IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL

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1 46 IX. DISEÑO DE COMPENSADORES UTILIZANDO LA RESPUESTA FRECUENCIAL DEL SISTEMA A continuación se describirán los métodos utilizados para diseñar los diferentes tipos de compensadores basados en la respuesta frecuencial del sistema (Diagrama de Bode). Los compensadores a diseñar serán: Compensadores en Adelanto. Compensadores en Atraso. Compensadores Adelanto Atraso. 9. COMPENSACIÓN EN ADELANTO Estos compensadores son semejantes a un PD (Proporcional Derivativo), el cual fundamentalmente tiene su acción sobre la respuesta transitoria del sistema. Se puede expresar a través de la siguiente función de transferencia: s + T Ts + Gc(s) Kc Kc α,5 > α > s αt + α Ts + donde α y T son los parámetros del controlador a diseñar. A partir de la función de transferencia del compensador se realizará tanto su diagrama polar como su Diagrama de Bode, con la intención de visualizar el efecto que tendría añadir un compensador de este tipo sobre la respuesta frecuencial de un sistema. T ωj + Gc (jω) α αt ωj + ω G α φ º ω G φ º φ max ω α D α X ω FIGURA 9. DIAGRAMA POLAR DE UN COMPENSADOR EN ADELANTO

2 47 En la figura 9. se puede observar el Diagrama Polar correspondiente, donde se aprecia que la fase comienza y termina en º, pasando por un máximo (φ m ) cuyo valor depende de α tal como se describe a continuación. α α α + α α R x + α Sen ( φm) α + α 2 φ m es el máximo adelanto de fase que puede añadir el compensador, que para el caso de α.5 es igual a 65 o. A partir de la función de transferencia del compensador, también se puede hacer el Diagrama de Bode para α, donde se aprecia la ocurrencia de φ m a una frecuencia ω m. El cero ocurre en ω y el polo ocurre en ω T T ω G α 2 log G 2 log α 2 log (,) -2 db ω db G 2log G -2 φ T T log α ω log α φ m ω m ω FIGURA 9.2 DIAGRAMA DE BODE PARA UN COMPENSADOR ADELANTO (α,) El máximo adelanto, φ m, ocurre a ω m, frecuencia que corresponde con la media logarítmica entre /T y /αt lg ωm lg + lg, de allí que ωm 2 T α T T α Evaluando el módulo del compensador a esa frecuencia se tiene: 2lg G c ω m 2lg α lg α

3 48 lo cual se observa en la figura 9.2. A continuación se describirá paso a paso, el procedimiento a utilizar para el diseño de un compensador en adelanto dadas unas especificaciones. 9.. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO ) Cálculo de la ganancia K necesaria para satisfacer la condición de error. 2) Obtención del Diagrama de Bode para esa ganancia. 3) Revisar el M F del sistema sin compensar y calcular el ángulo necesario al añadir la siguiente forma: φ m M F deseado - M F original + φ El φ que se añade tiene la intención de corregir el desplazamiento a la derecha de la frecuencia de corte o cruce de ganancia (ω corte ). Generalmente tiene valores entre 6º y 2º 4) A partir del φ m deseado se determina α. α Sen ( φ ) m + α 5) Conocido α se calcula la amplitud logarítmica que tendrá el compensador a la frecuencia ω m 2lg G c ω 2lg α lgα m Dicho valor se utiliza para ubicar ω m en forma gráfica, utilizando el diagrama de Bode, el cual debe ser verificado numéricamente. 6) Conocido ω m y α se calcula T utilizando la expresión de ω m ω m T α 7) Finalmente, se introduce una ganancia igual a /α para garantizar que el compensador tenga una ganancia igual a uno. 8) Se debe verificar que se cumpla lo requerido. EJEMPLO 9..2 Para el sistema que se muestra a continuación diseñe un compensador tal que, a lazo cerrado se cumpla con las siguientes restricciones: M F 45º M G 8 db Kv 4 s -

4 G c s(,s + )( s + ) FIGURA 9.3 DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA SOLUCIÓN: ) Se calcula la ganancia para satisfacer Kv Kv Lim s G H(s) Kc 4 (Ganancia del compensador, para satisfacer el error) s 2) Con ese valor de ganancia se realiza el Diagrama de Bode del sistema a lazo abierto (Fig. 9.3) 3) Del Diagrama de Bode se lee aproximadamente el margen de fase y de ganancia del sistema original M F (original) 7º y M G (original) 8 db A partir de allí, se estima la fase necesaria a añadir como: φ m 45º - 7º + 2º 4º 4) Con el φ m se calcula el valor de α α Sen φ m α,2 + α 5) Para identificar la frecuencia donde ocurra el φ m se calcula el valor el lg α que será introducido por el compensador para ω ω m 2 lg Gc ωm lg α lg(,2) 6,778 db A partir del Diagrama de Bode se lee aproximadamente un ω m 3. Se verifica numéricamente que G(jω) para ω 3 sea cercano a los 6,77 db, dado que el compensador introducirá los mismos decibeles pero negativos. 2lg G 2lg G 2lg G 4 2lg 3j,3j + 3j ωm lg ωm 3 3,44 3,62 7,87 db ωm 3 Como el valor es más grande que los 6.77db esperados, se supone un ω m menor, ω m 2,8

5 5 4 2lg G 2lg ωm 2,8 2,8,385 2,97 2lg G ωm 2,8 6,69 De aquí se concluye que ω m 2,8 Phase (deg); Magnitude (db) Bode Diagrams Frequency (rad/sec) 6) Conocido ω m y α se calcula T ω T α FIGURA 9.4 DIAGRAMA DE BODE PARA T 2,8,2 m, G(s) s(,s + )(s + ) Con el valor de α y T se tiene el compensador definido completamente. s + T s +,283 G C (s) Kc Kc s + αt s + 6, 7) Se multiplica Kc por /α para evitar la atenuación. K Kc final α 4,2

6 5 Finalmente la función de transferencia a lazo abierto quedará como: 4 s +,283 G C (s) G(s),2 s + 6, s(,s + )(s + ) 8) Verificación Se verifica numéricamente que ω 2,8 sea verdaderamente la frecuencia de corte. G C G 4,2 ω 2,8 3,8 6,72 4,2 2,8j +,283 2,8j + 6, 2,8j ( 2,8)(,385)( 2,97) 2 lg G C G,35 db,4 (,28j + )( 2,8j + ) Ahora se calcula la fase del sistema compensado para dicha frecuencia. φ ω 2,8 65,4º - 24,62º - 9º - 7,34º - 5,64º -35,2º M F final 44,8º En cuanto al M G se puede concluir lo siguiente: Inicialmente el requerimiento se cumplía, la frecuencia de corte aumentó pero la fase también aumentó, por lo que se puede suponer que el M G se sigue cumpliendo. EJEMPLO 9..3 Para el siguiente sistema cuya F.T.L.A GH ( s) es se requiere que cumpla las siguientes s( s + ) características. M F 4º M G 8 db Kv 5 SOLUCIÓN ) Se calcula la ganancia necesaria para satisfacer el error. Kv Lim s G G S c K c 5 2) Se realiza el Diagrama de Bode (figura 9.5) 3) Se lee el M F y M G M F 8º M G db φ m 5º - 8º + 6º 48º 4) Se determina α

7 52 α Sen φ m α,5 + α Phase (deg); Magnitude (db) Bode Diagrams Frequency (rad/sec) FIGURA 9.5 DIAGRAMA DE BODE PARA G(S) 5 / S (S+) 5) Se calcula el valor en amplitud logarítmica que se compensará en ω m 2 lg G ω m lg α -8,24 6) Se identifica del Diagrama de Bode ω m, donde se toma ω m como primera aproximación y se verifica G ωn 5 5,4975 j j +,49 2 lg G ω - 6,6 db. Este valor es bastante menor que lg α, por lo que se prueba con un ω m mayor. (ω m 2) 5 5 2j 2j + 2 2,4 G n 2 ω,346 2 lg G ω2-9,2 Se redujo la diferencia apreciablemente, por lo que se toma ω m 2 como definitivo.

8 53 7) Se calcula T a partir ω m y α ω m T,252 4,6476 T α 2,5 T 8) De allí que, la función de transferencia será: s + 4,6476 G C (s),5 s + 3,984 9) Verificación: Primero se revisa si el ω m coincide con la frecuencia de corte. Para ello, se evalúa el módulo G G c ω 2, esperando que sea aproximadamente 5 2,8686 GGc,893 ω,5 2 2,46 33, lg G Gc ω2 -,978 db Se considera aceptable y se calcula la fase para esa frecuencia GGc ω 68,8286º De allí, que el MF será: M F 52,42º y el M G sigue siendo infinito. ( 9º + 85,2364º + 2,7º ) 27,57º 9.2 COMPENSACIÓN EN ATRASO La función de transferencia del compensador es de la forma T s + s + T Gc (s) < β < 5 T s s T β + β + β En este caso, primero ocurre el polo y luego el cero. De igual forma que en el caso del compensador en adelanto, se graficará el Diagrama Polar y el Diagrama de Bode del compensador en atraso para visualizar su efecto sobre la respuesta frecuencial del sistema. La intención al introducir este compensador es provocar una atenuación de la amplitud logarítmica a alta frecuencia, de forma tal que, la frecuencia de corte o de transición de ganancia se desplace a lugares más favorables para el cálculo del margen de fase. El diagrama Polar que se muestra en la figura 9.6 es semejante al del adelanto, pero la fase sería

9 54 siempre negativa, de allí que se le conoce como atraso de fase. /β ω FIGURA 9.6 DIAGRAMA POLAR DE UN COMPENSADOR EN ATRASO El diagrama de Bode para un β se puede observar en la figura 9.7, donde se aprecia el atraso de fase y la atenuación provocada en el diagrama de amplitud logarítmica. FIGURA 9.7 DIAGRAMA DE BODE DE UN COMPENSADOR EN ATRASO Numéricamente, dicha atenuación a alta frecuencia será: 2 log - 2 log β β La intención al añadir este tipo de compensador es utilizar el efecto producido por la atenuación a alta frecuencia para modificar la frecuencia de cruce de ganancia, tratando de evitar el efecto negativo del atraso de fase PROCEDIMIENTO DE DISEÑO. Calcular la K requerida para satisfacer el error. 2. Realizar el Diagrama de Bode para dicha ganancia. 3. A partir de allí, verificar el M F y M G del sistema original. 4. Por inspección del diagrama se ubica la frecuencia a la cual ocurre la fase necesaria para

10 55 satisfacer el MF requerido. El φ añadido tiene la intención de contrarestar la pequeña fase negativa introducida por el compensador a altas frecuencias. M F requerido + (5º - 2º) implica la ω c nueva ( db). 5. Se escoge esa frecuencia como la nueva frecuencia ω c nueva. 6. Se fija /T una década por debajo de dicha frecuencia (ωc nueva ). 7. Se determina β tal que el diagrama de amplitud tenga db a esa frecuencia (ωc nueva ). 8. Verificar que el sistema compensado satisfaga con los requerimientos establecidos. EJEMPLO Para un sistema, cuya función de transferencia a lazo abierto es la siguiente, se requiere que satisfaga las siguientes condiciones: K GH (s) M G db M F 45º Kv 2 s s s s SOLUCIÓN ) Se calcula K para satisfacer el error. K Kv 2 2) Se realiza el Diagrama de Bode para dicha ganancia. (ver figura 9.8) Phase (deg); Magnitude (db) Bode Diagrams Frequency (rad/sec) FIG. 9.8 DIAGRAMA DE BODE PARA G(S) 2 / S (. S + ) (.4 S + ) (.25 S + )

11 56 3) Del gráfico se lee M F y M G. M F º M G db 4) Por inspección del diagrama, se observa la frecuencia a la cual el MF es igual al requerido más φ M F 45º + º 55º ocurre a ω 3,5 5) Se escoge ω 3,5 como la nueva frecuencia de corte, pues allí ocurre el M F deseado. 6) Se escoge /T,35 7) 2 lg β será igual a la ganancia logarítmica a atenuar, tal que se logre el cambio en la frecuencia de corte. Para afinar el cálculo de β, se verifica el valor a atenuar numéricamente: G ω 3,5 2 lg G ω 2 5,328 3,5,595,98,38 3,5 4,52 db Dado que este es el valor a atenuar β será: 2 lg β 4,52 db β 5,32 8) De allí, que la Función de Transferencia del compensador será: Gc (s) s + T β s + βt 5,32 s +,35 s ) Se verifica que a ω 3,5 2 lg G Gc db G Gc ω 3,5 5,32 2 3,57,3 3,5,595,9 3,5,3 2 lg G Gc ω 3,5,26 db (Aceptable) Ahora se verifica el valor de la fase a esa frecuencia. φ ω 3,5 84,289 (9º + 9,29 + 7, ,923) φ ω 3,5-26,88º De allí que el M F sea M F 53,º 9.3 COMPENSACIÓN ATRASO- ADELANTO Un compensador atraso adelanto se utiliza cuando no es posible cumplir los requerimientos con un compensador simple. Su función de transferencia es la siguiente:

12 57 s + s + T T2 Gc(s) Kc s + s + αt β T2 β >, α El primer término produce el efecto de una red de adelanto, y el segundo término produce el efecto de una red de atraso. s + T Ts + α Adelanto αt s + s + αt s + T2 T2 s + β Atraso β T s + s + 2 βt Imaginary Axis ω ω ω FIGURA 9.9 DIAGRAMA POLAR PARA COMPENSADOR ATRASO Es muy común seleccionar /α β cuando se diseña un compensador atraso adelanto, pero no es obligatorio. La traza polar para Kc y /α β es la que se muestra en la figura 9.9. Para < ω < ω o el compensador funciona como un atraso y para ω o < ω < funciona como un adelanto. ω o se obtiene cuando φ º T T El diagrama de Bode para un compensador atraso adelanto donde Kc y /α β se muestra en la figura lg G C - 2 Bode Diagrams /T 2 / β T 2 /T β /T φ ω o Frequency (rad/sec) Fig. 9. Diagrama de Bode para un Compensador Atraso-Adelanto

13 58 La intención es utilizar el atraso para mover la frecuencia de corte hacia lugares de frecuencia más favorables para el cálculo del M F y luego añadir el adelanto para agregar la fase necesaria. A continuación se mostrará el procedimiento de diseño para este compensador en el caso que α /β PROCEDIMIENTO DE DISEÑO ) Se ajusta la ganancia para satisfacer los requerimientos de error. 2) Se dibuja, para dicha ganancia, el Diagrama de Bode no compensado. Se verifican los valores de M F y M G 3) Se selecciona la frecuencia de cruce de ganancia (ω c nueva ). Dicha selección se realiza escogiendo una ω c nueva a la cual la fase es más favorable. 4) Se selecciona el cero de la red de atraso una década por debajo del valor anterior, es decir, ωcnueva T2 5) Se estima el valor de la fase a adelantar para esa frecuencia de corte, de igual forma que se realiza para el adelanto puro φ m MF requerido MF Intermedio ( ω c I) + φ 6) Dado φ m, se calcula α y con ello β β y α sen φ m - α + α 7) A partir de allí, se tiene la red de atraso completa y en adelante el procedimiento es completamente gráfico. 8) Se dibuja la red de atraso y se ubica la red de adelanto, tal que, en el punto de nueva frecuencia de corte atenúe la curva de amplitud lo necesario para que llegue a db. Por lo tanto se traza una recta de 2 db/dc que a ω C nueva que tenga la misma magnitud (pero negativa) que 2 log G a esa frecuencia. 9) Donde dicha recta corte la recta de pendiente db/dc, que proviene de la red de atraso, se encuentra el cero (/T ) y donde corte a db se encuentra el polo (/αt ).

14 59 EJEMPLO 9.3.2: (ATRASO ADELANTO) K Para un sistema cuyo GH(s) s s + s + 4 diseñe un compensador tal que Kv, M F 5 y M G db. SOLUCIÓN ( )( ) ) Se calcula la ganancia que satisface el requerimiento de error K K lim s G(s) H(s) S 4 Por lo tanto K debe ser 4. V 2) Se realiza el diagrama de Bode para esa ganancia (figura 9.) Bode Diagrams Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) FIG. 9. DIAGRAMA DE BODE PARA GH(s) s 4 ( s + )( s + 4) A partir de dicho diagrama se aprecia que el sistema tiene un margen de fase negativo, lo que implica que es INESTABLE. No puede ser compensado por adelanto ni por atraso puros, por lo que se diseña un compensador atraso adelanto.

15 6 3) Se atrasará para obtener una frecuencia de transición intermedia ω C Intermedia 2. Este valor de frecuencia de transición intermedia implicaría un MF Intermedio igual a º (Esta escogencia No es Obligatoria) 4) Se selecciona el cero de la red de atraso una década por debajo del valor anterior de ω C, es decir, /T 2,2. 5) Se estima el valor φ m a adelantar como: φ m 5º - º + 5º 6) Dado φ m, se calcula β como : β Senφ m se obtiene β, para el cual φ m 54,9º + β 7) Al estar completamente definida la red de atraso se obtiene la red de adelanto en forma gráfica: s + T2 s + β T 2 s +,2 5s + s +,2 5s + (red de atraso) 8) Se dibuja la red de atraso y si la escala de frecuencias no lo permite, lo único necesario es dibujar la recta de pendiente db/dec a una amplitud logarítmica igual a 2 log β 9) Para determinar el adelanto, se dibuja en ω 2 una recta de 2 db/dc que anule el 2 log G y lo lleve a db. A partir de alli se obtiene /T,5 y β/t 5 Red de adelanto ) Se verifica s +,5 s + 5 2s +,2s + ( 2,)( 2,66) ( 2,)( 5,3852) 4 G H Gc,769 ω 2 2(2,236)(4,472) Está un poco lejos de, pero lo dejaremos así! 2 log G H Gc ω 2-2,27 db G H 9º-63,4º-26,56º + Gcω 2 ω 2 G H Gc ω 2-9º-63,4º - 26,56º + 84,2894º + 75,9638º 89,427º 2,84º

16 6 G H Gc ω 2 3,9353º M F 49º X. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA FRECUENCIAL A continuación se evaluará el efecto que tiene introducir un controlador sobre la respuesta frecuencial de un sistema, los controladores a analizar son: Proporcional (P), Proporcional derivativo (PD), Proporcional integral (PI) y, Proporcional integral derivativo (PID). CONTROLADOR PROPORCIONAL (P) Un controlador proporcional tiene una Función de Transferencia de la siguiente forma: G c (s) K p donde K P se conoce como la ganancia proporcional y tiene su efecto solamente en la curva de amplitud logarítmica sin alteración alguna de la fase. Debido a su sencillez, su efectividad se limita a desplazar la curva de ganancia logarítmica un valor igual a 2 log Kp. Más específicamente, en la Figura. se muestra el diagrama de Bode de un sistema cuya función de transferencia es G(s) s y en la Figura.2 se le añade un controlador ( s + )( s + ) proporcional con una ganancia Kp. Bode Diagrams Bode Diagrams Gm db (at.3623 rad/sec), Pm.5763 deg. (at.345 rad/sec) 5 5 Phase (deg); Magnitude (db) Phase (deg); M agnitude ( db) Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec) Fig.. Diagrama de Bode sin Controlador Fig..2 Diagrama de Bode con Controlador

17 62 Se puede concluir que al introducir dicho controlador se tienen las siguientes consecuencias: mejoró el error a la rampa en estado estable, e ss sin controlador e ss con controlador 5 Mejoró también la rapidez de la respuesta, lo cual se aprecia en el aumento del ancho de banda Pero, todas estas mejorías son a expensas de la estabilidad relativa, pues el MF y MG disminuyeron. Concluyendo, la introducción de un controlador proporcional tiene influencia sobre las respuestas transitoria y permanente, pero limitada..2 CONTROLADOR PROPORCIONAL DERIVATIVO (PD) En este caso la Función de Transferencia del controlador es K + + D G c (s) K p K Ds K p s ; ω ο Kp/K D (frecuencia de ocurrencia del cero) K p En la Figura.3 se observa el Diagrama de Bode del controlador PD (K P, K D,5), donde se puede visualizar su efecto sobre la respuesta frecuencial. La característica de la curva de magnitud trasladará la frecuencia de corte a un valor más alto, por lo tanto, el principio de diseño radica en localizar la frecuencia de corte del controlador, ω ο Kp/K D, tal que se logre un mejoramiento efectivo del margen de fase en la nueva frecuencia de transición de ganancia del sistema.

18 63 3 Bode Diagrams 2 Phase (deg); M agnitude ( db) Frequency (rad/sec) Fig..3 Diagrama de Bode para un PD Cabe destacar que si ω ο es mayor a la frecuencia de corte del sistema sin controlador, el valor de la frecuencia de corte del sistema no se modificará Procedimiento de Diseño Usualmente la ganancia Kp se introduce como uno para facilitar la escogencia de K D, por lo que se utiliza una ganancia adicional para satisfacer requerimientos de error. A partir de allí, la ubicación del controlador sólo dependerá del valor de K D, siendo la frecuencia de corte del controlador ω /K D. Si se escoge el valor de ω como la frecuencia de corte del sistema original se le añadirán aproximadamente 45º al margen de fase del sistema original, provocando un pequeño traslado de la frecuencia de corte hacia la derecha. Si se escoge el valor de ω menor a la frecuencia de corte del sistema original, habrá un mayor desplazamiento de la frecuencia de corte hacia la derecha y la fase añadida por el compensador será mayor. Se debe tomar en cuenta el comportamiento de la fase del sistema original., Resumiendo, se puede concluir que la introducción de un controlador PD tendrá los siguientes efectos sobre el sistema: Incrementa el ancho de banda Mejora la rapidez de la respuesta transitoria Mejora el margen de ganancia y el margen de fase Puede acentuar el ruido a alta frecuencia No es efectivo para sistemas inestables

19 64.3 CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL (PI) En este caso la Función de Transferencia del controlador es G (s) K c p K + s I K I K p / K I + s s En la Figura 3 se observa el Diagrama de Bode del controlador PI (Kp,, K I 5), donde se puede visualizar el posible efecto que tendría sobre la respuesta frecuencial. Observe que la magnitud de Gc(s), cuando la frecuencia tiende a infinito es 2 log Kp (db), lo cual representa una atenuación si Kp es menor que uno. Esta atenuación es utilizada para mejorar la estabilidad del sistema. En cuánto a la fase ésta es siempre negativa, lo cual perjudica la estabilidad, por lo que se debe colocar la frecuencia de corte del controlador, (ω K I / Kp), tan lejos como el requisito de ancho de banda lo permita. 2 Bode Diagrams Phase (deg); Magnitude (db) Procedimiento de Diseño Frequency (rad/sec) Fig..4 Diagrama de Bode para un PI Se ajusta el valor de la ganancia para satisfacer el error Se Ubica la frecuencia de corte nueva (ω c )donde la fase satisfaga el margen de fase requerido más el φ. Se ubica el cero una década por debajo de la nueva frecuencia de corte K K I P ω c Se calcula K P considerando la atenuación necesaria para que se logre la nueva frecuencia

20 65 de corte 2logK P 2lg G w c Con base a lo anterior se puede concluir que un controlador Proporcional Integral tiene las siguientes ventajas y desventajas: Mejora el MF y el MG Filtra el ruido a alta frecuencia Disminuye el ancho de banda.4 CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO (PID) En este caso la Función de Transferencia del controlador es como se muestra a continuación: G (s) K c p + K D K s + s I 2 K Ds + K ps + K s I En la Figura 4 se observa el Diagrama de Bode de un controlador PID, donde se puede visualizar su efecto sobre la respuesta frecuencial. 7 Bode Diagrams 6 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Fig..5 Diagrama de Bode para un PID Los valores de los parámetros deben ser seleccionados de forma tal que la zona donde se le añade fase negativa quede a baja frecuencia para que no altere la estabilidad del sistema y la zona donde se añade fase positiva debe ser colocada alrededor de la frecuencia de cruce del sistema. Además, se debe considerar que la parte integral añade un polo en el origen por lo que el error del sistema se ve apreciablemente beneficiado a expensas de la estabilidad relativa del sistema, la cual se

21 66 mejora gracias a la parte derivativa del controlador. A partir de lo anterior se pueden tener las siguientes conclusiones generales respecto al efecto de añadir un PID: Aumenta el tipo del sistema Mejora el error Mejora la estabilidad Reduce ligeramente el ancho de banda El procedimiento de diseño se puede realizar igual que en el caso de atraso adelanto. Primero se diseña el PI y luego se le añade la parte derivativa para lograr el margen de fase deseado. EJEMPLO Para un sistema cuya Función de Transferencia a Lazo Abierto y diagrama de Bode se muestran a continuación, se dispone de controladores P, PD, PI y PID, para lograr un MF sea mayor a 5º y un error al escalón sea menor o igual a,. 4 G ( s) s ( s + ) ( s + 2)

22 67 Bode Phase (deg); Magnitude (db) Frequency Fig..6 Diagrama de Bode a lazo Abierto SOLUCIÓN De la Figura.6 se puede observar que el sistema es de tipo uno, por lo que no presenta error al escalón, es decir, la solicitud de cuánto a respuesta permanente se cumple. En cuánto al margen de fase, se puede leer un valor de aproximadamente 2º, por lo que dicha restricción no se cumple. A continuación se analizan los diferentes controladores para escoger el que será utilizado. Proporcional. La única manera de lograr un margen de fase como el requerido, sería añadiendo una ganancia menor a uno tal que la frecuencia de cruce se traslade a la izquierda, donde la fase presenta mejores valores. El problema sería que el sistema a lazo cerrado tendría un menor ancho de banda y por tanto, reduciría la rapidez de la respuesta. 2 lg Kp - db Kp.326

23 68 Proporcional Integral. Este tipo de controlador logra su objetivo provocando atenuación a alta frecuencia, lo que trasladaría la frecuencia de corte a la izquierda, igual que el control proporcional, desmejorando la respuesta transitoria. Pero al no formar parte de las restricciones se hace posible diseñar este tipo de controlador. Adicionalmente introduciría un polo más en el origen, con lo que el error a la rampa también sería cero, pero esto no forma parte de las restricciones. Esto descarta la introducción de este tipo de controlador, con el cual se lograría lo mismo que con el proporcional, pero la respuesta transitoria se vería más afectada. Proporcional Derivativo. Este controlador logra su objetivo aumentando la fase y trasladando la frecuencia de corte a la derecha, lo que implica mejora en respuesta transitoria. El procedimiento de diseño se presenta a continuación: Se escoge una ganancia proporcional unitaria, pues no hay problemas con el error. La fase necesaria a añadir es: Φ añadir MF requerido MF original 5º -7º 33º Si se coloca el controlador con ω /K D, igual a: ω Coriginal, se le añadirán 45º al margen de fase, ω Coriginal, > /T D, G C (s) +, s Se verifica el valor de la nueva frecuencia de corte, se toma una ω >, pues ω C se trasladará un poco a la derecha. G G C ω,2 4 (,48) (,2) (,56) (2,33) Esto implica que ω C, está aún más a la derecha.,35 G G C ω,5 4 (,69) (,5) (,827) (2,5), Φ 53,74º - (9º +56,3º +36,86º) -29,42º MF 5,58º Considere el mismo problema anterior pero al cual se le añade como solicitud un el error a la

24 69 rampa sea cero. En este caso, se debe aumentar el tipo del sistema lo que implica que la opción a escoger como controlador sería un proporcional integral, el cual se diseña a continuación. El error queda satisfecho al introducir un nuevo polo en el origen, así quue solo nos preocupamos de satisfacer el margen de fase. Se escoge una ω Cnueva,4 donde la fase es aproximadamente -25 Φ -25º > MF 55º MF requerido + Φ Se evalúa la amplitud de G(s) a esa frecuencia, para conocer el valor en decibeles a atenuar por el controlador. 2 log G ωcnueva 3dB > G 4,5 > K P,2 Se fija el cero del controlador una década por debajo de la nueva frecuencia de corte, de donde se calcula el valor de K I Como ω Cnueva,4; > K I /K P,4 > K I,88