Teoría de Sistemas y Señales

Transcripción

1 Teoría de Sistemas y Señaes Estabiidad Entrada-Saida de Sistemas LE Autor: Dr. Juan Caros Gómez

2 Estabiidad de Sistemas Lineaes Estacionarios BIBO Estabiidad BIBO: Bounded Input Bounded Output (Entrada Acotada Saida Acotada) Definición: un sistema es BIBO estabe si para toda entrada acotada a correspondiente saida es acotada. Para SLE existe una condición necesaria y suficiente sobre a respuesta a impuso que garantiza a BIBO estabiidad. Consideraremos separadamente sistemas en tiempo continuo y sistemas en tiempo discreto. TeSyS J. C. Gómez 2

3 1. Sistemas en Tiempo Continuo: Teorema: La condición necesaria y suficiente para que un SLE caracterizado por su respuesta a impuso h(t) sea BIBO estabe es: h(t) dt < (1) (respuesta a impuso absoutamente integrabe) Prueba: La respuesta de sistema a una entrada arbitraria viene dada por: y(t) = u(t -τ )h( τ )dτ TeSyS J. C. Gómez 3

4 Se tiene entonces que: y(t) = u(t -τ )h( τ )dτ u(t -τ ) h( τ ) dτ Si a entrada es acotada entonces u(t -τ ) M < y resuta y(t) M h( τ ) dτ Luego, a saida es acotada siempre que h( τ ) dτ < TeSyS J. C. Gómez 4

5 Esto prueba que (1) es una condición suficiente. Para probar que (1) es también una condición necesaria consideremos a entrada acotada 1 si h( τ ) > 0 τ u(t - ) = 0 1 h(τ) = 0 h(τ) < 0 Para esto caso y() t = h( τ )dτ = h( τ ) dτ y a saida será entonces no acotada si no se verifica (1). Concuimos que (1) es también una condición necesaria para a BIBO estabiidad de sistema. TeSyS J. C. Gómez 5 si si

6 u(t) Ejempo 1: C i(t) C = i(t) = q(t) u(t) Cu (t) i(t) : entrada u(t) : saida q(t) = Cu(t) 1 u( t) = i d C ( τ ) τ La respuesta a impuso se obtiene para i(t)=δ(t), y resuta u(t)=h(t)=µ(t)/c. Luego 1 h( λ )dλ = C 0 que es no acotada No es BIBO estabe. La función transferencia en este caso es: H(s) = que tiene un poo en cero. TeSyS J. C. Gómez 6 dλ t 0 1 sc

7 2. Sistemas en Tiempo Discreto: Teorema: La condición necesaria y suficiente para que un SLE caracterizado por su respuesta a impuso h(n) sea BIBO estabe es: n = h(n) < (2) (respuesta a impuso absoutamente sumabe) Prueba: La respuesta de sistema a una entrada arbitraria viene dada por a convoución: y(n) = h(k)u(n - k) k = - TeSyS J. C. Gómez 7

8 Se tiene entonces que: y(n) = h(k) u(n k) h(k) k = k = Si a entrada es acotada, entonces u(n k) u(n - k) M < y resuta y(n) M h(k) k = Luego, a saida es acotada siempre que k h(k) = < TeSyS J. C. Gómez 8

9 Esto prueba que (2) es una condición suficiente. Para probar que (2) es también una condición necesaria consideremos a entrada acotada 1 si h(k) > 0 u(n - k) = 0 si h(k) = 0 1 si h(k) < 0 Para esto caso y(n) = h(k) k = k = y a saida será entonces no acotada si no se verifica (2). Concuimos que (2) es también una condición necesaria para a BIBO estabiidad de sistema. TeSyS J. C. Gómez 9 = h(k)

10 Ejempo 2: h(n) = a n µ(n) Determinar e rango de vaores de a para tener BIBO estabiidad. h(n) = a n = a n n = n = 0 n = 0 La serie converge a n 1 a = n = 0 1 a siempre que a < 1. En caso contrario, diverge. Luego e sistema es BIBO estabe si a < 1 TeSyS J. C. Gómez 10

11 Ejempo 3: Sistema descrito por a ecuación en diferencias 1 y(n) = y(n 1) + u(n) 2 Determinar si e sistema es estabe. (hacero!!) TeSyS J. C. Gómez 11

12 Estabiidad de SLE en tiempo continuo Estabiidad y ocaización de poos de a FT Consideremos un SLE con FT de a forma s m + b s m 1 b N(s) H(s) K m 1 + L + = 0 = s n + a s n 1 D(s) n 1 + L + a 0 Buscamos condiciones sobre a ocaización de os poos de H(s) en e pano compejo que aseguren a BIBO estabiidad de sistema. Si imponemos a condición de BIBO estabiidad entonces debe ser: m n (FT propia) ya que si este no fuera e caso, efectuando e cociente de poinomios N(s)/D(s), tendríamos TeSyS J. C. Gómez 12

13 Ñ(s) H(s) = c s m n m n + L + c 1 s + c 0 + D(s) por o que si apicamos una entrada acotada, por ejempo un escaón 1 U(s) = s a correspondiente respuesta tendrá un término c 1, que corresponde a c en e dominio tempora, 1 δ(t) que no es acotada. Asumimos entonces que H(s) es propia y a expresamos como H(s) = N(s) D(s) m (s z ) = K = 1 n (s p ) = 1 TeSyS J. C. Gómez 13 ; m n

14 donde por simpicidad hemos supuesto que os poos son reaes y simpes. La respuesta de sistema a un escaón unitario 1 U(s) = s será m (s z ) K Y(s) = = 1 s n (s p ) = 1 Expandiendo en fracciones simpes se obtiene Y(s) = K 0 s TeSyS J. C. Gómez 14 + n = K 1 s - p

15 donde K 0 = im sy(s) y s 0 ( ) K = im s - p Y(s) = 1, K, n s p Tomando a Transformada de Lapace Inversa se obtiene: n p t y(t) = K + K e µ(t) 0 = 1 Vemos que para que a saida permanezca acotada os poos p deberán ser negativos. TeSyS J. C. Gómez 15

16 Si consideramos ahora a posibiidad de tener poos compejos, os mismos deberán aparecer como pares de poos compejos conjugados. La respuesta de sistema a un escaón unitario será ahora de a forma: r p t y(t) = K + K e + 0 = 1 q σ t σ t = + K e cosω t + K e sinω t Donde hemos supuesto que hay r poos reaes simpes y q pares de poos compejos conjugados simpes ( σ ± jω ). TeSyS J. C. Gómez 16

17 En este caso vemos que para que a saida permanezca acotada debe ser: p σ < 0 < 0 poos reaes negativos poos compejos conjugados con parte rea negativa Un razonamiento simiar se puede hacer para e caso de tener poos (reaes y/o compejos) con mutipicidad. TeSyS J. C. Gómez 17

18 En concusión: Una condición necesaria y suficiente para a BIBO Estabiidad de un SLE es que os poos estén en e semipano izquierdo abierto (poos con parte rea negativa, Re{p } < 0) jω pano s Estabiidad Inestabiidad σ La ubicación de os ceros no afecta a BIBO estabiidad de sistema. Se denominan - sistemas mínima fase ceros en e semipano izquierdo - sistemas no mínima fase a menos un cero en e semipano derecho TeSyS J. C. Gómez 18