2. MOMENTOS Y SISTEMAS EQUIVALENTES Sistemas equivalentes de fuerzas

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1 2. MOMENTOS Y SISTEMAS EQUIVALENTES 2.1. Sistemas equivalentes de fuerzas En los temas anteriores se vio que cualquier sistema de fuerzas que actúe sobre un cuerpo rígido puede ser reducido a un sistema de fuerza-par equivalente se caracteriza completamente el efecto del sistema dado sobre el cuerpo rígido. Por consiguiente, dos sistemas de fuerzas son equivalente si pueden ser reducidos al mismo sistema fuerza-par en un punto dado O.. Recordando que el sistema fuerza-par en O se define por las relaciones R = F M = M = r F establecemos: O R y ( ) O Dos sistemas de fuerzas F 1,F 2,F 3,F 4,F 5 etc.. y F 1,F 2,F 3, etc., son equivalentes, si y solamente si la sumas de las fuerzas y la sima de los momentos de las fuerzas con respecto a un punto dado O de los dos sistemas de fuerzas son respectivamente iguales.. Expresadas matemáticamente, las condiciones necesarias y suficientes para que dos sistemas de fuerzas sean equivalentes son F = F y M = o M o Obsérvese que, para verificar que dos sistemas de fuerzas son equivalente, la segunda de las relaciones anteriores descritas, necesita ser establecida con respecto solamente a un punto O. Sin embargo, será válida con respecto a cualquier punto, si los dos sistemas son equivalentes. Descomponiendo las fuerzas y los momentos de las relaciones anteriores en sus componentes rectangulares, podemos expresar algebraicamente las condiciones necesarias y suficientes para que dos sistemas de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido sean equivalentes, de la siguiente manera: F x = F x F y = F y M x = M x M y = M y M F z = F z = z Mz Estas ecuaciones tienen un significado físico sencillo. Expresan que dos sistemas de fuerzas son equivalentes si tienden a impartir al cuerpo rígido: 1.- la misma traslación en las direcciones x, y, y z. respectivamente. 2.-el mismo movimiento de rotación alrededor de los ejes x, y, y z. respectivamente Momento de una fuerza con respecto a un punto pág. 1

2 Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición r de la fuerza por el vector fuerza F. M=r F La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado físico de la magnitud momento, y a determinar correctamente el módulo, la dirección y el sentido del momento de una fuerza: El módulo es el producto de la fuerza por su brazo (la distancia desde el punto O a la recta de dirección de la fuerza). M=Fd La dirección perpendicular al plano que contiene la fuerza y el punto, la que marca el eje del tornillo. El sentido viene determinado por el avance del tornillo cuando hacemos girar a la llave. Ejemplo Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres tornillos en la forma indicada por las figuras. Se aplica una fuerza F en el extremo de la llave. Es fácil contestar a las siguientes preguntas: pág. 2 En qué situaciones se introduce el tornillo? En que situaciones se saca el tornillo? Cuáles producen el mismo resultado o son equivalentes?. En la primera figura, el tornillo avanza en una dirección perpendicular al plano de la página, y hacia el lector. El módulo del momento es F d. En la segunda figura, el tornillo avanza en una dirección perpendicular al plano de la página, y hacia dentro (sentido contrario al anterior). El módulo del momento es F 2d. Con una llave más larga estamos en una situación más favorable que disponiendo de una llave más corta. En la tercera figura, el tornillo avanza en una dirección perpendicular al plano de

3 la página, y hacia el lector. El módulo del momento es F sen30 2d=F d. Esta situación es equivalente a la primera. Un momento se considera positivo si el tornillo sale, avanza hacia el lector, la llave gira en sentido contrario a las agujas del reloj. Un momento se considera negativo si el tornillo entra, la llave gira en el sentido de las agujas del reloj. Supongamos una barra de masa despreciable, que está sujeta por su extremo O. Si colocamos un peso P a una distancia x del origen. El momento de esta fuerza respecto del origen O es P x. Para que la barra está en equilibrio la fuerza F deberá ser tal que el momento total sea nulo. -F d+p x=0, de modo que F=P x/d Teorema de Varignon para fuerzas concurrentes La propiedad distributiva de los productos vectoriales puede utilizarse para determinar el momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes. Si varias fuerzas F 1, F 2,, se aplican al mismo punto A ver figura (a) z F 4 F 3 A O r F 1 F 2 x figura 1 y P Q 1 + Q = P Q + P Q y si llamamos r al vector de posición de A, de la formula ( 2 ) 1 2 se concluye inmediatamente que r ( F + F + K ) = R F + R + L F2 pág. 3

4 En palabras, el momento con respecto a un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas con respecto al mismo punto O. Esta propiedad fue originalmente establecida por el matemático francés varignon( ) mucho antes de la introducción del algebra vectorial, y se conoce como el teorema de varignon. La relación(fig1) hace posible la determinación del momento de una fuerza F por el calculo de los momentos de dos ó mas fuerzas componentes. Como se vera en la sección siguiente, F podrá generalmente descomponerse en componentes paralelas a los ejes coordenados. sin embargo en algunos casos puede lograrase más rápidez al descomponerse F en componentes no paralelas a los ejes coordenados Ejemplo Una fuerza de 30 lb actúa sobre el extremo de una palanca de 3 pies como se muestra en la figura. Determinar el momento de la fuerza con respecto a O lb 3P O 50 Solución reemplazamos la fuerza por dos componentes, una componente P en la dirección OA y otra componente Q perpendicular a OA. Como O está sobre la línea de acción de P el momento de P con respecto a O es cero y el momento dela fuerza de 30 lb se reduce al momento de Q, cuyo sentido es el movimiento de las aguas del reloj y por tanto se representa por un escalar negativo. Q=(30lb)sen 20 =10.26 lb Mo=-Q(3P)=-(10.26lb)(3P)=-30.8lbP Como el valor encontrado para el escalar Mo es negativo, el momento Mo entra al plano. Escribimos Mo=30.8lbp pág. 4

5 r r r r 2.4. Componentes rectangulares del momento de una fuerza Se define Momento de una Fuerza, como el efecto de giro que produce ésta sobre un cuerpo y que se puede cuantificar como: r r r M = F Ecuación 1 En palabras, el efecto de giro que produce una fuerza sobre un cuerpo se mide como el producto vectorial del vector posición (r r ), por la fuerza (F r ), y podemos calcularlo mediante el determinante: r r r M = F = i s j r k r r x r y r z F X F Y F Z Donde r x, r y, r z y F X, F Y, F Z, son las componentes del vector posición y de la fuerza, respectivamente. En general, el vector Momento se puede expresar en función de sus componentes rectangulares: r M = M X r i + M Y r j + M Por definición de producto vectorial de dos vectores, el vector Momento tiene: Z r k Ecuación 2 * Dirección: perpendicular al plano formado por y F r. * Sentido: dado por la regla de la mano derecha, esto es, cerrando los dedos en el sentido de giro, o bien tratando de hacer colineal sentido. r r con F r, y el pulgar indicará el * Módulo: bien: M = M + M + M 2 X 2 Y 2 Z r r M = F = r F senθ Ecuación 3. O Ecuación 4 Donde r y F son los módulos de vectores. y F r, respectivamente y es el ángulo entre los Las dimensiones del Momento son: M L 2 T -2. Analicemos un poco más el ejemplo de la figura 4. Dibujemos la línea de acción de F r, y desde el centro de giro (punto A ), tracemos una pág. 5 A r r θ F r P θ

6 perpendicular hasta la línea de acción de F r. Podemos observar que esa distancia ( b ), es igual a: b = r sen Ecuación 5 Esta distancia recibe el nombre de Brazo de la Fuerza. Figura 5 Si observamos la ecuación 4, entonces el módulo del Momento lo podemos escribir como: M = b F Ecuación 6 De aquí podemos concluir que el efecto de giro o Momento de una fuerza, no depende del punto de aplicación de ésta, sino de la menor distancia de su línea de acción al centro de giro (brazo), y del módulo y dirección sentido de la fuerza. En efecto, si retomamos el ejemplo de la figura 1, podemos, abrir o cerrar la puerta desde dentro o desde fuera; además, mientras menor sea la distancia desde la cerradura al punto B (brazo de la fuerza), mayor debe ser el módulo de la fuerza para producir el mismo efecto. Considerando todo lo expuesto hasta ahora, podemos inferir que el Momento será cero si: * La línea de acción de la fuerza, pasa por el centro de giro, ya que en este caso el brazo es cero (no existe). Esto es lo mismo que si tratásemos de abrir o cerrar una puerta empujando por las bisagras. * F r es cero (evidentemente). Podemos calcular también el módulo del Momento de la siguiente manera: por definición, sabemos que: M = r F sen Descompongamos la fuerza en dos direcciones perpendiculares, como se muestra en la figura 6: F r P F r θ * Una en la dirección del vector posición: F r r, de módulo F r = F cos, y cuyo Momento respecto a A es Cero ( Por qué?) r r P F r r * Otra en dirección Perpendicular al vector posición: F r P, de módulo: A F p = F sen Ecuación 7 Figura 6 pág. 6

7 Podemos también observar en la figura 6, que el módulo del vector posición, coincide con el brazo de F r P (por ser ambos vectores perpendiculares entre sí), y así podemos calcular el módulo del Momento como: M = r F P Ecuación 8 En el desarrollo que hemos hecho hasta ahora, hemos supuesto implícitamente que el origen de nuestro sistema de referencia coincide con el centro de giro. Esto no tiene porque ser cierto. Supongamos un cuerpo cualquiera que puede girar sobre un punto A, como se observa en la figura 7. X Z r r A A r r r B B F r Y A este punto asociamos el vector r A (vector con origen en el origen de coordenadas y extremo en el punto A ). En el punto B del cuerpo se encuentra aplicada la fuerza F r ; también a este punto, asociamos un vector r B. Figura 7 Según la definición que hemos dado de vector de posición de la fuerza (vector con origen en el centro de giro y extremo en el punto de aplicación de la fuerza), podemos observar en la figura 7, que en este caso, el Vector de Posición de la Fuerza es el Vector r, el cual es igual a: r = r B r A Ecuación 9 Así el Momento lo podemos calcular como: r M r r = F = i r j r k r (B X -A X ) (B Y -A Y ) (B Z -A Z ) Donde A X, A Y, A Z Y B X, B Y, B Z, son las componentes de r A y F X F Y F Z r B, respectivamente. pág. 7

8 2.5. Momento de una fuerza con respecto a un eje y momento de un par Retomando el concepto de momento de una fuerza con respecto a un punto se puede hacer notar que las componentes rectangulares [Fig. 1-16], que representan la tendencia a la rotación alrededor de los ejes coordenados se obtienen proyectando el momento ejes así: sobre cada uno de los Figura 1-16 Donde son los cósenos directores del vector. En forma vectorial las ecuaciones anteriores se pueden expresar como: Para determinar el momento de una fuerza con respecto a cualquier otro eje, por ejemplo el eje OL, que pasa por O, [Fig. 1-17], se proyecta el momento sobre el eje tal que: Figura 1-17 pág. 8

9 O en forma vectorial: Donde es un vector unitario dirigido en la dirección OL. Se debe hacer notar que el momento así definido es un escalar; puesto que el momento con respecto a un eje es un vector; para expresarlo como tal, se multiplica su magnitud por el vector unitario dirigido sobre su línea de acción así: [1-14] Para hallar una expresión más general del momento de una fuerza con respecto a un eje consideremos la figura Sea P un punto cualquiera sobre el eje OL, como: Figura 1-18 [1-15] De la figura se ve que y que entonces: Como es cero, resulta que [1-16] pág. 9

10 Pero es el momento de la fuerza con respecto a P; por consiguiente se puede decir que el momento de una fuerza con respecto a un eje es igual a la proyección sobre él mismo, del momento del la fuerza con respecto a cualquier punto contenido en el eje. Aunque las ecuaciones [1-15] y [1-16], expresan que: No se puede afirmar, desprevenidamente, que sea igual a, esto es; que el momento de respecto a O sea igual al momento de con respecto a P. Lo que las ecuaciones [1-15] y [1-16] indican es que la proyección de y sobre el eje OL son iguales.para entender esto, véase la figura Figura 1-19 Para comprender mejor física y geométricamente el momento de una fuerza con respecto a un eje, consideremos la figura Por un punto A sobre la línea de acción de la fuerza se puede trazar un plano P perpendicular al eje OL. En general la fuerza se puede descomponer en Entonces el momento con respecto al eje será de magnitud donde d es la distancia perpendicular entre y OL.Ahora bien, la componente se puede descomponer, en general, en una componente radial y una componente dos fuerzas y, siendo tangencial ; obviamente no produce momento con respecto a OL, entonces podemos concluir que la paralela al eje y la componente única fuerza que produce momento respecto a un eje perpendicular al eje contenida en el es la componente tangencial y que el valor de dicho plano P. Como ya se mencionó, la componente momento es no produce momento. respecto a OL. pág. 10

11 Figura 1-20 Un par de fuerzas, o simplemente un par, son dos fuerzas iguales, de sentido contrario y no colineales. En la figura 1-14 se representa un par de fuerzas actuando sobre un cuerpo y los vectores de posición y en dos puntos sobre sus respectivas líneas de acción. El momento con respecto a O del par de fuerzas será: Figura 1-14 pág. 11

12 En la figura 1-15 se puede ver que el momento de un par es un vector perpendicular al plano definido por las rectas de acción de las fuerzas y su sentido cumple con la regla de la mano derecha. La magnitud del momento del par es Figura 1-15 Es importante anotar que el momento del par es independiente del origen de coordenadas puesto que lo es, por esto se dice que el momento de un par de fuerzas es un vector libre. Como el efecto de traslación de un par es nulo ya que son dos fuerzas iguales y de sentido contrario, el único efecto de un par es tender a rotar el cuerpo alrededor de un eje perpendicular al plano definido por las fuerzas. Por esta razón un par de fuerzas se especifica habitualmente por el momento que produce, a este momento se le designa simplemente par Sistemas equivalentes de fuerzas y sistemas equipolentes de vectores Cuando dos sistemas vectoriales satisfacen las ecuaciones = F M = F y o M o Es decir, cuando sus resultantes y sus momentos resultantes con respecto a un punto arbitrario O son respectivamente iguales, se dice que los dos sistemas son equipolentes. el resultado obtenido enla sección anterior puede volverse a establecer de la siguiente manera: Si dos sistemas de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido son equipolentes, también son equivalentes. Es importante notar que esta afirmación no es aplicable a cualquier sistema de vectores. Consideraremos, por ejemplo, un sistema de fuerzas que actúa sobre las mismas partículas puede que sea equipolente al primero, es decir, puede que tenga la misma resultante y el mismo momento resultante. Pero como ahora actúan fuerzas diferentes sobre diferentes partículas, sus efectos sobre estas partículas serán distintos, los dos sistemas de fuerzas, aunque son equipolentes no son equivalentes. Resumiendo podemos establecer que dos sistemas equipolentes de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido son equivalentes. Similarmente, dos sistemas equipolentes de vectores no serán en general equivalentes. pág. 12

13 Bibliografia Alonso, M. Y Finn E. Física. Volumen I. Fondo Educativo Interamericano. México, Alonso M. Y Rojo O. Mecánica y Termodinámica. Fondo Educativo Interamericano. México, Beer, Ferdinand y Johnston, E. Russell. Mecánica Vectorial para Ingenieros. Ed. Mc. Graw Hill. 4ta. Edición. Nara, Harry R. Mecánica Vectorial para Ingenieros. Volumen I: Estática. Editorial Lumusa, México Santaló, L. Vectores y Tensores con sus Aplicaciones. Editorial Universitaria de Buenos Aires, Sears F., Zemansky M. Y Young H. Física Universitaria. Sexta edición. Addison Wesley Iberoamericana. Wilmington, Delaware, USA Serway, Raymond A. Física. Cuarta edición. Editorial McGraw-Hill, México Tipler, P. Física I. Tomo I. Editorial Reverté. Barcelona España, pág. 13

14 Actividades adicionales 1.- Una bala de 100 g que lleva una velocidad horizontal de 50 m/s choca con el centro del cilindro de un péndulo. Después del choque la bala se mueve con una velocidad de 40 m/s. El péndulo gira alrededor de O y está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud, y un cilindro de 500 g de masa y 5 cm de radio. Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia del choque y la energía perdida en el mismo. Momentos de inercia: I varilla=ml 2 /12 respecto a un eje que pase por su c.m. perpendicular a la varilla, I cilindro=mr 2 /2 respecto a un eje perpendicular a la base que pase por su c.m. 2.- Una bala de 100 g de masa y 25 m/s de velocidad choca con una varilla delgada de masa M = 0.9 kg y longitud L = 45 cm, empotrándose en la misma 35 cm por debajo de su extremo superior. La varilla puede girar libremente alrededor de un eje perpendicular al plano del papel, que pasa por O. Determinar la velocidad angular del sistema varilla-bala inmediatamente después del choque. Qué principio físico aplicas? Por qué? Calcular el máximo desplazamiento angular del sistema varilla-bala. Calcular el momento resultante de las fuerzas aplicadas cuando el ángulo de desviación es de 120º. Cuánto valdrá la aceleración angular en ese punto? pág. 14 Dato: el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular que pasa por el centro de masas es I c =ML 2 /12.