Resistencia de Materiales - Vínculos y reacciones

Transcripción

1 Resistencia de Materiales - Vínculos y reacciones Para el entendimiento del siguiente texto es necesario tener incorporados los conceptos anteriormente tratados: fuerzas, resultante, composición y descomposición de fuerzas, momento de una fuerza, cuplas, teorema de Varignon, etc. Vea el cuestionario al final del apunte del que se supone que ya se conocen la respuestas. Equilibrio Un cuerpo que soporta un sistema de fuerzas está en equilibrio si no se traslada (no tiene un desplazamiento rectilíneo) y si no rota (no tiene un movimiento circular). Lo anterior se cumple si su resultante es nula, lo que indica que no hay traslación, y que el momento resultante también sea nulo para cualquier punto, lo que indica que no hay rotación. Los casos posibles son: Resultante Momento resultante El sistema: 0 0 Se traslada y rota. 0 0 Se traslada. 0 0 Rota. 0 0 Está en equilibrio. Para sistemas que actúan en un plano la resultante será cero si su proyecciones sobre los ejes x e y también valen cero: R = 0 R x = Σ F x = 0 y R y = Σ F y = 0 Recordando el Teorema de Varignon, el momento resultante será cero si la suma de los momentos de las fuerzas (con sus signos) vale cero con respecto a cualquier punto: o M R = Σ M F = 0 o El conjunto de las tres ecuaciones anteriores reciben el nombre de condiciones de equilibrio: Ejemplo Σ F x = 0 Σ F y = 0 Σ M F = 0 Determinar si el cuerpo de la figura (triángulo ABC) está en equilibrio o que tipo de movimiento tiene. Tomar como referencia el punto C. o F 1 A z F 3 F 4 y + x F 2 B C w Resistencia de Materiales - 1/20 F 1 = 40 Kg F 2 = 30 Kg F 3 = 30 Kg F 4 = 50 Kg z = 20 cm w = 30 cm

2 R x = Σ F x = + F 1 F 4 = 40 Kg 50 Kg = -10 Kg 0 El cuerpo se traslada hacia la izquierda (R x negativa). R y = Σ F y = - F 2 + F 3 = - 30 Kg + 30 Kg = 0 El cuerpo no se traslada verticalmente. C C M R = Σ M F = + F 1. z - F 2. w + F F 4. 0 = 40 Kg. 20 cm 30 Kg. 30 cm = = Kg.cm 0 El cuerpo gira en sentido antihorario (momento resultante negativo). Conclusión: el sistema no está en equilibrio. Grados de libertad La cantidad de posibilidades de movimiento independientes que tiene un cuerpo recibe el nombre de grados de libertad. Un cuerpo en el espacio tiene 6 grados de libertad, tres traslaciones (sobre los ejes x, y, z ) y tres rotaciones alrededor de cada eje. Con la combinación de esos seis movimientos es posible llevar un cuerpo a cualquier otra posición del espacio que se desee. Una superficie en el plano tiene 3 grados de libertad, dos traslaciones (sobre los ejes x e y ) y una rotación. Con la combinación de esos tres movimientos es posible llevar una superficie a cualquier otra posición del plano que se desee. Estudiaremos los sistemas planos por ser los que más aparecen en la práctica y ser más sencillos de resolver. Resistencia de Materiales - 2/20

3 Vínculos Un vínculo es un elemento que restringe grados de libertad a un sistema o, en otras palabras, que impide uno o varios movimientos al sistema. Generalmente por una de sus partes se une al cuerpo y por otra a un elemento que puede considerarse inmóvil como un piso, una pared, un techo, etc. Colocando la suficiente cantidad de vínculos se puede lograr que el sistema quede en equilibrio. Muchas veces los vínculos son los apoyos de un sistema. Según cuántos sean los grados de libertad que quitan al sistema, se los suele clasificar en: a) Vínculos simples o móviles Restringen (quitan) un grado de libertad al sistema. Tomando una chapa como sistema, una forma posible de vínculo móvil es una articulación a la chapa que está montada sobre elementos rodantes (o deslizantes) que pueden moverse a lo largo de unas guías pero sin posibilidad de salir de ellas. La representación esquemática de estos vínculos es la que se muestra a continuación: No siempre el vínculo se ajusta exactamente a lo explicado anteriormente pero se acepta como equivalente si se cumplen los movimientos permitidos y se restringe el restante. Resistencia de Materiales - 3/20

4 Por ejemplo los siguientes casos de apoyo pueden tomarse como si fueran vínculos móviles: b) Vínculos dobles o fijos Restringen (quitan) dos grados de libertad al sistema. Tomando una chapa como sistema, una forma posible de vínculo fijo es una articulación a la chapa que está montada en forma fija a un elemento inmóvil. La representación esquemática de estos vínculos es la que se muestra a continuación: No siempre el vínculo se ajusta exactamente a lo explicado anteriormente pero se acepta como equivalente si se cumple el movimiento permitido y se restringen los restantes. Por ejemplo los siguientes casos de apoyo pueden tomarse como si fueran vínculos fijos: Resistencia de Materiales - 4/20

5 c) Vínculos triples o empotramiento Restringen (quitan) tres grados de libertad al sistema. Tomando una chapa como sistema, una forma posible de vínculo fijo es que esté amurada o fuertemente soldada a un elemento inmóvil. La representación esquemática de estos vínculos es la que se muestra a continuación: No siempre el vínculo se ajusta exactamente a lo explicado anteriormente pero se acepta como equivalente si se restringen los movimientos. Por ejemplo los siguientes casos pueden tomarse como si fueran empotramientos: Reacciones de Vínculos Los vínculos sirven para mantener el equilibrio de un cuerpo que soporta un sistema de fuerzas. La resultante del sistema de fuerzas se transmite a los vínculos y estos Resistencia de Materiales - 5/20

6 reaccionan ejerciendo fuerzas y/o momentos que reestablecen el equilibrio. Estas fuerzas / momentos que ejercen los vínculos reciben el nombre de reacciones de vínculo. Las reacciones de vínculo son las fuerzas y/o momentos que equivalen a la acción que tiene el vínculo sobre el sistema. Desde el punto de vista del equilibrio puede remplazarse el vínculo por sus reacciones. Las características de las reacciones dependen del tipo de vínculo. a) Reacción de un vínculo móvil La resultante del sistema que actúa sobre la chapa (R) se puede descomponer en la dirección paralela al plano de movimiento del vínculo ( Rx ) y su perpendicular ( Ry ). Rx produce un movimiento en la dirección permitida por el vínculo; por lo tanto el vínculo no reacciona en esa dirección. Ry no puede trasladar verticalmente al sistema (hacia abajo en la figura) porque el vínculo lo impide; por lo tanto el vínculo reacciona en forma contraria a Ry. Rx y Ry producen momentos (giro) con respecto a la articulación y por lo tanto la chapa podrá girar ya que la articulación lo permite; el vínculo no reacciona con una cupla. En conclusión: un vínculo móvil reacciona con una fuerza que es perpendicular al plano de desplazamiento del vínculo. b) Reacción de un vínculo fijo La resultante del sistema que actúa sobre la chapa (R) se puede descomponer en la dirección paralela al plano de movimiento del vínculo ( Rx ) y su perpendicular ( Ry ). Rx no puede trasladar horizontalmente al sistema (hacia la izquierda en la figura) porque el vínculo lo impide; por lo tanto el vínculo reacciona en forma contraria a Rx. Ry no puede trasladar verticalmente al sistema (hacia abajo en la figura) porque el vínculo lo impide; por lo tanto el vínculo reacciona en forma contraria a Ry. Resistencia de Materiales - 6/20

7 Rx y Ry producen momentos (giro) con respecto a la articulación y por lo tanto la chapa podrá girar ya que la articulación lo permite; el vínculo no reacciona con una cupla. En conclusión: un vínculo fijo reacciona con una fuerza que puede descomponerse en dos componentes perpendiculares entre si (las direcciones x e y ). c) Reacción de un empotramiento La resultante del sistema que actúa sobre la chapa (R) se puede descomponer en la dirección paralela al plano de movimiento del vínculo ( Rx ) y su perpendicular ( Ry ). Rx no puede trasladar horizontalmente al sistema (hacia la izquierda en la figura) porque el vínculo lo impide; por lo tanto el vínculo reacciona en forma contraria a Rx. Ry no puede trasladar verticalmente al sistema (hacia abajo en la figura) porque el vínculo lo impide; por lo tanto el vínculo reacciona en forma contraria a Ry. Rx y su reacción están sobre la misma línea y por lo tanto no producen giro. Ry y su reacción producen un momento que haría girar al sistema en sentido horario; como el empotramiento impide ese movimiento tiene que aparecer en el un momento igual y contrario al anterior y que es otra parte de la reacción de vínculo. En conclusión: un empotramiento reacciona con una fuerza que tiene dos componentes perpendiculares entre si y una cupla que se opone al giro. Tipos de sistemas Si un sistema tiene menos restricciones de vínculo que grados de libertad se llama sistema hipostático (hipoestático) o mecanismo. Ante la acción de fuerzas o momentos no se encontrará en equilibrio (salvo casos especiales). En la figura anterior la chapa rectangular de la izquierda tiene 3 grados de libertad y el vínculo le quita uno. Por lo tanto el sistema queda con 2 grados de libertad (dos tipos de movimiento). Resistencia de Materiales - 7/20

8 En la figura anterior la chapa rectangular de la derecha tiene 3 grados de libertad y el vínculo le quita dos. Por lo tanto el sistema queda con 1 grado de libertad (un tipo de movimiento). Si un sistema tiene igual cantidad de restricciones de vínculo que grados de libertad se llama sistema isostático (isoestático). Ante la acción de fuerzas o momentos se encontrará en equilibrio (salvo casos especiales). En la figura anterior la chapa rectangular de la izquierda tiene 3 grados de libertad; el vínculo móvil le quita uno y el fijo le quita otros dos. Por lo tanto el sistema queda sin grados de libertad (ningún tipo de movimiento). En la figura del centro ocurre exactamente lo mismo. En la figura anterior la chapa rectangular de la derecha tiene 3 grados de libertad y el empotramiento le quita tres. Por lo tanto el sistema queda sin grados de libertad (ningún tipo de movimiento). Si un sistema tiene más cantidad de restricciones de vínculo que grados de libertad se llama sistema hiperestático. Ante la acción de fuerzas o momentos se encontrará en equilibrio (salvo casos especiales). En la figura anterior la chapa rectangular de la izquierda tiene 3 grados de libertad y el cada empotramiento le quita tres, es decir un total de seis. Por lo tanto el sistema restringe 3 grados de libertad más que los necesarios (grado de hiperestacidad de 3). En la figura anterior la chapa rectangular de la derecha tiene 3 grados de libertad; el empotramiento le quita tres y cada vínculo móvil uno, es decir un total de cinco. Por lo tanto el sistema restringe 2 grados de libertad más que los necesarios (grado de hiperestacidad de 2). Estudiaremos los sistemas isostáticos que necesitan para su resolución solamente las condiciones de equilibrio. Para los hiperestáticos se necesitan más ecuaciones, generalmente asociadas a las deformaciones. Los sistemas hipoestáticos se estudian en Mecánica. Vigas Es habitual llamar cuerpo a un sólido cuyas tres dimensiones espaciales son comparables; chapa a un sólido en la que dos dimensiones son mucho mayores que la restante y, por último barra a un sólido en el que una de sus dimensiones es mucho mayor que las otras dos.. Ejemplos de cuerpo: una mesa, un microondas, un automóvil, etc. Ejemplos de chapa: una hoja de carpeta, una placa de madera aglomerada, un vidrio de ventana, etc. Resistencia de Materiales - 8/20

9 Ejemplos de barras: una birome, un perfil laminado (L, T, etc.), un eje de una máquina, etc. Una columna es una barra que sirve como estructura resistente, que generalmente es vertical, que tiene una sección transversal generalmente constante, que se encuentra apoyada convenientemente y que soporta principalmente esfuerzos de compresión (aplastamiento). Una viga es una barra que sirve como estructura resistente, que generalmente es horizontal, que tiene una sección transversal generalmente constante, que se encuentra apoyada convenientemente y que soporta principalmente esfuerzos de flexión. Las estructuras que combinan vigas y columnas reciben el nombre de pórticos. La definición anterior de viga corresponde a lo que se llama "vigas de alma llena" porque también existen "vigas de celosía" que se forman con barras teóricamente articuladas (reticulados). La sección transversal de una viga de alma llena puede ser cualquiera, siendo comunes la circular, la cuadrada, la rectangular, perfiles L, doble T, etc. Se llama viga simplemente apoyada a la que tiene un apoyo fijo y otro móvil en sus extremos. Los tramos de viga que tienen un extremo libre se conocen como voladizos. Las vigas son una simplificación de elementos complejos tanto en construcciones como en mecánica. Por ejemplo un eje de una máquina se calcula. como una viga simplemente apoyada, un diente de engranaje como una viga empotrada, etc. Cálculo de reacciones de vínculo Para calcular el valor de las reacciones de vínculo de un sistema se siguen los siguientes pasos: a) Se define un sistema de ejes x-y conveniente. b) Se descompone a las fuerzas actuantes (activas) en las direcciones de los ejes mediante trigonometría. c) Se redibuja la viga con las componentes de las fuerzas activas. d) Se agrega al dibujo anterior las reacciones de cada vínculo, de acuerdo a lo explicado para cada tipo. El sentido puede ser cualquiera que se desee ya que, si resulta equivocado, el resultado dará negativo pero numéricamente correcto. Resistencia de Materiales - 9/20

10 e) Se aplica una de las 3 condiciones de equilibrio en la que quede una sola incógnita. El caso más común es tomar momentos con respecto a la articulación de alguno de los apoyos. f) Se aplica una de las restantes condiciones de equilibrio en la que quede una sola incógnita. El caso más común es tomar la suma de fuerzas sobre uno de los ejes. También es posible tomar momentos con respecto a la articulación del otro apoyo del punto anterior. g) Se aplica la condición de equilibrio restante para encontrar la última incógnita. Ejemplo 1: Calcular las reacciones de vínculo de la viga de la figura. a) Se define un sistema de ejes x-y conveniente. b) Se descompone a las fuerzas actuantes (activas) en las direcciones de los ejes mediante trigonometría. Todas las fuerzas están sobre la dirección y. No es necesario descomponer. c) Se redibuja la viga con las componentes de las fuerzas activas y d) Se agrega al dibujo anterior las reacciones de cada vínculo, de acuerdo a lo explicado para cada tipo. El vínculo A es móvil y sólo reacciona verticalmente. Llamaremos a esa reacción R A. El vínculo B es fijo y tendrá reacciones horizontal y vertical. Llamaremos a esas reacciones R Bx y R By. Supondremos que R A y R By van hacia arriba, cosa razonable porque deben equilibrar a F 1 y F 2 que van hacia abajo. Supondremos que R Bx apunta hacia la derecha. Si estas suposiciones son incorrectas el resultado final será negativo pero con el valor numérico correcto. Resistencia de Materiales - 10/20

11 e) Se aplica una de las 3 condiciones de equilibrio en la que quede una sola incógnita. El caso más común es tomar momentos con respecto a la articulación de alguno de los apoyos. Tomaremos momentos con respecto al punto B: B Σ M F = 0 + R A. 75 cm F cm F cm + R By. 0 + R Bx. 0 = 0 R A. 75 cm 500 Kg. 55 cm 800 Kg. 40 cm = 0 R A. 75 cm Kgcm Kgcm = 0 R A. 75 cm = Kgcm Kgcm R A. 75 cm = Kgcm R A = Kgcm / 75 cm R A = 793,33 Kg Al dar positivo se comprueba que el sentido supuesto era correcto. f) Se aplica una de las restantes condiciones de equilibrio en la que quede una sola incógnita. El caso más común es tomar la suma de fuerzas sobre uno de los ejes. Σ F y = 0 + R A - F1 F2 + R By = 0 793,33 Kg 500 Kg 800 Kg + R By = 0 R By = 506,67 Kg + R By = - 793,33 Kg Kg Kg Al dar positivo se comprueba que el sentido supuesto era correcto. Si se hubiese querido, podría hallarse el mismo resultado tomando momentos con respecto al punto A: A Σ M F = 0 + R A. 0 + F cm + F cm - R By. 75 cm + R Bx. 0 = 0 (R Bx pasa por el punto A por ello su distancia es cero) Kg. 20 cm Kg. 35 cm - R By. 75 cm = Kg. 20 cm Kg. 35 cm = R By. 75 cm Kgcm = R By. 75 cm Kgcm / 75 cm = R By 506,67 Kg = R By g) Se aplica la condición de equilibrio restante para encontrar la última incógnita. Σ F x = 0 Resistencia de Materiales - 11/20

12 R Bx = 0 Si bien el vínculo puede reaccionar en dirección horizontal, al no haber fuerzas horizontales, en este caso vale cero. Ejemplo 2: Calcular las reacciones de vínculo de la viga de la figura. a) b) Todas las fuerzas están sobre la dirección y. No es necesario descomponer. c) y d) El vínculo A es fijo y tendrá reacciones horizontal y vertical. El vínculo B es móvil y sólo reacciona verticalmente. Supondremos que R Ay y R B van hacia arriba. Supondremos que R Ax apunta hacia la derecha. Si estas suposiciones son incorrectas el resultado final será negativo pero con el valor numérico correcto. e) Tomaremos momentos con respecto al punto A: A Σ M F = 0 F cm + R Ay. 0 + R Ax. 0 F cm - R B. 120 cm + F cm = Kg. 50 cm 3000 Kg. 100 cm - R B. 120 cm Kg. 180 cm = Kgcm Kgcm - R B. 120 cm Kgcm = Kgcm Kgcm Kgcm = R B. 120 cm Kgcm = R B. 120 cm Kgcm / 120 cm = R B -1416,67 Kg = R B Resistencia de Materiales - 12/20

13 El resultado negativo indica que el sentido supuesto era incorrecto. En realidad R B apunta hacia abajo. Esto se debe que las fuerzas actuantes tratan de separar la viga hacia arriba del vínculo; esto hace que el vínculo retenga la viga haciendo fuerza hacia abajo. El resto del problema se resuelve respetando el dibujo supuesto pero reemplazando por el valor negativo hallado recién. f) Σ F y = 0 - F 1 + R Ay + F 2 + R B - F 3 = Kg + R Ay Kg + ( -1416,67 Kg ) 1000 Kg = Kg + R Ay Kg -1416,67 Kg 1000 Kg = 0 R Ay = 1000 Kg Kg ,67 Kg Kg R Ay = 416,67 Kg Al dar positivo se comprueba que el sentido supuesto era correcto. g) Σ F x = 0 R Ax = 0 Si bien el vínculo puede reaccionar en dirección horizontal, al no haber fuerzas horizontales, en este caso dicha reacción vale cero. En síntesis el resultado final es: R Ay = 416,67 Kg (hacia arriba) R Ax = 0 R B = 1416,67 Kg (hacia abajo) Ejemplo 3: Calcular las reacciones de vínculo de la viga de la figura. F 1 = 6000 Kg α 1 = 70 o F 2 = 1000 Kg α 2 = 20 o F 3 = 3000 Kg x = 40 cm y = 50 cm z = 1,8 m w = 2 m a) b) Las fuerzas F1 y F2 se necesitan descomponer mediante la regla del paralelogramo en las direcciones de los ejes usando trigonometría: Resistencia de Materiales - 13/20

14 F 1x cos α 1 = F 1. cos α 1 = F 1x F 1x = 6000 Kg. cos 70 o F 1 F 1x = 2052 Kg F 1y sen α 1 = F 1. sen α 1 = F 1y F 1y = 6000 Kg. sen 70 o F 1y = 5638 Kg F 1 F 2x cos α 2 = F 2. cos α 2 = F 2x F 2x = 1000 Kg. cos 20 o F 2 F 2x = 940 Kg F 2y sen α 2 = F 2. sen α 2 = F 2y F 2y = 1000 Kg. sen 20 o F 2y = 342 Kg F 2 c) y d) El vínculo A es móvil y sólo reacciona verticalmente. Llamaremos a esa reacción R A. El vínculo B es fijo y tendrá reacciones horizontal y vertical. Llamaremos a esas reacciones R Bx y R By. Supondremos que R A y R By van hacia arriba y que R Bx apunta hacia la derecha. Si estas suposiciones son incorrectas el resultado final será negativo pero con el valor numérico correcto. e) Tomaremos momentos con respecto al punto A: A Σ M F = 0 F 1y. x + F 1x. 0 + R A. 0 + F 2y. y + F 2x. 0 + F 3. (y+z) - R By. (y+z+w) + R Bx. 0 = 0 (todas las componentes x pasan por el punto A y por eso su distancia es cero) F 1y. x + F 2y. y + F 3. (y+z) - R By. (y+z+w) = Kg. 0,4 m Kg. 0,5 m Kg. 2,3 m - R By. 4,3 m = Kgm Kgm Kgm - R By. 4,3 m = Kgm R By. 4,3 m = Kgm = R By. 4,3 m 4816 Kgm / 4,3 m = R By 1020 Kg = R By Al dar positivo se comprueba que el sentido supuesto era correcto. f) Σ F y = 0 Resistencia de Materiales - 14/20

15 - F 1y + R A - F 2y - F 3 + R By = Kg + R A Kg Kg Kg = 0 R A = 5638 Kg Kg Kg Kg R A = 7276 Kg Al dar positivo se comprueba que el sentido supuesto era correcto. g) Σ F x = 0 + F 1x - F 2x + R Bx = 0 R Bx = - F 1x + F 2x R Bx = Kg Kg R Bx = Kg El resultado negativo indica que el sentido supuesto era incorrecto. En realidad R Bx apunta hacia la izquierda. En síntesis el resultado final es: R A = 7276 Kg (hacia arriba) R By = 1020 Kg (hacia arriba) R Bx = 1112 Kg (hacia la izquierda) Ejemplo 4: Calcular las reacciones de vínculo de la viga de la figura. F 1 = 500 Kg F 2 = 800 Kg F 3 = 300 Kg d = 40 cm t = 60 cm s = 15 cm α 2 = 60 o a) b) La fuerza F2 se necesita descomponer mediante la regla del paralelogramo en las direcciones de los ejes usando trigonometría: F 2x cos α 2 = F 2. cos α 2 = F 2x F 2x = 800 Kg. cos 60 o F 2 F 2x = 400 Kg F 2y sen α 2 = F 2. sen α 2 = F 2y F 2y = 800 Kg. sen 60 o F 2y = 693 Kg F 2 c) y d) Resistencia de Materiales - 15/20

16 El vínculo A es un empotramiento por lo tanto reacciona verticalmente con una fuerza (R Ay ), con otra fuerza horizontal (R Ax ) y además con una cupla que llamaremos M A. Supondremos que R Ax, R Ay y M A tienen los sentidos del dibujo. Si estas suposiciones son incorrectas el resultado final será negativo pero con el valor numérico correcto. e) Tomaremos momentos con respecto al punto A: A Σ M F = 0 + F F 2y. (t+s) + F 2x. 0 + F 3. s + R Ay. 0 + R Ax. 0 + M A = 0 (todas las componentes x pasan por el punto A y por eso su distancia es cero) - F 2y. (t+s) + F 3. s + M A = 0 M A = F 2y. (t+s) - F 3. s M A = 693 Kg. 75 cm 300 Kg. 15 cm M A = Kgcm 4500 Kgcm M A = Kgcm Al dar positivo se comprueba que el sentido supuesto era correcto. f) Σ F y = 0 - F 2y + F 3 + R Ay = 0 R Ay = F 2y - F 3 R A = 693 Kg Kg Kg R A = 393 Kg Al dar positivo se comprueba que el sentido supuesto era correcto. g) Σ F x = 0 + F 1 - F 2x + R Ax = 0 R Ax = - F 1 + F 2x R Ax = Kg Kg R Ax = -100 Kg El resultado negativo indica que el sentido supuesto era incorrecto. En realidad R Ax apunta hacia la izquierda, impidiendo que la viga penetre en el empotramiento. Si este resultado fuera necesario para continuar el cálculo, se mantiene la dirección que se dibujó y al reemplazar se usa el valor negativo obtenido. Resistencia de Materiales - 16/20

17 Ejemplo 5: Calcular las reacciones de vínculo del pórtico de la figura. F 1 = 250 Kg F 2 = 400 Kg F 3 = 100 Kg w = 1 m z = 1,2 m k = 40 cm t = 80 cm a) b) Todas las fuerzas están sobre las direcciones x e y. No es necesario descomponer. c) y d) El vínculo A es móvil y sólo reacciona perpendicular al plano de movimiento, en este caso horizontalmente. Llamaremos a esa reacción R A. El vínculo B es fijo y tendrá reacciones horizontal y vertical. Llamaremos a esas reacciones R Bx y R By. Supondremos que R By va hacia arriba y que R A y R Bx apuntan hacia la derecha. Si estas suposiciones son incorrectas el resultado final será negativo pero con el valor numérico correcto. e) En este caso si tomamos como centro de momentos al punto A quedarán dos incógnitas. Es necesario tomar momentos con respecto al punto B: B Σ M F = 0 - R A. (k + t) + F 1. t + F R By. 0 + R Bx. 0 + F 3. z = 0 + F 1. t + F R By. 0 + R Bx. 0 + F 3. z = R A. (k + t) 250 Kg. 80 cm Kg. 120 cm = R A. (40 cm + 80 cm) Kgcm Kgcm = R A. 120 cm Kgcm = R A. 120 cm Kgcm / 120 cm = R A 266,67 Kg = R A Resistencia de Materiales - 17/20

18 Al dar positivo se comprueba que el sentido supuesto era correcto. f) En este momento se debe analizar si conviene hacer la sumatoria de fuerzas sobre x o y. En este problema en ambos casos queda una sola incógnita, así que puede se puede empezar con cualquiera de ellas. Tomaremos el eje y : Σ F y = 0 + R By - F 3 = 0 + R By = F 3 R By = 100 Kg Al dar positivo se comprueba que el sentido supuesto era correcto. g) Σ F x = 0 R A - F 1 + F 2 + R Bx = 0 + R Bx = - R A + F 1 - F 2 R Bx = -266,67 Kg Kg 400 Kg R Bx = - 416,67 Kg El resultado negativo indica que el sentido supuesto era incorrecto. En realidad R Bx apunta hacia la izquierda. Si este resultado fuera necesario para continuar el cálculo, se mantiene la dirección que se dibujó y al reemplazar se usa el valor negativo obtenido. Ejercitación 1) Calcular las reacciones de vínculo de la viga de la figura indicando claramente los sentidos de cada reacción. F = 800 Kg w = 1 m 2) Ídem F = 2 ton t = 30 cm u = 1 m 3) Ídem F 1 = 50 Kg F 2 = 20 Kg F 3 = 10 Kg a = 10 cm b = 20 cm c = 30 cm d = 15 cm 4) Ídem F 1 = 300 Kg α 1 = 60º F 2 = 500 Kg d = 80 cm e = 1,2 m f = 1 m Resistencia de Materiales - 18/20

19 5) Ídem F 1 = 3 ton F 2 = 2 ton F 3 = 1 ton α 1 = 30º w = 1 m x = 80 cm y = 40 cm z = 20 cm 6) Ídem F 1 = 700 Kg F 2 = 1400 Kg α 1 = 75º α 2 = 45º p = 1 m q = 3 m r = 2 m 7) Ídem F 1 = 500 Kg F 2 = 400 Kg α 2 = 45º z = 1,2 m k = 0,8 m 8) Ídem F 1 = 50 Kg F 2 = 80 Kg F 3 = 30 Kg a = 10 cm b = 20 cm c = 15 cm 9) Calcular las reacciones de vínculo del pórtico de la figura indicando claramente los sentidos de cada reacción. F 1 = 2 ton F 3 = 3 ton F 2 = 1 ton F 4 = 5 ton a = 1 m b = 1,2 m c = 1 m d = 1,4 m e = 0,5 m f = 0,7 m 10) Ídem F 1 = 250 Kg F 3 = 100 Kg F 2 = 600 Kg F 4 = 450 Kg p = 1 m q = 80 cm r = 2 m m = 60 cm s = 1,3 m t = 60 cm Resistencia de Materiales - 19/20

20 Respuestas: 1) R Ay = 400 Kg R Ax = NO R By = 400 Kg R Bx = 0 2) R Ay = 2000 Kg R Ax = 0 R By = 2000 Kg R Bx = NO 3) R Ay = 29,3 Kg R Ax = 0 R By = 9,33 Kg R Bx = NO 4) R Ay = 23,8 Kg R Ax = 150 Kg R By = 264 Kg R Bx = NO 5) R Ay = 222,2 Kg R Ax = NO R By = 3277,8 Kg R Bx = 1598,1 Kg 6) R Ay = 1002 Kg R Ax = NO R By = 1315,8 Kg R Bx = 1171,1 Kg 7) R Ay = 217,2 Kg R Ax = 282,8 Kg M A = 373,76 Kgm (antihorario) 8) R Ay = 50 Kg R Ax = 50 Kg M A = 2350 Kgcm (antihorario) 9) R Ay = NO R Ax = 1281 Kg R By = 2409,1 Kg R Bx = 4281 Kg 10) R Ay = 5,4 Kg R Ax = NO R By = 355,4 Kg R Bx = 350 Kg Nota: se puso el mayor esmero por dar las soluciones correctas pero no se descarta que se pueda haber cometido un error. En caso que el resultado no le coincida consulte con el profesor. Preguntas conceptuales básicas de temas anteriores Qué es la resultante de un sistema de fuerzas? Para qué sirve y en que consiste el método de paralelogramo de fuerzas? Para qué sirve y en que consiste el método del polígono de fuerzas? Para qué sirve y en que consiste el método analítico de proyecciones de un sistema de fuerzas? Cómo se aplica el método del paralelogramo de fuerzas en la descomposición de una fuerza en dos direcciones? Cómo se calcula el valor de las fuerzas que se descomponen en forma analítica? Cómo se define el momento de una fuerza? Cómo se toman las distancias? Qué convención de signos se utiliza? Qué es una cupla? Cuánto vale su resultante? Cuánto vale su momento resultante? Qué efecto produce? Qué otros nombres recibe? Qué propiedad tiene una cupla en su plano y en planos paralelos? Qué dice el Teorema de Varignon? Preguntas conceptuales básicas de este tema Cuándo un sistema se encuentra en equilibrio? Cuáles son las condiciones que deben cumplir la resultante y el momento resultante para que haya equilibrio? Cuáles son las ecuaciones de equilibrio en el plano? Cuántos grados de libertad tiene una figura plana en su plano? Cuáles son? Qué es un vínculo? Qué es un vínculo móvil? Cuáles grados de libertad restringe? Cuáles movimientos permite? De que modo reacciona? Qué es un vínculo fijo? Cuáles grados de libertad restringe? Cuáles movimientos permite? De que modo reacciona? Qué es un empotramiento? Cuáles grados de libertad restringe? Cuáles movimientos permite? De que modo reacciona? Qué es una viga? Qué es una viga simplemente apoyada? Qué es un voladizo? Qué es una columna? Qué es un pórtico? Qué es un sistema isostático? Qué son los sistemas hipostáticos e hiperestáticos? Qué ecuaciones se utilizan para el cálculo de reacciones de vínculo? Cuál primero? Resistencia de Materiales - 20/20