Modelos en EDPs. Damián Ginestar Peiró. Departamento de Matemática Aplicada Universidad Politécnica de Valencia. Curso
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- Ernesto Ortiz de Zárate Campos
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1 Modelos en EDPs Damián Ginestar Peiró Departamento de Matemática Aplicada Universidad Politécnica de Valencia Curso (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
2 Programa 1 Ecuaciones hiperbólicas Ecuación de ondas unidimensional Problema de la cuerda ilimitada Cuerda finita Vibración de una membrana rectangular Vibración de una membrana circular Funciones de Bessel Ceros de las funciones de Bessel Ortogonalidad de las funciones de Bessel 2 Ecuaciones parabólicas Ecuación del calor sin fuentes 3 Ecuaciones elípticas Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas Ecuación de Laplace en un círculo (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
3 Ecuaciones hiperbólicas Las ecuaciones de tipo hiperbólico están asociadas a problemas de tipo oscilatorio, como el problema de la vibración de una cuerda, la vibración de membranas, propagación de ondas electromagnéticas, etc. Ecuación de ondas 2 u t 2 = a2 2 u x 2. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
4 Ecuación de ondas Para deducir la ecuación de ondas asociada a la vibración de una cuerda supondremos ciertas hipótesis: La cuerda está colocada en el plano OXY, tiene densidad ρ constante y su posición de equilibrio es el eje OX en el intervalo [0, l], donde l es la longitud de la cuerda. Nos limitamos a estudiar pequeñas vibraciones transversales dentro del mismo plano respecto a su posición de equilibrio. La función desplazamiento es u(x, t, siendo x el punto y t el instante. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
5 Ecuación de ondas U T 0 T 0 α 0 x x+ x l La ley del movimiento viene dada por la segunda ley de Newton: la fuerza es igual a la masa por la aceleración. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
6 Ecuación de ondas Sa aplica un balance de fuerzas sobre un elemento [x, x + x] de la cuerda. Las fuerzas tangenciales se compensan y las fuerzas normales son: Las tensiones Podemos aproximar Las fuerzas externas son T 0 (sen (α(x + x sen (α(x sen (α tan (α = u x. F (x, t x siendo F(x, t la magnitud de la fuerza que se aplica perpendicular al eje OX en el punto x. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
7 Ecuación de ondas La masa viene dada por ρ x y aplicando la ley de Newton tenemos T 0 x (sen (α(x + x sen (α(x + F (x, t = u ρ 2 t 2. Suponiendo que x 0, obtendremos la ecuación diferencial en derivadas parciales que rige el movimiento de la cuerda que es una ecuación de ondas. T 0 2 u x 2 + F (x, t = ρ 2 u t 2. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
8 Ecuación de ondas unidimensional Comenzaremos estudiando la ecuación de ondas unidimensional, Se introducen las variables 2 u t 2 = a2 2 u x 2. ξ = x at, η = x + at. la ecuación queda 2 u ξ η = 0. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
9 Ecuación de ondas unidimensional La solución es u = w(ξ dξ + θ 2 (η = θ 1 (ξ + θ 2 (η, donde θ 1 y θ 2 son funciones arbitrarias. u(x, t = θ 1 (x at + θ 2 (x + at. A esta solución se le llama solución de d Alembert para la ecuación de ondas. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
10 Cuerda ilimitada Pretendemos hallar una función u(x, t C 2 (R, que sea solución del problema 2 u t 2 con las condiciones iniciales u(x, 0 = ϕ 0 (x, = a2 2 u x 2, x R u t (x, 0 = ϕ 1(x, donde ϕ 0 (x es una función C 2 (R y ϕ 1 (x es C 1 (R. Se supone que la solución buscada es de la forma u(x, t = θ 1 (x at + θ 2 (x + at, y se impone que θ 1 y θ 2 sean tales que se satisfagan las condicones iniciales. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
11 Cuerda ilimitada u(x, 0 = θ 1 (x + θ 2 (x = ϕ 0 (x, (1 u t (x, 0 = a ( θ 1 (x θ 2 (x = ϕ 1 (x. (2 Integrando la ecuación (2 respecto de x, θ 1 (x θ 2 (x = 1 a x 0 ϕ 1 (ˆx d ˆx + C. Usando la ecuación (1, se llega a que θ 1 (x = 1 2 ϕ 0(x 1 x ϕ 1 (ˆx d ˆx + C 2a 0 2, θ 2 (x = 1 2 ϕ 0(x + 1 x ϕ 1 (ˆx d ˆx C 2a 2, 0 (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
12 Cuerda ilimitada con lo que la solución buscada es u(x, t = 1 2 (ϕ 0(x at + ϕ 0 (x + at + 1 x+at ϕ 1 (ˆx d ˆx, 2a x at que es la solución de d Alembert para la cuerda infinita. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
13 Cuerda finita Buscamos la solución de la ecuación 2 u t 2 con las condiciones de frontera y las condiciones iniciales = a2 2 u x 2, t > 0, 0 x l, u(0, t = u(l, t = 0, u(x, 0 = ϕ 0 (x, u t (x, 0 = ϕ 1(x, 0 x l. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
14 Cuerda finita Se utiliza el método de separación de variables y se prueba y se llega a u(x, t = X(xT (t. 1 T (t a 2 T (t = X (x X(x. Se podrá satisfacer solamente si los dos cocientes son iguales a una constante 1 T (t a 2 T (t = X (x X(x = λ, o sea, T (t + a 2 λt (t = 0, X (x + λx(x = 0. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
15 Cuerda finita Si imponemos las condiciones de frontera tenemos u(0, t = X(0T (t = 0, u(l, t = X(lT (t = 0, como T (t 0, se ha de satisfacer Queda el problema X(0 = 0, X(l = 0. X (x + λx(x = 0, X(0 = 0, X(l = 0. A los λ que hacen que X(x no sea trivial se les llama autovalores del problema, y a las correspondientes soluciones, X(x, se les llama autofunciones. Un problema de este tipo se llama un problema de Sturm-Liouville. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
16 Cuerda finita Si λ 0 no existen soluciones no triviales del problema En el caso que λ > 0, la solución general de la ecuación es de la forma X (x + λx(x = 0, ( ( X(x = C 1 cos λx + C 2 sen λx Imponiendo las condicones de frontera, C C 2 0 = 0, ( ( C 1 cos λl + C 2 sen λl = 0,. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
17 Cuerda finita Tiene soluciones no triviales si ( 1 0 λl ( λl cos sen ( = sen λl = 0. Esta condición se satisface si λl = nπ, n = ±1, ±2..., los autovalores del problema son λ n = ( nπ 2, n = ±1, ±2..., l Las autofunciones X n (x = sen ( nπ x l. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
18 Cuerda finita La ecuación temporal T (t + a 2 λ n T (t = 0, cuya solución general es ( nπat T n (t = A n cos l + B n sen ( nπat l. Una solución del problema de la cuerda ( nπat ( nπ ( nπat u n (x, t = A n cos sen x + B n sen l l l sen ( nπ x l. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
19 Cuerda finita Por construcción, las soluciones del tipo u n (x, t, satisfacen las condiciones de frontera. Para obtener una solución que satisfaga la condición inicial suponemos que la solución se puede expresar como la serie u(x, t = n=1 ( A n cos ( nπat l + B n sen ( nπat l ( nπx sen l, y que las sucesiones A n y B n son tales que la serie converge uniformemente. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
20 Cuerda finita La derivada u t = n=1 nπa l ( A n sen ( nπat l + B n cos ( nπat l ( nπx sen l. Haciendo uso de las condiciones iniciales ϕ 0 (x = ϕ 1 (x = ( nπx A n sen, l nπa ( nπx B n sen l l n=1 n=1. Utilizando la propiedad de ortogonalidad, l 0 ( nπx sen l sen ( mπx dx = l l 2 δ n,m, (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
21 Cuerda finita Llegamos a las expresiones para los coeficientes A n = 2 l B n = l 2 nπa ( nπx sen l ( nπx sen l 0 l 0 ϕ 0 (x dx, ϕ 1 (x dx. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
22 Vibración de una membrana rectangular La ecuación que modeliza las vibraciones de una membrana 2 u t 2 = a2 Las condiciones de frontera Las condiciones iniciales ( 2 u x u y 2, x [0, l 1 ] [0, l 2 ]. u(x, 0, t = 0, u(x, l 2, t = 0, x [0, l 1 ], u(0, y, t = 0, u(l 1, y, t = 0, y [0, l 2 ], u(x, y, 0 = ϕ 0 (x, y, u t (x, y, 0 = ϕ 1 (x, y. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
23 Vibración de una membrana rectangular Método de separación de variables La ecuación queda u(x, y, t = X(xY (yt (t. d 1 2 T dt 2 a 2 T = d 2 X dx 2 X + Se buscan soluciones de la forma con λ = µ + ν. d 2 Y dy 2 = λ. Y d 2 T dt 2 + a2 λt = 0, d 2 X dx 2 + µx = 0, d 2 Y dy 2 + νy = 0, (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
24 Vibración de una membrana rectangular Imponiendo las condiciones de frontera se llega a que X(0 = X(l 1 = 0, Y (0 = Y (l 2 = 0. De igual modo a como se hace en el problema de la cuerda unidimensional, ( nπ 2 ( mπ 2 µ n =, ν m =, l 1 y, por tanto, los autovalores del problema son ( λ n,m = π 2 n 2 l1 2 + m2 l2 2, n, m = 1, 2,..., l 2 Las correspondientes autofunciones son ( ( nπx mπy X n (xy m (y = sen sen l 1 l 2. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
25 Vibración de una membrana rectangular Queda resolver la ecuación Solución general es T n,m (t = A n,m cos d 2 T dt 2 + a2 λ n,m T = 0, ( a ( λ n,m t + B n,m sen a λ n,m t. Así u(x, y, t = n=1 m=1 ( nπx sen ( ( A n,m cos a ( λ n,m t + B n,m sen a λ n,m t l 1 sen ( mπy, l 2 (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
26 Vibración de una membrana rectangular Utilizando las condiciones iniciales l1 l2 ( nπx dx dy ϕ 0 (x, y sen A n,m = 4 l 1 l 2 B n,m = 0 4 l 1 l 2 a λ n,m 0 l1 0 dx l2 0 l 1 sen ( nπx dy ϕ 1 (x, y sen ( mπy, l 1 l 2 sen ( mπy l 2. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
27 Vibración de una membrana circular 2 u t 2 En coordenadas polares, = a2 ( 2 u x u y 2 x = r cos(θ, y = r sen(θ., se satisface 2 u x u y 2 = 2 u r u r r u r 2 θ 2. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
28 Vibración de una membrana circular Queda la ecuación 2 u t 2 = a2 con la condición de frontera y las condiciones iniciales ( 2 u r u r r u r 2 θ 2 u(r 0, θ, t = 0, u(r, θ, 0 = f 1 (r, θ, u t (r, θ, 0 = f 2 (r, θ., (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
29 Vibración de una membrana circular Se utiliza el método de separación de variables con lo que la ecuación se expresa 1 T a 2 T u(r, θ, t = T (tr(rθ(θ, = R R + 1 R r R + 1 Θ r 2 Θ = λ. Buscamos soluciones para Θ(θ de la forma Θ + νθ = 0. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
30 Vibración de una membrana circular Θ(θ es una función 2π-periódica la solución general ν > 0 y ν = n, n = 1, 2,..., Θ n (θ = A n cos(nθ + B n sen(nθ. Sustituyendo en la ecuación se llega a R + 1 r R + (λ n2 R = 0. r 2 (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
31 Funciones de Bessel Partimos de una ecuación de Bessel de la forma R + 1 ( r R 1 α2 r 2 R = 0. Se prueban soluciones de la forma con R (r = R (r = R(r = a k r k+p, k=0 a k (k + pr k+p 1, k=0 a k (k + p(k + p 1r k+p 2. k=0 (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
32 Funciones de Bessel Sustituyendo en la ecuación a k (k + p(k + p 1r k 2+p + a k (k + pr k 2+p k=0 + a k r k+p α 2 k=0 k=0 k=0 a k r k 2+p = 0, que se reescribe como a 0 ( p 2 α 2 r 2+p + a 1 ( (p α 2 r 1+p + m=0 (a m+2 ((m p 2 α 2 + a m r m+p = 0. Si suponemos que a 0 0, se tiene p = ±α y, por tanto a 1 = 0. También se tiene la relación a m a m+2 = (m p 2 α 2. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
33 Funciones de Bessel Así, como a 1 = 0 los términos impares son nulos y, si tomamos p = α, los términos pares son de la forma a 2 = a 4 = a 6 = a 0 (2 + α 2 α 2 = a 0 2 2(α + 1, a 2 (4 + α 2 α 2 = a 2 2 4(α + 2 = a (α + 1(α + 2, a 4 (6 + α 2 α 2 = a (α + 1(α + 2(α + 3,. en general, a 2l = ( 1 l a 0 2 2l l!(α + 1(α + 2 (α + l, l = 1, (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
34 Funciones de Bessel Se puede elegir a 0 = 1 2 α Γ(α + 1, donde se ha introducido la función Γ de Euler que cumple, llegando a Γ(α = 0 x α 1 e x dx, Γ(α + 1 = αγ(α. J α (r = = ( r α ( 1 2 Γ(α ( r 2 1 ( r 4 + Γ(α !Γ(α ( r α 2 ( 1 k ( r 2k. k!γ(α + k k=0 (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
35 Funciones de Bessel Si se repiten los mismos cálculos con p = α y eligiendo a 0 = se llega a otra posible solución J α (r = ( ( r α 2 1 Γ( α+1 1 Γ( α α Γ( α + 1, ( r 2 ( r 4 2!Γ( α+3 4. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
36 Funciones de Bessel Se tienen las siguientes posibilidades, según el valor de α, 1 Si α es no nulo y tampoco es un número entero, entonces la solución general de la función de Bessel es de la forma R(r = C 1 J α (r + C 2 J α (r, donde C 1 y C 2 son constantes arbitrarias. 2 Si α = 0, las dos funciones de Bessel coinciden con ( r 2 1 ( r 4 1 ( r 6 J 0 (r = (2! 2 2 (3! Si α es un número entero, se puede ver que se satisface la relación J α (r = ( 1 α J α (r, con lo que las dos funciones de Bessel de primera especie no son independientes. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
37 Funciones de Bessel Para encontrar una solución independiente se utiliza el método de variación de constantes, probando con lo que Y α (r = C(rJ α (r, Y α(r = C (rj α (r + C(rJ α(r, Y α(r = C (rj α (r + 2C (rj α(r + C(rJ α(r. Sustituyendo en la ecuación de Bessel tenemos C J α + 2C J α + CJ α + 1 r como J α es solución, queda ( C J α + CJ α + (1 α2 C J α + 2C J α + 1 r C J α = 0, r 2 CJ α = 0, (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
38 Funciones de Bessel Es una ecuación separable en C, cuya solución es C = A 1 rjα(r 2, C(r = A dr rjα(r 2 + B, con lo que la solución, Y α (r, es Y α (r = J α (r ( A dr rjα(r 2 + B. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
39 Funciones de Bessel Desarrollando en serie el integrando y eligiendo adecuadamente las constantes de integración se llega a que la función de Bessel de segunda especie ( ( r ln + γ J α (r 2 1 α 1 Γ(α k ( r α+2k π Γ(k Y α (r = 2 π 1 ( 1 k ( r α+2k 2 π Γ(k + 1Γ(α + k + 1 k=0 k=0 ( k α + k donde γ = Γ (1 = 0,5772 es la constante de Euler-Mascheroni. La solución general de la ecuación de Bessel, se puede escribir como R(r = C 1 J α (r + C 2 Y α (r., (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
40 Ceros de las funciones de Bessel Los ceros de la función de Bessel de índice entero son las raíces de la ecuación J n (x = 0, n = 0, 1,.... Se cumple que las funciones de Bessel de índice entero no tienen ceros complejos y además tienen un número infinito de ceros reales que están dispuestos simétricamente respecto de x = 0. Todos los ceros son simples a excepción de x = 0 que tiene multiplicidad n cuando n = 1, 2,.... (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
41 Ortogonalidad de las funciones de Bessel Partimos ahora de una ecuación de la forma y + 1 x y + (µ 2 ν2 y = 0. (3 Si introducimos la nueva variable z = µx, se tiene dy dx = µdy dz, y la ecuación (3 queda como d 2 y dz dy z dz + x 2 d 2 y dx 2 = d 2 y µ2 dz 2, (1 ν2 z 2 y = 0, cuya solución es y = J ν (z = J ν (µx. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
42 Ortogonalidad de las funciones de Bessel Consideremos ahora y 1 = J ν (µ 1 x e y 2 = J ν (µ 2 x, respectivamente, soluciones de y ( x y 1 + µ 2 1 ν2 x 2 y 1 = 0, (4 y ( x y 2 + µ 2 2 ν2 x 2 y 2 = 0. (5 Multiplicando (4 por y 2 y (5 por y 1 y restando las ecuaciones, obtenemos y 1 y 2 y 1 y ( ( y x 1 y 2 y 1 y 2 + µ 2 1 µ2 2 y 1 y 2 = 0, que es equivalente a d ( ( ( x y dx 1 y 2 y 1 y 2 = µ 2 1 µ2 2 xy 1 y 2. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
43 Ortogonalidad de las funciones de Bessel Integrando entre 0 y 1, obtenemos o bien, [ ( ( x y 1 y 2 y 1 y 2] 1 0 = µ µ2 2 J ν (µ 1 J ν (µ 2 J ν (µ 1 J ν (µ 2 = 0 ( µ µ2 2 xy 1 (xy 2 (x dx, 0 xj ν (µ 1 x J ν (µ 2 x dx, con lo que, si µ 1 y µ 2 son dos ceros distintos de J µ (x, se cumple la relación de ortogonalidad para las funciones de Bessel siguiente 1 0 xj ν (µ 1 x J ν (µ 2 x dx = 0, µ 1 µ 2. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
44 Problema de la membrana circular Hemos de resolver la ecuación d 2 R dr r dr dr + (λ n2 Se introduce una nueva variable z = λr, r 2 R = 0. dr dr = λ dr dz, d 2 R dz 2 = λd 2 R dz 2, y se obtiene d 2 R dz dr z dz + (1 n2 z 2 R = 0, (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
45 Problema de la membrana circular La solución general se expresa como R = C 1 J n (z + C 2 Y n (z = C 1 J n ( λr + C 2 Y n ( λr. Debido al término logarítmico que aparece se tiene que Y n (0. Como la solución que se busca ha de ser finita en r = 0, necesariamente C 2 = 0, y la solución para la parte radial es R(r = C 1 J n ( λr. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
46 Problema de la membrana circular Se ha de cumplir la condición de contorno u (r 0, θ, t = 0 y, por lo tanto, imponemos la condición R (r 0 = C 1 J n ( λro = 0, con lo que tenemos λr0 = µ 1,n, µ 2,n,..., donde µ 1,n, µ 2,n,..., son los ceros de la función J n (x. Así los posibles valores del autovalor λ son ( 2 µm,n λ m,n =, m, n = 1, 2,.... r 0 (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
47 Problema de la membrana circular Las soluciones para la parte espacial de u(r, θ, t serán combinaciones lineales de ( λm,n ( λm,n R m,n (rθ m,n (θ = A m,n cos(nθj n r +B m,n sen(nθj n r La parte temporal cumplirá para cada autovalor λ m,n, la ecuación T m,n + a 2 λ m,n T m,n = 0, cuya solución general será de la forma ( λm,n ( λm,n T m,n = C m,n cos t + D m,n sen t. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
48 Problema de la membrana circular La solución para la ecuación de la vibración de la membrana circular se expresa como u(r, θ, t = n=1 m= n=1 m=1 ( ( µm,n E m,n cos (nθ J n cos r 0 n=1 m=1 n=1 m=1 F m,n sen (nθ J n ( µm,n r 0 G m,n cos (nθ J n ( µm,n r 0 H m,n sen (nθ J n ( µm,n r 0 ( cos a µ m,n ( sen ( sen r 0 t a µ m,n r 0 a µ m,n r 0 a µ m,n t r 0 t t. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
49 Problema de la membrana circular Para determinar los coeficientes E m,n, F m,n, G m,n y H m,n, se utilizan las relaciones de ortogonalidad del sistema trigonométrico y de las funciones de Bessel, al imponer las condiciones iniciales, u(r, θ, 0 = f 1 (r, θ, u t (r, θ, 0 = f 2 (r, θ, de forma similar a como se hace en el problema de la membrana rectangular. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
50 Ecuación del calor Consideremos un elemento cúbico con uno de sus vértices en el punto (x, y, z y cuyas aristas tienen longitudes ( x, y, z. Se introducen las magnitudes T (x, y, z ( o C La tempeatura en el punto (x, y, z. q x (x, y, z (W /m 2 El flujo de calor por unidad de superficie transversal al eje X. Análogamente, se introducen q y (x, y, z, q z (x, y, z, para los ejes Y y Z, respectivamente. Q(x, y, z, t, (W /m o C Una fuente de calor. k x (x, y, z, (W /m o C. La conductividad térmica del material en la dirección del eje X. Análogamente se introducen k y (x, y, z, k z (x, y, z, para los ejes Y y Z. ρ(x, y, z, (Kg/m 3. La densidad del material. c(x, y, z (J/Kg o C. El calor específico del material. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
51 Ecuación del calor El balance de energía en el elemento será E = (q x (x, y, z, t q x (x + x, y, z, t y z t + (q y (x, y, z, t q y (x, y + y, z, t x z t + (q z (x, y, z, t q z (x, y, z + z, t x y t +Q(x, y, z, t x y z t. La energía generada o perdida en el elemento se usa en calentarlo o enfriarlo, por tanto, E = ρ(x, y, zc(x, y, z (T (x, y, z, t + t T (x, y, z, t x y z. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
52 Ecuación del calor Desarrollando en serie de Taylor alrededor del punto (x, y, z y tomando el límite cuando x, y, z y t tienden a cero, se llega a que q x x q y y q z z Por Ley de Fourier se tiene que + Q = ρc T t q x = k x T x, q y = k y T y, q z = k z T z,. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
53 Ecuación del calor y, por tanto, se tiene la ecuación del calor, que es de la forma ( T k x + ( T k y + ( T k z + Q = ρc T x x y y z z t En caso que ρ, c, k x = k y = k z sean constantes, la ecuación del calor se escribe de la forma T t = k ρc 2 T + Q. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
54 Ecuación del calor sin fuentes El problema más sencillo, donde se considera que no hay fuentes de calor y las condiciones de contorno son homogéneas. T t con las condiciones de contorno = a 2 2 T x 2, 0 < x < l, t > 0, T (0, t = 0, T (l, t = 0, y la condición inicial T (x, 0 = g(x. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
55 Ecuación del calor sin fuentes Método de separación de variables, buscando soluciones de la forma T (x, t = X(xP(t. Sustituyendo esta solución en la ecuación o sea, Condiciones de contorno P (t a 2 P(t = X (x X(x = λ, P (t + a 2 λp(t = 0, X + λx(x = 0. X(0 = 0, X(l = 0. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
56 Ecuación del calor sin fuentes Se tienen los autovalores λ n = ( nπ 2, n = 1, 2,..., l y las autofunciones ( nπx X n (x = sen l La parte temporal queda de la forma. cuya solución es de la forma P n + a 2 λ n P n = 0, P n (t = a n e a2 λ nt nπa = a n e ( l 2t. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
57 Ecuación del calor sin fuentes La solución del problema se escribirá de la forma T (x, t = a n e n=1 nπa ( l 2t ( nπx sen l. Como se ha de satisfacer la condición inicial (1, se cumplirá g(x = ( nπx a n sen l n=1, y utilizando la propiedad de ortogonalidad a n = 2 l l 0 ( nπx g(x sen dx. l (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
58 Ecuaciones elípticas La ecuación elíptica más simple es la ecuación de Laplace 2 u = 2 u x u y u z 2 = 0. (6 aparece en problemas de gravitación y de electrostática, para describir el potencial de velocidades de un fluido no turbulento, para describir la distribución estacionaria de temperaturas, etc. 2 u = 2 u x u y 2 = 0. Otra ecuación elíptica muy usual es la ecuación de Poisson, 2 u = Q, (7 que aparece en problemas estacionarios con fuentes. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
59 Ecuaciones elípticas Si se pretende resolver las ecuaciones (6 o (7, en un recinto finito, Ω, será necesario tener unas condiciones de contorno, que pueden ser de la forma: 1 u ( x = f ( x, x Σ, siendo Σ la frontera de Ω. Este problema se conoce como un problema de Dirichlet o primer problema de contorno. 2 n u = g ( x, siendo n un vector unitario normal a la superficie Σ. A este problema se le llama problema de Neumann o segundo problema de contorno. 3 n u + αu = h ( x, x Σ. A este problema se le llama problema mixto o tercer problema de contorno. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
60 Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas La ecuación de Laplace 2 u x u y u z 2 = 0, sobre un rectángulo de aristas (a, b, c, suponiendo que se tienen condiciones de frontera de la forma u(0, y, z = u(a, y, z = u(x, 0, z = u(x, b, z = u(x, y, 0 = 0, y u(x, y, c = V (x, y. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
61 Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas Separación de variables, Obtenemos la ecuación Suponemos que con γ 2 = α 2 + β 2. u(x, y, z = X(xY (yz (z. 1 d 2 X X(x dx d 2 Y Y (y dy d 2 Z Z (z dz 2 = 0. 1 d 2 X X(x dx 2 1 d 2 Y Y (y dy 2 1 d 2 Z Z (z dz 2 = α2 = β2 = γ2 (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
62 Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas se tiene que X(x, Y (y y Z (z han de cumplir X(0 = X(a = Y (0 = Y (b = Z (0 = 0. Por ello, se tienen las soluciones X(x = sen (αx Y (y = sen (βy ( Z (z = senh α 2 + β 2 z siendo α = πn a, β = πm b, n, m Z. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
63 Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas La forma general de la solución buscada es pues u(x, y, z = n=1 m=1 A m,n sen (α n x sen (β m y senh (γ n,m z siendo α n = πn a, β m = πm n b, γ 2 n,m = π a 2 + m2 b 2. Haciendo u(x, y, c = V (x, y, se tiene V (x, y = n=1 m=1 de lo que se tiene que A n,m = 4 ab senh (γ n,m c A m,n sen (α n x sen (β m y senh (γ n,m c, a 0 dx b 0 dyv (x, y sin (α n x sin (β m y. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
64 Ecuación de Laplace en un círculo Se quiere resolver la ecuación de Laplace en un círculo con una condición de contorno de la forma u(r, θ = f (θ. Se escribe la ecuación de Laplace en coordenadas polares 1 r r ( r u u r r 2 θ 2 = 0, Método de separación de variables, probando una solución de la forma Sustituyendo esta solución r R(r r u(r, θ = R(rΘ(θ. ( r R(r Θ r Θ(θ θ 2 = 0, (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
65 Ecuación de Laplace en un círculo ( 1 r 2 2 R(r R(r r 2 + r R(r = 1 2 Θ(θ r Θ(θ θ 2 = λ. Como la función Θ(θ ha de ser 2π-periódica, se ha de cumplir que λ = n 2, siendo n un número entero. De esta forma se tiene 2 Θ θ 2 + n2 Θ = 0, cuya solución general es de la forma Θ(θ = A n cos(θ + B n sen(θ. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
66 Ecuación de Laplace en un círculo Para la función radial se tiene la ecuación r 2 d 2 R n dr 2 + r dr n dr n 2 R n = 0, que es una ecuación de Euler. Hacemos el cambio r = e ρ y queda la ecuación dr 2 n dρ 2 n2 R n = 0, cuya solución es de la forma { c R n (ρ = 0 + d 0 ρ si n = 0, c n e nρ + d n e nρ si n 0, (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
67 Ecuación de Laplace en un círculo o sea, R n (r = Así la solución para u(r, θ, se escribe u(r, θ = a 0 + b 0 ln(r + + { c0 + d 0 ln(r si n = 0, c n r n + d n r n si n 0, ( an r n + b n r n cos(nθ n=1 ( cn r n + d n r n sen(nθ. n=1 Las constantes a 0, b 0, a n, b n, c n y d n se determinan a partir de la condición de contorno. (UPV Modelos en EDPs Curso / 67
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