Ejercicio D.C.L

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Inés Sevilla Sáez
hace 6 años
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1 Ejercicio 4.18 El poste de teléfonos AB con peso W descansa en un agujero de 2L de profundidad. Si la fuerza de contacto entre el poste y el borde del agujero está limitada a P, Cuál es el máximo valor seguro del ángulo α?, Desprecie la fricción. 1. D.C.L Lo primero que se debe hacer para analizar el problema es determinar el diagrama de cuerpo libre. En este caso el diagrama queda como se muestra en la siguiente figura: 2. Determinar ecuaciones de equilibro. Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio, es necesario que todas las partículas que lo conforman, se encuentren en equilibro, es decir = 0 Esto se puede también subentender prácticamente como que la sumatoria de fuerzas en cada uno de los ejes en los que se encuentra nuestro problema debe ser igual a cero, quedando con las siguientes dos ecuaciones para el eje horizontal y vertical respectivamente: = 0 = 0

2 Es también necesario acotar que si un cuerpo se encuentra en equilibro existe la posibilidad de que el cuerpo rote sin moverse horizontal ni verticalmente, debido a esto necesitamos una tercera ecuación la cual nos bridará la seguridad de determinar que el cuerpo efectivamente se encuentra en equilibro, esta tercera ecuación es la ecuación de momento o torque y se encuentra definida por: = 0 Para poder tener una mejor comprensión del problema, consideraremos nuevos ejes X' e Y', además de información adicional con respecto a los ángulos en los que se encuentran nuestras fuerzas y reacciones, como se ve en la siguiente figura: En este caso se usará la ecuación de momento en el punto A, donde se encuentran las reacciones Ax y Ay, este punto es escogido ya que, al realizar momento en ese punto ambas reacciones se anulan ya que pasan por ese mismo punto y no existe brazo de giro para generar un torque. ( W * cos = 0 α * 4L ) (P ) = 0 (P ) = ( W * sen α * 4L ) sen α *cosα = P L sen 2α = P L α =

3 Aplicando la ecuación obtenida para los datos propuestos en el libro, se obtiene lo siguiente: α = α = 21 Determinación de trazo : sen α = cos α = =

4 Ejercicio Calcule el ángulo θ en el cual la barra estará en equilibrio. Suponga que el peso de la barra es despreciable en relación con la carga aplicada P. El procedimiento seguido es: Primer Paso: Constucción del DCL para reconocer todas las fuerzas que actúan en la barra, en un dibujo en un espacio libre Segundo Paso: Encontrar todas las fuerzas en forma literal (con incógnitas de letras). Para encontrar estas fuerzas hay que ocupar 3 condiciones que representan en un sistema cartesiano las fuerzas horizontal, verticales, y torques. Las condiciones son las siguientes: x F = 0 Suma de las fuerzas horizontales igual a cero y F = 0 Suma de las fuerzas verticales igual a cero τ = 0 Suma de las fuerzas que producen torque respecto a un punto arbitrario, en particular se pueden utilizar los puntos A,B y C. Tercer Paso: Remplazar las incógnitas en las ecuaciones para obtener un resultado numérico. Diagrama de cuerpo libre Donde Ah = A sin 30º Av = A cos30º y Bh = A sin 60º Bv = A cos 60º

5 Segundo Paso Fx=0 : A sin30 B sin60 + P sin θ = 0 P sin θ = B sin60 - A sin30 B sin60 - A sin 30 sin θ = P (*) Fy=0 : A cos30 + B cos60 - P coss θ = 0 P sin θ = B cos60 + A cos30 cosθ = B scos60 + A cos30 P (**) Dividiendo estas expresiones tanθ = B sin60 - A sin 30 = B cos60 + A cos 30 B 3 A B + A 3 Tc=0 : A cos30 (L/2)= B cos60 (L/2) A cos30 = B cos60 cos 30º B = A = cos 602 A 3 Tercer Paso Juntamos los resultados anteriores y tenemos 3A A tan θ = = A 3 + A Entonces θ = 1 arctan = 30º 3

6 Ejercicio 3.99 La barra AB en la fig. está sostenida por un rodillo en C y por una pared lisa en A. La barra es uniforme, tiene una masa de m y una longitud de 6L. Qué fuerza vertical es necesario agregar en B para equilibrar la barra? 1)D.C.L. Calculemos las distancias d, h y x. De los esquemas 2L 4L d = = h = 2 L tan 30 = L x = 3 L cos30 = L cos Condiciones de equilibrio Fx=0 A N Sen30 =0, implica N = 2A

7 Fy=O N Cos 30 F mg=0, implica F 3 = N mg 2 De estas dos expresiones se deduce que F = 3 A mg Por lo tanto, debemos calcular la reacción A o la reacción N. Una observación del DCL, permite ver que el cálculo de torques respecto al punto Q nos permite obtener N. T Q =0 mg x + N sin 30 h N cos30 2( x L) = 0 de donde N = mg 179 remplazando en F 3 = N mg 2 se obtiene F 36 = mg 358 Considerando los datos del problema, que son la masa de la barra m=20 kg y g=9,8 m/s 2, al remplazar se tiene F = 5,314[ N]

8 EJERCICIO 3.108: Encuentre la Fuerza que ejerce el perno A sobre la placa rectangular mostrada en la figura: Para este caso tenemos como datos conocidos: T; distancias 5L, 4L. Debemos comenzar construyendo el Diagrama de Cuerpo Libre, para lo cual debemos preguntarnos quién o qué ejerce la fuerza? y correspondientemente preguntar qué fuerza?: Luego llevar las fuerzas al plano Cartesiano, donde podemos descomponer cada una de estas en los ejes X e Y:

9 Es aquí donde obtenemos lo siguiente: Para T, descomponemos en x e y, como sigue; : -T senα i T cosα j 0 Y para TD, lo hacemos de la misma forma, : -TD sen θ i TD cos θ j 0 Entonces, para el equilibrio sostenemos que: 0; + + =0 Ahora agrupando coordenadas x e y, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: : : 0= Ax -T sen α TD sen θ 0= Ay T cos α TD cos θ Por lo tanto, al despejar A (x e y) tenemos: Ax=T sen α TD sen θ Ay T cos α TD cos θ Después, buscamos hacer Torque en un punto arbitrario, el cual de preferencia es por donde pasan más proyecciones de fuerzas. Para esto también se aplica la ecuación de torque. En esta condición la resultante total que actúa sobre el cuerpo debe ser CERO. Si tomamos como punto de Torque A, nos queda así: τa 0 Para lo cual se buscan las proyecciones de los puntos que se interceptan perpendicularmente con respecto al punto A. obteniendo resultantes entre distancias y fuerzas. Lo que nos queda:

10 τa: 8L TD cos θ 4L T cos α 5L T sen α 1/L Eliminamos las L, y acomodamos la expresión para disponernos a despejar TD, 8 TD cos θ 4 T cos α 5 T sen α T D 4cosα 5sinα = T + cosθ cosθ Ahora la reemplazar en las componentes de A (les dejo ese trabajo) A x = Ay Finalmente calcular su magnitud. = ( Ax 2 Ay 2 ) 1/2

Problema 4-138 Usando el método de los nudos, calcule la fuerza en cada miembro de las armaduras mostradas. Establezca si cada miembro esta en tensión o compresión.

11 Problema Usando el método de los nudos, calcule la fuerza en cada miembro de las armaduras mostradas. Establezca si cada miembro esta en tensión o compresión. Solución Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) de la armadura completa. Sea 1m = 1L, α = arctg(1/3) y Fd = 5kN En el DCL las incógnitas se pueden calcular con las tres ecuaciones de equilibrio: ΣMa = -Fd 3L + Nc 5L = 0, con sentido horario. Y donde se obtiene:

12 Nc = 3Fd/5 al reemplazar numéricamente se obtiene: Nc = 3kN ΣFx = 0: Ax =0 ΣFy = 0: Ay + Nc = Fd Reemplazando obtenemos que: Ay + 3Fd/5 =Fd Ay = 2Fd/5 Reemplazando numéricamente tenemos: Ay = 2kN Usando método de nudos En punto A ΣFx = 0: - Fab cos 45 + Fad cos (arctg(1/3)) + Ax = 0 -Fab2 2/2 +Fad cos (arctg(1/3)) + Ax =0 -Fab 2/2 +Fad cos (arctg(1/3)) + Ax = 0 Fab 2/2 = Fad cos (arctg(1/3)) Reemplazando por ecuaciones: Fab 2/2 = Fdc Fab = Fdc 2 2/2 al reemplazar numéricamente: Fab = 2.998kN2 2/2 Fab= 4.239kN en compresión ΣFy =0: Ay - Fab sen 45 + Fad sen (arctg (1/3)) = 0 Ay - Fab 2/2 + Fad sen (arctg (1/3)) = 0

13 Reemplazando: Ay = 2.998kN 0.999kN Ay = 2KN Punto D Σ Fx = 0: Fdc Fad cos (arctg(1/3)) = 0 Fdc = Fad cos (arctg(1/3)) Fad = Fdc / cos (arctg(1/3)) Al reemplazar numéricamente: Fad = 2.998kN/ cos (arctg(1/3)) Fad= 3.160kN en tension ΣFy = 0: Fbd = Fd + Fad sen (arctg(1/3)) Al reemplazar numéricamente: Fbd = 5KN kN sen (arctg(1/3)) Fbd = 5.999kN en tensión Punto C ΣFx =0: Fdc = Fbc cos 45 Fdc = Fbc 2/2 Al reemplazar numéricamente: Fdc = kn 2/2 Fdc =2.998 kn en tension ΣFy = 0: - Fbc sen 45 + Nc = 0 Nc = Fbc sen 45 Nc = Fbc 2/2 Fbc = Nc2 2/2 Al reemplazar numéricamente:

14 Fbc = 6kN 2/2 Fbc = kn en compresión Luego: Fab = 4,24kN en compresión Fad = 3.16kN en tensión Fbc = 4.242kN en compresión Fbd = 6kN en tensión Fcd = 3kN en tensión Ejercicio

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