OBJETIVO DEL ACTUADOR. Regular el movimiento de un cuerpo que se debe trasladar controladamente de una posición a otra.

Transcripción

1 OBJETIVO DEL ACTUADOR Regular el movimiento de un cuerpo que se debe trasladar controladamente de una posición a otra.

2 El control del movimiento puede ser, según la aplicación: I.- Control de posición. A.- Control de la posición final (control de llegada). B.- Control de la posición en todo momento (control de trayectoria), en uno, dos o tres ejes de coordenadas espaciales.

3 II.- Control de velocidad. C.- Control del vector velocidad (control de velocidad), en uno, dos o tres ejes de coordenadas espaciales.

4 III.- Control de aceleración. D.- Control del vector aceleración (control de aceleración), en uno, dos o tres ejes de coordenadas espaciales. E.- Control del vector de la derivada de la aceleración (control de jerk ), en uno, dos o tres ejes de coordenadas espaciales.

5 Por supuesto, es usual que en una aplicación sea necesario realizar una combinación de dos o más de los controles básicos.

6 Adicionalmente el actuador debe: 1.- Operar con la mayor eficiencia energética posible (criterio de eficiencia energética). 2.- Ser lo más sencillo posible (criterio de simplicidad). 3.-Ser lo más económico posible (criterio de economía).

7 Criterios de diseño para el sistema de control del actuador. 1-Mantener en todo el ciclo de operación todos los parámetros (mecánicos y eléctricos) dentro de los límites de seguridad permitidos. 2-Cero error estático en la variable final considerada (usualmente velocidad o posición). 3-Lograr buena respuesta dinámica.

8 Buena respuesta dinámica implica, por lo menos: a- Respuesta transitoria rápida. b- Tiempo de estabilización corto. c- Sobre paso mínimo (o cero).

9 En el estado actual del arte, para cumplir con estos objetivos, tanto en aplicaciones del tipo máquinas herramienta como en robots y vehículos, el método considerado más efectivo en la práctica es controlar el movimiento en cada eje con un controlador dedicado.

10 La coordinación entre los movimientos individuales en cada eje de coordenadas, necesaria para lograr el objetivo general de control debe ser realizada por un nivel de control de mayor jerarquía, que fija las demandas a cada uno de los controladores de eje.

11 En cada controlador de eje se emplea una arquitectura de control realimentado en cascada, con tres lazos: 1.-Interno: La variable nominal de realimentación es el torque 2.- Intermedio: La variable nominal de realimentación es la velocidad. 3.- Externo: La variable nominal de realimentación es la posición.

12 Diagrama de bloques de un controlador en cascada de tres lazos para control de par, velocidad y posición.

13 El proceso de diseño se cumple en tres etapas: 1- Diseño teórico: El sistema se considera lineal y se analiza en pequeña señal. 2- Simulación de la operación bajo condiciones de gran señal. 3- Ajuste del control en base a los resultados de la simulación (también llamado entonar el control).

14 Durante la primera etapa de diseño (diseño formal), se define un punto de operación (usualmente el final de llegada), se asume que el sistema es lineal alrededor del punto de operación, y que los cambios de la demanda y las perturbaciones de carga son pequeños. En estas condiciones se puede proceder al diseño empleando las técnicas de análisis de sistemas lineales en pequeña señal.

15 Función de transferencia en lazo cerrado. Sean G c (s) y G p (s) respectivamente las funciones de transferencia de un controlador y de una planta. La función de transferencia del arreglo en cascada de ambas, en lazo abierto, G la (s) será: G la (s) = G c (s)g p (s)

16 Diagrama de bloques de un arreglo controlador-planta en cascada

17 Y la función de transferencia en lazo cerrado de la cascada, con realimentación unitaria, G lc (s) será: G lc (s) = G la(s) 1+ G la (s) = G c (s)g p (s) 1+ G c (s)g p (s) ( )

18 Bloque equivalente aplicando operación de realimentación

19 Frecuencia de cruce. Referida al correspondiente diagrama de Bode, se define como frecuencia de cruce (crossover frequency), f c, la frecuencia para la cual el módulo de la función de transferencia en lazo cerrado se hace unitaria, esto es, la frecuencia para la cual se cumple: G la (s) = 0db (ω c es la correspondiente frecuencia angular de cruce)

20 Diagrama de Bode de una función arbitraria mostrando la frecuencia de corte, f c (ó ω c ).

21 Margen de fase. Referido al correspondiente diagrama de Bode, se define como Margen de Fase (MF ó PM) al retardo de fase introducido por la función de transferencia en lazo abierto del sistema considerado a la frecuencia de cruce, f c, medido con respecto a 180º, esto es: MF = φ la fc ( 180º ) = φ la fc +180º

22 Diagrama de Bode de una función arbitraria mostrando el margen de fase.

23 Implicaciones físicas: 1. Si el margen de fase es cero, el sistema es oscilante. 2. Por experiencia, para lograr una respuesta satisfactoria, el margen de fase debe ser superior a 45º y, preferiblemente, estar cercano a 60º (estos son valores en módulo, los MF son numéricamente negativos).

24 Información gráfica sobre la estabilidad del sistema. a) Diagrama de Bode de una función arbitraria mostrando la frecuencia de corte, y el margen de fase b) Definición del ancho de banda de la función arbitraria.

25 Controlador Proporcional-Integral (PI) Implementación en paralelo del controlador PI

26 La entrada al controlador es el error, E(s), dado por: E(s) = X *(s) X(s) donde: X*(s) es la entrada de referencia X(s) es el valor de salida medido (realimentación unitaria) Si la función de transferencia del bloque proporcional es k p, y la del bloque integral es k i /s, se tiene:

27 V bp (s) = k p E(s) V bi (s) = k i s E(s) donde V bp (s) y V bi (s) son respectivamente las salidas de los bloques proporcional e integral

28 por lo tanto, la función de transferencia del controlador PI es: V cpi (s) E(s) = k p + k i s = k i s 1 + s k i / k p Bloque PI equivalente

29 Objetivos: Diseñar un sistema de control de posición empleando un motor DC, con el máximo rendimiento dinámico posible en una estructura de control clásica. A- Se desea que la arquitectura del control sea en cascada, con lazos de par, velocidad y posición. B- Se desea que el bloque electrónico de manejo de potencia tenga la respuesta más rápida que sea posible.

30 Diagrama de bloques de un controlador en cascada de tres lazos para control de par, velocidad y posición.

31 Para mantener la mayor libertad de diseño la velocidad de respuesta de cada lazo debe ser por lo menos un orden de magnitud menor que la del lazo inmediatamente interior, de forma que el lazo interno responda inmediatamente desde el punto de vista del lazo externo.

32 I-Diseño del lazo interno ( lazo de par ). Aunque la variable nominal a controlar es el par, por razones de factibilidad se trabajará en función de la corriente de armadura, que es proporcional al par y mucho más fácil de medir.

33 Modelo equivalente de la máquina DC a) Esquema electro-mecánico b) Diagrama de bloques.

34 Diagrama de bloques completo del lazo interno de control de par

35 Si además en primera aproximación se desprecia el efecto del par de carga, la fuerza contraelectromotriz inducida se puede escribir en función de la corriente como: E a (s) = k Tk e sj eq I a (s)

36 Diagrama de bloques del lazo interno de control de par simplificado despreciando las variaciones del par de carga

37 Si además se asume que la inercia mecánica, J eq, es suficientemente grande, la realimentación más interna puede ser ignorada, con lo que se obtiene el diagrama más simplificado con un solo lazo.

38 Diagrama de bloques del lazo interno de control de par simplificado despreciando las variaciones del par de carga y considerando una constante de tiempo mecánica mucho mayor que la eléctrica.

39 En estas condiciones, la función de transferencia en lazo abierto del lazo de corriente (controlador PI + conversor DC/DC + motor), G ila (s), es: G ila (s) = k i1 s 1 + s k i1 / k p1 k pu 1/ R a 1 + s 1/ τ e

40 Ajustando el cero del controlador PI (k i1 /k p1 ) para cancelar el polo del motor (1/τ e ): k i1 = 1 k p1 τ e k p1 = τ e k i1

41 con esta cancelación, la función de transferencia en lazo abierto del lazo más interno, G ila (s), es: G ila (s) = k ila s donde k ila = k i1k pu R a

42 Con esta función de transferencia en lazo abierto, se cumple que: ω c1 = k ila para evitar interferencias, se puede elegir una frecuencia de cruce para el lazo interno, f c1, que sea uno o dos órdenes de magnitud menor que la frecuencia de conmutación del conversor DC/DC.

43 En todo caso: k i1 = ω c1 R a kpu k p1 = τ e k i1 k p1 = τ e ω c1 R a kpu

44 Diagrama de Bode del lazo interno de control de par. a) En lazo abierto b) En lazo cerrado

45 Debe recordarse que en el análisis básico con diagramas de bloques no se consideran los efectos que los límites físicos tienen en la respuesta del sistema. Por ejemplo no se toma en cuenta que la tensión máxima de salida del conversor DC-DC esta acotada, que el integrador en el controlador PI puede saturar, o que los valores máximos de corriente y par no deben ser superados. Un diagrama de bloques más realista tomando en cuenta alguna de estas limitaciones es:

46 a) Limitaciones físicas en el lazo b) Control de la saturación en el bloque I

47 II-Diseño del lazo intermedio (velocidad) Como punto de partida se asigna a este lazo un ancho de banda un orden de magnitud inferior al lazo de corriente. Esto hace que, para propósitos de este diseño, el lazo de corriente pueda representarse como un bloque de ganancia unitaria: la corriente siempre alcanza su valor de demanda en un tiempo instantáneo desde el punto de vista del lazo de velocidad.

48 Diagrama de bloques del lazo intermedio de control de velocidad simplificado considerando instantánea la respuesta del lazo interno de control de par.

49 En estas condiciones, la función de transferencia en lazo abierto del lazo de control de velocidad, G vla, es: G vla (s) = k i2 s 1 + s k i2 / k p2 1 k T sj eq G vla (s) = k i2 k T J eq 1 + s k i2 /k p2 s 2

50 Función de transferencia del lazo intermedio de control de velocidad simplificado.

51 La función presenta un polo doble en el origen, lo cual implica que, a bajas frecuencias, la magnitud de la función cae a -40db por década y el ángulo de fase es -180º. Seleccionando una frecuencia angular de cruce, ω c2 un orden de magnitud menor que la del lazo de corriente (para asegurar las simplificaciones ya consideradas), y un margen de fase cómodo, φ 2, se tiene:

52 k i2 k T J eq 1 + s k i2 / k p2 s 2 = 1 s= jω2 k i2 k T J eq 1 + s k i2 / k p2 s 2 = 180º +φ 2 s= jω2

53 Diagrama de Bode del lazo intermedio de control de velocidad. a) En lazo abierto b) En lazo cerrado

54 III-Diseño del lazo externo (posición) Nuevamente, se define para este lazo un ancho de banda un orden de magnitud menor que el considerado para el lazo de velocidad, de manera que este puede ser considerado como un bloque unitario respecto al control de posición (la velocidad siempre alcanza su valor final en forma instantánea desde el punto de vista de la velocidad de respuesta del lazo de control de posición). Si se desea un lazo de control PI para la posición, el procedimiento es idéntico al empleado en el lazo de control de velocidad. Normalmente eso no se hace, ya que el lazo, por si solo, introduce una integración, por lo que un control proporcional se considera suficiente.

55 Si se desea solo un lazo de control proporcional (P) en el lazo de velocidad, la función de transferencia en lazo abierto de este lazo, G pla, resulta: G pla (s) = k p3 s por lo que la frecuencia angular de cruce, ω c3, resulta: ω c3 = k p3 por lo tanto, una vez que se fije la frecuencia de cruce deseada, cumpliendo la condición de que sea una década menor que la del lazo de velocidad, el último parámetro del diseño, kp3 resulta: k pe = ω c3