MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.

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1 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. Felipe Gabaldón Castillo Madrid, 29 de Noviembre y 3 de diciembre de 27 Índice

2 Sea σ el tensor de tensiones de Cauchy, u el vector desplazamiento y b el vector de fuerzas volumétricas. Consideraremos el tensor de deformaciones infinitesimales, que se define como la parte simétrica del tensor gradiente de desplazamientos: ε = s u, ε ij = u (i,j) = ( ui + u ) j () 2 x j x i Las componentes del tensor de tensiones se expresan como combinación de las componentes del tensor de deformaciones mediante un tensor de cuarto orden C (Ley de Hooke generalizada), cuyas componentes C ijkl son constantes y se denominan coeficientes elásticos : σ = Cε, σ ij = C ijkl ε kl (2) El tensor de módulos elásticos tiene las siguientes propiedades: Simetría mayor: C ijkl = C klij (3) 2 Simetría menor: 3 Es definido positivo: C ijkl = C jikl C ijkl = C ijlk (4) C ijkl Φ ij Φ kl Φ ij simétrico (5) C ijkl Φ ij Φ kl = Φ ij = (6) Consideraremos un sólido elástico definido por un conjunto abierto R n dim con contorno, tal que: = ui ti = ui ti (7) siendo ui la parte del contorno con desplazamientos impuestos en dirección i, y ti la parte con tensiones

3 fuerte Sea = el dominio ocupado por un sólido, cuyo contorno es = u t ui con u t =. La formulación fuerte se establece en los siguientes términos: ti Dados b : R n, u : u R n, t : t R n, encontrar el campo de desplazamientos u R n que cumple: div σ + b = en (8) σn = t en t (9) u = u en u () con σ = W ε y ε = S u débil Dados b : R n y las funciones u : u R n, t : t R n, encontrar el campo de desplazamientos u δ δu V cumple: ( σ S δu b δu ) d t δu dγ = () siendo: t δ = { u H (, R n ) u(x) = u x u } (2) V = { δu H (, R n ) δu(x) = x u } (3) y H (, R n ) el espacio de Sobolev de orden y grado 2: { } H = u : R n u 2, d <

4 Equivalencia de ambas formulaciones Lema. Descomposición eucĺıdea de un tensor de orden 2 s ij = s (ij) + s [ij] ; s (ij) = s ij + s ji, s }{{}}{{} 2 [ij] = s ij s ji 2 simétrico hemisimétrico Lema 2. Sea s ij un tensor simétrico y t ij un tensor no simétrico. Entonces, s ij t ij = s ij t (ij) El lema queda demostrado si s ij t [ij] =. En efecto: s ij t [ij] = s ij t [ji] = s ji t [ji] = s ij t [ij] Equivalencia de ambas formulaciones Si u es solución fuerte, entonces u. Multiplicando (8) por δu V e integrando en : = (σ ij,j + b i )δu i d = (σ ij δu i ),j d σ ij δu i,j d + b i δu i d = σ ij δu (i,j) d + b i δu i d + t i δu i dγ (4) y por tanto u i es solución débil ti

5 Equivalencia de ambas formulaciones Sea u i solución débil. Dado que u i δ i, u i = u i en ui. De (): = σ ij δu i,j d + b i δu i d + t i δu i dγ = = (σ ij δu i ),j d + (σ ij,j + b i )δu i d ti (σ ij,j + b i )δu i d + ti ti t i δu i dγ (σ ij n j t i )δu i dγ (5) Equivalencia de ambas formulaciones Sean: α i = σ ij,j + b i (6) β i = σ ij n j t i (7) La equivalencia entre ambas formulaciones estará demostrada si se verifica que α i = en y β i = en ti. Sea δu i = α i φ, donde: φ > en φ = en φ suave Con estas condiciones queda garantizado que δu i V.

6 Equivalencia de ambas formulaciones Sustituyendo este δu i en (5): = α i (α i φ )d α }{{}}{{} i = en (8) > Análogamente, tomemos ahora δu i = δ i β ψ, donde: ψ > en t ψ = en u ψ suave Sustituyendo esta nueva expresión de δu i V en (5): = β (β ψ )d β t }{{}}{{} = en t (9) > Considerando el funcional de la energía potencial: Π p (u) = (W (x, ε) b u) d t u dγ (2) t la ecuación () equivale a establecer la condición de estacionariedad del funcional (2): δπ p (u) = (2) Se dice que () es la ecuación variacional (2), y que las ecuación (8) es la ecuación de Euler-Lagrange asociada al problema variacional (2). Para la ley de Hooke: W (x, ε) = ε Cε (22) 2

7 Existen otros principios diferentes al expresado en (2), asociado al funcional de la energía potencial total (2). Dichos principios son la base de la formulación de los denominados elementos mixtos. En general se deducen a partir de funcionales multicampo como, por ejemplo, el de Hu-Washizu: Π W (u, ε, σ) = ( W (x, ε) σ ε + σ S u b u ) d t t u dγ Sean ν h y δ h aproximaciones de dimensión finita de los espacios funcionales ν y δ, respectivamente Se adopta la descomposición: u h = v h + u h con v h ν h y u h = u en u ( aproximadamente ) Dados b : R n y las funciones u : u R n, t : t R n, encontrar el campo de desplazamientos u h = v h + u h, con δv h ν h, tal que δu h ν h se cumple: S v h C S δu h d = b δu h d + t δu h dγ t S u h C S δu h d (23)

8 de elementos finitos El dominio se discretiza en n elm elementos e : = n elm e= e i j =, si i j (24) El elemento e se transforma en un cubo unitario = [, ] [, ] }{{} n dim definido en el espacio isoparamétrico de coordenadas {ξ}: φ : ξ x e ; x = φ(ξ) = n e nod A= x A N A (ξ) (25) siendo x A las coordenadas de los nodos del elemento e de elementos finitos Los subespacios de dimensión finita δ h y V h se definen mediante unas funciones de interpolación N A, A =... n nod (polinómicas), que se denominan funciones de forma δ h = uh δ ui h = u ia N A (ξ) + A η η ui u ia N A (ξ) A η ui V h = δuh V δui h = x ui ; δui h = δu ia N A (ξ) A η η ui siendo η = {, 2,..., n numnp } el conjunto de números de los n numnp nodos de la malla, η ui η el conjunto de nodos en los que ui h = u i, y η η ui el conjunto complementario de η ui

9 Interpolación del campo de desplazamientos Si se emplea una formulación isoparamétrica que interpola los desplazamientos con la misma interpolación que las coordenadas (25): u h = n e nod A= d A N A (ξ) = N T d e (26) siendo d e el vector de desplazamientos nodales del elemento e y N la matriz de funciones de forma del elemento. Por ejemplo, en 2D: { } ( ) u (x, y) N N = 2... N nnod d e u 2 (x, y) N N 2... N nnod (27) Interpolación del campo de deformaciones Con la notación en que las tensiones y deformaciones se expresan en forma de vector (por ejemplo en 2D: ε = (ε xx, ε yy, 2ε xy ) T ) y derivando (26), la interpolación del campo de deformaciones se expresa: En 2D: ε = S u h ij = n e nod A= N x ( N e 2 A,i d Aj + NA,jd e ) Ai S u h = Bd e (28) N 2 N x 2 x... N 2 N nnod x 2... N x 2 N x N 2 x 2 N 2 x... x N nnod x 2 N nnod x 2 N nnod x d e (29)

10 Ecuaciones de elementos finitos Sustituyendo (26) y (28) en (23) e imponiendo que los desplazamientos virtuales δu son arbitrarios, después de operar se obtiene: n elm R def = A e= [ ] f e,ext B T σ h (ε) d e = (3) donde A[ ] es el operador de ensamblaje y f e,ext es el vector de fuerzas externas convencional que se obtiene a partir de la expresión (23): f e,ext = N T bd + e N T tdγ t e (3) Observaciones: La ecuación (3) está planteada en forma residual (anulando la diferencia entre las fuerzas externas y las fuerzas internas), que es la adecuada para problemas no es. En lo sucesivo se considerará el caso de la elasticidad, en el que si denominamos C a la matriz de módulos elásticos (o matriz constitutiva), resulta: entonces la ecuación (3) se expresa: n elm A e= σ h (ε) = CBd e (32) [( )] B T CB d e d = n elm A e= fe,ext (33)

11 Ecuaciones de elementos finitos La matriz de rigidez elemental se define como: K e = B T CB d (34) e Ensamblando los vectores de fuerzas elementales y las matrices de rigidez elementales: el sistema (33) se expresa: n elm f = A Ecuaciones de la elasticidad e= fe,ext (35) n elm K = A e= Ke (36) Kd = f d = K f (37) ε x = σ x E ν σ y E ν σ z E ε y = σ y E ν σ x E ν σ z E ε z = σ z E ν σ x E ν σ y E ε xy = τ xy 2G ε xz = τ xz 2G ε yz = τ yz 2G Módulo de corte: G = E 2( + ν) Deformación volumétrica e = ε ii Módulo de def. volumétrica e = 2ν σ ii p = ke E E k = 3( 2ν)

12 2D. Deformación plana La condición de deformación plana es (ε zz = ) σ xx λ + 2µ λ ε xx σ yy = λ λ + 2µ ε yy σ xy µ ε xy (38) σ zz = ν(σ xx + σ yy ) (39) siendo λ y µ los coeficientes de Lamé: λ = νe ( + ν)( 2ν) µ = E 2( + ν) (4) Deformación plana: aplicaciones

13 Deformación plana: aplicaciones 2D. Tensión plana La condición de tensión plana es (σ zz = ) σ xx σ yy σ xy = 4µ(λ+µ) λ+2µ 2λµ λ+2µ 2λµ λ+2µ 4µ(λ+µ) λ+2µ µ ε xx ε yy ε xy (4) ε zz = ν E (σ xx + σ yy ) (42)

14 2D. Tensión plana DISPLACEMENT -5.36E-2.62E- 3.78E- 5.93E- 8.9E-.2E+.24E+.46E+.67E+.89E+ 2.E+ 2.32E+ 2.53E+ Time =.E+ 2D. Problemas axilsimétricos Se expresa en términos de las coordenadas ciĺındricas r (radial), z (axial) y θ (circunferencial). z x θ r y Condición de simetría axial: todas las variables son independientes de θ y además: u θ =, ε rθ = ε zθ = En todos los integrandos hay que considerar un factor de 2πr

15 2D. Problemas axilsimétricos Relación tensión - deformación σ rr σ zz σ rz σ θθ = λ + 2µ λ λ λ λ + 2µ λ µ λ λ λ + 2µ La matriz B ( de interpolación del campo de deformaciones) es: B = N a,r N a,z N a,z N a,r N a r ε rr ε zz ε rz ε θθ (43) a =... n nen (44) 2D. Problemas axilsimétricos

16 3D Relación tensión - deformación σ xx λ + 2µ λ λ σ yy λ λ + 2µ λ σ zz = λ λ λ + 2µ σ xy µ σ xz µ σ yz µ εxx εyy εzz εxy εxz εyz (45) 3D

17 Ejemplo: CST para problemas de tensión plana A continuación se desarrollarán las ecuaciones a nivel elemental del triángulo de deformación constante (CST) para el problema de tensión plana. Este elemento presenta las siguientes características: Es un elemento isoparamétrico No es necesario emplear cuadraturas para la integración numérica, ya que las integrales se pueden resolver de forma exacta. Se utiliza en aplicaciones no estructurales por la facilidad para generar mallas, ya que en análisis estructural sus prestaciones son bastante pobres. Geometría y sistema de coordenadas O y 3(x 3,y 3 ) 2(x 2,y 2 ) 2A = det (x,y ) x Coordenadas triangulares: ξ, ξ 2, ξ 3 ξ i = cte es una recta paralela al lado opuesto al nodo i x x 2 x 3 y y 2 y 3 =(x 2 y 3 x 3 y 2 ) + (x 3 y x y 3 )+ (x y 2 x 2 y ) No son independientes: ξ + ξ 2 + ξ 3 =

18 Interpolación Una función f definida en el triángulo se expresa en coordenadas cartesianas: f (x, y) = a + a x + a 2 y (46) determinándose los coeficientes a i a partir de tres condiciones que proporciones los valores f, f 2 y f 3 (que en el contexto del MEF se denominan valores nodales ). La expresión de f en coordenadas triangulares hace uso directamente de los valores nodales: f (ξ, ξ 2, ξ 3 ) = f ξ + f 2 ξ 2 + f 3 ξ 3 = [f f 2 f 3 ] ξ ξ 2 ξ 3 (47) Transformación de coordenadas x y ξ ξ 2 ξ 3 = = 2A x x 2 x 3 y y 2 y 3 ξ ξ 2 ξ 3 2A 23 y 23 x 32 2A 3 y 3 x 3 2A 2 y 2 x 2 x y (48) (49) siendo x jk = x j x k, x jk = x j x k y A jk =,5(x j y k x k y j ) es el área encerrada por los nodos j, k y el origen de coordenadas.

19 Derivadas parciales A partir de las relaciones (48) y (49) es inmediato obtener las relaciones: x ξ i = x i, y ξ i = y i, 2A ξ i x = y jk, siendo j y k las permutaciones cíclicas de i. 2A ξ i y = x kj (5) Las derivadas de f (ξ, ξ 2, ξ 3 ) respecto de las coordenadas cartesianas se obtienen mediante la regla de la cadena: f x = ( f y 23 + f y 3 + f ) y 2 (5) 2A ξ ξ 2 ξ 3 f y = ( f x 32 + f x 3 + f ) x 2 (52) 2A ξ ξ 2 ξ 3 del Funciones de forma: N j = ξ j, j =... 3 Interpolación del campo de desplazamientos: que en forma se expresa: j ux u y u x = u x ξ + u x2 ξ 2 + u x3 ξ 3 (53) u y = u y ξ + u y2 ξ 2 + u y3 ξ 3 (54) ff ξ ξ 2 ξ 3 = ξ ξ 2 ξ 3 8 «>< >: u x u y u x2 u y2 u x3 u y3 que es la particularización de (27) para el triángulo CST 9 >= >; (55)

20 del Relaciones deformación desplazamiento ε = Bd e 2A siendo: B = y 23 y 3 y 2 x 32 x 3 x 2 x 32 y 23 x 3 y 3 x 2 y 2 8 >< A N N 2 N 3 x x x N N 2 N 3 y y y N N N 2 N 2 N 3 N 3 y x y x y x >: u x u y u x2 u y2 u x3 u y3 9 >= >; (56) C A (57) Obsérvese que las deformaciones son constantes en el elemento del Relación tensión-deformación σ = σ xx σ yy σ xy = E ν 2 ν ν ν 2 ε xx ε yy ε xy = Cε La matriz constitutiva C se supondrá constante en el elemento. Por tanto, dado que las deformaciones son constantes en el elemento las tensiones también los son. (58)

21 del Matriz de rigidez elemental La expresión (34) de la matriz de rigidez elemental en este caso se puede escribir: K e = B T CB hd (59) e siendo h el espesor y e el dominio del triángulo. Si el espesor es constante la matriz de rigidez se expresa en forma cerrada: K e = h 4A y 23 x 32 x 32 y 23 y 3 x 3 x 3 y 3 y 2 x 2 x 2 y 2 C A del y 23 y 3 y 2 x 32 x 3 x 2 x 32 y 23 x 3 y 3 x 2 y 2 A (6) Vector de fuerzas nodales (volumétricas) Z Z f e = hnbd = e e h ξ ξ ξ 2 ξ 2 ξ 3 ξ 3 bd (6) C A En el caso más sencillo en que h y b sean constantes en el elemento, y teniendo en cuenta: resulta: Z Z Z ξ d = e ξ 2 d = e ξ 3 d = A/3 e (62) (f e ) T = Ah 3 ` bx b y b x2 b y2 b x3 b y3 (63)

22 Las relaciones geométricas y la interpolación del campo de desplazamientos verifican: x y u x u y =... x x 2... x n e nod y y 2... y n e nod u x u x2... u xn e nod u y u y2... u yn e nod N N 2. N n e nod (64) El triángulo CST descrito anteriormente se expresa de acuerdo con (64) tomando n e nod = 3, N = ξ, N 2 = ξ 2 y N 3 = ξ ξ y x Triángulo cuadrático de seis nodos ξ 2

23 Triángulo cuadrático x y u x u y siendo: = x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 y y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 u x u x2 u x3 u x4 u x5 u x6 u y u y2 u y3 u y4 u y5 u y6 N N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 (65) N = ξ (2ξ ) N 2 = ξ 2 (2ξ 2 ) N 3 = ξ 3 (2ξ 3 ) (66) N 4 = 4ξ ξ 2 N 5 = 4ξ 2 ξ 3 N 6 = 4ξ 3 ξ (67) Elementos cuadriláteros η 4 (, ) 3 (, ) ξ (, ) 2 (, ) Cuadrilátero bi

24 siendo: Cuadrilátero bi x x x 2 x 3 x 4 y = y y 2 y 3 y 4 u x u x u x2 u x3 u x4 u y u y u y2 u y3 u y4 N N 2 N 3 N 4 (68) N = 4 ( ξ)( η), N 2 = ( + ξ)( η) (69) 4 N 3 = 4 ( + ξ)( + η), N 4 = ( ξ)( + η) (7) 4 4 y x η ξ 2 Cuadrilátero bicuadrático

25 8 >< >: x y u x u y Cuadrilátero bicuadrático 9 >= = >; x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 y y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 u x u x2 u x3 u x4 u x5 u x6 u x7 u x8 u x9 u y u y2 u y3 u y4 u y5 u y6 u y7 u y8 u y9 En este caso las funciones de forma son: 8 >< C A >: N N 2. N 9 9 >= >; N = 4 ( ξ)( η)ξη, N 2 = 4 ( + ξ)( η)ξη, N 3 = ( + ξ)( + η)ξη 4 N 4 = 4 ( + ξ)( η)ξη, N 5 = 2 ( ξ2 )( η)η, N 6 = 2 ( + ξ)( η2 )ξ N 7 = 2 ( ξ2 )( + η)η, N 8 = 2 ( ξ)( η2 )ξ, N 9 = ( ξ 2 )( η 2 ) Derivadas parciales Jacobiano de la transformación isoparamétrica { Ni x N i y } = J = ( ξ x ξ y (x, y) (ξ, η) = ) { Ni ξ N i η x η y ( x ξ x η η y ξ y η } ) { Ni = J ξ N i η } (7) (72) La matriz J se denomina matriz Jacobiana de la transformación isoparamétrica

26 Derivadas parciales Cálculo de las derivadas parciales. J = PX = x ξ = x η = n e nod i= n e nod i= ( N ξ N η x i N i ξ, x i N i η, N 2 ξ... N 2 η... y ξ = y η = N n ξ N n η n e nod i= n e nod i= ) y i N i ξ y i N i η x y x 2 y 2. x n. y n (73) (74) (75) Integración numérica La integración numérica es un ingrediente imprescindible en el cálculo de las integrales elementales Existen diversas cuadraturas: Gauss, Simpson, Lobatto, etc. Las cuadraturas de Gauss proporcionan mayor exactitud que otras reglas para un determinado número de puntos de integración En cada punto de Gauss se realiza un número importante de operaciones

27 Integración numérica de Gauss en una dimensión: F (ξ)dξ = p w i F (ξ i ) (76) siendo p el número de puntos de integración, ξ i las coordenadas de cada punto i y w i los pesos correspondientes. Algunas cuadraturas: punto: 2 puntos: 3 puntos: 4 puntos: Integración numérica F (ξ)dξ 2F () F (ξ)dξ F ( / 3) + F (/ 3) F (ξ)dξ 5 9 F ( 3/5) F () F ( 3/5) F (ξ)dξ w F (ξ ) + w 2 F (ξ 2 ) + w 3 F (ξ 3 ) + w 4 F (ξ 4 ) Para la regla de 4 puntos: w = w 4 = 2 5/6, w2 = w 3 = /6 6 ξ = ξ 4 = ( /5)/7, ξ 2 = ξ 3 = (3 2 6/5)/7 Las cuatro reglas descritas integran de manera exacta polinomios de hasta grado, 3, 5 y 7, respectivamente. En general, una cuadratura D de Gauss con p puntos integra exactamente polinomios de orden 2p

28 Integración numérica Para calcular la integral de F (x) en el intervalo [a, b] se hace un cambio de variable definiendo ξ en el intervalo biunitario: siendo: ξ = 2 b a b a F (x) dx = (x 2 (a + b) ) F (ξ) Jdξ, J = dx dξ = b a 2 Las cuadraturas de Gauss de orden más alto están tabuladas en los libros de cálculo numérico (en Handbook of Mathematical Functions. Abramowitz & Stegun hasta 96 puntos). No obstante, las cuadraturas de orden superior a 4 no se pueden expresar de manera cerrada. Integración numérica de Gauss en dos dimensiones Las cuadraturas de Gauss más simples se obtienen aplicando las cuadraturas D a cada variable. Para ello las integrales han de transformarse al cuadrilátero biunitario. F (ξ, η) dξdη = dη p i= F (ξ, η) dξ p 2 i= w i w j F (ξ i, η j ) siendo p y p 2 el número de puntos en cada dirección (que son iguales si las funciones de forma también lo son).

29 Integración numérica de Gauss en dos dimensiones η η η ξ ξ ξ 2/ 3 2 p 3/5 punto: 2 puntos: 3 puntos: w = 4, w 2 2 =, w = w 3 = w 7 = w 9 = 25 8 w 2 = w 4 = w 6 = w 8 = 4 8 w 5 = 64 8