E.T.S. Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. TEORÍA Tiempo: 1 h.

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1 CONVOC. JUNIO TEORÍA DE ESTRUCTURAS 4 JULIO 2014 TEORÍA Tiempo: 1 h. APELLIDOS: FIRMA: NOMBRE: DNI: La Teoría representa 1/3 de la nota total del examen. Ejercicio 1 (2,5 ptos) Establecer la relación que existe entre los seis esfuerzos a partir de los tres tipos de tensiones que aparecen en una sección. Realizar esquemas del planteamiento. Ejercicio 2 (2,5 ptos) Deducir la expresión del módulo de torsión J para un perfil cualquiera de pared delgada abierto, a partir del cálculo de la función de tensiones o de Prandtl ( ) para un fleje de altura b y espesor e. Imprescindible realizar croquis explicativos. Ejercicio 3 (2,5 ptos) Dadas las estructuras de las figuras descomponerlas aplicando simetría y simplificarlas. Ejercicio 4 (2,5 ptos) Teorema de Reciprocidad de Maxwell-Betti. Considerar para la demostración los esfuerzos axil, flector y cortante. Indicar hipótesis previas y realizar los croquis necesarios. Empiece a responder en esta misma hoja

2 E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos TEORÍA. Convocatoria Junio Ejercicio nº 3 TEORÍA DE ESTRUCTURAS Convocatoria Junio 2014 TEORIA. Pág. 1 de 1

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7 CONVOC. JUNIO TEORÍA DE ESTRUCTURAS 4 JULIO 2014 EJERCICIO 2 Tiempo: 60 min. APELLIDOS: FIRMA: NOMBRE: DNI: Esta parte puntúa con 1/3 de la nota. a) Hallar la ecuación de la línea de influencia de la reacción del momento en A, cuando la fuerza F se desplaza a lo largo de la viga AB en función de la distancia x al extremo A. b) Posteriormente utilizar la expresión obtenida para calcular la reacción del momento en A cuando existe una carga distribuída entre el punto medio de la viga y B de valor 1 t/m. c) Finalmente calcular la reacción del momento en A por algún otro método para verificar que esta es correcta.

8 a) En primer lugar construimos los estados real equivalente y auxiliar: Aplicamos Reciprocidad: F δ v + M A θ A = M A θ A = 0 (puesto que θ A es igual a 0) Seguimos desarrollando y obtenemos la expresión de la línea de influencia: M A = F δv Calculamos δ v por la ecuación de la elástica: θ A M (x) = M A + x L M A = M A ( x L 1) θ (x) = M (x) dx = M A EI EI [(x2 2L x) + C 1] δ v (x) = θ (x) dx = M A EI [(x3 6L x2 2 ) + C 1 x + C 2 ] Impongo que las condiciones de contorno: el desplazamiento vertical en los extremos es 0: Y por tanto: δ v (L) = 0 M A δ v (0) = 0 C 2 = 0 EI [(L3 6L L2 2 ) + C 1 L] = 0 C 1 = L 3 δ v (x) = M A EI [(x3 6L x2 2 ) + L 3 x] El giro por la izquierda del estado auxiliar es el de una viga biapoyada con un momento en el extremo donde se mide el giro, es decir:

9 θ A = M A L 3 EI Con todo esto, la línea de influencia quedará: b) c) M A = F δv M A = θ A = F M A EI [(x3 6L x2 2 ) + L 3 x] M A L 3 EI F ( x3 50 3x2 + x) dx 10 = F ( x3 50 3x x) = 1 ( ) = Un método alternativo podría ser aplicar compatibilidad en el extremo A liberando el giro a cambio de imponer que este sea 0 y posteriormente aplicar superposición y resolver por la elástica (ojo, como tenemos una ley de momentos a trozos, pues cambia en el punto medio, la integramos por separado para cada parte): El giro en el extremo izquierdo para el primer sub-estado, tal y como ya se vio será: θ A I = M A L 3 EI Para el segundo sub-estado aplicaré la elástica, para lo cual necesito las leyes de momentos, calculo pues primero las reacciones: R A II = L 8 R B II = 3 L 8 Con ellas calculo las leyes de momentos y las divido entre EI y las integro dos veces, aplicando como condiciones de compatibilidad que en los apoyos el desplazamiento es 0, tanto entre 0 y 2,5 como entre 2,5 y 5: 0 < x < 2,5 M II (x) = L x 8 θ II (x) = MII (x) dx = L EI 8 EI x2 2 + C 1 δ v II (x) = θ II (x) dx = L 8 EI x3 6 + C 1 x + C 2

10 Como el desplazamiento en A es 0, C 2 es 0, quedando: δ v II (x) = En x = 2,5 el giro y el momento valdrán por la izquierda: L 8 EI x3 6 + C 1 x θ II (2,5) = 1 EI 1, C 1 δ v II (2,5) = 1 EI 1, ,5 C 1 2,5 < x < 5 M II (x) = 3 L (L x) (L x)2 = x2 5 L x + L θ II (x) = MII (x) dx = x3 5 L x2 x L2 + EI 6 EI 16 EI 8 EI + C 3 x4 δ II v (x) = θ II (x) dx = 24 EI Como el desplazamiento en B es 0, C 4 es: x4 δ II v (5) = 0 = 24 EI + 5 L x3 48 EI x2 L 2 16 EI + C 3 x + C L x3 48 EI x2 L 2 16 EI + C 3 x + C 4 Quedando x4 δ II v (x) = 24 EI En x = 2,5 el giro y el momento valdrán por la derecha: C 4 = 5 C L x3 48 EI x2 L 2 16 EI + C 3 x 5 C 3 θ II+ (2,5) = 1 EI ( 0, ) + C 3 δ v II+ (2,5) = 1 EI ( 3,255208) 2,5 C 3 E igualando giros por izquierda y derecha (la viga es continua), obtengo C 1 : Con lo que: 1 EI 1, C 1 = 1 EI ( 0, ) + C 3 1 EI 1, ,5 C 1 = 1 EI ( 3,255208) 2,5 C 3

11 C 1 = 2, EI Y el giro en A para el sub-estado II será: θ II (0) = L 8 EI C 1 = 2, EI E imponiendo que la suma de los giros de los sub-estados I y II sea 0 obtengo M A : θ I (0) + θ II (0) = 0 2, M A L EI 3 EI = 0 M A = 1,3672 Por tanto se confirma lo obtenido por la línea de influencia.