Control Automático. Compensador de adelanto en el lugar de las raíces

Transcripción

1 Control Automático Compensador de adelanto en el lugar de las raíces

2 Contenido Estrategia para la síntesis de reguladores rlocus Algoritmo para el diseño usando el plano complejo Cálculo del compensador de adelanto en el plano S Por ubicación del cero(s) o cancelación de polo(s) Método de la bisectriz Cálculo del compensador de adelanto en el plano Z Por ubicación ió del cero(s) o cancelación de polo(s) Método de la bisectriz Ejemplos y ejercicios i Resumen Referencias

3 Cálculo del regulador K(s) En la práctica, un regulador K(s) exacto y único no puede ser calculado por dos razones: En general el lazo de regulación no es de segundo orden. Por razones prácticas, los valores de sobreimpulso y de tiempo de estabilización no son establecidos de forma exacta; sino, por valores límite

4 Estrategia para la síntesis de reguladores en el plano complejo. Atacar el problema por partes: Primero, si es necesario, estabilizar el sistema, Segundo, buscar satisfacer los criterios de sobreimpulso y tiempo de subida, Tercero y final, satisfacer los requisitos de error de estado estacionario. 2 Para la satisfacción de requisitos de sobreimpulso 2. Para la satisfacción de requisitos de sobreimpulso máximo y de error de estado estacionario para la perturbación, se trabaja primero con la respuesta directa.

5 Algoritmo para el diseño con ayuda del lugar de las raíces. Graficar el lugar de las raíces para la función de transferencia de lazo abierto G O (). 2. Encontrar las regiones para la ubicación deseada del par de polos dominantes. 3. Determinar la ubicación cualitativa del par de polos dominantes introduciendo un compensador o regulador.

6 Algoritmo para el diseño con ayuda del lugar de las raíces (2) 4. Graficar para la nueva función de transferencia de lazo abierto, KKˆ ( ) G O ( ), el lugar de las raíces. 5. Encontrar el valor de la ganancia K que ubica los polos dominantes en la región deseada. 6. Simular el comportamiento en el tiempo del lazo de regulación

7 . Graficar el lugar de las raíces para G O (s) Ubicar los polos y ceros en el plano complejo Encontrar y graficar las regiones del eje real que pertenecen al lugar de las raíces Encontrar el centroide y las asíntotas Encontrar los ángulos de partida y de llegada Graficar cada asta del lugar de las raíces

8 2. Encontrar las regiones para la ubicación del par de polos dominantes Convertir las especificaciones del dominio del tiempo en especificaciones de frecuencia natural n y amortiguamiento relativo. Graficar las especificaciones de frecuencia natural y amortiguamiento relativo. Seleccionar la región donde se cumplen las Seleccionar la región donde se cumplen las especificaciones del dominio del tiempo.

9 Ejemplo de regiones para la ubicación de los polos dominantes de lazo cerrado en el planos S máx. á. mín., M máx. j plano s n máx. n mín., (t r máx.)

10 Ejemplo de regiones para la ubicación de los polos dominantes de lazo cerrado en el planos z Se muestra un sistema con los límites de la zona en la que se deben ubicar los polos de lazo cerrado para valores de >.6 ω n T >.288 T =.s. E. Interiano

11 3. Determinar la ubicación cualitativa del par de polos dominantes Seleccionar el compensador o regulador adecuado de acuerdo a los criterios conocidos. Iniciar con los reguladores más simples Iniciar con los reguladores más simples (con pocos polos y ceros).

12 4. Graficar el lugar de las raíces para la nueva función de transferencia de lazo abierto Realizar el producto K()*G O () Ubicar los polos y ceros en el plano complejo Encontrar y graficar las regiones del eje real que pertenecen al lugar de las raíces Encontrar el centroide y las asíntotas Encontrar los ángulos de partida y de llegada Graficar cada asta del lugar de las raíces

13 5. Encontrar el valor de la ganancia K que ubica los polos dominantes en la región deseada Seleccionar la ubicación final para los polos dominantes en la región deseada Comprobar que efectivamente existe un par de polos dominantes y que la influencia de los polos restantes es despreciable. Calcular la ganancia K para esa ubicación. Esto corresponde a la parte proporcional del controlador.

14 6. Simular el comportamiento en el tiempo del lazo de regulación Verificar si se cumplen las especificaciones i dadas para el sistema completo Si no se cumplen las especificaciones i volver al punto 5 e iterar. Si aun no se cumplen todas las especificaciones con el regulador escogido, volver al punto 3., escoger otro punto o seleccionar otro regulador más complejo (P, PD, PI, PID); o agregar otro regulador, y repetir el procedimiento.

15 Compensadores y reguladores en tiempo continuo y discreto Compensador de adelanto Compensador de atraso K lead K lag Compensador adelanto-atraso ( ( n z ) kc p p z z ) p z p Compensador de filtro de muesca z nz nz Knotch( ) k C pnp np

16 Desarrollo de las ecuaciones del compensador de cancelación La condición de fase con el compensador agregado Agrupamos el ángulo del cero del compensador con los ángulos de la planta Despejamos el ángulo del polo del compensador y evaluamos para los primeros valores de l G ( ) O q n ( z ) (2* l ) p zi pi i i ˆ ( ) ˆ G O q p (2* l ) z zi pi p i n i ( 2* l ) ˆ 8º Gˆ O ( ) p 8º Gˆ O ( ) La variable representa a s o z

17 Compensador de adelanto por el método de cancelación de polo Plano s k C K lead Kˆ lead k C s s p ( s) G O p z p s p Re ( s) x sss s z Im z p x Gˆ O p p ( s) G O ( s) ( s 8 Gˆ p ( ) O s x Im s tan( ) Re s p Re La cancelación no puede ser exacta. No cancelar polos inestables. ) ss

18 Compensador de adelanto por el método de cancelación de polo Plano z K k C lead ( z) Kˆ lead k C ( z) G z z z p O ( z) zz Im p z z p z p x Re z p x Gˆ O p p ( z) G O ( z) ( z 8 Gˆ p ( ) O z Re Re z x z Im tan( p ) ) zz Este es un caso particular del método de ubicación del cero. Puede ser resuelto con las ecuaciones de ese método; pero, de esta forma, es aplicable para realizar un filtro de muesca E. Interiano 8

19 Compensador de adelanto por el método de ubicación del cero Plano s k C K lead Kˆ lead k C s s p ( s) G O z s Im z p z p Re s p ( s) x sss 8 G O ( s ) ss ( s z ) p p ( z Im s tan( ) Re s p Re z arbitrario

20 Compensador de adelanto por el método de ubicación del cero Plano z Im 8 G O ( z ) zz K lead k C z z z p p z z z ( z z ) p p ( z Im z tan( ) Re z p k C Kˆ lead ( z ) G O ( z ) zz p z Re Rez p x z arbitrario E. Interiano 2

21 Ejemplo Sintetice un regulador que haga que el sistema tenga ante una entrada escalón una respuesta con: un sobreimpulso M P entre el 3% y el % un tiempo de estabilización t S5% < 3 s Escoja para punto s un valor de entre los siguientes: i a) -. +/- j.6 b) -.5 +/- j.25 c) /- j. d) -.5 +/- j 2.

22 Ejemplo : Solución Escogemos el punto s = /- j25.25 Su parte real es menor de -, lo cual cumple con el tiempo de estabilización ió menor a 3 segundos, (t S5% = 3/( n )) Su parte imaginaria lo coloca entre los límites para el sobreimpulso entre el 3% y el % dados por:.59 < <.745 Cancelamos el polo en -.5 con z = -.5 El ángulo ˆ de la planta reducida en el polo en s = -.5, G ˆ ( s ), evaluada en el punto s es: º

23 Ejemplo : Cálculo El ángulo a agregar es: ˆ p = ±8º + = [27.37º, º] Escogemos el valor p = 27.37º ya que éste se encuentra entre ±8º. El orden del compensador de adelanto es entonces El polo del compensador de adelanto: p = La ganancia estática del compensador de adelanto es k C =.72

24 Ejemplo : Gráficas (s +.5) (s.5) K lead (s) = (s )

25 Compensador de adelanto por el método de la bisectriz en el plano s Pl 2 cos s z z s k K Plano s cos 2 cos p s k K C lead 2 cos 2 cos s p 2 ) ( 8 s s O s G C k 8 Re Im tan s s s ) ( ) ( ˆ s s O lead C s G s K

26 Compensador de adelanto por el método de la bisectriz Plano z k K C lead Kˆ k lead C z z p G O ( z) z zz Im z p z Rez z p z z Re cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 8 G G ( z O ) z z tan z Im Re z E. Interiano 26

27 Ejemplo 2: Realimentación no unitaria Sintetice un regulador que haga que el sistema tenga ante una entrada escalón una respuesta con: Un sobreimpulso M P entre el 5 % y el % Un tiempo de estabilización del 2%, t S2% < 2 s

28 Ejemplo 2: Solución Calculamos l que el amortiguamiento i t relativo debe satisfacer Calculamos l que el producto ω n > 2 Escogemos el punto s = /- j 3 El ángulo de la planta evaluada en el punto s es: El ángulo a agregar es: Escogemos el valor = 7.º ya que éste se encuentra entre ±8º.

29 Ejemplo 2: Selección del punto s Con los parámetros encontrados seleccionamos la zona, y el ella el punto s = /- j 3

30 Ejemplo 2: Selección del punto s Calculamos un compensador por el método de la bisectriz, con 8 s = 5.2 cos cos 2 z s 2 ( 2.5 j3) 3. 4 cos cos 2 2 cos cos 2 p s 2 ( 2.5 j3) cos cos 2 2 k C K ˆ ( s ) * G ( ) ( s 3.4).5 lead O s ( s * 4.5) ( s )( s 3)

31 Ejemplo 2: Lugar de las raíces Con el compensador de adelanto aplicado obtenemos K lead ( s) 23.5 s s

32 Ejemplo 3: Compensador de adelanto Encuentre para el sistema en tiempo discreto cuya planta G(z) se muestra a continuación, con T =. s a) El punto z en el cual el sistema tiene un valor de amortiguamiento relativo =.75 y una frecuencia natural ω n = 4 rad/s. b) El compensador digital de adelanto, por el método de cancelación de polo, que sitúe los polos de lazo cerrado del sistema en z =.65 ±.2i. G( z).4528(z 4528( +.948) (z -.948) (z -.887) E. Interiano 32

33 Solución al ejemplo 3 a) )El punto z para = 75.75, ω n = 4 rad/s, T =. En el tiempo continuo encontramos el punto s adecuado y lo convertimos con z = e st s = -ω n + ω n *j(- 2 ) ½ s = j2.646 z = e s*t =.75 + j.94 E. Interiano 33

34 Solución al ejemplo 3 (2) b) Cancelando el polo en.887 p p z =.887, z =.65 ± j.2, T = (z +.948) (z -.948) z z z Im.2 Rez.65 tan( ) tan(45.46º ) p ( z º.4532 k C z z.887 G( z).4532 zz 2.85 K lead ( z) 2.85 z.887 z.4532 E. Interiano 34

35 Solución al ejemplo 3 (3) Se muestra la zona, para las condiciones >.75 y ω n >4 rad/s, y dentro el punto z de la parte a). Lugar de las raíces compensado por el método de cancelación de polo, para el punto z dado d en b). E. Interiano 35

36 Ejemplo 4: Compensador de adelanto por el método de la bisectriz Encuentre para el sistema en tiempo discreto del ejemplo, con la planta G(z), con T =. s a) )El compensador digital it lde adelanto, por el método de la bisectriz, que haga que la respuesta de lazo cerrado ante un escalón tenga como características dinámicas: Un sobreimpulso M P % Un tiempo de estabilización ió del 2% t S 4.4 s Use un punto z de los siguientes: ).675 ± j.5 2).675 ± j.25 3).7 ± j.3 4).8 ± j2 G( z).4528(z +.948) (z -.948) (z -.887) E. Interiano 36

37 Solución al ejemplo 4 a) M P % 59.59, t S2% 4.4 s n 2.857, T =. s, n 4.84 rad/s, r =.755 Escogemos por lo tanto al punto z =.675 j.25 que cumple con las condiciones de quedar dentro del área delimitada it d por el radio r =.75 y el amortiguamiento i t relativo =.6 8º G ( z ) 63.5º zz tan Im Re z.25 tan z º E. Interiano 37

38 Solución al ejemplo 4: compensador de adelanto Calculamos un compensador de adelanto por el método de la bisectriz cos cos 2 2 z z.675 j cos cos cos cos 2 2 p z.675 j cos cos 2 2 kc 2.73 z.7325 z.7325 K ( z) 2.73 G ( z ) lead z.374 z. 374 zz E. Interiano 38

39 Solución al ejemplo 4: lugar de las raíces Lugar de las raíces compensado por el método de la bisectriz, para el punto z escogido. Se muestra la zona, para las condiciones, de la parte a).59 y n 2.857; r =.75 E. Interiano 39

40 Solución al ejemplo 4 Respuesta ante un escalón para el sistema compensado K( z) ( z 2.73 ( z.7325).374) E. Interiano 4

41 Análisis de resultados para el ejemplo 4 Se puede observar en la figura anterior, que se cumple el valor pedido para el tiempo de estabilización; únicamente el sobreimpulso está ligeramente mayor que el %. El problema principal parece ser que el tiempo de muestreo T S =. s es muy grande respecto a la constante de tiempo dominante del sistema.3 s, esto afecta al sobreimpulso pues la salida tiene cambios muy grandes en cada periodo de muestreo. Se puede reducir el sobreimpulso, en este caso, reduciendo el tiempo de muestreo a T S.35 s. E. Interiano 4

42 Ejemplo 5: Compensador de filtro de ranura (notch filter) Encuentre para el sistema en tiempo discreto, con la planta G(z), con un tiempo de muestreo T =.5 s, el compensador en tiempo discreto, que haga que la respuesta de lazo cerrado ante un escalón tenga las características dinámicas siguientes: Un sobreimpulso M P % Un tiempo de estabilización del 2% t S 3 s.9 (z ) G( z) 2 (z -.885z +.923) E. Interiano 42

43 Solución al ejemplo 5 a) M P % 59.59, t S2% 3 s n 33.33, T =.5 s, n 2.26 rad/s, r =.9355 Encontramos que el punto s = -.34 ± j.8 es la intersección de las condiciones dadas. Transformamos al plano z y obtenemos el punto z =.934 j.84. Escogemos entonces el punto z =.9 j.8 que cumple con las condiciones de quedar dentro del área delimitada por el radio r =.9355 y el amortiguamiento o relativo =.6. 6 El ángulo total a agregar con los polos es calculado como: 8 ; con Gˆ ( z ) 2 8º G( z )(z.885z +.923) E. Interiano 43 zz 2 p 82.43º 77.57º

44 Solución al ejemplo 5: compensador de filtro de muesca Calculamos un compensador de filtro de muesca por el método de cancelación de polos. Ya que el ángulo será aportado por dos polos, entonces el ángulo de cada polo será la mitad. p / º /2 9.2º Calculamos el valor del polo doble Im z.8 p Re z.9.97 tan( p ) 47.4 Calculamos la ganancia estática del compensador kc.79 2 (z -.885z +.923).93) G ( z ) 2 ( z.97) K notch zz ( z) (z.79* z +.923) 2 ( z.97) E. Interiano 44

45 Solución al ejemplo 5: lugar de las raíces Lugar de las raíces compensado con un filtro de muesca, para el punto z escogido. Se muestra la zona, para las condiciones, de la parte a) 6y.6 n.33; r =.936 E. Interiano 45

46 Solución al ejemplo 5: Respuesta ante un escalón para el sistema compensado K notch ( z).79 (z z +.923) 2 ( z.97) E. Interiano 46

47 Análisis de resultados para el ejemplo 5 Se puede observar en la respuesta ante escalón, que se cumplen los valores pedidos para el sobreimpulso, el tiempo de estabilización. El periodo de muestreo T =.5s parece ser muy pequeño para el sistema. Existen aproximadamente 22 muestreos en un periodo de oscilación. Se puede hacer T =.s con toda confianza. E. Interiano 47

48 Resumen Se parte de que el sistema es de segundo orden Se emplea una estrategia que evita al máximo los efectos secundarios de cada parte sobre las otras El procedimiento debe tomar en cuenta que el modelo es inexacto y que las especificaciones no pueden ser tampoco exactas y recurrir a la iteración

49 Ejercicio Sintetice un regulador que haga que el sistema tenga ante una entrada escalón una respuesta con: un sobreimpulso menor al 5% un tiempo de estabilización t S2% <.8 s Escoja un punto s de entre los siguientes: i a) /- j 5.75 b) /- j 3.75 c) /- j 5.25 d) / +/- j4 e) -,5 5+/ +/- j

50 Ejercicios ) Resuelva el ejemplo 3 por el método de ubicación ió del cero en Re{z } 2) Resuelva el ejemplo 3 por el método de ubicación de cero en el polo ) Calcule el ejemplo 4 por el método de la bisectriz, con un tiempo de muestreo T S =.35 s E. Interiano 5

51 Referencias Ogata, Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderna, Pearson, Prentice Hall, 23, 4ª Ed., Madrid. Dorf, Richard, Bishop Robert. Sistemas de control moderno,, ª Ed., Prentice Hall, 25, España.