DESCRIPCIÓN DEL PRINCIPIO BÁSICO

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1 TEMA 4. MÉTODO DE LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL PRINCIPIO BÁSICO LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES REGLAS PARA DIBUJAR LA LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES DE EVANS CONSTRUCCIÓN TÍPICA DE ADELANTO Y DE ATRASO DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 1

2 DESCRIPCIÓN DEL PRINCIPIO BÁSICO Para el sistema mostrado en la figura la función de ganancia de lazo es G c GH. La función de transferencia de lazo cerrado esc/r = G c G/(1+G C GH) y los polos de lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1+ G c GH = 0. El lugar de las raíces muestra cómo esos polos se mueven en el plano s cuando se varía un parámetro de G c GH. R + - G c Controlador G Planta C H ( z ) C K s+ = R ss ( + p)( s+ p) + K s+ z 1 ( ) El método del lugar de las raíces es una técnica gráfica para determinar cómo se mueven los polos del sistema cuando se varía un parámetro, por ejemplo K. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ

3 DESCRIPCIÓN DEL PRINCIPIO BÁSICO En el desarrollo del método, se asume que la función de ganancia de lazo tiene una forma general: ( s + a1)( s+ a )... ( s+ am ) ( s + b )( s + b ) ( s + b ) Gc () s G() s H() s = K s b s b... 1 s b n Donde n m para realización física El factor (s a i ) es un vector de a i a s y (s b k ) de b k a s. s A i α i a i jω j i s a Ae α i = i j k s bk = Bke β B k βk b k σ Regresar DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 3

4 LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Los polos de lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1+ G c GH = 0, por lo que la ecuación GGH= 1 c Se puede interpretar como que ambos lados son vectores en el plano s. El vector -1 es un vector del origen al punto -1 en el eje real negativo. Este vector tiene una longitud o magnitud unitaria y un ángulo de fase que es un múltiplo impar de ± 180º, ó ± (i + 1)180º, donde i es un entero. Por lo tanto, los polos de lazo cerrado son los valores de s para los cuales el vector G c GH tiene una longitud unitaria y un ángulo de fase de ± (i + 1)180º. Asumiendo que K es positiva. magnitud ( ) AA... A 1 m GGH c = K BB 1... B n ( ) 1 1 fase GGH = α α β... β c m n DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 4

5 LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Por lo tanto, los polos de lazo cerrado son los valores de s que satisfacen las siguientes i condiciones: i 1.- Condición de ángulo:.- Condición de magnitud: ( GGH) 1 1 fase = α α β... β =± (i+ 1)180º c m n magnitud A... A B... B B... B A... A 1 m 1 ( GGH) = K = 1 o K= c 1 n 1 n m El lugar de las raíces se construye sólo a partir de la condición de ángulo, como el lugar de todos los puntos s para los cuales la suma de los ángulos de los vectores a i de todos los ceros de lazo abierto a s, menos la suma de los ángulos de los vectores β k de todos los polos de lazo abierto a s es igual a un múltiplo impar de ± (i +1)180º. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 5

6 LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Después de que el lugar de las raíces se ha construido, la condición de magnitud muestra que el valor de K para el cual un polo de lazo cerrado será localizado en un punto dado s, será igual al producto de las longitudes de los vectores B k de todos los polos de lazo abierto a s dividido por el producto de las longitudes de los vectores A i de todos los ceros de lazo abierto a s. Ejemplo Para el sistema con función de ganancia de lazo G c GH =K/(s +a), use el lugar de las raíces para encontrar el valor de K para el cual la constante de tiempo del sistema (lazo cerrado) sea T segundos. jω β σ K BB... 1 = = AA... 1 B Regresar DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 6

7 REGLAS PARA DIBUJAR LA LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES DE EVANS Las siguientes i guías están ddi dedicadasd para facilitar el trazo dll del lugar de las raíces de la ecuación característica G c GH +1=0óde: ( s b )( s b ) ( s b ) K( s a )( s a ) ( s a ) = 0 1 n 1 1. Una gráfica del lugar del las raíces tendrá tantas partes o trazos como polos tenga G c GH.. El lugar de las raíces empieza en los polos de G c GH con K = 0 y termina ya sea, en los ceros de G c GH, o en infinito con K =. 3. El lugar de las raíces existe sobre el eje real solamente a la izquierda de un número impar de polos os y ceros reales. es. m s DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 7

8 REGLAS PARA DIBUJAR LA LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES DE EVANS 4. El lugar de las raíces es simétrico con respecto al eje real. 5. Las direcciones de las asíntotas se encuentran de la condición de ángulo y deben satisfacer: (i 1)180º α = ± + i = cualquier entero n m Si n m =1, α es 180º; si n m =, α es +90º y -90º; si n m =3, α es +60º, -60º y 180º; y así sucesivamente. Los ángulos están uniformemente distribuidos en los 360º. 6. Todas las asíntotas t intersectan t el eje real en un solo punto a una distancia i ρ 0 del origen: ρ = 0 Polos de lazo abierto n m Ceros de lazo abierto DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 8

9 REGLAS PARA DIBUJAR LA LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES DE EVANS 7. Los puntos de partida o arribo al eje real se pueden calcular resolviendo: ( s b )( s b ) ( s b n ) ( + )( + ) ( + ) dk d = = 0 ds ds s a... 1 s a s a m DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 9

10 REGLAS PARA DIBUJAR LA LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES DE EVANS 8. El ángulo de salida del lugar de las raíces de los polos complejos de lazo abierto (o de llegada a los ceros complejos de lazo abierto) se obtiene aplicando la condición de ángulo a un punto de prueba muy cercano al polo o al cero en cuestión. 60º 90º 135º γ º =± (n + 1)180º 15º 60º 135º γ º = 15º 90º 9. Los puntos en los cuales el lugar de las raíces cruza el eje imaginario, i i pueden obtenerse de la ecuación característica, haciendo s = jω. Regresar DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 10

11 R(s) CONSTRUCCIÓN TÍPICA a) Encuentre el lugar de las raíces de los polos del sistema en lazo cerrado cuando K varía. b) Encuentre el valor de K para obtener una razón de amortiguamiento del sistema ς = 0.7 El punto donde las asíntotas intersectan el eje real y su dirección se pueden calcular como: K C(s) 0 a 0 a (i 1)180º s( s+ a) + ρ α = ± + 0 = = = ± 90º a/ El punto de partida dl del eje real se encuentra: dk = d ( s + as ) = s + a = 0 ds ds a s = Para encontrar el valor de K se tiene que: cos cos (0.7) 45º ζ = = φ φ = = B B a K = = BB 1 = a a = AA... DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 11 1

12 R(s) CONSTRUCCIÓN TÍPICA Dibujar el lugar de las raíces del sistema para variaciones de K ss ( + 1)( s+ ) + - K C(s) El pntodonde punto las asíntotas intersectan el eje real y su dirección se pueden calcular como: (0 1 ) 0 (i 1)180º ρ α = ± + 0 = = 1 = ± 60º El punto de partida del eje real se encuentra: dk d 3 ( s 3s s) 3s 6s 0 ds = ds + + = = s = 0.43 s = Supóngase que se desea tener una razón de amortiguamiento de ζ = 0.7 = cos φ φ = cos (0.7) = 45º K = = DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 1

13 CONSTRUCCIÓN TÍPICA Una alternativa analítica a la técnica gráfica para calcular el valor de la ganancia es la siguiente: Por ejemplo, una línea a 45º al eje real negativo se puede describir por la ecuación s = ω(-1+j), entonces s = ω 1+ j = jω ( ) Sustituyendo en la ecuación característica Se obtiene ( ) ( ) s = jω 1+ j = 1+ j ω ss s K s s s K 3 ( + 1)( + ) + = = 0 3 (ω ω+ K) + jω( ω 3ω+ 1) = 0 Igualando las partes real e imaginaria i i a cero, se obtiene : ω = 0.38 y K = 0.65 La localización del tercer polo se puede obtener a partir de la ecuación característica: ( s λ )( s λ )( s λ ) = s ( λ + λ + λ ) s +... = λ λ λ = 3 λ = 3 ( λ + λ ) = 3 ( ) =.36 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 13

14 CONSTRUCCIÓN TÍPICA Dibujar el lugar de las raíces del sistema para variaciones de K Ks ( + ) Ks ( + ) Gs () = = Ks ( + ) s + s + 3 s + 1 j s+ 1+ j -4-3 s + + ( )( ) s j j1 -j1 El punto donde las asíntotas intersectan el eje real y su dirección se pueden calcular como: ( ) ( ) (i 1)180º ρ α = ± + 0 = = 0 = ± 180º 1 1 El punto de llegada al eje real se encuentra: dk ds dk d s + s + 3 = 0 ds ds = s + ( s + )( s + ) ( s + s+ 3 ) = = 0 s + s ( ) = 3.73 s = El ángulo de salida del lugar de las raíces de los polos complejos de lazo abierto -j 55º 90º γ º =± (i + 1)180º γ º = 145º DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 14

15 CONSTRUCCIÓN TÍPICA Una línea a 45º al eje real negativo se puede describir por la ecuación s = ω(-1+j), entonces ( + ) s = ω 1+ j = j ω Sustituyendo en la ecuación característica s K s K s s Ks K + ( + ) + 3+ = = 0 Supóngase que se desea tener una razón de amortiguamiento de ζ = 0.7 = cos φ φ = cos (0.7) = 45º j + + j + K + j + + K = ω ω( 1 ) ω( 1 ) 3 0 Se obtiene ( ω Kω+ 3+ K) + j( ω + ω+ Kω) = 0 Igualando las partes real e imaginaria i i a cero, se obtiene : ω = y K = Regresar DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 15

16 COMPENSADOR DE ADELANTO DE FASE () K ( ) c s+ z Gc s = s + p con z < p A A 1 φ d θ p θ z φ = θ θ DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 16 z p

17 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO 1. Determine los polos dominantes de lazo cerrado deseados de las especificaciones.. En esas posiciones, determine la deficiencia de ángulo φ d con la que el compensador de adelanto de fase debe contribuir. 3. Seleccione el cero del compensador en el eje real justo abajo del polo deseado o a la izquierda de esta posición. 4. Con el cero seleccionado, determine el polo del compensador dibujando una línea a un ángulo φ d como se indica en la figura de la diapositiva anterior. 5. Determine la ganancia del lugar de las raíces de la condición de magnitud 6. Determine la ganancia actual de lazo y, por lo tanto, los errores de estado estable. 7. Repita el diseño con una nueva selección de los polos deseados si estos errores son demasiado grandes. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 17

18 Ejemplo 1 Suponga una función de transferencia Gs () = Diseñe un compensador de adelanto de fase para que el sistema de lazo cerrado tenga una razón de amortiguamiento de 0.5 y un tiempo de asentamiento de 4 segundos. Dado que el tiempo de asentamiento es T s =4/(ζω n ) se tiene que: 1 s ζ = ω = ζω = ω ζ = n n n 1 3 Por lo que los polos dominantes de lazo cerrado son: 1± j 3 La función de transferencia dl del compensador deadelanto dl de fase es: () K ( ) c s+ z Gc s = s + p DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 18

19 La condición de ángulo establece que: θ ± j 3 90º 10º 10º =± 180º p 3 θ d 3 También se puede escribir como: θ 10º 10º =± 180º d º Lo que da: θ d = 60º La función de ganancia de lazo queda: G () s G() s c = Kc ( s + 1) s ( s+ 4) El valor de K c se encuentra apoyándose en la gráfica del lugar de las raíces. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 19

20 j ρ 0 El punto donded las asíntotas ítt it intersectant el eje real y su dirección se pueden calcular como: (0 0 4) ( 1) (i 1)180º = = 1.5 α = ± + = ± 90º j1 El punto de salida del eje real se encuentra: 3 dk d s + 4s = 0 ds ds = s + 1 dk ( 3s + 8s )( s+ 1 ) ( s s )(1) = = 0 ds s + 1 ( ) () s = 0 s = s = K c se obtiene de la condición de magnitud 3 K = = 8 3 DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 0

21 () 8 ( s + 1) Gc s = ( s + 4) () 16 ( s + 1.5) Gc s = ( s + 8) DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 1

22 Ejemplo Suponga una función de transferencia 1 Gs () = s ( s+ + ) Diseñe un compensador de adelanto de fase para que la constante de tiempo dominante en lazo cerrado sea 0.5 segundos y el máximo sobretiro permitido de 16% Dd Dado que la constante t de tiempo es T = 1/(ζω n ) y para un sobretiro de 16% corresponde una ζ = 0.5 (de la gráfica 5. del libro Feedback control systems de John Van de Vegte) se tiene que: ζ = ω = ζω = ω ζ = = 0.5 n 8 n 4 n Por lo que los polos dominantes de lazo cerrado son: 4± j6.93 La función de transferencia del compensador de adelanto de fase es: Kc ( s+ z G () = ) c s s + p DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ

23 θ d j6.93 La condición de ángulo establece que: 90º θ p 10º 106.1º =± 180º También se puede escribir como: θ 10º 106.1º 1º =± 180º d Lo que da: θ = 46.1º d La función de ganancia de lazo queda: G () s G() s c = Kc ( s+ 4) ss ( + )( s+ 11.) El valor de K c se encuentra apoyándose en la gráfica del lugar de las raíces. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 3

24 j El punto de salida del eje real se encuentra: dk ds + + = = 0 ds ds s+ 4 3 dk d s 13.s.4s 3 ( s + s+ )( s+ ) ( s + s + s) (1) = = 0 ( s + 4) j j1 s = s = 5.31± j3.6 1,3 K c se obtiene de la condición de magnitud ρ 0 El punto donded las asíntotas ítt it intersectant el eje real y su dirección se pueden calcular como: (0 11.) ( 4) (i 1)180º = = 4.6 α = ± + = ± 90º K = = DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 4

25 1.74 La ganancia de lazo es: K = = G () s c = Por lo que el error de estado estable ante una entrada rampa unitaria para este 83.3( s + 4) sistema tipo 1 es 1/14.87 = Si es ( s + 11.) muy grande, el diseño se debe repetir con un nuevo conjunto de polos deseados a una mayor distancia del origen. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 5

26 Por otro lado, el sobretiro es mayor que el 16% esperado para la razón de amortiguamiento de 0.5. Lo anterior se debe a la posición del tercer polo que para ese valor de ganancia se localiza en -5.. La localización del tercer polo se puede obtener a partir de la ecuación característica: 3 s s s = 0 ( s λ )( s λ )( s λ ) = s ( λ + λ + λ ) s +... = λ1+ λ + λ3 = 13. λ = 13. ( λ + λ ) = 13. ( 4 4) = El cual no esta muy lejos a la izquierda del par de polos dominantes, lo que implica que tiene influencia significativa en la respuesta y la hace diferir con respecto de la de un sistema de segundo orden que contenga sólo esos polos. El cero y el polo del compensador se deben mover a la izquierda. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 6

27 COMPENSADOR DE ATRASO DE FASE K ( ) c s+ z G c () s = s + p con z > p La ganancia del lugar de las raíces es K c, pero la ganancia que determina el error de estado estable es K c (z/p), lo que implica que ha sido incrementada por el factor z/p. Entonces, colocando el polo del compensador diez veces más cerca del origen que el cero, la precisión de estado estable se puede mejorar en un factor de 10 con un pequeño efecto en la respuesta transitoria si el polo y el cero están lo suficientemente cerca del origen. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 7

28 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO 1. Dibujeel lugar de las raíces para un controlador ld de ganancia proporcional.. Determine la posición del par de polos de lazo cerrado deseados en el lugar de las raíces de acuerdo a las especificaciones. 3. Determine la ganancia del lgarde lugar las raíces en esta posición a partir de la condición de magnitud, y por lo tanto el valor de K c para el control P. 4. Para este valor de K c, determine el valor del factor z/p necesario para satisfacer la especificación de exactitud en el estado estable. 5. Seleccione p y z con esta razón y suficientemente cerca del origen, tal que los ángulos del vector a los polos dominantes difieran de unos pocos grados. 6. Dibuje el lugar de las raíces del sistema compensado y encuentre los polos dominantes. Reduzca K c si es necesario para contrarrestar cualquier reducción de la estabilidad relativa. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 8

29 Ejemplo 3 Suponga que se tiene nuevamente la función de transferencia del ejemplo Gs () = 1 s s+ ( ) Se desea una razón de amortiguamiento de lazo cerrado de 0.5. De acuerdo al paso del procedimiento de diseño los polos se seleccionan en el lugar de las raíces para un control P. Los polos deseados son 1± j 3, y aplicando la condición de magnitud se encuentra la ganancia K c = 4. La función de ganancia de lazo con el control P es entonces 4/[s(s+)], tal que la ganancia es 4/ =. Supóngase que se debe incrementar por un factor de 10 para satisfacer la precisión de estado estable. Entonces, de acuerdo al paso 4 la razón z/p del atraso de fase debe ser 10. Si se selecciona z = 0.1, mucho más cerca del origen que los polos deseados, entonces p = 0.01y el compensador por atraso de fase es: 0.1 s + Gc () s = 4 s DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 9

30 j 3.3º Imaginar ry Axis º DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 30

31 Ejemplo 4 En el sistema mostrado en la figura, el controlador P se reemplaza por un compensador de atraso de fase para mejorar la precisión del estado estable. Se especifica una ganancia de 1.5. R(s) K c 1 ss ( + 1)( s+ ) C(s) La razón de amortiguamiento de los polos dominantes debe ser de Del lugar de las raíces K c y los polos deseados son: K = s = ± j c 1, La función de ganancia de lazo con el controlador P es 0.65/[s(s+1)(s+)], entonces la ganancia es 0.65/ = Para lograr la ganancia deseada de 1.5, se debe incrementar en un factor de 5. Entonces la razón z/p del compensador de atraso debe ser 5. DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 31

32 Root Locus Root Locus Imaginary Axis Imaginary Axis Real Axis Real Axis G () s c = K c G () s c = Kc ( s ) Kc ( s ) 0.05) Gc() s = Kc Gc () s = s s Regresar DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 3