PROYECTO CORTO 2. Figura 1: Fotografía del servo de posición angular CI-23004

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA II SEMESTRE 2015 ESCUELA DE INGENIERIA EN ELECTRÓNICA CURSO: EL-5409 LABORATORIO DE CONTROL AUTOMÁTICO MEDIO: FECHA: 25 de septiembre de 2015 PROF: Ing. Eduardo Interiano PROYECTO CORTO 2 Tema: Control de posición angular del servomotor CI Figura 1: Fotografía del servo de posición angular CI Elementos necesarios: Planta CI-23004, computador con Matlab instalado, regulador digital I_PD ajustable y osciloscopio.

2 Descripción de la planta [2] El servomotor cuenta con un potenciómetro lineal con una precisión de ±0.5% acoplado al eje de salida de la caja reductora 40:1, (el acople está denotado por la línea de puntos). El potenciómetro se encuentra alimentado con ± 2V, y sirve para realimentar internamente la posición del eje y también se puede disponer de esta señal externamente, en el grupo de señales del conector, bajo el nombre Pot ; nombre que se cambiará a POT en este documento. En condiciones normales, al ubicar la marca de 180 en línea con la aguja indicadora, la tensión medida en la salida POT será de 0V. El valor de ganancia del potenciómetro es de aproximadamente 90 /V; pero, tiene una región no lineal alrededor de cero, delimitada por dos radios en las marcas de ángulo y que debe ser evitada. El interruptor que conecta el motor a la referencia debe de colocarse en la posición abierto para poder obtener la característica estática del sensor de posición (potenciómetro); lo cual se hace girando lentamente la masa entre los límites, mientras se toma nota de las tensiones en la salida POT para cada ángulo. La Figura 2 muestra la característica del sensor de posición obtenida por el método descrito Tensión (V) y = x Posición angular ( ) Figura 2: Ejemplo de caracterización del potenciómetro de realimentación La Figura 2 muestra la relación que existe entre el ángulo del servo y la tensión reportada por el sensor potenciométrico, junto a la ecuación de mejor ajuste para esta relación. El sistema de control de este proyecto toma en cuenta estos aspectos; pero, por la naturaleza de la planta que recibe señales de tensión para la ubicación del eje del servo, el diseño se hará sobre una planta adimensional cuyo modelo fue obtenido experimentalmente Laboratorio de Control Automático Pág. 2

3 Descripción del trabajo: El problema de diseño consiste en escoger adecuadamente los polos de lazo cerrado del sistema para cumplir con las especificaciones dadas para el comportamiento del sistema; para luego realizar el cálculo de las constantes K P, K I y K D adecuadas para la implementación del control con un regulador con estructura I_PD. Para este proyecto 2, sus tareas consisten en: a) Utilizar la herramienta sisotool de Matlab para seleccionar la ubicación de los polos de lazo cerrado adecuados para lograr que el servomotor CI cumpla los requisitos dados en la tabla 1 y tenga capacidad para eliminar las perturbaciones de entrada o salida a la planta (no forzar el eje). Tabla 1: Requisitos para el control del servo de posición angular CI Parámetro Sobrepaso Tiempo de estabilización Error de estado estacionario Valor requerido < 1 % menor o igual 0.2s 0% b) Realizar el cálculo de las constantes del I_PD utilizando el método de realimentación de estado integral [1] c) Verificar el diseño usando simulink ante entrada escalón y perturbaciones, tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto. d) Ajustar las constantes K P, K I y K D obtenidas en el regulador I_PD paralelo digital de la placa de desarrollo. e) Probar el control de posición angular ante una entrada de prueba escalón de 90 a partir de una referencia seleccionada y verificar que el comportamiento deseado se cumple. Laboratorio de Control Automático Pág. 3

4 Parte I: Descripción del entorno del regulador I_PD discreto Objetivo: Conocer el entorno del regulador I_PD discreto Ecuación 1: Estructura del regulador PID paralelo en tiempo discreto La ecuación 1 que representa la estructura de un PID paralelo tradicional no es adecuada cuando la entrada y consecuentemente la señal de error puede tener cambios grandes en forma de escalón ya que los términos proporcional y derivativo podrían llegar a proporcionar una salida demasiado grande, la cual podría saturar la salida del regulador. En esta ecuación 1, los valores para las constantes K P, K I y K D son los mismos en s (tiempo continuo) que en z (para tiempo discreto), la transformación se realiza con la constante T S, el periodo de muestreo, que escala los valores adecuadamente entre dominios. La constante N es parte del filtro derivativo, que realiza la función de volver propio al término derivativo. En la Figura 3 se muestra una variante del PID, llamado I_PD. Esta variante tiene siempre tres términos; pero, solo el término integral se encuentra en el camino directo, actuando sobre la señal de error, ya que este término responde lentamente ante los cambios en forma de escalón. Los otros dos términos se encuentran en el camino de realimentación, señal que cambia lentamente y donde no existe riesgo de que produzcan grandes salidas que saturen el regulador. R(z) + E(z) I Y(z) P + I_PD(z) D Figura 3: Estructura de la variante I_PD de un regulador PID paralelo Laboratorio de Control Automático Pág. 4

5 Placa de desarrollo PSoC DAC 0 2V CAS2 2V, 2V Planta Posición angular [ ] Referencia [ ] + Control digital ADC 0 2V Cambio de nivel Cambio de escala CAS1 2V, 2V Cambio de nivel Cambio de escala Filtro basa bajas Figura 4: Diagrama de control discreto simplificado del control para la planta CI En la Figura 4 se muestra de forma simplificada el sistema de control realizado alrededor de una placa de desarrollo basada en un PSoC de la familia 5LP de la compañía Cypress. Una de las características importantes de esos dispositivos PSoC es que son sistemas híbridos y poseen tanto electrónica digital fija y programable como electrónica analógica, lo que los hace extremadamente adecuados para labores de control automático ya que requieren de pocos elementos analógicos externos. La realimentación de estado integral Es conocido que la realimentación de estado, si el sistema es controlable y dentro de ciertos límites, puede ubicar los polos de lazo cerrado del sistema de manera arbitraria. Esto es capaz de establecer el comportamiento dinámico del sistema en lazo cerrado; pero, no corrige el error de estado estacionario. Una variante de la realimentación de estado consiste en incorporar un nuevo estado que tiene comportamiento integral y con ello se busca eliminar el error de estado estacionario. Esta variante se conoce como Realimentación de estado integral y su estructura se muestra en la Figura 5. Figura 5: Estructura de la realimentación de estado integral Laboratorio de Control Automático Pág. 5

6 Partiendo de un sistema descrito en variables de estado Se obtienen para el sistema aumentado, mostrado en la figura 5, las nuevas ecuaciones de estado Con las nuevas matrices de sistema 0 0 I La controlabilidad está garantizada si la matriz mostrada o la matriz tienen rango (n+1). 0 1 Para encontrar para un conjunto de polos de lazo cerrado, se puede aplicar el método de Ackermann si el sistema es SISO. Con Relación entre el I_PD y la realimentación de estado integral Cuando el sistema es de orden 2 y se puede expresar de forma canónica controlable con la salida como primera variable de estado y la derivada de la salida como segunda variable de estado, como se muestra: Laboratorio de Control Automático Pág. 6

7 Y se realimenta con una matriz constante realimentación, entonces las ecuaciones la ley de Son equivalentes a las ecuaciones de la parte proporcional y derivativa del I_PD. Por lo que la realimentación de estado integral para este sistema en FCC es equivalente a un I_PD ya que el resultado de la realimentación, la señal u(t), al incluir el término integral, es igual a la salida de un I_PD como puede verificarse en la siguiente ecuación: _ Lo que permite, si el sistema aumentado es controlable, calcular las constantes del I_PD a través del método de realimentación de estado integral y bajo las condiciones de que el sistema original sea tipo 0 y sea de orden 2 o pueda ser reducido a un sistema de orden 2 sin pérdida apreciable de dinámica. Laboratorio de Control Automático Pág. 7

8 Parte II: Diseño y simulación de un control PID para el servomotor CI Objetivo: Calcular un regulador I_PD para el servomotor según las especificaciones Este diseño puede ser realizado tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto. En este caso se muestran los pasos para el diseño en tiempo continuo por el método llamado emulación analógica ya que la implementación será digital. Se sugiere al lector realizar por su cuenta el diseño en tiempo discreto y verificar que se obtienen resultados similares. Para el diseño directo en tiempo continuo se debe primero discretizar la planta. Procedimiento: Paso 1) En Matlab cree primero la variable "s" con la orden tf('s'). Luego escriba el modelo para el servomotor, simule el modelo y verifique que posee un comportamiento subamortiuado, con error de estado estacionario Paso 2) Encuentre y anote los valores propios del modelo con la orden eig(servo) y utilizando la herramienta sisotool grafique el lugar de las raíces para el sistema realimentado unitariamente. Dentro de la ventana de diseño del sisotool agregue las restricciones de diseño dadas en la tabla 1 para el comportamiento dinámico deseado como se muestra en la Figura 6 (use la viñeta opciones de la ventana de propiedades del sisotool para realizar los ajustes de forma si es necesario). El sistema aumentado, creado para la realimentación de estado integral es de orden (n+1), en este caso orden 3; por lo que debe escoger la ubicación de tres polos, dos dominantes y uno no dominante. Figura 6: Selección de los polos de lazo cerrado en sisotool Laboratorio de Control Automático Pág. 8

9 Seleccione la ubicación de los polos dominantes de lazo cerrado deseados para el sistema realimentado dentro del área blanca, lo suficientemente alejados del eje imaginario para cumplir con el tiempo de estabilización deseado y lo suficientemente cerca del eje real negativo para cumplir con el sobreimpulso máximo requerido. Seleccione, también dentro del área blanca, la ubicación para el tercer polo, el polo no dominante. Paso 3) Exprese la función de transferencia del servomotor en forma canónica controlable, FCC, con la primera variable de estado como salida y verifique que el sistema es controlable. Paso 4) Escriba las matrices aumentadas y con los polos de lazo cerrado, previamente definidos en el paso 2, calcule la matriz de ganancia constante I, por el método de Ackermann o por cualquiera de los otros dos métodos conocidos. Paso 5) Verifique el diseño, ya sea en sisotool cambiando la arquitectura de control a una de dos grados de libertad, como se muestra en la Figura 7, o en simulink usando un regulador PID de dos grados de libertad ajustado como I_PD, como se muestra en la Figura 8. Figura 7: Selección de la arquitectura de dos grados de libertad en sisotool En la arquitectura de la Figura 7, el compensador C 1 corresponde a la parte integral del I_PD y el compensador C 2 corresponde a la suma de la parte proporcional y la parte derivativa del I_PD. Laboratorio de Control Automático Pág. 9

10 Figura 8: Sistema de control en simulink con PID de dos grados de libertad La configuración del PID de dos grados de libertad de simulink como I_PD se muestra en la Figura 9. Los valores de b y c en 0 ubican las partes proporcional y derivativa en el lazo de realimentación y hace que actúen solamente sobre y, la señal de salida; mientras la parte integral se mantiene en el camino directo actuando sobre la señal de error (r-y). En esta figura, los valores de las constantes de I_PD se toman directamente de la matriz de realimentación de estado en el workspace de Matlab para agilizar la simulación ante cambios en el diseño. El valor de N, la constante del filtro derivativo, se ha establecido en 200, lejos de los polos de lazo cerrado del sistema. Figura 9: Configuración del PID de dos grados de libertad como I_PD en simulink En la Figura 10 se puede observar que la simulación en sisotool, con los compensadores C 1 y C 2 como se acaba de describir, muestra el cumplimiento de los requisitos de diseño. El tiempo de estabilización del 2% es menor a 200ms, el sobreimpulso es prácticamente cero y el error de estado estacionario es cero. Laboratorio de Control Automático Pág. 10

11 1.2 1 Amplitud Tiempo (seconds) Figura 10: Simulación en sisotool del control con arquitectura I_PD Laboratorio de Control Automático Pág. 11

12 Parte III: Verificación del diseño en el sistema de desarrollo PSoC Paso 1: Introduzca las constantes de su diseño utilizando los mecanismos dispuestos para ello en el sistema de desarrollo, el asistente le dará las indicaciones necesarias. Paso 2: Oprima el botón de step en el sistema de desarrollo para introducir un escalón de 90 a la entrada del sistema a partir de la posición actual. Paso 3: Mida respuesta ante el escalón del sistema regulado. Utilice un osciloscopio para medir con el canal 2 el escalón en la entrada de posición al sistema y con el canal 1 mida la respuesta de posición angular. Ajuste la escala de tiempo a 50ms por división y las escalas de amplitudes a 2V por división para la entrada y a 200mV por división para la salida. Ajuste el disparo por flanco positivo para el canal 2. Ajuste el punto de disparo en la segunda división horizontal para que pueda ver todo el evento (retraso de 150ms). Figura 11: Respuesta del servo de posición ante una entrada de referencia escalón desde 180 hacia 90 En la Figura 11 se puede observar la respuesta de posición angular del servomotor, salida de posición angular POT, canal 1, color amarillo, ante una cambio en forma de escalón equivalente a 90 en la entrada de referencia, canal 2, color verde. Note que la señal escalón de entrada no está a escala, tiene una amplitud de 5V, ya que se trata de una señal de referencia digital que indica únicamente el momento en el cual se aplica el escalón equivalente a 90 al sistema. En su experimento Ud. podría medir además directamente la acción de control, SERVO, aplicada al sistema utilizando un tercer canal. Los resultados experimentales muestran que se cumple con los requisitos de diseño. Laboratorio de Control Automático Pág. 12

13 Los resultados deben enviarse a más tardar el ocho días después de haber realizado el experimento al correo electrónico einteriano@tec.ac.cr, con todos los documentos y archivos creados para resolver el problema. Referencias [1] [2] bamortiguada.pdf EIS/eis 2015 Laboratorio de Control Automático Pág. 13