Estática Profesor Herbert Yépez Castillo
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- María del Carmen Vidal Ortiz de Zárate
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1 Estática Profesor Herbert Yépez Castillo
2 Introducción 4.1 Momento de una fuerza ormulación Escalar 4.2 Producto Cruz 4.3 Momento de una fuerza ormulación Vectorial 4.4 Principio de momentos 4.5 Momento de una fuerza respecto a un eje 4.6 Momento de un par 4.7 Sistemas Equivalentes 4.8 Reducción de un Sistema de fuerzas 4.9 Reducciones adicionales de un Sist. de fuerzas 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 2
3 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 3
4 4.6 Momento de un par d Un par se define mediante: 2 fuerzas: Paralelas De igual magnitud Dirección opuesta Separadas por una distancia d = 0 Tendencia a rotar Entonces, Momento de un par se define como la suma de momentos de ambas fuerzas respecto a cualquier punto arbitrario. 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 4
5 4.6 Momento de un par Momento respecto a B z r A M o = r A + r B M o = r A + r B M o = (r B r A ) r B r A Son iguales! Momento respecto a A M A = r + 0 Donde: r = r B r A M A = (r B r A ) 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 5
6 4.6 Momento de un par Momento de un par r B B z r r A A Vector libre, es decir que puede actuar en cualquier punto. Depende únicamente de r no de r A r B Conceptualmente: M de par M de una fuerza r Libre Requiere de un punto o un eje 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 6
7 4.6 Momento de un par Análisis Escalar d M =. d [N. m] [lb. pie] Donde: d: : M: Distancia perpendicular entre las fuerzas Magnitud de una de las fuerzas Momento de par 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 7
8 4.6 Momento de un par Análisis Escalar - Dirección M d M =. d 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 8
9 4.6 Momento de un par Análisis Vectorial M M B r A r M = r 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 9
10 4.6 Momento de un par Pares equivalentes z z d z d 2 2d 2 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 10
11 4.6 Momento de un par Pares equivalentes M =. d = 2. 2d Si dos pares de momentos tienen la misma magnitud, son equivalentes, siempre que estén contenidos en el mismo plano o en planos paralelos 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 11
12 4.6 Momento de un par Pares equivalentes z M =. d M =. d z d M =. d z d 2 2d 2 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 12
13 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 13
14 4.7 Sistemas equivalentes Simplificar sin afectar los efectos eternos del cuerpo rígido C.R. Sistema uerzas Momentos de par Sistema 01 uerza resultante 01 Momento resultante M 2 Respecto a un punto. 2 1 M R r 1 R r 2 M 1 r /03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 14
15 4.7 Sistemas equivalentes El punto está sobre la línea de acción de la uerza A A A = = (a) (b) (c) (a) Se requiere aplicar en el punto sin afectar los efectos eternos del C.R. (b) Aplicaremos fuerzas iguales opuestas en el punto. pueden ser cancelados, dejando en. (c) La fuerza ha sido transmitida (Principio de transmisibilidad) 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 15
16 4.7 Sistemas equivalentes El punto N está sobre la l. de acción de la uerza A A = r (a) (b) (a) (b) Se requiere aplicar en el punto sin afectar los efectos eternos del CR. Aplicaremos fuerzas iguales opuestas en el punto. El punto A puede ser definido mediante r respecto. Consecuencia: 01 fuerza en 01 un par de fuerzas. El par de fuerzas genera un momento de par: M o = r 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 16
17 4.7 Sistemas equivalentes El punto N está sobre la l. de acción de la uerza A A M o A = r = (a) (b) (c) (c) Cualquier fuerza que actúa sobre un CR puede ser trasladada a un punto arbitrario, siempre cuando se agregue un par cuo momento sea igual al momento de con respecto. 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 17
18 4.7 Sistemas equivalentes El punto N está sobre la l. de acción de la uerza M o A M o A A = = s s (a) (b) (c) (a) (b) (c) Si se requiere que la fuerza se traslada El punto puede ser definido mediante s respecto a. Entonces el nuevo momento es igual a: M o = M o + s M o Eistente Nuevo traslado 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 18
19 4.7 Sistemas equivalentes El punto N está sobre la l. de acción de la uerza r A Primera forma: Traslado de A M o = M o + s (c) s r M o Segunda forma: Traslado de A M o = r Donde: r = r + s Son iguales! Nuevo traslado M o = r + s = r + s Eistente 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 19
20 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 20
21 4.8 Reducción de un Sistema de fuerzas A una fuerza un momento de par resultante (a) 1 (b) M 1 = r 1 1 (c) R 2 M R 2 r 1 r 2 1 = = M c M c (a) (b) (c) M 2 = r 2 2 Sistema de fuerzas momentos de par Se halla los momentos de fuerza respecto a. Las fuerzas el momentos de par son desplazados al punto. Por suma vectorial: R = 1 + 2, M R = M c + M 1 + M 2 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 21
22 4.8 Reducción de un Sistema de fuerzas A una fuerza un momento de par resultante (a) 1 (b) M 1 = r 1 1 (c) R 2 M R 2 r 1 r 2 M c 1 = = M c M 2 = r 2 2 R = M R = M c + M o Sistema Sistema Equivalentes!! 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 22
23 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 23
24 4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas Reducción de un Sistema Sistema uerzas Momentos de par Sistema 01 uerza resultante 01 Momento resultante Respecto a un punto. Reducción adicionales de un Sistema a) Simplificación a una sola fuerza resultante b) Simplificación a un torsor (llave de torsión / momento mínimo) 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 24
25 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 25
26 4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas a) Simplificación a una sola fuerza resultante 1 2 Casos especiales: R M R R b a r 1 r 3 r 2 3 a b = b a M R a b = P R a b a d = M R R 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 26
27 4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas a) Simplificación a una sola fuerza resultante Caso 1: Sist. de fuerzas concurrentes Un sistema de fuerzas que actúan en P para el cual no ha momento de par resultante, entonces las fuerzas se reducen a una sola fuerza 2 1 a = R a b P b b P b a 3 a 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 27
28 4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas a) Simplificación a una sola fuerza resultante Caso 2: Sist. de fuerzas coplanares 1 M 2 R r 1 r 2 2 = M R = r 3 R 3 M 1 d = M R R 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 28
29 4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas a) Simplificación a una sola fuerza resultante Caso 2: Sist. de fuerzas coplanares M A = + = 0 d. R = M 1 M A = M R0 M 1 = 0 R R R R M R = M R M 1 = R r A A A d d = M R R 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 29 d
30 4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas a) Simplificación a una sola fuerza resultante Caso 2: Sist. de fuerzas coplanares d. R = M 2 M A = + = 0 M A = M R0 M 2 = 0 R R R M R = M R = R d r B d R B M 2 d = M R R 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 30 B
31 4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas a) Simplificación a una sola fuerza resultante Caso 2: Sist. de fuerzas coplanares R R R M R R = d A = d R d = M R R d = M R R B 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 31
32 4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas a) Simplificación a una sola fuerza resultante Caso 3: Sist. de fuerzas paralelas 3 r 3 z r 2 2 r 1 1 = z R M R = z r R Q M R = r R 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 32
33 4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas a) Simplificación a una sola fuerza resultante Caso 3: Sist. de fuerzas paralelas z z R R (M R ) M R (M R ) = d r d = (M R ) R Q d d = (M R ) R 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 33
34 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 34
35 4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas b) Simplificación a un torsor (llave de torsión) Caso especial: R M R M R = M + M z z z R R R M R θ = M = M M = M R 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 35
36 Si es igual a 25 N, determine: a) M par = r b) M par = M o1 + M o2 Rpta: (-5000; 8750; 0) N.mm 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 36
37 Determine la distancia d de modo que el momento resultante sea igual a 20 N.m Rpta: d=342mm 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 37
38 Remplazar el sistema por una fuerza resultante un momento resultante: a) En el punto. b) En el punto C. Rpta: a) (-249,615; ; -800)N ( ; ; 300)N.m b) (-249,615; ; -800)N (0; -400; 300)N.m 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 38
39 Remplazar el sistema por una fuerza resultante un momento resultante: a) En el punto E. b) En el punto A. c) Determinar la magnitud, dirección la ubicación sobre la viga de una fuerza resultante medido desde E. Rpta: a) N 1182 N.m b) N -216 N.m c) N ; m (a la izquierda de E.) 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 39
40 Remplazar el sistema por una fuerza resultante un momento resultante: a) en el punto A, b) en el punto B c) determinar la magnitud dirección de una fuerza resultante especificar en qué punto la línea de acción de la resultante intersecta la columna AB el pescante BC. Rpta: a) lb 745 lb.pie b) lb lb.pie c) N ; ; (-2.865;0) m; (0; 2.292)m (10.885; 11)m 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 40
41 Remplazar el sistema por una fuerza resultante un momento resultante en el punto origen determinar la magnitud, dirección la ubicación del punto de aplicación sobre la plancha de una fuerza resultante. Rpta: a) (0; 0; -1400) N (-3500; 4200; 0) N.m b) 1400 N ; dirección del eje -z; (3; 2.5;0) m 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 41
42 Cada una de las tres fuerzas que actúan sobre el bloque tienen magnitud de 10 lb. Remplazar este sistema por a) una fuerza momento resultante b) por una llave especificar el punto donde la llave interseca al eje z, medida esta intersección desde el origen. Rpta: a) (0; -10; 0) lb (5.86; ; 0) lb.pie b) pie 25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 42
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