2. Modelo Numérico. 2.1 Geometría del modelo

Transcripción

1 2. Modelo Numérico 2.1 Geometría del modelo El presente estudio se lleva a cabo mediante la utilización de un código basado en el Método de los Elementos de Contorno (París y Cañas [8]), lo cual hace posible el desarrollo de análisis numéricos de problemas planos en presencia de grietas de interfase y contacto, tal y como ha sido descrito por Blázquez y otros. [9] para problemas planos y por Graciani y otros. [10] para problemas asimétricos. El primer paso para realizar el análisis numérico es la correcta definición y posterior desarrollo del modelo. El esquema básico de la geometría del problema se muestra en la Figura 4. Se trata una grieta que se propaga simétricamente con respecto al eje x en la interfase existente entre una fibra (sólido 2) y la matriz que la rodea (sólido 1). Además de dichos sólidos se define una fibra secundaria (sólido 3) situada en el seno de la matriz, que no presenta defecto alguno y cuya posición se modifica a lo largo del estudio. De esta manera, bajo la hipótesis de deformación plana y sometiendo el conjunto a cargas transversales de tracción, puede evaluarse la influencia de la presencia de la fibra en la propagación de la grieta, comparando los resultados obtenidos con los del mismo modelo en ausencia de fibra secundaria. Figura 4. Esquema básico de la geometría del modelo empleado. Los materiales elegidos para el análisis corresponden a una configuración típica empleada en los materiales compuestos reforzados con fibra: un sistema de fibra de vidrio y matriz de resina epoxi. Sus propiedades elásticas se muestran en la Tabla 1. Tabla 1. Propiedades elásticas de los materiales. Sólido Material Módulo de Young, E [Pa] Coeficiente de Poisson, ν 1 Matriz (epoxi) E m = ν m =0.33 2,3 Fibra (vidrio) E f = ν f =

2 Con respecto a las dimensiones del problema, el valor del radio de ambas fibras se considera la dimensión principal, ya que supone el punto de partida para la obtención del resto de la geometría. En este estudio, el valor empleado es r 1 = m. A partir del radio se eligen las dimensiones de la matriz, cuyos valores deben ser lo suficientemente grandes como para que el conjunto de las dos fibras pueda considerarse aislado, sin efectos de borde: b=largo de la matriz=100 r 1 y a= ancho de la matriz = b/2. La posición del fondo de la grieta se determina a partir del ángulo de despegue, θ d. Además se considera la posibilidad de que a partir de un valor determinado de θ d aparezca una zona de contacto en parte de la grieta, de manera que se define θ s como ángulo de separación, quedando la grieta dividida en dos zonas, tal y como se muestra en la Figura 5. Figura 5. Detalle de la fibra principal. Despegue, contacto y separación. La posición de la fibra secundaria está determinada por la distancia entre los centros de las fibras, r 2, y el ángulo con respecto al eje x, θ 2. Para el cálculo del valor de la distancia r 2 es preciso obtener su relación con el radio de las fibras, r 1, a partir de un modelo de celdilla unidad con disposición de refuerzo hexagonal, cuyo esquema aparece en la Figura 6. Figura 6. Celdilla unidad con disposición de refuerzo hexagonal. Como situación de partida se impone que la relación entre el volumen de fibra y el de la celdilla sea V f /V celdilla =62% (cuando el método de fabricación utilizado es el de enrollado de filamentos dicha relación se encuentra en el intervalo 60-85%). A partir de 16

3 dicho valor y de las relaciones geométricas de la estructura del refuerzo hexagonal es posible calcular la relación entre los parámetros del problema: á % 62% Discretización del modelo Una vez definido el modelo es preciso proceder a su discretización, dividiendo cada uno de los contornos en una serie de elementos rectos lineales continuos. Esto permite la resolución de problemas de contacto entre sólidos mediante la utilización de un código basado en el Método de los Elementos de Contorno [10]. En dicha discretización es preciso tener dos aspectos importantes en cuenta. El primero es prestar especial atención a los elementos del entorno del fondo de la grieta, tanto al número de elementos como a su tamaño, pues los resultados obtenidos en dicha zona serán el punto de partida para el análisis posterior. El segundo es asegurar que las transiciones entre elementos de tamaños muy diferentes se produzcan de forma gradual para garantizar la obtención de resultados coherentes. Para definir la sucesión de nodos de la discretización se ha creado un programa de Matlab, a su vez apoyado en una serie de hojas de cálculo previas, en el cual se introducen los valores de las posiciones del fondo de grieta y de la fibra secundaria. Dicho programa es capaz de generar los ficheros de entrada que, una vez ejecutados mediante el uso del Método de los Elementos de Contorno, permite calcular la solución en tensiones y desplazamientos de cada uno de los nodos del problema. En el Anexo 1, se muestra el programa de Matlab empleado. Desde el punto de vista de la discretización, se definirán 4 sólidos diferentes: Sólido 1: Matriz. Sólido 2: Fibra principal. Sólido 3: Fibra secundaria, mitad superior. Sólido 4: Fibra secundaria, mitad inferior Sólido 1 El planteamiento consiste en generar una serie de nodos, partiendo del punto O definido en la Figura 7 y siguiendo el sentido antihorario visto desde el interior del sólido, recorriendo el contorno exterior de la matriz y el contorno en contacto con la fibra 17

4 principal. Una vez que se vuelve al punto de partida, se procede a hacer lo mismo a partir del punto A, a lo largo del contorno de contacto con la fibra secundaria. En general se utilizan elementos de tamaño constante, salvo en los contornos 1 (tramos 1.a), 2 y 3, representados en la Figura 7, en los que el tamaño de los elementos de la discretización debe adaptarse a la posición del fondo de la grieta. Con el fin de simplificar el modelo, se decide que el número de elementos de cada uno de los contornos y sus tramos permanezca invariable con respecto al valor de los parámetros geométricos del modelo. Además el número de elementos de los contornos 2 y 3 coincide, ocurriendo lo mismo en los dos tramos 1.a. Estas decisiones hacen que la numeración de los nodos, la definición de los elementos, la aplicación de las condiciones de contorno y el establecimiento del contacto entre los sólidos permanezca invariable a los cambios en la posición del fondo de grieta y del centro de la fibra secundaria. Esto facilita considerablemente la obtención de los resultados analizados en este proyecto: el Índice de Liberación de Energía, la morfología de la grieta y su crecimiento inestable, así como las representaciones gráficas de las deformadas, para cada una de las situaciones que se estudiarán del problema. Figura 7. Esquema de la obtención de la discretización del Sólido 1. De forma numerada y en diferentes colores se representan en la Figura 7 los contornos de los que consta el sólido 1: Contorno exterior de la matriz (1). De manera general, la discretización de este contorno tiene elementos relativamente grandes en relación a los del resto del problema, puesto que desde el punto de vista del análisis numérico, el interés reside principalmente en estudiar lo que ocurre en los contornos existentes entre la matriz y la fibra principal. 18

5 Sin embargo, conforme el contorno 1 se acerca a dichos contornos (tramos 1.a), el tamaño de los elementos debe ir disminuyendo, de manera que la transición entre tamaños sea lo suficientemente gradual hasta llegar al fondo de la grieta (se debe garantizar que la relación entre un elemento y los elementos contiguos se encuentre entre 0.5 y 2). Dicho objetivo se consigue imponiendo un tamaño concreto para los elementos iniciales y finales del tramo y utilizando una interpolación polinomial, de manera que manipulando el grado del polinomio y el número de elementos del tramo del contorno, se puede obtener una discretización válida. Se debe verificar que no se sobrepase el límite establecido entre los tamaños de elementos contiguos, prestando especial atención a los casos de los tamaños extremos de la grieta, es decir, θ d =10º y θ d =150º. Por último, obteniendo el polinomio para varias posiciones del fondo de grieta y calculando la relación existente entre los coeficientes del polinomio y el ángulo de despegue, el programa permite crear la discretización deseada para cada valor de dicho ángulo introducido. La Figura 8 muestra la discretización del contorno 1 para θ d =90º. Se observa claramente la sucesión de elementos de longitud constante para los tramos 1.b y 1.c, y la transición gradual de tamaños de los tramos 1.a. Figura 8. Discretización del contorno exterior del Sólido 1 para θ d =90º. 19

6 Contorno de interfase matriz/fibra principal (2) y contorno con despegue matriz/fibra principal (3). A partir del nodo situado en el fondo de la grieta, cuya posición viene determinada por el parámetro θ d, se definen a ambos lados los nodos de estos contornos. La posición de los nodos definidos para θ d -0.5º θ θ d +0.5º es la misma que la utilizada en [2]. Para θ d º θ θ d y θ d θ θ d º se definen 4 nodos, mientras que para θ d -0.5º θ θ d y θ d º θ θ d +0.5ºse definen l2. La distribución de dichos nodos responde al cálculo de la energía liberada por la grieta y se explica en el Capítulo 3. La amplitud angular de los elementos definidos por dichos nodos está impuesta, permanece invariable al valor del ángulo de despegue y su valor se muestra en el Anexo 2. Los elementos de los tramos definidos por 0º θ θ d -0.5º y θ d -0.5º θ 180º se calculan con la misma estrategia utilizada para los tramos 1.a del contorno 1, utilizando una interpolación polinomial, con el objetivo de obtener una sucesión de elementos cuya relación de tamaños sea lo suficientemente gradual para cualquier θ d ϵ [10º,150º]. La Figuras 9 y 10 muestran la discretización de los contornos 2 y 3 para los tamaños extremos de grieta estudiados, θ d =10º y θ d =150º. Se puede apreciar la transición gradual entre los elementos de los contornos 2 y 3, desde los elementos más pequeños situados en el entorno del fondo de la grieta, hasta los que se encuentran en los límites de dichos contornos. Además, se observa que la transición entre los contornos 2 y 3 y el contorno externo de la matriz se produce también de forma gradual, respetando los límites entre tamaños de elementos contiguos. y(mm) x(mm) Figura 9. Discretización de los contornos 2 y 3 del Sólido 1 para θ d =10º. 20

7 y(mm) x(mm) Figura 10. Discretización de los contornos 2 y 3 del Sólido 1 para θ d =150º. Contornos de interfase matriz/fibra secundaria, (4) y (5). Se trata de una discretización simple, ya que desde el punto de vista del problema, la interfase entre la fibra secundaria y la matriz tiene menos importancia que la interfase en la que se produce la grieta. Se realiza dividiendo los contornos en un número de elementos de amplitud angular constante, siendo el tamaño de los elementos invariable frente la posición de la fibra secundaria (r 2, θ 2 ) Sólido 2 La discretización del sólido 2 se realiza partiendo del punto O y en sentido antihorario, tal y como se muestra en la Figura 11, obteniéndose, los siguientes contornos: Contorno con despegue fibra principal /matriz (1) y contorno de interfase fibra principal/matriz (2). La sucesión de elementos es exactamente la misma que la obtenida en los sólidos 2 y 3 del sólido 1, pero en sentido inverso. Figura 11. Esquema de la obtención de la discretización del Sólido 2. Contorno exterior de la fibra principal (3). El contorno deberá servir de transición entre los elementos de los contornos 1 y 2. Para ello se vuelve a utilizar una interpolación polinomial que permita obtener un mallado óptimo para θ d ϵ [10º,150º]. 21

8 Figura 12. Discretización de los contornos del Sólido 2 para θ d =10º y θ d =30º. Figura 13. Discretización de los contornos del Sólido 2 para θ d =60º y θ d =90º. Figura 14. Discretización de los contornos del Sólido 2 para θ d =120º y θ d =150º. Las Figuras 12, 13 y 14, muestran la discretización del Sólido 2 obtenida para distintos valores de θ d. Comparándolas, se aprecia cómo varía la posición del 22

9 fondo de grieta, y con ella los tamaños de los elementos de la discretización, obteniéndose una transición adecuada entre elementos. Es especialmente interesante el caso de θ d =90º, mostrado en la Figura 13. Puesto que la interpolación utilizada a ambos lados del fondo de grieta es la misma y el número de elementos de los contornos 1 y 2 coinciden, la discretización es totalmente simétrica con respecto al eje vertical. Además, los elementos de dichos contornos contiguos al contorno 3 son iguales, convirtiéndose el contorno de transición 3 en un contorno de elementos de longitud constante Sólidos 3 y 4 Los dos sólidos que corresponden a la fibra secundaria tienen exactamente la misma discretización, que sigue los modelos definidos en la Figura 15, partiendo del punto A en sentido antihorario. Figura 15. Esquema de la obtención de la discretización de los Sólidos 3 y 4. Los contornos de los que constan dichos sólidos son los siguientes: Contornos de interfase fibra secundaria/matriz (1). Se trata de la sucesión de elementos obtenidos para el sólido 1, pero recorridos de forma inversa. Contornos de interfase entre los sólidos 3 y 4 (2). Son exactamente iguales pero recorridos de manera inversa. Se obtienen dividiendo el diámetro de la fibra secundaria en una sucesión de elementos de longitud constante e invariable frente la posición de la fibra secundaria (r 2, θ 2 ). La Figura 16 muestra una representación gráfica de la discretización realizada para los sólidos 2, 3 y 4, pudiéndose apreciar la cercanía entre las fibras y la diferencia de tamaño entre los elementos del Sólido 2 y los de los Sólidos 3 y 4. 23

10 y(mm) x(mm) Figura 16. Discretización de los sólidos 2, 3 y 4 para θ d =60º y θ 2 =30º. 2.3 Recapitulación de la discretización En la Tabla 2 se muestra una recapitulación de la discretización realizada, indicando cada uno de los sólidos y contornos empleados, así como el número de elementos de cada contorno y el total. Tabla 2. Definición y número de elementos de los contornos del problema. Sólido Contorno Definición Número de elementos 1 Contorno exterior de la matriz 72 2 Contorno de interfase matriz/fibra principal 41 3 Contorno con despegue matriz/fibra principal 41 4 Contorno de interfase matriz/fibra secundaria 9 5 Contorno de interfase matriz/fibra secundaria 9 1 Contorno con despegue fibra principal/matriz 41 2 Contorno de interfase fibra principal/matriz 41 3 Contorno exterior de la fibra principal 16 1 Contorno de interfase fibra secundaria/matriz 9 2 Contorno de interfase entre los sólidos 3 y Contorno de interfase fibra secundaria/matriz 9 2 Contorno de interfase entre los sólidos 4 y 3 4 Número total de elementos

11 2.4 Condiciones de contorno Las condiciones de contorno del problema se resumen en la Tabla 3, en la cual se detallan dichas condiciones para cada uno de los sólidos y los contornos definidos en las Figuras 7, 11 y 15. Los subíndices n y t hacen referencia respectivamente a las direcciones normales y tangenciales a cada uno de los contornos. Tabla 3. Condiciones de contorno del problema elástico. Sólido Contorno Definición Condiciones a Plano de simetría 1.b Carga transversal de tracción 1.c Libre de acciones o contactos 2 Zona de interfase con sólido 2 3 Zona de contacto con sólido 2 4 Zona de interfase con sólido 4 5 Zona de interfase con sólido 3 1 Zona de contacto con sólido 1 2 Zona de interfase con sólido 1 3 Plano de simetría 1 Zona de interfase con sólido 1 2 Zona de interfase con sólido 3 1 Zona de interfase con sólido 1 2 Zona de interfase con sólido 3 u n =0 σ=1 Pa u n =0 25

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