4. CRECIMIENTO DE GRIETA
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- Arturo Cabrera López
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1 4. CRECIMIENTO DE GRIETA En este proyecto se estudiará el crecimiento de grieta en el caso de grietas basado en la mecánica de la fractura elástica lineal. En este caso la parte frontal de la grieta puede verse sometida a tres modos principales de carga o combinaciones suyas en función de las diferentes condiciones de carga. Se puede asignar un sistema de ejes coordenados cartesianos tales que el extremo de la grieta esté alineado con el eje z. Consideramos además un estado idealizado en el que las tensiones y deformaciones en las cercanías del extremo de la grieta pueden expresarse únicamente en función de las coordenadas x e y. En la siguiente imagen la grieta se encuentra sometida al Modo I, el modo de apertura o tensión, donde las tensiones y deformaciones en el plano son simétricas respecto al eje x. Fig Modo I. En la siguiente figura la grieta está sometida al Modo II, modo de deslizamiento o cortadura en el plano, donde las tensiones y deformaciones son antisimétricas con respecto al eje x. Fig. 4-. Modo II. JOSÉ MANUEL ESCACENA VENTURA - 4 -
2 Finalmente, en la siguiente imagen la grieta está sometida al Modo III, de cortadura antiplanar, donde las tensiones y deformaciones fuera del plano son antisimétricas respecto al eje x. Fig Modo III. En el caso de materiales lineales e isótropos se pueden intentar obtener las expresiones del factor de intensidad en tensiones para los diferentes modos. Para ello se concentra el estudio en una pequeña zona alrededor del borde de la grieta donde las tensiones se representan en coordenadas polares. Fig Tensiones en torno al borde de la grieta. Se pueden plantear las ecuaciones de equilibrio en las que se debe cumplir que өө = rө = 0 en ө = ±π. r r r θ r = 0 r θ r = 0 (4.1) (4.) Combinando las ecuaciones de compatibilidad, las de equilibrio en el plano y la ley de Hooke bajo tensión y deformación plana se llega a la siguiente expresión: JOSÉ MANUEL ESCACENA VENTURA - 5 -
3 r r r r θ ( + ) = 0 (4.3) La solución para las ecuaciones presentadas se puede presentar de la siguiente manera: λ ~ = Cr ( θ ) (4.4) λ ~ = Cr ( θ ) (4.5) λ = Cr ~ ( θ ) (4.6) donde λ son los autovalores, C es una constante indeterminada que representa la amplitud de la singularidad cuando λ es negativo. Las tensiones que aparecen con tilde son las funciones de tensión normalizada de θ. Bajo tensión o deformación plana se pueden considerar los Modos I y II, siendo en el Modo I las tensiones simétricas respecto a la dirección de la línea de la grieta (θ =0). El factor de intensidad en tensiones I para el Modo I se puede definir como la amplitud de la singularidad de la tensión de apertura justo frente al borde de la grieta (θ =0). I = πr ( r, θ = 0) (4.7) lim0 r Para el Modo II las tensiones son antisimétricas con respecto a la línea de la grieta, definiéndose II como la amplitud de la singularidad de la tensión cortante justo frente al extremo de la grieta. II = πr ( r, θ = 0) (4.8) lim0 r Operando también puede obtenerse III definido como la amplitud de la singularidad de la tensión θz frente al extremo de la grieta. III = πr θ z ( r, θ = 0) (4.9) lim0 r Para casos sencillos se puede determinar el valor del factor de intensidad en tensiones y dichos valores se encuentran en manuales para estos casos de carga y geometría sencillas. Por otra parte, el análisis dimensional de grietas en sólidos infinitos o semiinfinitos nos indica que las unidades del factor de intensidad en tensiones son de presión multiplicado por la raíz cuadrada de longitud, en el caso de sistema internacional: MPa*m 1/. Por ejemplo, para un panel con grieta en el centro o en el borde el factor de intensidad en tensiones toma la forma que se indica a continuación, donde a es la longitud de grieta, S g es la tensión nominal o la máxima tensión nominal por flexión, y F(α) es una función geométrica de la longitud de grieta normalizada α (α=a/b, donde b es el espesor del panel). JOSÉ MANUEL ESCACENA VENTURA - 6 -
4 I ( α ) S πa = F (4.10) g 4.1 Ensayos de crecimiento de grieta, curva da/dn Una vez definido lo más básico de la mecánica de fractura elástica y lineal se pasará a explicar el comportamiento de grietas durante su propagación en el que ha sido empleada con éxito. Consideremos una pieza en la que se ha producido una grieta de longitud a y que está sometida a cargas cíclicas, siendo la tensión aplicada S función del tiempo y los factores de intensidad en tensiones máximo y mínimo ( max y min ) relacionados linealmente con la máxima y mínima tensión aplicadas respectivamente (S max y S min ): max = FSmax πa (4.1.1) = min FS min πa (4.1.) Donde F es función de la geometría de la pieza y condiciones de carga y S max y S min son los valores mostrados a continuación. Fig Esquema de la pieza sometida a tracción (a) y representación de tensión aplicada (b). Se define el rango de factor de intensidad en tensiones ( ) y coeficiente de asimetría (R): = max min (4.1.3) S R = S min min = (4.1.4) max En la siguiente figura se muestra una representación esquemática de la velocidad de crecimiento de grieta (da/dn) frente al factor de intensidad en tensiones ( ) en escala logarítmica. Se pueden distinguir tres zonas al ir max JOSÉ MANUEL ESCACENA VENTURA - 7 -
5 variando los valores de. En la zona I, para valores bajos de se observa que al reducir el valor del factor de intensidad en tensiones la velocidad de crecimiento de grieta decae rápidamente, teniendo por valor asintótico th que es el umbral de crecimiento de grieta, el valor por debajo del cual la grieta no crece. En la zona III la velocidad de crecimiento aumenta muy rápidamente con el factor de intensidad en tensiones tendiendo a c, siendo éste el valor de para el que el crecimiento de la grieta se hace rápido e inestable. Fig Esquema de la evolución de la velocidad de crecimiento de grieta. Hay otra zona más, la zona II, en la que la relación es prácticamente lineal, pudiendo aproximarse el comportamiento del material mediante la ecuación de Paris: da dn ( ) m = C (4.1.5) Donde C y m son constantes del material que se obtienen mediante un ajuste por mínimos cuadrados de resultados experimentales. La finalidad de los ensayos de crecimiento de grieta es precisamente la obtención de estos parámetros que definen la curva de crecimiento de grieta así como determinar el umbral de crecimiento de grieta. 4. Factores que influyen en el crecimiento de grieta Son muchos los factores que influyen en el crecimiento de grieta, habiendo además una inteelación entre ellos. Pongamos por ejemplo la dependencia respecto del coeficiente de asimetría R. Resultados experimentales indican que la velocidad de crecimiento de grieta varía al hacerlo R manteniendo cualquier otro factor constante. JOSÉ MANUEL ESCACENA VENTURA - 8 -
6 Fig Efecto del coeficiente de asimetría sobre la velocidad de crecimiento de grieta. El efecto del coeficiente de asimetría sobre la velocidad de crecimiento de grieta se puede apreciar en la representación anterior, donde se esquematiza el comportamiento observado en muchos metales y aleaciones. La curva presenta la forma que ya se ha visto en escala logarítmica pudiendo distinguirse tres regiones diferentes. De estas tres regiones, la I y la III son más sensibles al coeficiente de asimetría. En la zona II no afecta la variación de R para ciertos materiales por lo que se ha sugerido que se ha sugerido una cierta relación entre el coeficiente de asimetría y la sensibilidad de la microestructura al crecimiento de grieta, produciéndose un cambio cuando el tamaño de la zona plástica alrededor del extremo de la grieta alcanza las mismas dimensiones que el tamaño de grano. Se ha tratado de explicar este efecto por medio de varias teorías basadas en el ciee de grieta, tensiones residuales de compresión, por reacción química en la superficie interna de la grieta recién abierta Sin embargo la validez de estas explicaciones está sometida al material y las condiciones de ensayo. Por ejemplo, considerando que en algunos materiales al ser ensayados en vacío no aparece este efecto supondría que en estas condiciones no hay ciee de grieta ni efectos de tensiones residuales. Estas teorías no sirven para explicar porqué el efecto es más reducido en la zona II ni porqué se disminuye al trabajar en vacío. Por poner un ejemplo, la fórmula empírica (propuesta por lesnil y Lukás) más popular para la descripción de la variación de th se presenta a continuación: µ th = th0 (1 R) (4..1) JOSÉ MANUEL ESCACENA VENTURA - 9 -
7 Donde th0 es el valor de th para R = 0 y µ es un parámetro mediante el que se ajusta a resultados experimentales, tomando valores entra 0.3 y 1 para ensayos con aire y aproximadamente cero para ensayos en vacío. Esta expresión se ha comprobado que se ajusta razonablemente bien a los resultados experimentales e indica que la velocidad de crecimiento de grieta depende no solo de las condiciones de carga y del material sino también de las condiciones ambientales. JOSÉ MANUEL ESCACENA VENTURA
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