Solución analítica de problemas de contorno. Ecuación de
|
|
- Rodrigo Ramírez Ortiz de Zárate
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 Práctica 3 Soución anaítica de probemas de contorno. Ecuación de difusión En esta práctica estudiaremos agunos probemas asociados a a ecuación de difusión. En primer ugar resoveremos e probema genera de una varia finita con una fuente caorífica y condiciones de frontera variabes. En a segunda parte de a práctica estudiaremos as modificaciones a reaizar cuando as condiciones en a frontera dependen también de a derivada de a soución (frontera aisada o con intercambio de caor) Varia finita con fuentes de caor y condiciones de contorno no homogéneas La ecuación de caor para una varia finita con fuentes de caor y condiciones de contorno no homogéneas viene dada por t = 2 T a2 + Q(x, t), 2 <x<, t>, con as condiciones de contorno T (,t)=f 1 (t), T(, t) =f 2 (t), y a condición inicia T (x, ) = g(x). 33
2 Para resover este probema hemos visto que a soución T (x, t) se descompone en dos funciones T (x, t) =u(x, t)+t 3 (x, t) donde T 3 (x, t) =f 1 (t)+ x (f 2(t) f 1 (t)) y u(x, t) es soución de siguiente probema con distinta función fuente pero condiciones de frontera nuas u t = 2 u a2 + R(x, t), <x<, t>, 2 (R(x, t) =Q(x, t) 3 ) con as condiciones de contorno t u(,t)=, u(, t) =, y a condición inicia u(x, ) = g(x) T 3 (x, ). Para resover este segundo probema hemos visto que a soución u(x, t) se descompone en dos funciones u(x, t) =T 1 (x, t)+t 2 (x, t) donde T 1,T 2 tienen condiciones de frontera nuas. T 1 (x, t) es soución de a ecuación homogénea (sin fuentes) y condiciones iniciaes no nuas dadas por 1 t = 2 T 1 a2, 2 con as condiciones de contorno T 1 (,t)=, T 1 (, t) =, y a condición inicia T 1 (x, ) = u(x, ). De o estudiado en teoría, sabemos que ( nπx ) ( ( nπa ) ) 2 T 1 (x, t) = a n sen exp t e imponiendo a condición inicia obtenemos os coeficientes a n = 2 ( nπx ) u(x, ) sen dx., 34
3 T 2 (x, t) es soución de a ecuación no homogénea (con fuentes) y condiciones iniciaes nuas dada por 2 t = 2 T 2 a2 + R(x, t), 2 con as condiciones de contorno T 2 (,t)=, T 2 (, t) =, y a condición inicia T 2 (x, ) =. De o estudiado en teoría, sabemos que ( t ( ( nπa ) ) ) 2 ( nπx ) T 2 (x, t) = q n (τ) exp (t τ) dτ sen donde as funciones q n (t) se obtienen de a función fuente R(x, t) ( nπx ) R(x, t) = q n (t) sen, esto es q n (t) = 2 ( nπx ) R(x, t) sen dx. Con todo esto, a soución de probema viene dado por T (x, t) =T 1 (x, t)+t 2 (x, t)+t 3 (x, t)., Resumen: agoritmo de cácuo: De igua manera a como se hizo en e tema anterior para e probema de ondas, nos construimos e siguiente agoritmo (se puede obtener fácimente modificando igeramente e agoritmo de a práctica anterior). Definir os parámetros a, y as funciones f 1 (t),f 2 (t),g(x),q(x, t) T 3 (x, t) =... R(x, t) =... u(x, ) =... a n =... T 1 (x, t) =... q n (t) =... T 2 (x, t) =... T (x, t) = T 1 (x, t)+t 2 (x, t)+t 3 (x, t) 35
4 3.2. Fronteras aisadas En os probemas de transmisión de caor es interesante estudiar probemas en os que aguno de os extremos de dominio está aisado. Supongamos, por ejempo, que se quiere estudiar a distribución de temperaturas en una región comprendida en e intervao [,], suponiendo que e extremo situado en x = está aisado térmicamente. Esta condición se expresa (, t) =. Así, veamos cómo se puede anaizar e siguiente probema t = 2 T a2, 2 con as condiciones de contorno y a condición inicia T (,t)=, (, t) =, T (x, ) = f(x). Para resover este probema se utiiza e método de separación de variabes probando una soución de a forma con o que egamos a a ecuación Se tiene T (x, t) =X(x)P (t), 1 a 2 P P = X X = λ. X + λx =, (3.1) con as condiciones X() =, X () =. (3.2) La soución genera de a ecuación (3.1) es de a forma ( ) ( ) X(x) =A cos λx + B sen λx. Las condiciones de contorno (3.2) impican que A =, λb cos( λ) =. 36
5 Los autovaores son pues (( ) ) 2 2n 1 π λ n = 2, n =1, 2,... y as autofunciones (( ) ) 2n 1 πx X n (x) = sen 2. Para a parte tempora se tiene a ecuación P n(t)+ ( ) 2 (2n 1)π a P n (t) =, 2 cuya soución es de a forma ( ( ) 2 a(2n 1)π P n (t) =a n exp t) 2. Tenemos pues que a soución de probema viene dada por ( ( ) 2 ( ) a(2n 1)π (2n 1)πx T (x, t) = a n exp t) sen 2 2, donde os coeficientes a n se obtienen a partir de a condición inicia a n = 2 ( ) (2n 1)πx f(x) sen dx Intercambio de caor en a frontera En situaciones más reaistas se tiene transferencia de caor en os extremos de dominio. En este caso si consideramos e extremo correspondiente a x =, se tendrán que imponer condiciones de a forma ht (, t)+ (, t) =, donde h es un coeficiente de transferencia de caor. Veamos cómo se resueven os probemas de este tipo. 37
6 Consideremos e probema t = 2 T a2, 2 con as condiciones de contorno y a condición inicia T (,t)=, (, t) = ht (, t), T (x, ) = f(x). De igua manera que antes, por separación de variabes 1 P a 2 P = X X = λ. se ega a que a soución genera para X(x) es X(x) =A cos( λx)+b sen( λx). (3.3) Las condiciones de contorno son ahora de a forma X() =, X () = hx(). De a condición, X() = obtenemos A = y de a segunda condición se deduce a siguiente ecuación B λ cos( λ) = hb sin( λ), o sea, tan( λ λ) = h. Tomando β = λesta ecuación se expresa tan(β) = β h. (3.4) Esto es, para que a función T (x, t) =P (t)x(x) cumpa as condiciones de frontera, éstas deben de imponerse a a función X(x) dada en (3.3), y eo impica que A =yλsóo puede tomar un número discreto de vaores, λ n, n =1, 2,..., taes que sean soución de (3.4). Si, por ejempo, dibujamos as curvas y = tan(x) ey = x, obtenemos a gráfica mostrada en a Figura
7 Figura 3.1: Raíces de a ecuación (3.4) para h = =1. Observamos que a ecuación (3.4) tiene una sucesión de raíces positivas β 1,β 2,... Como tenemos que haaras numéricamente, necesitamos conocer dónde se encuentran aproximadamente. A partir de a figura vemos que a raíz, β n se encuentra en e intervao [π(2n 1)/2,πn], (y cerca de extremo izquierdo de intervao). Las siguientes instrucciones nos permiten definir un vector cuyas componentes sean estas raíces. resu:=findroot[tan[x]==-x,{x,pi(2n-1)/2+1/n,pi(2n-1)/2,pi*n}] rega:=fatten[resu] bet[n_]=x/. rega; Con e FindRoot, e cero n-ésimo o empezamos a buscar a partir de punto de partida x = 1π(2n 1) + 1 y e decimos que se encuentra dentro de 2 n intervao β n [ 1 π(2n 1),nπ]. Resutados simiares se obtienen si dibujamos 2 as curvas y = tan(x) ey = x para os correspondientes vaores de h y. h Viendo a gráfica, se observa que e número de ceros seguirá siendo e mismo. Habrá una raíz en cada intervao, β [(2n 1)π, 2nπ], aunque tomarán vaores igeramente distintos. Los autovaores serán ( ) 2 βn λ n =. Como funciones espaciaes se toman (a constante B se puede absorver dentro de a función P (t)) ( ) ( ) βn X n (x) = sen λn x = sen x. Se puede comprobar que estas funciones satisfacen una reación de ortogonaidad de a forma ( ) ( ) ( ) βn βn sen x sen x dx = δ n,m sen 2 βn x dx. (3.5) 39
8 Para comprobar as regas de ortogonaidad, podemos definir a función ort[n_,m_]:=nintegrate[sin[bet[n]*x]*sin[bet[m]*x],{x,,1}] y observar que éstas se cumpen. Para e caso anterior (se corresponde con e caso h = = 1) se tiene, por ejempo In[]:= ort[1,3] Out[]= *1^(-17) In[]:= ort[3,3] Out[]= Para a parte tempora se tiene a ecuación ( ) 2 P n(t)+a 2 βn P n (t) =, cuya soución es de a forma ( ( ) 2 aβn P n (t) =a n exp t). Por tanto, asoución viene dada por ( ( ) 2 ( ) aβn βn T (x, t) = a n exp t) sen x donde os coeficientes a n se obtienen a partir de a condición inicia, haciendo uso de a reación de ortogonaidad (3.5). a n = 1 ( sen2 β n x ) dx ( ) βn f(x) sen x dx. (3.6), 4
9 3.4. Ejercicios 1. Suponed que un modeo simpe para obtener a distribución de temperatura en una habitación de 1 metros de profundidad a a que una de sus paredes e da e So es T t =3 2, t 24, x 1, 2 con as condiciones de contorno ( ) πt T (,t)=2 5sin, T(1,t)=2, 12 y a condición inicia T (x, ) = 2. a) Dibujar con e Manipuate a distribución de temperatura para t [, 1] utiizando 1 autofunciones. b) Dibujar a variación de temperatura en x =8yt [, 1]. c) Haar T (5, 4) con 15 autofunciones. Suponiendo que éste es e vaor exacto, haar e error absouto cometido a cacuar este vaor con 2 y con 6 autofunciones. 2. Dado e probema t = 1 2 T 2, x 1, t >, 2 con as condiciones de contorno y a condición inicia T (,t)=, (1,t)=,2T (1,t), T (x, ) = 4x 3 1 x2. a) Comprobad que se satisface a reacin de ortogonaidad (3.5) para os 3 primeros autovaores (para os vaores de h y de probema). b) Dibujad a distribucin de temperatura para t [, 2]. 41
Solución analítica de problemas de contorno. Ecuación de ondas
Práctica 2 Soución anaítica de probemas de contorno. Ecuación de ondas 2.1. Ecuación de ondas 1D: Vibraciones forzadas de una cuerda finita con extremos móvies La ecuación de ondas para una cuerda finita
Más detalles5.1. Soluciones de EDP s de coeficientes constantes
Práctica 5 Ecuaciones en derivadas parciaes En esta práctica veremos cómo es posibe utiizar e programa Mathematica para resover agunos tipos de ecuaciones en derivadas parciaes. Revisaremos también agunas
Más detallesSOLUCIONES. <, >: H H C (x, y) ; <x, y>
1. Teoría Ingeniero Industria Curso 99\ Asignatura: Transformadas Integraes y Ecuaciones en Derivadas Parciaes. Test sobre e Método de Separación de Variabes. 7 de Noviembre de 1999. SOLUCIONES (a) Qué
Más detallesu (0,x)=f(x) ; u u (t, 0) = u (t, l) =0 t>0
Capítuo 1 Un Examen Resueto Se presenta a continuación un examen resueto que se puso en a convocatoria de febrero de curso /1. Durante este curso se impartieron todos os temas de temario excepto e útimo.
Más detallesLas raíces del polinomio característico P (λ) = λ 2 + 4λ + 3 son
Tiempo total: 2 horas 4 minutos Problema 1 [2 puntos]. Colgamos una masa m de un muelle vertical cuya constante de Hooke es λ. El medio ofrece una resistencia igual a µ veces la velocidad instantánea.
Más detallesMétodo de separación de variables
Método de separación de variabes José Rodear y Andrés Encinas Departamento de Matemática Apicada III Notas preparadas para as asignaturas Ecuaciones Diferenciaes de tercer curso de as tituaciones de Ingeniero
Más detallesLista de ejercicios # 5
UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS MA-005 Ecuaciones Diferenciales para Ingeniería ESCUELA DE MATEMÁTICA Segundo Semestre del 206 Lista de ejercicios # 5 Ecuaciones diferenciales en derivadas
Más detallesGuía 3: Teoría de pertubaciones tiempo independiente
Pontificia Universidad Catóica de Chie Facutad de Física FIZ 0 Mecánica Cuántica Profesor: Max Bañados Ayudantes: Arie Norambuena ainoramb@ucc Guía 3: Teoría de pertubaciones tiempo independiente 3 de
Más detallesMatemáticas III Tema 7 Ecuaciones en derivadas parciales (EDPs)
Matemáticas III Tema 7 Ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) Rodríguez Sánchez, F.J. Muñoz Ruiz, M.L. Merino Córdoba, S. 2014. OCW-Universidad de Málaga, http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons
Más detallesPara qué se utiliza? Integración por el método de Monte Carlo. El método de Monte Carlo. Cálculo de integrales definidas
Para qué se utiiza? Integración por e método de Monte Caro Patricia Kisbye FaMAF 31 de marzo, 29 Es un método que utiiza números aeatorios para cacuar numéricamente expresiones matemáticamente compejas
Más detallesEcuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Numérico
Ecuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Numérico Prácticas Capítulo 4. Series de Fourier. 4.1 Serie de Fourier Vamos a intentar representar algunas funciones por su serie de Fourier de senos. Tomamos
Más detallesGUIA 10. Series de Fourier. 1. Revisión sobre el espacio euclideo R n
GUIA 1 Series de Fourier A finaes de sigo XVIII Jan Baptiste Joseph Fourier (1768-183) descubrió un método que permite aproximar funciones periódicas mediante combinaciones ineaes de funciones trigonométricas
Más detallesAplicación del Método de Separación de Variables a la Resolución de EDPs
Capítuo 6 Apicación de Método de Separación de Variabes a a Resoución de EDPs En os capítuos anteriores hemos desarroado todas as herramientas necesarias para poder apicar e método de separación de variabes
Más detallesJorge Mozo Fernández Dpto. Matemática Aplicada
Álgebra y Ecuaciones Diferenciales Lineales y Matemáticas II E.T.S. Ingenieros de Telecomunicación I.T. Telecomunicación Esp. Telemática y Sistemas de Telecomunicación Curso 2009-2010 Tema 11: Introducción
Más detallesProblemas Lineales de Contorno
Probemas Lineaes de Contorno ( J.J. Anza, J. Abizuri, C. Bastero, M. Martínez-Nebreda) INTRODUCCIÓN Hasta e momento se han estudiado ecuaciones diferenciaes de segundo orden ineaes de a forma: y" + p(x)
Más detallesCAPÍTULO 5. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO CON PEQUEÑAS OSCILACIONES, PEQUEÑAS VARIACIONES DE LONGITUD Y SIN AMORTIGUAMIENTO.
CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO CON PEQUEÑAS OSCILACIONES, PEQUEÑAS VARIACIONES DE
Más detallesproblemas de EDII (r) 2011 y + = 2 e y
problemas 1 1 Resolver (si es posible) los siguientes problemas de Cauchy: 3 2 y + = 5 (2y ) y + =2y (, 0)= 3 (1, y)=0 y = y y (, 1)= y + = 2 e y ( 1, y)=0 y +3y 2 = 2 y +6y4 y y +(2y ) = (, 1)= 2 (, 1)=0
Más detallesExtensión de la regla de la cadena Funciones diferenciables. z = f(x, y), x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) z = f ( x(u, v, w), y(u, v, w) ) x u + f
1 228 Extensión de la regla de la cadena Funciones diferenciables. z = f(x, y), x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) z = f ( x(u, v, w), y(u, v, w) ) z u = f x x u + f y y u z v = f x x v + f y y v z w = f x
Más detallesProblemas de AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
Problemas de AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Ingeniería Industrial. Curso 003-004. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema 6: Ecuaciones en derivadas parciales. 6.1 Series de Fourier
Más detallesCÁLCULO III. Problemas
CÁLCULO III. Problemas Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Tema 4 Arturo de Pablo Elena Romera Open Course Ware, UC3M http://ocw.uc3m.es/matematicas 4 MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES 19 4.
Más detallesPráctica 1. Continuidad Ejercicios resueltos
Práctica 1. Continuidad Ejercicios resueltos 1. Estudiar la continuidad de los campos escalares definidos por f(x, y) = x y x 2 + y 2 g(x, y) = x2 y x 2 + y 4 h(x, y) = x y2 x 2 + y 4 para todo (x, y)
Más detallesr r a) Clasificar el sistema x = Ax en función del parámetro r R.
Examen Final de Ecuaciones Diferenciales Fecha: 15 de junio de 2012 3 Problemas (7.5 puntos) Tiempo total: 3 horas Problema 1 [2.5 puntos]. Queremos dibujar el croquis de un sistema lineal 2D y realizar
Más detallesModelos en EDPs. Damián Ginestar Peiró. Departamento de Matemática Aplicada Universidad Politécnica de Valencia. Curso
Modelos en EDPs Damián Ginestar Peiró Departamento de Matemática Aplicada Universidad Politécnica de Valencia Curso 2008-2009 (UPV Modelos en EDPs Curso 2008-2009 1 / 67 Programa 1 Ecuaciones hiperbólicas
Más detallesa de un conjunto S de R n si
1 235 Máximos, mínimos y puntos de ensilladura Definición.- Se dice que una función real f( x) tiene un máximo absoluto en un punto a de un conjunto S de R n si f( x) f( a) (2) para todo x S. El número
Más detallesJorge Mozo Fernández Dpto. Matemática Aplicada
Álgebra y Ecuaciones Diferenciales Lineales y Matemáticas II E.T.S. Ingenieros de Telecomunicación I.T. Telecomunicación Esp. Telemática y Sistemas de Telecomunicación Curso 9- Tema : Series de Fourier
Más detallesOpción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre Reserva_ tan(x) - sen(x) [2 5 puntos] Calcula lim
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 014 Reserva 1 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre Reserva_1 014 tan(x) - sen(x) [ 5 puntos] Calcula lim
Más detallesExtensión de la regla de la cadena Funciones diferenciables. z = f(x, y), x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) z = f ( x(u, v, w), y(u, v, w) ) x u + f
1 228 Extensión de la regla de la cadena Funciones diferenciables. z = f(x, y), x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) z = f ( x(u, v, w), y(u, v, w) ) z u = f x x u + f y y u z v = f x x v + f y y v z w = f x
Más detallesA = α cuyos VAPs son λ = 2 y λ ± = α ± i. (No hace falta que comprobeis este dato.) a) Calcular la solución general real del sistema x = Ax.
Examen Final de Ecuaciones Diferenciales Fecha: 7 de junio de 013 3 Problemas (7.5 puntos) Tiempo total: horas 30 minutos Problema 1 [.5 puntos]. Consideramos la matriz A = α 1 0 1 α 0, α R, 0 0 cuyos
Más detallesReglas de derivación Sumas, productos y cocientes. Tema 4
Tema 4 Reglas de derivación Aclarado el concepto de derivada, su significado analítico y sus interpretaciones geométrica y física, pasamos a desarrollar las reglas básicas para el cálculo de derivadas
Más detallesPara qué se utiliza? Integración por el método de Monte Carlo. Cálculo de integrales definidas. El método de Monte Carlo
Para qué se utiiza? Integración por e método de Monte Caro Patricia Kisbye FaMAF 1 de abri, 28 Es un método que utiiza números aeatorios para cacuar numéricamente expresiones matemáticamente compejas y
Más detallesEcuaciones Diferenciales y Métodos Numéricos
NOMBRE...Número... Ecuaciones Diferenciales y Métodos Numéricos 3 er Curso I. Caminos. Ecuaciones en Derivadas Parciales Examen Parcial: 7-XII-2006 Observaciones: Escribir exactamente la solución donde
Más detallesTeoría de Sistemas y Señales
Teoría de Sistemas y Señaes Estabiidad Entrada-Saida de Sistemas LE Autor: Dr. Juan Caros Gómez Estabiidad de Sistemas Lineaes Estacionarios BIBO Estabiidad BIBO: Bounded Input Bounded Output (Entrada
Más detallesApéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales
Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.
Más detalles(x + 3) 2 (y (x)) 2 dx, x + 3 ln(5) Solución: Comenzamos construyendo el funcional. F (x, y, p) = (x + 3) 2 p 2 λy 2
UNIVERSIDAD DE GRANADA Modelos Matemáticos II. 5 de mayo de 016 EJERCICIO 1. Se considera el funcional definido en F[y] (x + 3 (y (x dx, D { y C 0 [, ] C0(, 1 tal que ( } (y(x 1 π dx 1, sen ln(x + 3 y(x
Más detalles2 Obtener el término general de las siguientes sucesiones definidas por recurrencia: y0 = a > 0
CÁLCULO NUMÉRICO I (Ejercicios Temas 1 y ) 1 Cuáles de los siguientes algoritmos son finitos? (a) Cálculo del producto de dos números enteros. (b) Cálculo de la división de dos números enteros. (c) Cálculo
Más detallesLa pendiente de una línea recta es la variación de y que corresponde a una unidad de variación de x
MEDICINA 2013 -- teórico práctico 04 -- Derivadas Pendiente de una recta-repaso Ya sabemos que las gráficas de las funciones que llamamos tipo ax+b a las que algunos libros llaman lineales son siempre
Más detalles1. Se considera el siguiente problema isoperiméétrico: calcular el mínimo relativo del funcional. xy (x) 2 dx,
GRADO EN MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE GRANADA Modelos Matemáticos II de julio de 4 Curso 3/4 Se considera el siguiente problema isoperiméétrico: calcular el mínimo relativo del funcional en el espacio D
Más detalles1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES
. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones en el punto ā y la dirección definida por v... f(x, y = x + 2xy 3y 2, ā = (, 2, v = ( 3 5, 4 5.
Más detalles1. Se trata en primer lugar de calcular la transformada de Fourier F[f]. Para ello
1. Enunciados 1.1. Primer ejercicio Sea f(x := e x, x R. 1. Se trata en primer lugar de calcular la transformada de Fourier F[f]. Para ello a Asegurar que existe probando que la función f es absolutamente
Más detallesPráctica 8. f n (x) = sea la mejor aproximación (en media cuadrática) de la función f(x) = 1 en (0, 2). (x 2 a b cos x c sen x) 2 dx.
MATEMATICA 4 er Cuatrimestre de 25 Práctica 8. a) Verificar que f n (x) = { n si x n si x > n converge uniformemente a cero en R pero que (f n ) no converge a cero en media cuadrática. b) Verificar que
Más detallesx (0) si f (x) = 2s 1, s > 1 d) f 3. Analizar la existencia de derivadas laterales y de derivada en a = 0, para las siguientes funciones:
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 7 1. Usando sólo la definición de derivada,
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales
Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 8 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2016 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.
Más detallesCÁLCULO NUMÉRICO I (Tema 2 - Relación 1)
CÁLCULO NUMÉRICO I (Tema - Relación 1) 1 Cuáles de los siguientes algoritmos son finitos? a) Cálculo del producto de dos números enteros. b) Cálculo de la división de dos números enteros. c) Cálculo de
Más detallesLa energía cinética de un sistema constituido por dos masas m A y m B cuyas coordenadas son x A, y A, z A y x B, y B, z B, respectivamente, es:
1 EL ROTOR RÍGIDO E rotor rígido es un sistema formado por dos cuerpos A y B unidos por una barra sin masa, de argo R, y girando en cuaquier dirección pero con e centro de masa fijo. La energía cinética
Más detallesCálculo infinitesimal Grado en Matemáticas Curso 20014/15 Clave de soluciones n o 6. Derivadas de orden superior
Cálculo infinitesimal Grado en Matemáticas Curso 2004/5 Clave de soluciones n o 6 Derivadas de orden superior 70. Hallar los polinomios de Taylor del grado indicado y en el punto indicado para las siguientes
Más detallesLista de ejercicios # 3. Sistemas de ecuaciones diferenciales
UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FCULTAD DE CIENCIAS MA-005 Ecuaciones Diferenciales ESCUELA DE MATEMÁTICA I Ciclo del 207 Uso de operadores Lista de ejercicios # 3 Sistemas de ecuaciones diferenciales (3PII206
Más detallesApéndice B APÉNDICE B: PROPIEDADES DE TENSORES DE SEGUNDO RANGO
Apéndice B APÉNDICE B: PROPIEDADES DE TENSORES DE SEGUNDO RANGO B1 Descomposición invariante de espacio 2 E E grupo O(n) de as transformaciones ortogonaes divide e espacio vectoria de os tensores cartesianos
Más detallesAnálisis Matemático 2
Análisis Matemático 2 Una resolución de ejercicios con hipervínculos a videos on-line Autor: Martín Maulhardt Revisión: Fernando Acero y Ricardo Sirne Análisis Matemático II y II A Facultad de Ingeniería
Más detallesPRÁCTICA 9. TRANSFORMADA DE FOURIER
PRÁCTICA 9. TRANSFORMADA DE FOURIER Ejercicio. Teorema de la integral de Fourier: sea f una función casi continua en todo intervalo finito del eje x tal que existe la f(x) dx ; sea f (x) la función definida
Más detallesEl método de Discretización en Varias Variables
Artícuo Revista digita Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vo., N o. Agosto Diciembre 200. E Método de... Bibiografía E método de Discretización en Varias Variabes Ir
Más detallesCIRCUITOS MAGNÉTICOS Ejercicios resueltos
Circuitos magnéticos Ejercicios resuetos _Rev2010 1 Reaizado por Ing. Pabo Morcee de Vae CIRCUITOS MAGNÉTICOS Ejercicios resuetos 1. Ejempos de resoución de circuitos magnéticos Se presentan agunos ejempos
Más detallesApellidos:... Nombre:... Examen
Cálculo Numérico I. Grado en Matemáticas. Curso 0/0. 0 de Junio de 0 Apellidos:... Nombre:... Examen. Decidir razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, buscando un contraejemplo
Más detallesMATEMÁTICA AGRONOMÍA RESPUESTAS AL SEGUNDO PARCIAL Primer Cuatrimestre Tema 1
Ejercicio Considerando la recta R que pasa por los puntos A = (; 0; ) y B = (2; ; 5) y el punto P = (2; ; ), hallar la ecuación implícita del plano π que es perpendicular a la recta R y contiene al punto
Más detallesIntersección y suma de subespacios
Intersección y suma de subespacios Objetivos Demostrar que la intersección y la suma de dos subespacios de un espacio vectorial también son sus subespaicios Requisitos Espacio vectorial, subespacio vectorial
Más detallesEcuación de calor: Solución con el método de separación de variables y serie de medio rango de Fourier *
Universidad de San Carlos Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería s septiembre/211 Matemática Aplicada 2N Ecuación de calor: Solución con el método de separación de variables y serie de medio
Más detalles[0.6 p.] b) Resolver la EDO lineal no homogénea de primer orden a coeficientes constantes
Fecha: 25 de junio de 2 Problema [2 puntos] Conviene recordar los problemas Depósito de salmuera y Grandes Lagos En los primeros apartados se preparan algunos cálculos previos [4 p] a) Resolver la EDO
Más detallesTrigonometría del círculo. Sección 5.3
Trigonometría de círcuo Sección 5.3 Un círcuo con centro en e origen de un sistema de coordenadas rectanguares y con radio igua a 1 se ama un círcuo unitario. Side 6.3 - Si e punto (x,y) pertenece a círcuo
Más detallesEcuación unidimensional de la Onda
ESPO Ing. Roberto Cabrera V. DEMOSTRACIÓN DE A SOUCIÓN DE A ECUACIÓN DE A ONDA Consideraremos ahora las vibraciones transversales de una cuerda extendida entre dos puntos, x = y x =. El movimiento se produce
Más detallesConjuntos de nivel, diagramas de contorno, gráficas. Funciones vectoriales de una y dos variables.
Empezaremos el curso introduciendo algunos conceptos básicos para el estudio de funciones de varias variables, que son el objetivo de la asignatura: Funciones escalares de dos y tres variables. Conjuntos
Más detallesEcuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Numérico
, Ecuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Numérico Prácticas Capítulo 5. Diferencias finitas para la ecuación de ondas. 5.1 Resolviendo la ecuación de ondas Vamos a resolver la ecuación de ondas utilizando
Más detallesPráctica 8 Series de Fourier
MATEMATICA 4 - Análisis Matemático III Primer Cuatrimestre de 8 Práctica 8 Series de Fourier. (**) a) Verificar que f n (x) = { n si x n si x > n converge uniformemente a cero en R pero que (f n ) no converge
Más detallesLectura 8 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil
1 / 43 Lectura 8 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil Curso Académico 2011-2012 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Método de elementos finitos para problemas de contorno 2 / 43 Para introducir
Más detallesEspacios de Hilbert. Capítulo Una Primera Aproximación al Método de Separación de Variables
Capítuo 3 Espacios de Hibert Uno de os objetivos de este curso es presentar métodos generaes que nos permitan resover a menos as ecuaciones de caor, ondas Lapace así como EDPs ineaes de segundo orden con
Más detallesSistemas no lineales
Tema 4 Sistemas no lineales Dpto. Matemática Aplicada I E.T.S. de Arquitectura Universidad de Sevilla Curso 2005 2006 Tema 4. Sistemas no lineales 1. Sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales. Integrales
Más detallesSoluciones analítico-numéricas de ecuaciones en derivadas parciales con retardo. Elia Reyes Salguero
Souciones anaítico-numéricas de ecuaciones en derivadas parciaes con retardo Eia Reyes Saguero Departamento de Matemática Apicada TESIS DOCTORAL SOLUCIONES ANALÍTICO-NUMÉRICAS DE ECUACIONES EN DERIVADAS
Más detallesEcuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales María Muñoz Guillermo maria.mg@upct.es U.P.C.T. Matemáticas I(1 o Grado en Ingeniería Electrónica Industrial y Automática) M. Muñoz (U.P.C.T.) Ecuaciones Diferenciales Matemáticas
Más detallesCapítulo II. Función de supervivencia y tablas de mortalidad.
Capítuo II. Función de supervivencia y tabas de mortaidad. 2.1 Función de supervivencia. A considerar a supervivencia humana en os estudios demográficos e amado modeo biométrico (epresión matemática que
Más detallesCÁLCULO II Grados en Ingeniería
CÁLCULO II Grados en Ingeniería Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García Figuras realizadas con Arturo de Pablo Martínez Capítulo 1. Cálculo diferencial 1.1 Funciones. Límites y continuidad
Más detallesTema 6: Ecuaciones diferenciales lineales.
Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación que se puede escribir de la siguiente forma: a n (x)y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + + a 0 (x)y(x)
Más detallesFunciones de Variable Real
Tema 1 Funciones de Variable Real 1.1. La Recta Real Los números reales se pueden ordenar como los puntos de una recta. Los enteros positivos {1, 2, 3, 4,...} que surgen al contar, se llaman números naturales
Más detallesEcuaciones lineales de segundo orden
Ecuaciones lineales de segundo orden Considere la ecuación lineal general de segundo orden A( xy ) + Bxy ( ) + Cxy ( ) = Fx ( ) donde las funciones coeficientes A, B, C y abierto I. F son continuas en
Más detallesAmpliación de Matemáticas y Métodos Numéricos
4. Ampliación de EDP. Resolución numérica Ampliación de Matemáticas y Métodos Numéricos M a Luz Muñoz Ruiz José Manuel González Vida Francisco José Palomo Ruiz Francisco Joaquín Rodríguez Sánchez Departamento
Más detallesDinámica del Punto sobre Curva
Dinámica de Punto sobre Curva Índice 1. Teoría genera de a Dinámica de Punto sobre Curva 2 1.1. Introducción................................... 2 1.2. Curva isa.................................... 2 1.2.1.
Más detallesMultiplicadores de Lagrange
Funciones de R n en R 1 Multiplicadores de Lagrange Para entender el método de los multiplicadores de Lagrange ilustraremos las ideas con un ejemplo Ejemplo Sea f : R 2 R dada por fx, y) = x + 1) 2 + y
Más detallesApellidos:... Nombre:... Examen
Cálculo Numérico I. Grado en Matemáticas y doble grado Física/Matemáticas. 16 de junio de 017 Curso 016/017. Apellidos:... Nombre:... Examen 1. Explicar razonadamente si las siguientes afirmaciones son
Más detallesSelectividad Matemáticas II septiembre 2014, Andalucía
Selectividad Matemáticas II septiembre 14, Andalucía Pedro González Ruiz 17 de septiembre de 14 1. Opción A Problema 1.1 Sabiendo que lím x cos(3x) e x +ax xsen(x) Sea l el límite pedido. Tenemos: es finito,
Más detalles1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS 1 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función f por la izquierda de un punto x = a. Es el valor al
Más detallesContinuidad de funciones reales y vectoriales de variable vectorial
Capítulo 6 Continuidad de funciones reales y vectoriales de variable vectorial 6.1. Introducción Hasta el momento hemos estudiado funciones reales de variable real, es decir, funciones de la forma f :
Más detallesTALLER DE MATEMÁTICAS NOTAS. Toda expresión algebraica del tipo. a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. es un polinomio de grado n, si a n 0.
NOTAS Toda expresión algebraica del tipo es un polinomio de grado n, si a n 0. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 RELACIONES DE DIVISIBILIDAD 1) x n a n = (x a)(x n 1 + ax n 2 + a 2 x n 3 +... +
Más detalles2. Método de separación de variables
APUNTES DE AMPIACIÓN DE MATEMÁTICAS II PARA INGENIEROS DE TEECOMUNICACIONES Elaborados por Arturo de Pablo, Domingo Pestana y José Manuel Rodríguez 2. Método de separación de variables 2.1. Separación
Más detalles1 Método de la bisección. 1.1 Teorema de Bolzano Teorema 1.1 (Bolzano) Contenido
E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Resumen y ejemplos Tema 3: Solución aproximada de ecuaciones Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña
Más detallesMATEMÁTICAS II. Práctica 3: Ecuaciones diferenciales de orden superior
MATEMÁTICAS II Práctica 3: Ecuaciones diferenciales de orden superior DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEL DISEÑO UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA 1 En esta
Más detallesc) Dibujar la gráfica del potencial U(x), las curvas de nivel de la energía E(x, v) y un croquis aproximado del sistema.
Fecha: 13 de enero de 212 3 Problemas (7.5 puntos) Tiempo total: 3 horas Problema 1 [2.5 puntos]. Este problema es bastante conceptual, con pocos cálculos. Se pide claridad en la exposición y justificar
Más detallesEquilibrio de fases en sistemas mul2componentes. Dr. Abel Moreno Cárcamo Ins3tuto de Química, UNAM /
Equiibrio de fases en sistemas mu2componentes Dr. Abe Moreno Cárcamo Ins3tuto de Química, UNAM carcamo@unam.mx / abe.moreno@mac.com DIAGRAMAS DE FASE DE SISTEMAS DE DOS COMPONENTES Un sistema de dos componentes
Más detallesEcuaciones Diferenciales Ordinarias III. Soluciones en serie entorno a puntos ordinarios y singulares regulares: Método de Frobenius
Apuntes de Ecuaciones Diferenciaes Ordinarias III Souciones en serie entorno a puntos ordinarios y singuares reguares: Método de Frobenius Octavio Mioni Definiciones. Puntos Ordinarios y Singuares Reguares
Más detallesProblemas Tema 7 El método de separación de variables
Ingeniero Industrial Transformadas Integrales y Ecuaciones en Derivadas Parciales Curso 21/11 J.A. Murillo) 5. Sea el siguiente problema de condiciones de contorno homogéneas para la ecuación de Klein-Gordon,
Más detalles1) Determinar qué elección de h asegurará, a priori, que la solución numérica del P.C.: con el método de diferencias centrales, existe y es única.
I. Resolución numérica de Problemas de Contorno en E.D.O.: Métodos en diferencias finitas 1) Determinar qué elección de h asegurará, a priori, que la solución numérica del P.C.: y (x) + 4 sen x y (x) 4
Más detalles1. Halle el dominio de la función f(x) = ln(25 x2 ) x 2 7x + 12 ; es decir, el conjunto más grande posible donde la función está definida.
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas resueltos, 0-3 y 03-4 (segunda parte) Preparado por los profesores de la asignatura: Pablo Fernández, Dragan Vukotić (coordinadores), Luis Guijarro,
Más detallesExamen Ordinario (10 puntos) 3
Examen Ordinario puntos de junio de 5 Fundamentos de Matemáticas { x x x Sean hx = x x x x+x fx = x+ x, si x Domh x, si x / Domh a Obtener el dominio, la continuidad las asíntoras de f. Está acotada la
Más detallesPráctico Preparación del Examen
Cálculo Diferencial e Integral (Áreas Tecnológicas) Segundo Semestre 4 Universidad de la República Práctico Preparación del Examen Límites, funciones y continuidad Ejercicio Sea log(+x ) f(x) =, si x
Más detallesCálculo Numérico III Curso 2010/11
Cálculo Numérico III Curso 2010/11 Problemas del Tema 1 1. Sean {x 0, x 1,..., x n } IR con x i x j si i j. Hoja de problemas - Parte I a) Hallar el polinomio de grado n que interpola a la función en los
Más detallesIndica, sin realizar las operaciones, qué tipo de expresión decimal tienen estos números.
Números reaes EJERCICIOS 00 Indica, sin reaizar as operaciones, qué tipo de expresión decima tienen estos números. a) c) e) 0 60 b) 0 d) f) 6 6 a) Decima exacto d) Periódico puro b) Periódico puro e) Decima
Más detallesTeoremas de Taylor. Capítulo 7
Capítulo 7 Teoremas de Taylor Una vez más nos disponemos a extender a las funciones de varias variables resultados ya conocidos para funciones de una variable, los teoremas de aproximación de Taylor. Por
Más detallesEjercicios resueltos de cálculo Febrero de 2016
Ejercicios resueltos de cálculo Febrero de 016 Ejercicio 1. Calcula los siguientes ites: x 5x 1. x + x + 1 x 1 x. x x. x + x + 1 x x 4. x 0 x cos x sen x x Solución: 1. Indeterminación del tipo. Tenemos:
Más detallesMÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Universidad Autónoma de Estado de Méico MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Este método, e cua es un método iterativo, es uno de os más usados y efectivos. A diferencia de método de bisección, e método de Newton-Raphson
Más detallesTeorema de la Función Implícita (f : R R)
Funciones de R n en R 1 Teorema de la Función Implícita f : R R) Teorema 1. Considere la función y = fx). Sea x 0, y 0 ) R 2 un punto tal que F x 0, y 0 ) = 0. Suponga que la función F tiene derivadas
Más detallesLección 1.- Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Métodos Matemáticos de la Ingeniería Química. 009 0. Lección.- Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden - Sección.: al. - Sección.: c, a, 3, 5, 7, 9,, 4 y. - Sección.3: y 3. - Sección.4:, 3, 5 y 5. - Sección.5:,
Más detallesTema 16: Ecuaciones diferenciales II: Ecuaciones lineales de orden superior
Tema 16: Ecuaciones diferenciales II: Ecuaciones lineales de orden superior 1 Ecuaciones diferenciales lineales de orden mayor que 1 Una ecuación diferencial lineal (en adelante ecuación lineal) de orden
Más detallesDILATACIÓN TÉRMICA DE SÓLIDOS
DILATACIÓN TÉRMICA DE SÓLIDOS.- Objetivo: Cácuo de a diatación inea de varios sóidos; por ejempo: acero, auminio, etc..- Principio: Se determina a diatación inea de varios sóidos eevando su temperatura
Más detalles