del centro de gravedad. Si fuera necesario calcular las coordenadas y c, c, las ecuaciones a utiliar serían análogas a las utiliadas para la determinación de c. y c c y γ dω γ γ dω γ y dω dω 6.. asos más frecuentes en la práctica. rimer caso: ared rectangular inclinada El muro (Fig..0) tiene una pared inclinada rectangular que contiene un líquido, de profundidad BD. La recta AB es el eje de simetría de la pared rectangular y contiene el cdg y el cdp. AD representa el diagrama de presión idrostática considerando el líquido de γ (Recordar que p γ ). A θ D / θ B Figura.0. La presión total del líquido sobre la pared, suponiendo que su ancura es b, será: ω γ ω γ sen θ ω 5

16 El cdg coincidirá con en el centro geométrico de la pared. Si AB y ω b Entonces: γ sen θ b γ b sen θ Es el peso del prisma de base y altura b. Esta presión resultante estaría aplicada en: c c I ω b b Segundo caso: ared rectangular vertical A 90º B Figura.. D Es un caso particular del anterior con θ 90º, por lo que sen θ. 6

17 γ b La presión idrostática sobre el elemento de pared AB equivale al peso del prisma de líquido de base triangular ABD y altura b, aplicado en, siendo c. Tercer caso: ared rectangular sumergida e inclinada ε θ d d b b Figura.. La pared rectangular, de superficie ω b, está sumergida a una distancia d de la superficie libre del líquido. Es el caso de una compuerta rectangular (Fig..). La presión total que actúa sobre ella será: ω γ p ω γ sen θ d b γ sen θ 44 ω γ sen θ d b 44 uarto caso: ared rectangular sumergida y vertical 7

18 d aso particular del anterior con θ 90º, por lo que sen θ. ω γ γ d b ω γ ω γ d b Quinto caso: ared circular sumergida e inclinada ε ε θ d d r Figura.. ω γ ω γ sen θ ω siendo: Luego: d r ω π r γ sen θ (d r) π r El cdp estará situado en: 8

19 c I ω d r π D I 64 ω π r 4 ( r) π 64 π r 4 4 c c d r r d r 4 π r 4 4 ( d r) π r ( d r) Seto caso: ared circular sumergida y vertical aso particular del anterior con θ 90º, por lo que sen θ. p γ (d r) π r resión total sobre una pared plana rectangular con líquido a ambos lados. Supongamos una pared rectangular que contiene por ambas caras un líquido de peso específico γ (Fig..4). En este caso, sobre la misma pared se ejercen dos presiones idrostáticas paralelas de sentido contrario. Se trata de determinar la presión resultante p y su punto de aplicación. A A A / / B B 9

20 0 Figura.4. Si y son las profundidades respectivas del agua, la presión a cada lado de la pared (caso de paredes rectangulares verticales) será: b γ b γ uesto que se trata de fueras paralelas y de sentido contrario, la resultante será su diferencia: ( ) b γ ara determinar, se toman momentos respecto a B: B B B B B Sustituyendo los valores de,, B y B, se obtiene: ( ) b b B b γ γ γ B ( ) ( ) ( ) ( )

21 ( ) ( ) B B Que demuestra que el punto de aplicación de la fuera de presión resultante se encuentra por encima del punto, punto de aplicación de la presión. La presión total sobre la pared viene representada por el prisma de presiones de base A A B B y de altura b.