Problemas resueltos Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora (U.SAL.)

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1 Tema 6: FLEXÓN: DEFORONES + Problemas resueltos Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana P.S.-Zamora (U.SL.) - 008

2 6..-La viga de la figura es una PE-60 está sometida a la carga concentrada indicada de 0 kn. alcular por el étodo de la Ecuación Diferencial de la Línea Elástica: ) Ecuación de la Línea Elástica ) Giros de las secciones etremas ) Flecha máima Datos: E,0 5 N/mm R 0 kn m m R álculo de reacciones: Ecuaciones de equilibrio F 0 R + R 0 0 R.4 0. R R,5 kn 7,5kN ) Ecuación de la línea elástica: (fórmula general de la ecuación diferencial de la línea d elástica): d 0,5. d.,5. d d.,5. + d., ,5. 0.( ) 7,5 + 0 d. 7,5. 0 d d. 7, d. 7, álculo de las constantes condiciones de contorno: d d operando se obtiene : d 0 d 4 6, 5 0 4, 5 5 sustituendo estos valores : 4 0 d., , 5 d ( )., , 5. ( ) 4 d., d ( )., , 5. 5 ( )

3 ) Giros de las secciones : d 6, 5 ϑ ( para 0) 0, 04rad 5 8 d siendo: E Kg / cm ( PE 60) 869 cm d, , 5 ϑ ( para 4) 0,0 rad 5 8 d, ) Flecha máima d d d d +,76 m 0 : ma 0 0, , 5 ±, 5 m ( fuera del tramo) 4 : ma 0 0, , 5 6, 4 m ( fuera del tramo), 5., 76 5., , 5., 76 5 ma (, 76 m ) 0, 05,5, m cm

4 6..-En la viga de la figura se pide determinar por el étodo de los Teoremas de ohr: ) Giros de las secciones ) Flecha máima Datos: E,0 5 N/mm, 770 cm 4 0 kn 0 kn R R m m m álculo de las reacciones: por simetría de cargas de estructura: R R 0 kn 0 kn 0 kn θ tag en θ O O O m 0 kn 0 kn,5 m,5 m m 0 O - por simetría de estructura de c arg as ϑ 0 tagϑ 0 ( horiontal) S 0., 5 ϑ ϑ ϑ ( comoϑ 0) ϑ 0, 0077 rad 5 8, S 0.,5 ϑ ϑ ϑ ( comoϑ 0) ϑ 0, 0077 rad 5 8, así pues: ϑ 0, 0077 rad ϑ 0, 0077 rad

5 Q 0.,5.0, 75 0, 0058m 0,58cm, ( < 0 está por debajo dela tan genteen) 0,58 cm 0,58 cm O O O O (..0..) + ( 0.,5., 75) QO 0, 056 m,56 cm, ( < 0 O está por debajo dela tan genteen) O,56 0,58 0,946 cm 0,946 cm O O 0 0, cm X O 946

6 6..-La viga de la figura es una PE-60. alcular por el étodo de los Teoremas de hor: ) Giros de las secciones ) Flecha en ) Flecha máima Dato: E,0 5 N/mm R R 0 kn m m álculo de reacciones: Ecuaciones de equilibrio: F 0 R 0 + R 0 R. 0.4 R R 0kN 40kN h D - 0 D D θ tag en D tag en D D ) Giros en : θ h..( 0).. Q 0, 0466 m ( punto por debajo tan gente en ), , 0466 ϑ. ϑ 0,008 rad ( sentido antihorario, ver figura).. ( 0 S ) ϑ 0,08 ϑ ϑ ϑ ϑ 0, 065rad, ϑ 0, 008rad ϑ 0, 065 rad

7 ) Flecha en :..( 0).( +.) +..( 0).(.) Q 0, 0548m, < 0 está por debajo dela tan gente en siendo : h h 0,0548 0,08 0,0 m, cm ϑ.4 0, ,08 m, cm ) Flecha máima: tramo : siendo D un punto enel que : ϑ 0 ( ver figura) X D D localicemos ese punto D : D S ϑd ϑ ϑd ( comoϑd 0) ϑ sustituendo valores :. D. hd. D.0. D 0,008, D ± m, , hd ( por semejana de tríangulos, ver figura : hd 0. D ) D D ma., 7.0., 7.., 7 D Q 0, 0095 m 0,95 cm, < 0 está por debajo de la tan gente en D (, 7 m 0,95 cm 0,95 cm D D D D Luego comparando valores, la flecha máima en toda la viga será:, cm

8 6.4.-En la viga de la figura se pide: ) Dimensionamiento de la sección a resistencia, empleando criterio plástico ) Dimensionamiento a rigide, empleando la condición: ma L/00 ) Giros de las secciones (alcularlos por los dos étodos estudiados) 4) Flechas en (alcularlas por los dos étodos estudiados) Datos: PE, f 75 N/mm ; γ,; γ,5; E,0 5 N/mm R,5 kn 5 kn knm m m álculo de reacciones: Ecuaciones de equilibrio: F 0 R, , 5kN 0, ,5 kn. m ) Dimensionamiento de la sección a resistencia: tracemos los diagramas de esfueros: + 7 5,5 9,5 V 6,5 6-0 V,5. 0 V,5 V 9, , 5 6, 5. 6,5...,5. 6,5 V,5., 5 V 7 V , 5...,5.( ). 9. 4

9 Dimensionamiento con criterio plástico: ma * pl, d pl d ma 6,5 kn. m W. f 75 sustituendo valores :6, 5.0.,5 W. W 89,.0 mm, entrando en tablas PE PE 60 comprobación a cor tan te V : V,5 kn f * d V Vpl, d v. 6 pl pl siendo : ( area del alma) h. t ( PE 60) mm v 75, sustituendo valores :,5.0., operando :5,5.0 5, 47.0 sí cumple a cor tan te! además : V 5,5.0 < 0,5. V 0,5.5, , 75.0 * pl no es necesario combinar momento flector con fuera cor tan te w ) Dimensionamiento a rigide: X L / 00 tag en Q X (. +,5. 6,5). d.( ) + ( ). d.( ) 0 5 8, , 47 9, 47 L cm PE,., X sí pues para que se cumpla con los dos dimensionamientos: 4 94, 6 80 PE-80

10 ) 4) Giros Flechas en :.- étodo de la Ecuación diferencial de la línea elástica: 0. +, 5. 6, 5 d..., 5. 6, 5 + E d d.., , 5. + d 4..,5. + 6, d E d d d ondiciones de contorno: d d d d d d 0 0, 5 0, 47 4 sustituendo las constantes en las ecuaciones anteriores: 0, ,5. d 5 8 d, ,5 6, , , 5 d 5 8 d, , , 5. 0,47 ϑ d d 0 0 para 0,0099 rad para 0,00m ϑ d d para 0,0050 rad para 0,007 m ϑ 0, 0099rad ϑ 0, 0050rad

11 0,cm 0, cm 7.- étodo de los Teoremas de ohr: R θ,50 kn 5 kn kn/m tag en m m θ 6,5 6 - S ϑ ϑ ϑ ( como ϑ 0) ϑ ϑ (. +,5. 6,5). d 0, , 0099 rad S ϑ ϑ ϑ ( como ϑ 0) ϑ (. +,5. 6,5). d + ( ). d 0 ϑ 0, 0050 rad, Q (. +,5. 6,5). d.( ) 0, ( < 0 el punto está por debajo dela tan genteen ) Q (,5 6,5). d.( ) ( 9 4). d.( , , 00m 0, 00m ) 0,007 m ( < 0 el punto está por debajo dela tan genteen ) 0, 007 m ϑ 0,0099 rad ϑ 0,cm 0,0050 rad 0,7 cm

12 6.6.-En la viga de la figura de sección rectangular de 0 cm 40 cm se pide calcular la flecha en la sección Datos: E,0 4 N/mm 60 kn SEON 60 kn m m 40 cm 0 cm Descompongamos la fuera de 6000 Kg en la dirección de los ejes principales,: 0 tag α α 5,º 5 F F. senα 60. sen5,º 48 Kg F F.cosα 60.cos 5,º 6 Kg R R 48 kn R R 6 kn m m 48 kn 40 cm α 0 cm 60 kn 6 kn álculo de las reacciones: Ecuaciones de equilibrio: F 0 R + R 48 F 0 R + R 6 0 R R.5 6. resolviendo : R 9, kn R 8,8 kn R 4, 4 kn R, 6 kn Los momentos de inercia de la sección serán: con lo cual:, kn. m 4 8, kn. m cm cm 4

13 Diagramas de esfueros: 8,8 kn 9, kn 48 kn 4,4 kn 6 kn m m + 57,6 4, -,6 kn 0 9, , 6 4, , 5 8,8.(5 ) 57, 6 5 0,6.(5 ) 4, 5 0 Por el método de la ecuación diferencial de la elástica: Flechas en plano : 0 9,. 5 8,8.(5 ) 44 8,8. d d. 9,... 8,8. 44 E d d d d. 9,. +. 8, d d. 9, , condiciones de contorno : d d d d operando : 67, 0 8, ,. + 67,. 0 6 ( ) m 0, 4 cm 600

14 4800 Kg 4800 Kg Flechas en plano : 0 4, 4. 5, 6.(5 ) 08 +, 6. d d. 4,4...,6. 08 E + d d d d. 4, 4. +., d d. 4, , condiciones de contorno : d d d d operando : 50, 4 0, , 4. 50, ( ) m 0, 46 cm 8900 alculemos, por el método de los Teoremas de ohr: 4,4 kn 6 kn,6 kn () Si abatimos el plano horiontal hacia el vertical la figura quedará: tag. en 4,4 kn h,6 kn () θ 6 kn

15 4800 Kg 0 4, 4. 5, 6.(5 ) 5 [ ]. d.(5 ) ( 4, 4. ). d.(5 ) +, 6.(5 ). d.(5 ) Q , 0 ( punto por debajo tan gente en ) 0, 0 tagϑ θ 0, 0067 rad ϑ 0, 0067 rad 5 5 h ( ver figura) h tagθ. ϑ. 0, , 0080m. d.( ) Q ( 4, 4. ). d.( ) ( el punto está por debajo dela tan genteen ) h 0, , 004 0, 00458m 0, 004m 0, 46cm ( ) ( ) ( ) ( ) + 0,4 + 0, 46 0, 57 cm 0, 46 tagβ β 5,5º 0,4 48 kn 6 kn () β ()