CAPÍTULO II SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS

Transcripción

1 esistencia de ateriales. Capítulo II CPÍTULO II SISTES EQUIVLENTES DE UEZS.. Introducción Para poder realiar un estudio de los sistemas equivalentes de fueras, se requiere tener previamente identificadas las fueras eternas por ser éstas las responsables del comportamiento eterno del sólido rígido son producidas por la acción de otros cuerpos sobre éste haciendo que se mueva o permaneca en reposo. Las fueras internas de un sólido rígido son las que mantienen unidas entre sí las partículas o, en el caso de un sólido compuesto por distintas partes, mantienen unidos los elementos constituentes... omento de una fuera respecto de un punto O d r igura.. omento de una fuera respecto de un punto. Se tiene una fuera que actúa sobre un cuerpo; tomando un punto de referencia O, la fuera produce un momento respecto de este punto. Este momento es el producto vectorial entre el vector de posición r. r es el vector posición del punto de aplicación de la fuera Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -

2 esistencia de ateriales. Capítulo II La dirección de O r o es perpendicular al plano definido por r. El sentido se obtiene usando la regla de la mano derecha. La interpretación física del momento o r es que representa la tendencia a poner el sólido en rotación debido a la aplicación de. Por las propiedades del producto vectorial se tiene que la componente perpendicular de la fuera respecto de es la que produce momento, a que la otra componente resulta paralela a r. r o r o rsen r sen d El módulo del momento es el producto de la distancia más corta a la línea de acción de la fuera multiplicada por el módulo de la fuera. Dicha distancia traada desde O corresponde a la perpendicular traada desde O hasta la línea de acción de. Se puede enunciar nuevamente el principio transmisibilidad de las fueras diciendo que dos fueras son mecánicamente equivalentes si sólo si son iguales (es decir tienen el mismo módulo, dirección sentido) sus momentos respecto a un punto O cualquiera son también iguales. ' ' = o o... Coordenadas rectangulares de los momentos El momento puede escribirse como: o además o con lo cual = Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -

3 esistencia de ateriales. Capítulo II = =... Cálculo del momento, respecto de un punto distinto del origen del sistema coordenado. En el caso de dos puntos cualquiera del espacio (,,) (,,), el momento respecto de, viene dado por: r igura.. omento de una fuera dados dos puntos. En que: Problema.: Determinar el momento en producido por la fuera de N C 3º N mm 4 mm igura.3. Problema.. Solución:,4, r c Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -3

4 esistencia de ateriales. Capítulo II r c,4 6 3, 6 4,7 ( Nm) Problema.: Determinar en la figura.4 (a) omento de respecto a D. (b) El módulo sentido de la fuera horiontal que aplicada en C produce el mismo momento respecto a D. (c) La mínima fuera que aplicada en C produce el mismo momento respecto a D. (d) La mínima fuera que aplicada en E produce el mismo momento en D. 5 mm 3 mm 5 (N) 6º D 5 mm 5 mm C E igura.4. Problema.. (a),3;,5 5 sen 3º, 5 cos 3º r D D,3 75, ,5 N m (b).5; -.5 r c D.5.5 3, N es hacia la iquierda (c) D con,5 ˆ 9 k ( Nm) r.5,.5 c Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -4

5 esistencia de ateriales. Capítulo II D , 5 + = -3, (N) La fuera mínima se obtiene minimiando la función sujeta a la restricción 3, ( N). En este caso corresponde a 65,55 ( N). (d) , 5 La fuera mínima corresponde al mínimo de la función sujeta a la restricción.3,5 9,5 ( N). La solución corresponde a 47, ( N) 6,93( N). Problema.3: Un poste de 6m de longitud está sostenido por dos tirantes según se indica. Determinar el momento respecto a C de la fuera de 84 N ejercida por el tirante E en el punto. Se sabe que la tensión T en el tirante E es 84 N. 6 m 84 N C m 3 m 3 m 3 m m r r rc ˆ E igura.5. Problema.4. 3,4, 3 re r r r E , 6, 3, 6, Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -5

6 esistencia de ateriales. Capítulo II c ˆ i 3 6 N m.3. Teorema de Varignon El momento respecto de un punto O de la resultante de varias fueras concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fueras respecto al mismo punto O. 3 r r igura.6. Teorema de Varignon.... r r... Para la siguiente sección se debe tener presente lo siguiente: El producto escalar (producto punto) de dos vectores es: a b ab cos a b cos en que b cos corresponde a la proección de siguiente figura. b sobre a, tal como se muestra en la Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -6

7 esistencia de ateriales. Capítulo II b Por lo tanto, el producto punto entre dos vectores equivale a multiplicar el módulo de uno por la proección del otro sobre él..4. omento de una fuera respecto de un eje dado Sea una fuera que actúa sobre un sólido rígido sea O el momento de dicha fuera respecto a O. Sea OL un eje que pasa por O. Se define el momento OL de respecto a OL como la proección OC del momento que OL es escalar. ˆ b cos OL OL ˆ r a O respecto a OL. Notar ˆ es el vector director de la recta OL También OL L o ˆ r igura.7. omento respecto de un eje. (,, ) son los cosenos directores de la recta OL Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -7

8 esistencia de ateriales. Capítulo II (,, ) son las coordenadas de (,, ) son las componentes de la fuera El momento OL de respecto a OL mide la tendencia de la fuera a imprimir al sólido rígido un movimiento de rotación alrededor del eje de rotación OL..5. omento respecto de un eje que no pasa por el origen La recta LL no pasa por el origen del sistema coordenado. La fuera está aplicada en. Los puntos C, pertenecen a la recta LL. l escoger el punto, se puede definir r como: L r C ˆ L` igura.8. omento respecto de un eje que no pasa por el origen. L r r r ˆ ˆ r L Z Problema.4: omento respecto de un eje. Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -8

9 esistencia de ateriales. Capítulo II D 5 mm 65 N C mm 5 mm 5 mm 3 mm igura.9. Problema.4. Dos varillas se sueldan para formar una palanca en forma de T sobre la que se aplica una fuera de 65 N según se indica en la figura. Determinar el momento de la fuera respecto de la varilla. Solución: ˆ.3ˆ i,.5.35 Se determina el momento respecto de un punto de. Si se toma como punto de momento r C.3ˆ i.5 l descomponer la fuera r ˆ C ehacer el problema con tg ˆ i..5 9 N m escalar! r C,6º ( N m) Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -9

10 esistencia de ateriales. Capítulo II.6. omento de un par Se llama par al sistema formado por dos fueras que tienen el mismo módulo sentidos opuestos. El efecto de estas fueras al actuar sobre un sólido rígido es netamente de rotación a que la resultante es nula. No se produce traslación pero la suma de momentos no es nula. r r r r r r r r r igura.. omento de un par de fueras. Este es el vector momento del par según la normal al plano de las fueras. Tal como se ilustra en la siguiente figura, el módulo del momento producido por un par de fueras, equivale al producto de la fuera por la distancia entre ambas fueras. r r sen r rsen=d d igura.. ódulo del momento de un par de fueras..7. Pares mecánicamente equivalentes Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -

11 esistencia de ateriales. Capítulo II Dos pares o sistemas de fueras son mecánicamente equivalentes (es decir producen el mismo efecto sobre el sólido rígido) si puede transformarse el uno en el otro mediante una o varias de las operaciones siguientes: i) Sustituendo dos fueras que actúan sobre la misma partícula por su resultante. ii) iii) iv) Descomponiendo una fuera en dos componentes. nulando fueras iguales opuestas que actúan sobre la misma partícula. plicando a una partícula dos fueras iguales opuestas. demás v) oviendo una fuera a lo largo de su línea de acción. Dos pares que tienen el mismo momento son necesariamente equivalentes. = d Si = = = d los pares de fuera, -, - son mecánicamente equivalentes. Qué sucede con los pares que no son equivalentes? Los pares que no son equivalentes, es decir, que producen momentos distintos sobre el cuerpo rígido, se pueden sumar, obteniendo un único momento resultante el cual se puede transformar en un nuevo par de fueras equivalentes que producen el mismo efecto sobre el cuerpo que los dos pares originales. También se puede seguir el camino equivalente de sumar las fueras obteniendo un par resultante, es decir, se tienen dos planos que contienen dos pares de fueras con respectivamente. Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -

12 esistencia de ateriales. Capítulo II r r r igura.. Pares que no son equivalentes. r r r.8. Descomposición de una fuera dada en una fuera un momento Se tiene una fuera que actúa sobre un sólido rígido en un punto. Se desea trasladar paralelamente esta fuera a otro punto O del cuerpo. Como este nuevo punto no está contenido en la línea de acción de la fuera, no se puede aplicar el principio de transmisibilidad, por lo cual se recurre a aplicar dos fueras a, con la misma dirección, pero opuestas entre sí. Hasta el momento, el efecto sobre el sólido no ha variado, a que las dos fueras agregadas no producen ninguna variación. Entonces se puede reemplaar el par formado por la fuera original, quedando la nueva fuera en el punto requerido sin que el cuerpo haa sufrido alteración alguna. El punto de aplicación de O puede ser cualquiera del cuerpo. Por lo tanto, cualquier fuera que actúa sobre el sólido rígido puede ser trasladada a un punto arbitrario O, añadiendo un par cuo momento sea igual al efecto de respecto de O. Qué pasa si se aplica en O? El trasladar una fuera desde un punto a otro, puede entenderse mejor con auda de la figura.4. En un trampolín, una persona parada en el etremo ejerce una fuera P; además, el trampolín tiende a girar en torno del apoo. l desplaarse dicha persona hasta el apoo, la fuera P deja de ejercer momento, por lo que dicho momento debe ser impuesto eternamente para asegurar que los efectos sean los mismos en ambos casos. Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -

13 esistencia de ateriales. Capítulo II r r r igura.3. Traslación de una fuera. P P igura.4. Ejemplo de traslación de una fuera. Problema.5: Determinar a qué distancia de se encuentra la recta soporte de la resultante de las tres fueras cuando a) a = m b) a =,5 m c) a =,5m. 4 kn kn m m a 8 kn igura.5. Problema.5. Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -3

14 esistencia de ateriales. Capítulo II Solución: a) ( 4 ˆ) j 3ˆ i a 8( ˆ) j 6 knm 8 4 kn 6.6( m) ˆ b) k knm m ˆ c) 8k knm. m 8.9. Sistemas de fueras mecánicamente equivalentes Dos sistemas de fueras son mecánicamente equivalentes si pueden producir el mismo sistema fuera-par aplicado en un punto. Otra forma de enunciar lo mismo es: dos sistema de fueras,, 3.,, 3 son mecánicamente equivalentes si sólo si la suma de las fueras la suma de los momentos respecto de un punto O dado son, respectivamente iguales. = o = o.. Casos particulares de reducción de un sistema de fueras Caso I. l reducir el sistema de fueras a una fuera un par sólo se obtiene el momento por ser nula la resultante de las fueras. Caso II. El par resultante es nulo por lo tanto el sistema de fueras se reduce a única fuera. Los sistemas de fueras que pueden reducirse a una sola fuera o resultante son aquellos para los que la fuera resultante el vector del par perpendiculares entre sí. Esta condición se satisface en sistemas formados por: a) ueras concurrentes b) ueras coplanares c) ueras paralelas o son Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -4

15 esistencia de ateriales. Capítulo II - igura.6. Sistemas equivalentes de fueras. a) ueras Concurrentes: Están aplicadas sobre el mismo punto pueden sumarse directamente reemplaándolas por la resultante no ha momento por ser d= b) ueras Coplanares: En este caso, la resultante de las fueras el momento son perpendiculares por ser el momento normal al plano de las fueras. Por lo tanto, al desplaar la fuera una distancia d o del punto O se elimina el momento, quedando reducido el sistema a una única fuera. c) Caso de fueras paralelas. Suponiendo que todas las fueras que actúan sobre un sólido rígido son paralelas al eje, entonces la resultante será necesariamente perpendicular con el momento o contenido en el plano. Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -5

16 esistencia de ateriales. Capítulo II O d igura.7. Sistemas equivalentes de fueras. X r 3 Z igura.8. Sistemas equivalentes de fueras. Para reducir el nuevo sistema fuera-par, se puede trasladar la fuera a un nuevo punto de aplicación de coordenadas (,,) elegido de forma que el momento de respecto de O sea igual a O. r O naliando el caso general en que las fueras se encuentran en cualquier dirección en el espacio, no tiene por qué cumplirse que sea perpendicular con O, pero el momento se puede descomponer en una componente paralela a una perpendicular. Luego, trasladando el punto de aplicación de desde O hasta un Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -6

17 esistencia de ateriales. Capítulo II punto situado a una distancia d el sistema se reduce a una fuera un momento dirigidos según la misma línea de acción, a que el momento se puede aplicar sobre cualquier punto del plano normal a él. o O O igura.9. Sistemas equivalentes de fueras. Problema.6: Para apretar la unión entre la llave la tubería C, se utilian dos llaves inglesas que, al ejercer una fuera de 5 N sobre cada llave en forma perpendicular a las llaves, se evita la rotación de la tubería con ello evita apretar más la unión en C. oscas derechas medidas en mm. Sustituir las dos fueras dadas por un sistema equivalente fuera par en D determinar si éste tiende a apretar o soltar las uniones en a) D b) E. Solución: Descomposición de las fueras 5 5 sen 37º trasladando a D cos 53º.4 mm.m sen53º.6m rd r D.3ˆ i.ˆ k.ˆ i cos 37º Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -7

18 esistencia de ateriales. Capítulo II E D 3 C 5N 4 3 5N 3 53º 4 igura.. Problema.6. D rd D rd ˆ i 4 5 Z D.3ˆ i.ˆ k 5 5ˆ i 75.ˆ i sen 37º 4 5 cos 37º a) preta b) preta N m N N 95ˆ i 4 3 Universidad de Santiago de Chile. ac. de Ingeniería. Departamento de Ing. etalúrgica. -8