Sistemas de Control. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Electrotecnia y Computación. Docente: Alejandro A Méndez T

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Electrotecnia y Computación Docente: Alejandro T 2009 Prof. Titular FEC - UNI Sistemas de Control Asistente: Yamil O Jiménez L Programa PIED VRAC - UNI

2 Diseño de sistemas de control Respuesta Transitoria Estabilidad Errores de Estado Estable

3 Root Locus Es una representación gráfica de la ubicación que ocupan de los polos de lazo cerrado a medida que un parámetro del sistema es variado y es un método poderoso para el análisis y diseño de para la estabilidad y la respuesta transitoria. Representación vectorial de números complejos (S + a) es un número complejo y puede ser representado mediante un vector el cual es dibujado desde el cero de la función hasta el punto S (S + 7) s 5 + j2

4 Para una función más complicada? m ( s + z ) i factores complejos del numerador i = = 1 F(s) = n factores complejos del denominador (s + p ) j =11 j Cada factor en el numerador y cada factor en el denominador es un número complejo que puede ser representado mediante un vector. M = longitud de los ceros = longitud de los polos m i = 1 n j = 1 (s + z ) θ angulos de los ceros - s + p j i ) = angulos de los polos θ = m i = 1 (s + z n i ) - (s + p j) j = 1

5 Ejemplo Dado la función abajo mostrada, encontrar F(s) en el punto s = -3+j4 (s + 1) F(s) () = s (s + 2) o o o 20 M θ = = o o o o

6 Definición del Root Locus

7 El RL muestra los cambios en respuesta transitoria a medida que la ganancia, K, es variada.

8 Propiedades del RL KG(s) T(s) () = 1+ KG(s)H(s) Un polo existe cuando el denominador de la función se hace cero : KG(s)H(s) () () = -1= 1 (2k + 1)180 o k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,...

9 De otra forma, un valor de s es un polo de lazo cerrado si: KG(s)H(s) = 1 y KG(s)H(s) = (2k + 1)180 o K = 1 G(s) H(s)

10 Graficando el RL (reglas) Número de ramas: Cada polo de lazo cerrado se mueve a medida que la ganancia es variada. Si definimos una rama como el camino que un polo sigue, entonces habrá una rama por cada uno de los polos de lazo cerrado. Simetría: El RL es simétrico respecto al eje real. Segmentos en el eje real: Sobre el eje real, para K > 0, el RL existe hacia la izquierda de un número impar de polos finitos de lazo abierto y/o ceros finitos de lazo abierto en el eje real.

11 Puntos de inicio y fin: El RL comienza en los polos finitos e infinitos de G(s)H(s) y termina en los ceros finitos e infinitos de G(s)H(s). ( )

12 Comportamientoenelinfinito: El RL presenta líneas rectas como asíntotas a medida que el mismo se aproxima a infinito. La ecuación para las asíntotas está dada por los interceptos en el eje real y el ángulo de acuerdo a las siguientes expresiones: σ a = polos finitos - ceros finitos # polos finitos - # ceros finitos θ = a (2K + 1) π # polos finitos - # ceros finitos

13 Ejemplo Graficar el RL para el sistema mostrado en la figura. ( ) - (-3) σ = 4-1 a = (2K + 1) π θa = # polos finitos - # ceros finitos π = 3 = π para K = 0 para K = 1 5 = π 3 para K = 2

14 Diseño de la Respuesta transitoria vía ajuste de la ganancia Condiciones que justifican una aproximación de segundo orden: 1. Los polos de orden superior están muy alejados en el lado izquierdo del plano S que los polos dominantes de segundo orden.

15 2. Los ceros de lazo cerrado cercanos al par de polos de segundo orden de lazo cerrado son prácticamente cancelados por la proximidad cercana de polos de lazo cerrado de orden superior. 3. Los ceros de lazo cerrado no cancelados por la proximidad cercana de polos de orden superior se encuentran muy alejados del par de polos de segundo orden de lazo cerrado.

16 Procedimiento de diseño 1. Dibuje el RL para el sistemas dado 2. Asuma que el sistema es un sistema de segundo orden sin ceros y encuentre la ganancia para satisfacer la especificación de la respuesta transitoria. 3. Justifique la asunción de segundo orden encontrando la ubicación de los polos de orden superior y evaluando el hecho de que se encuentran muy separados con respecto al eje jw comparados con los polos dominantes de segundo orden.. 4. Si la asunción no puede ser justificada, la solución tiene que ser simulada para asegurar que se cumple con la especificación de la respuesta transitoria.

17 Problema Dado el sistema de posición de control de la antena, configuración 1, encuentre la ganancia requerida del pre-amplificador para obtener un 25% de OS.

18 Los segmentos: 0, y -100 e infinito El RL se mueve hacia los ceros en el infinito siguiendo asíntotas que interceptan el eje real en con ángulos de 60, 180 y -60 grados. Un OS del 25% corresponde con una razón de amortiguamiento de Dibujar una línea radial desde el origen con un angulo de cos-1 ζ = La intersección de ésta línea con el RL ubica a los polos dominantes de segundo orden del sistema. Se debe buscar la línea radial para el valor de s que hará la suma de los ángulos igual a 180 grados. Se obtiene s = ± j K = 425.7, K = 64.21

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