Tema 2. Problemas de equilibrio.

Transcripción

1 Tema 2. Problemas equilibrio. Profesorado Grupo : María Tirado Miranda Grupo : Jorge Portí urán Grupo : rtur Schmitt

2 17. Una varilla de longitud 2R pesop descansa sobre una superficie lisa cilíndrica de radio R. etermine la posición de equilibrio de la varilla. α

3 iagrama de fueras reacciones Los contactos se sustituen por reacciones normales a la superficie en a la varilla en. La figura muestra la barra con las reacciones algunas dimensiones necesarias. N d N R G P α d L = = 2Rcosα 2R Ecuaciones de equilibrio: R = 0 Ncosα Psinα = 0 (1) R = 0 N + Nsinα Pcosα = 0 (2) L M = 0 d N Pcosα = 0 (3) 2 Solución: α = 32.53º

4 etalles sobre la resolución de las ecuaciones de equilibrio L 2R P e (3), N = Pcosα = Pcos α = (4). 2d 2 2Rcosα 2 e (1), R = 0 N = Ptan α (5) Sustituendo (4) (5) en (2), P + P tanα sinα P cosα = 0 (6). 2 e donde, cosα cosα + α α = + α 2 2 Reordenando, cos sin cos 0 1 2cos = α cos α = Las dos soluciones de esta ecuación cuadrática son: cosα1 = α1 = 32.53º Sólo la primera tiene sentido. cosα2 = α2 = º

5 25. La placa de la figura tiene 250 kg de masa se sostiene mediante una bisagra en un cable que pasa por un gancho liso E. etermine la tensión en el cable las reacciones en la bisagra. 0.9m 2.3m E 0.3m 1.5m O 2.25m

6 0.3m T O 0.9m E G iagrama de fueras reacciones 2.3m R T M 1.5m 2.25m P es el peso, G es el centro de gravedad las reacciones eternas a resolver son: T = TE, T = TE, R = ( R, R, R), M = (0, M, M ). P Tenemos 6 incógnitas (las reacciones) que se calcularán resolviendo las seis ecuaciones de equilibrio que se pueden plantear.

7 E = = (0.9,1.5, 2.25) m, E m 1 E = E = (0.316,0.526, 0.789) E T = TE = T(0.316,0.526, 0.789) N E = = ( 2.3,1.5, 2.25) m, E m, T 1 E = E = ( 0.648,0.423, 0.634) E T = TE = T( 0.648,0.423, 0.634) N álculos previos P= (0, P, 0) = (0, 250, 0) kg = (0, , 0) N, aplicado en G(1.6, 0,1.125) m. E 0.3m 0.9m 2.3m 1.5m O G T P R M 2.25m Vectores de posición respecto de : r = ( 0.3, 0, 2.25) m, r = (2.9, 0, 2.5) m, r = (1.3, 0,1.125) m. G

8 Ecuaciones de Equilibrio 1: el sistema no rota respecto de M = (0,0,0) M + r T + r T + r P = (0,0,0) (1) T G 0.9m 2.3m Sistema de 3 ecuaciones linealmente independientes con 3 incógnitas resoluble 0.3m E R M iˆ ˆj kˆ iˆ ˆj kˆ (0, M, M ) T T iˆ ˆj kˆ = (0,0,0) T O G P T 1.5m 2.25m Separando componentes: 1.184T 0.95T = 0 (1.) M T T = 0 (1.) M 0.158T T = 0 (1.) e donde: T = 1292 N, M = 1104 Nm, M = 1809 Nm

9 ( R, R, R ) + (0.316, 0.526, 0.789) T + Ecuaciones de Equilibrio 2: el sistema no se traslada R= (0,0,0) R + T + T + P= (0,0,0) (2) ( 0.648, 0.423, 0.634) T + (0, ,0) = (0,0,0) Separando componentes: R T 0.648T = 0 (2.) R 0.526T T = 0 (2.) R 0.789T 0.634T = 0 (2.) 0.3m T O 0.9m E G 2.3m R M T 1.5m 2.25m e donde: R =(429, 1226, 1839) N. P Solución: R = (429, 1226, 1839) N, T = 1292 N, M = (0, 1104,1809) Nm

10 26. El bastidor se sostiene mediante las rótulas un cable fijo a los puntos G H de la figura que pasa a través de un anillo liso. Si el bastidor soporta en el punto una carga de P=335 N, determine la tensión en el cable. 0.56m 1.4m H G 1.48m 1.2m 1.2m R 0.56m 1.4m G T G T H 1.48m 1.2m 1.2m H R Reacciones eternas: T G = TG T H = TH R = ( R, R, R ) R = ( R, R, R ) 0.8m 0.8m P 0.8m 0.8m P Sistema hiperestático de sustentación de grado 1: No se pueden obtener todas las ligaduras. Sólo se pide T. Varias posibilidades de resolución.

11 Opción 1. Plantear todas las ecuaciones de equilibrio calcular T. Ecuaciones de equilibrio: M = (0,0,0) r TG + r TH + r R + r P= (0,0,0) R= (0,0,0) R + T + T + R + P= (0,0,0) G H Obtenemos un sistema de 6 ecuaciones con 7 incógnitas de la que sólo queremos resolver T. Son muchas operaciones para una sola incógnita. Sería más práctico buscar una sola ecuación donde sólo apareciera la incógnita T. R 0.56m G T G T H 1.4m 1.48m 1.2m 1.2m H R 0.8m 0.8m P

12 Opción 2. Imponer una sola condición: el sistema no rota alrededor del eje Observando el diagrama, se aprecia que la única reacción eterna que actúa fuera del eje es la tensión buscada. Esto significa que es la responsable de ajustar su valor al de P para evitar el giro alrededor del eje. Esto equivale a imponer que se cumpla la ecuación de equilibrio: M eje = 0. Tenemos una sola ecuación (escalar) con una sola incógnita, la tensión buscada. R 0.56m G T G T H 1.4m 1.48m 1.2m 1.2m 0.8m 0.8m P H R

13 Opción 2. Imponer una sola condición: el sistema no rota alrededor del eje El momento respecto de un eje es la proección sobre dicho eje del momento de cada fuera tomado respecto de cualquier punto del eje. ( r R + r TG + M eje = 0 r T + r R + r P) = 0 H R G 0.56m 1.4m H R Por tanto la ecuación de equilibrio es M = 0 r ( T + T ) + r P = 0 { } eje G H Nótese que se toma momento desde para todas las reacciones, ecepto para la articulación en la que se toma desde el propio punto, también del eje. T G T H 1.48m 1.2m 1.2m 0.8m 0.8m P e esta manera se destaca el hecho de que no contribuen al giro respecto de este eje, por ser fueras aplicadas sobre el propio eje.

14 = = + + Opción 2. Imponer una sola condición: el sistema no rota alrededor del eje (1.6,0, 1.2) m, m 1 = = (0.8,0, 0.6) 0.56m 1.4m H r = (0.8,0,0) m, r = (1.6,0,0) m G R R G = ( 0.8,1.48, 0.64) m, G = m T G T H m 1.2m G = = ( 0.44,0.82, 0.36) T G = TG= T( 0.44, 0.82, 0.36) 1.2m H = (0.6,1.2, 1.2) m, G = m 0.8m 0.8m P 1 H = H = (0.33,0.67, 0.67) H T H = TH = T(0.33, 0.67, 0.67) N P= (0, P,0) = (0, 335,0) N

15 Opción 2. Imponer una sola condición: el sistema no rota alrededor del eje Ecuación de equilibrio: M = 0 r ( T + T ) + r P = 0. { } eje G H R 0.56m G 1.4m H R T = T = 0 T = N. T G T H 1.48m 1.2m 1.2m 0.8m 0.8m P

16 27.- La placa de 100 kg de la figura se sostiene por medio de bisagras a lo largo de la arista por el cable E. etermine la tensión en el cable. 30cm E 30cm 10cm 24cm

17 Reacciones eternas a la placa 10cm 24cm 30cm T G R M E R M 30cm Giro libre en torno eje T = TE, R = ( R, R, R), M (,, ) con = M M M M = 0, R = ( R, R, R), M = ( M, M, M ) con M = 0. P Nótese que cada bisagra parece introducir 6 incógnitas, pero la condición de que deja girar libremente en torno al eje definido por, M = 0 M = 0, reduce a 5 las reacciones independientes.

18 Obtención de la tensión del cable uscamos una sola condición. Veamos qué ecuación es la más adecuada. El sistema no rota respecto del eje, luego, en principio, debe cumplirse: M = 0 r T + r R + M + r R + M + r P = 0 { } eje O OG omo r r son nulos, se cumplirá = 0 { ro T M M rog P} esarrollando, = 0 ( r ) O T M M ( rog P) omo M M son perpendiculares al eje, la ecuación del movimiento queda: + = 0 ( r ) O T ( rog P) que es una ecuación donde sólo aparece la incógnita buscada.

19 álculos previos Resolución E = (24,30, 30) m, E = m, E = E = (0.492,0.615, 0.615) E T = TE = T(0.492, 0.615, 0.615) N ro = (0, 0, 30) m, rog = (12, 5, 15) m 2 2 = OF, OF = (24, 10, 0) m, OF = m, 1 = OF = OF = (0.923, 0.385,0) OF P= (0, P,0) = (0, 100,0) kg Ecuación de equilibrio + = 0 ( r ) O T ( rog P) T = T = 0 T = kg

20 28.- etermine las reacciones eternas en la viga Gerber representada en la figura. 3000Kg 9000Kg 3m 2000Kgm 2m 2m 1m 6m 1m 2m 3m

21 iagramas de fueras del sólido compuesto sus partes R N N N 9000Kg 3000Kg 3m E F 2000Kgm Estrategia de resolución: Equilibrio de viga completa (3 ecuaciones 5 incógnitas) 2m 2m 1m 6m 1m 2m 3m Viga completa M E =0 en tramo iquierdo R N N N M F =0 en tramo derecho 3000Kg 9000Kg R F E R E E 3m F F 2000Kgm -R E -R F 2m 2m Tramo iquierdo 1m 6m 1m Tramo central 2m 3m Tramo derecho

22 Obtención de reacciones eternas R N N N 3000Kg 9000Kg 3m E F 2000Kgm Equilibrio global 2m 2m 1m 6m 1m 2m 3m R = 0 R = 0 (1) R = 0 R N N + N = 0 (2) M = N N N = 0 (3)

23 iagramas de reacciones internas R 3000Kg R E Equilibrio del tramo iquierdo E M E = 0 4 R = 0 (4) R = 1500 kg 2m R F 2m N Equilibrio del tramo derecho F 2000Kgm Sustituendo R de (4) N de (5) en (2) (3), M N F = 6317 kg N = 3783 kg. = N = 0 (5) N = 400 kg 2m 3m

24 Solución R N N N 3000Kg 9000Kg 3m E F 2000Kgm Solución: R = 0, R =1500 kg, N = 6317 kg, N = 3783 kg N = 400 kg 2m 2m 1m 6m 1m 2m 3m

25 29.- etermine las reacciones eternas en un arco triarticulado sometido a una carga de kg de la figura. etermine asimismo la reacción que ejerce la articulación sobre la mitad iquierda del arco kg 5m 3m 10m 10m

26 3m R iagramas de fueras del sólido compuesto sus partes 10m 2000 kg 10m Sistema completo 5m R Estrategia de resolución: equilibrio de sistema completo equilibrio del tramo iquierdo (6 ecuaciones 6 incógnitas) Obtención de R, R R. 3m R R -R 2000 kg 5m omprobación de resultados: el equilibrio del tramo derecho proporciona 3 ecuaciones de comprobación. 10m Tramo iquierdo 10m Tramo derecho

27 Resolución R 2000 kg 5m R 3m Equilibrio global: 10m Sistema completo 10m R = 0 R + R = 0 (1) R = 0 R + R = 0 (2) M = R = 0 (3) Solución: e (3), R = kg. Sustituendo R en (2), R = 5000 kg. (1) queda pendiente de resolver.

28 Resolución R R 3m 10m Equilibrio tramo iquierdo: R = 0 R + R = 0 (4) R = 0 R + R = 0 (5) M = 0-10 R +3R = 0 (6) Tramo iquierdo Solución: e (5), e (6), R R = kg. = kg. Sustituendo los resultados a obtenidos: en (1), R = kg. en (4), R = kg.

29 Las tres ecuaciones de equilibrio del tramo derecho representan tres comprobaciones kg 5m omprobación -R 10m Tramo derecho Si el resultado es correcto, deben cumplirse las ecuaciones de equilibrio para el tramo derecho. R = 0 R + ( R) = 0 (7) R = 0 R + ( R) = 0 (8) M = R +3R = 0 (9) Sustituendo los valores obtenidos para las reacciones en (7) (8) (9), se comprueba que se cumplen las igualdades: R + ( R ) = ( ( 16667)) = 0 (7) R + ( R ) = ( ( 5000)) = 0 (8) R +3R = ( ) = 0 (9) de modo que se puede asegurar que la solución es correcta.