Control II Diseño de Compensadores utilizando el Lugar de las Raíces. Fernando di Sciascio

Transcripción

1 Control II Diseño de Compensadores utilizando el Lugar de las Raíces Fernando di Sciascio

2 La estabilidad y la respuesta transitoria no es la adecuada. Por qué compensar?

3 La estabilidad y la respuesta transitoria no es la adecuada. Solución: Se modifica las posiciones de los polos a lazo cerrado Por qué compensar?

4 El error en estado estacionario es mayor al especificado. Por qué compensar?

5 El error en estado estacionario es mayor al especificado. Solución: Incrementar la ganancia del sistema sin deteriorar la respuesta transitoria. Eventualmente se incrementa el tipo de sistema. Por qué compensar?

6 Por qué compensar? 1. El sistema es estable y la respuesta transitoria es satisfactoria, pero el error en estado estacionario es demasiado grande. Solución: Se debe incrementar la ganancia para reducir el error en estado estacionario. Este incremento de la ganancia no debe reducir apreciablemente la estabilidad del sistema. 2. El sistema es estable, pero la respuesta transitoria no es satisfactoria. Solución: El lugar de las raíces debe ser reconfigurado moviéndolo hacia la izquierda del eje imaginario. 3. El sistema es estable, pero tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionario son insatisfactorias. Solución: El lugar de las raíces debe moverse hacia la izquierda y la ganancia debe incrementarse. 4. El sistema es inestable para todos los valores de la ganancia. Solución: El lugar de las raíces debe ser reconfigurado para que parte de cada rama este del lado izquierdo del plano s, haciendo que el sistema sea estable para un rango de la ganancia.

7 Por qué compensar? 1. El sistema es estable y la respuesta transitoria es satisfactoria, pero el error en estado estacionario es demasiado grande. Solución: Se debe incrementar la ganancia para reducir el error en estado estacionario. Este incremento de la ganancia no debe reducir apreciablemente la estabilidad del sistema. 2. El sistema es estable, pero la respuesta transitoria no es satisfactoria. Solución: El lugar de las raíces debe ser reconfigurado moviéndolo hacia la izquierda del eje imaginario. 3. El sistema es estable, pero tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionario son insatisfactorias. Solución: El lugar de las raíces debe moverse hacia la izquierda y la ganancia debe incrementarse. 4. El sistema es inestable para todos los valores de la ganancia. Solución: El lugar de las raíces debe ser reconfigurado para que parte de cada rama este del lado izquierdo del plano s, haciendo que el sistema sea estable para un rango de la ganancia.

8 Por qué compensar? 1. El sistema es estable y la respuesta transitoria es satisfactoria, pero el error en estado estacionario es demasiado grande. Solución: Se debe incrementar la ganancia para reducir el error en estado estacionario sin deteriorar la estabilidad del sistema. 2. El sistema es estable, pero la respuesta transitoria no es satisfactoria. Solución: El lugar de las raíces debe ser reconfigurado moviéndolo hacia la izquierda del eje imaginario. 3. El sistema es estable, pero tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionario son insatisfactorias. Solución: El lugar de las raíces debe moverse hacia la izquierda y la ganancia debe incrementarse. 4. El sistema es inestable para todos los valores de la ganancia. Solución: El lugar de las raíces debe ser reconfigurado para que parte de cada rama este del lado izquierdo del plano s, haciendo que el sistema sea estable para un rango de la ganancia.

9 Por qué compensar? 1. El sistema es estable y la respuesta transitoria es satisfactoria, pero el error en estado estacionario es demasiado grande. Solución: Se debe incrementar la ganancia para reducir el error en estado estacionario sin deteriorar la estabilidad del sistema. 2. El sistema es estable, pero la respuesta transitoria no es satisfactoria. Solución: El lugar de las raíces debe ser reconfigurado moviéndolo hacia la izquierda del eje imaginario. 3. El sistema es estable, pero tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionario son insatisfactorias. Solución: El lugar de las raíces debe moverse hacia la izquierda y la ganancia debe incrementarse. 4. El sistema es inestable para todos los valores de la ganancia. Solución: El lugar de las raíces debe ser reconfigurado para que parte de cada rama este del lado izquierdo del plano s, haciendo que el sistema sea estable para un rango de la ganancia.

10 Por qué compensar? 1. El sistema es estable y la respuesta transitoria es satisfactoria, pero el error en estado estacionario es demasiado grande. Solución: Se debe incrementar la ganancia para reducir el error en estado estacionario sin deteriorar la estabilidad del sistema. 2. El sistema es estable, pero la respuesta transitoria no es satisfactoria. Solución: El lugar de las raíces debe ser modificado moviéndolo hacia la izquierda del eje imaginario. 3. El sistema es estable, pero tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionario son insatisfactorias. Solución: El lugar de las raíces debe moverse hacia la izquierda y la ganancia debe incrementarse. 4. El sistema es inestable para todos los valores de la ganancia. Solución: El lugar de las raíces debe ser reconfigurado para que parte de cada rama este del lado izquierdo del plano s, haciendo que el sistema sea estable para un rango de la ganancia.

11 Por qué compensar? 1. El sistema es estable y la respuesta transitoria es satisfactoria, pero el error en estado estacionario es demasiado grande. Solución: Se debe incrementar la ganancia para reducir el error en estado estacionario sin deteriorar la estabilidad del sistema. 2. El sistema es estable, pero la respuesta transitoria no es satisfactoria. Solución: El lugar de las raíces debe ser modificado moviéndolo hacia la izquierda del eje imaginario.. 3. El sistema es estable, pero tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionario son insatisfactorias.

12 Por qué compensar? 1. El sistema es estable y la respuesta transitoria es satisfactoria, pero el error en estado estacionario es demasiado grande. Solución: Se debe incrementar la ganancia para reducir el error en estado estacionario sin deteriorar la estabilidad del sistema. 2. El sistema es estable, pero la respuesta transitoria no es satisfactoria. Solución: El lugar de las raíces debe ser modificado moviéndolo hacia la izquierda del eje imaginario. 3. El sistema es estable, pero tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionario son insatisfactorias. Solución: El lugar de las raíces debe moverse hacia la izquierda y la ganancia debe incrementarse. 4. El sistema es inestable para todos los valores de la ganancia. Solución: El lugar de las raíces debe ser reconfigurado para que parte de cada rama este del lado izquierdo del plano s, haciendo que el sistema sea estable para un rango de la ganancia.

13 Por qué compensar? 1. El sistema es estable y la respuesta transitoria es satisfactoria, pero el error en estado estacionario es demasiado grande. Solución: Se debe incrementar la ganancia para reducir el error en estado estacionario sin deteriorar la estabilidad del sistema.. 2. El sistema es estable, pero la respuesta transitoria no es satisfactoria. Solución: El lugar de las raíces debe ser modificado moviéndolo hacia la izquierda del eje imaginario. 3. El sistema es estable, pero tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionario son insatisfactorias. Solución: El lugar de las raíces debe moverse hacia la izquierda y la ganancia debe incrementarse. 4. El sistema es inestable para todos los valores de la ganancia. Solución: El lugar de las raíces debe ser reconfigurado para que parte de cada rama este del lado izquierdo del plano s, haciendo que el sistema sea estable para un rango de la ganancia.

14 Por qué compensar? 1. El sistema es estable y la respuesta transitoria es satisfactoria, pero el error en estado estacionario es demasiado grande. Solución: Se debe incrementar la ganancia para reducir el error en estado estacionario sin deteriorar la estabilidad del sistema. 2. El sistema es estable, pero la respuesta transitoria no es satisfactoria. Solución: El lugar de las raíces debe ser modificado moviéndolo hacia la izquierda del eje imaginario. 3. El sistema es estable, pero tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionario son insatisfactorias. Solución: El lugar de las raíces debe moverse hacia la izquierda y la ganancia debe incrementarse. 4. El sistema es inestable para todos los valores de la ganancia. Solución: El lugar de las raíces debe ser modificado para que parte de cada rama este del lado izquierdo del plano s, haciendo que el sistema sea estable para un rango de la ganancia.

15 Tipos de compensadores

16 Diseño de compensadores usando el Lugar de las Raíces El lugar de las raíces indica si se puede o no obtener el comportamiento deseado en la respuesta transitoria yenelerrordeestadoestacionariomodificandola ganancia. Normalmente no se puede cumplir con las especificaciones de comportamiento variando la ganancia (o un parámetro cualquiera) solamente. Es necesario modificar el lugar de las raíces

17 Diseño de compensadores usando el Lugar de las Raíces El diseño usando el lugar de las raíces se basa en añadir polos y ceros a la función de transferencia en lazo abierto del sistema y hacer que el lugar de las raíces pase por los polos en lazo cerrado deseados en el plano S. El problema de diseño, se convierte en mejorar el comportamiento del sistema mediante la inserción de un compensador. La compensación de un sistema de control se reduce al diseño de un filtro cuyas características tienden a compensar las características no deseables e inalterables de la planta.

18 Diseño de compensadores usando el Lugar de las Raíces El diseño usando el lugar de las raíces se basa en añadir polos y ceros a la función de transferencia en lazo abierto del sistema y hacer que el lugar de las raíces pase por los polos en lazo cerrado deseados en el plano S. El problema de diseño, se convierte en mejorar el comportamiento del sistema mediante la inserción de un compensador. La compensación de un sistema de control se reduce al diseño de un filtro cuyas características tienden a compensar las características no deseables e inalterables de la planta.

19 Diseño de compensadores usando el Lugar de las Raíces

20 Diseño de compensadores usando el Lugar de las Raíces

21 Especificaciones de Diseño Diseñar un Sistema de control implica cumplir con determinadas especificaciones de diseño. Las especificaciones de diseño se clasifican según su dominio: a) Especificaciones en el dominio de la frecuencia Las veremos más adelante cuando diseñemos en frecuencia mediante diagramas de Bode. b) Especificaciones en el dominio del tiempo b1) Especificaciones de estabilidad y de respuesta transitoria. b2) Especificaciones de estado estacionario (errores) Son las que utilizaremos para el diseño con el lugar de las raíces.

22 Especificaciones de Diseño Diseñar un Sistema de control implica cumplir con determinadas especificaciones de diseño. Las especificaciones de diseño se clasifican según su dominio: a) Especificaciones en el dominio de la frecuencia Las veremos más adelante cuando diseñemos en frecuencia mediante diagramas de Bode. b) Especificaciones en el dominio del tiempo b1) Especificaciones de estabilidad y de respuesta transitoria. b2) Especificaciones de estado estacionario (errores) Son las que utilizaremos para el diseño con el lugar de las raíces.

23 Especificaciones de Diseño Diseñar un Sistema de control implica cumplir con determinadas especificaciones de diseño. Las especificaciones de diseño se clasifican según su dominio: a) Especificaciones en el dominio de la frecuencia Las veremos más adelante cuando diseñemos en frecuencia mediante diagramas de Bode. b) Especificaciones en el dominio del tiempo b1) Especificaciones de estabilidad y de respuesta transitoria. b2) Especificaciones de estado estacionario (errores) Son las que utilizaremos para el diseño con el lugar de las raíces.

24 Especificaciones temporales 1. Tiempo de Subida, t r (T r ) (0.1 a 0.9 del valor final). 2. Tiempo de pico, t p (T P ) (tiempo para alcanzar el máximo). 3. Porcentaje de sobreelongación, Mp(%) (%OS). 4. Tiempo de Establecimiento, t s (Ts) (t hasta 2% del valor estacionario)

25 Repaso de Sistemas de Segundo Orden Forma estándar del sistema de segundo orden Hs () w2 n 2 2xw s w2 n n = s + +

26 Polos de un sistema de segundo orden subamortiguado σ = atenuación ζ = factor de amortiguamiento relativo ω n = frecuencia natural no amortiguada ω d = frecuencia natural amortiguada ( s + s - jw )( s + s + jw ) = ( s + s) 2 + w 2 d d d s xw n 2 = w d = w n 1 - x Forma estándar del sistema de segundo orden Hs () 2 wn 2 2 2xwns wn = s + +

27 Polos de un sistema de segundo orden subamortiguado

28 Respuesta de un sistema de segundo orden en función del amortiguamiento

29 Respuesta de un sistema de segundo orden en función del amortiguamiento

30 Respuesta de un sistema de segundo orden en función del amortiguamiento

31 Lugares de las raíces con z constante ωn constante

32 Lugares de las raíces con %OS2 y T p constante

33 Especificaciones temporales para Sistemas de Segundo Orden Relación entre las especificaciones temporales Tp, Ts, Tr, %Os yconz y w n Tiempo de subida Tr en función de z

34 Repaso de la representación vectorial de funciones racionales en el plano complejo El objetivo de este repaso es demostrar porqué cuando un polo y un cero están cerca uno de otro ambos pueden despreciarse. m K ( s + z ) factores complejos del numerador i= 1 i Fs () = = = Fs () Fs () n ( s + p ) factores complejos del denominador j = 1 j M K distancia a los ceros K ( s + z ) i= 1 i = F() s = = distancia a los polos n ( s + p ) m j = 1 j q = Fs ( ) = ángulos desde los ceros- ángulos desde los ceros å å å m n i= 1 i j= 1 = ( s + z )- ( s + p ) j å

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36 INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LOS COEFICIENTES DE LAS FRACCIONES-PARCIALES Recordemos la influencia de cada polo en la salida de un sistema N () s Ks ( + z)( s+ z) ( s+ z) ( s+ z ) Ts () = = = D s s p s p s p s p T 1 2 j m j= 1 K () ( + 1)( + 2) ( + ) ( + ) n T k n Supongamos por simplicidad todos los polos reales. El desarrollo en fracciones parciales es: A1 A2 Ak An Ts () = s + p s + p s + p s + p 1 2 Donde A k son los residuos de T(s) es los polos correspondientes. k n m k = 1 ( s + z ) j ( s + p ) k Ks ( k + z1)( sk + z2) ( sk + zm) Ak =[( s + sk) T() s ] s= s = = K k ( s + p )( s + p ) ( s + p ) k 1 k 2 k n m j= 1 i¹ k ( s + z ) k j ( s + p ) k i

37 INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LOS COEFICIENTES DE LAS FRACCIONES-PARCIALES m ( s + z ) K s + z m k j k j m n j= 1 j= 1 k = = å + - å + n n k j k i j= 1 i= 1, i¹ k ( sk + pi) sk + pi i= 1, i¹ k i= 1, i¹ k A A K ( s z ) ( s p ) A k A k se puede calcular gráficamente tomando como punto de prueba el polo p k. k A k K s + z j = 1 = = n m i= 1, i¹ k s k k + p j i productode las distancias desde cada ceroal polo pk K productode las distancias desde los otros polos al polo p k m å å A = ( s + z )- ( s + p ) k k j k i j= 1 i= 1, i¹ k n

38 INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LOS COEFICIENTES DE LAS FRACCIONES-PARCIALES IMPORTANTE: Cuando un cero está cerca de un polo la fórmula A k m K sk + zj producto de las distancias desde cada cero al polo p j= 1 k = = K n productodelas distancias desdelos otros polos al polo p s + p i= 1, i¹ k k i Nos dice que el residuo será muy pequeño y en muchos casos se puede despreciar. Este hecho lo utilizamos en la sección siguiente. Ejemplo: k

39 APROXIMACIÓN DE SEGUNDO ORDEN -POLOS DOMINANTES El diseño mediante el lugar de las raíces se basa en la hipótesis de que el sistema en lazo cerrado tiene un par de polos dominantes. Cuáles son los polos dominantes?

40 POLOS DOMINANTES POLOS INSIGNIFICANTES (NO DOMINANTES)

41 POLOS DOMINANTES POLOS INSIGNIFICANTES (NO DOMINANTES) Polos complejos conjugados dominantes

42 POLOS DOMINANTES POLOS INSIGNIFICANTES (NO DOMINANTES) Polos complejos conjugados dominantes Polos no dominantes o insignificantes 1. Los otros polos deben estar alejados a la izquierda de los polos dominantes de manera que los transitorios debidos a ellos sean de pequeña amplitud y se extingan rápidamente. 2. Cualquier otro polo que no esté alejado a la izquierda de los polos complejos dominantes debe estar próximo a un cero de manera que la magnitud del término transitorio originado por tal polo sea pequeña.

43 POLOS DOMINANTES POLOS INSIGNIFICANTES (NO DOMINANTES) Polos complejos conjugados dominantes Polos no dominantes o insignificantes 1. Los otros polos deben estar alejados a la izquierda de los polos dominantes de manera que los transitorios debidos a ellos sean de pequeña amplitud y se extingan rápidamente. 2. Cualquier otro polo que no esté alejado a la izquierda de los polos complejos dominantes debe estar próximo a un cero de manera que la magnitud del término transitorio originado por tal polo sea pequeña.

44 POLOS DOMINANTES POLOS INSIGNIFICANTES (NO DOMINANTES) No necesariamente los polos dominantes son complejos conjugados. El polo dominante puede ser un eje real, entonces el sistema se comporta aproximadamente como de primer orden.

45 Aproximación de segundo orden El diseño mediante el lugar de las raíces se basa en la hipótesis de que el sistema en lazo cerrado tiene un par de polos dominantes.

46 APROXIMACIÓN DE SEGUNDO ORDEN (INFLUENCIA 3ER POLO)

47 APROXIMACIÓN DE SEGUNDO ORDEN

48 APROXIMACIÓN DE SEGUNDO ORDEN Los polos fuera de esas regiones deben estar cercanos a ceros para que sean no dominantes o insignificantes.

49 Región admisible de los polos a lazo cerrado