El método de Discretización en Varias Variables

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1 Artícuo Revista digita Matemática, Educación e Internet ( Vo., N o. Agosto Diciembre 200. E Método de... Bibiografía E método de Discretización en Varias Variabes Ir a a Revista José Rosaes Ortega rosaesortega@gmai.com Instituto Tecnoógico de Costa Rica Universidad de Costa Rica Resumen. E artícuo presenta un método, de naturaeza indirecta, que puede ayudar a probar ciertos resutados que invoucran sucesiones y funciones continuas que frecuentemente aparecen en a topoogía de R n. Página de 9 Paabras caves: sucesiones, continuidad uniforme, conjunto abierto, independencia inea.

2 The artice presents a method of indirect nature. This method can be used to prove certain resuts invoving sequences and continuous functions in the topoogy of R n. KeyWords: sequences, uniform continuity, open set, inear independency. E Método de... Bibiografía. E presente trabajo tiene como objetivo e desarroo de una estrategia didáctica a cua contribuya en e aprendizaje significativo por parte de os estudiantes de cursos de topoogía en R n. He notado, a impartir cursos que tienen como requisito un conocimiento de a topoogía de R n, que una buena parte de os estudiantes, en taes cursos, presentan como deficiencia un ma uso de enguaje matemático a nive eementa. Con o anterior quiero decir que agunos estudiantes de sexto y séptimo semestre no pueden negar, matemáticamente habando, una proposición dada, y que en e caso en que ogren negar correctamente una proposición matemática, son incapaces de ograr e objetivo que persigue e ejercicio, o probema a cua se enfrentan. Se supone que e ma uso se observa en conceptos que están en os contenidos de os cursos básicos de anáisis. Uno de taes conceptos es e de conjunto abierto. En términos generaes, para definir un conjunto abierto primero se debe definir qué se entiende por boa abierta con centro en un punto y radio arbitrario. Una vez acarado e concepto de boa abierta arededor de un punto se procede a definir un conjunto abierto como aque que, en cada uno de sus puntos posee una cierta boa abierta a cua está competamente contenida Ir a a Revista Página 2 de 9

3 en e conjunto en cuestión. En términos matemáticos, una boa abierta de centro x y radio r > 0 es e conjunto B( x; r) = { y R n : d( x, y) < r}. Ahora bien, un conjunto A se dice ser abierto si para todo x A existe un r > 0 ta que B( x; r) A. Para ser más exícito, A R n es abierto si, y sóo si, ( x A)( r > 0)(B( x; r) A). Muchas veces se e soicita a estudiante e probar que cierto conjunto es abierto pero usando e método de reducción a absurdo. Lo que se espera de estudiante es que e niegue os existenciaes y os para todo que aparecen en a definición de abierto, es decir, que e para todo o convierta en un existe, y que e existe o convierta en un para todo, y uego negar a incusión. Piense e ector, que se e pregunta a un niño que responda qué significa que un número natura no sea mayor que siete. Lo que uno espera es que e niño responda que e número debe ser menor o igua que siete. Este asunto de a negación de concepto de conjunto abierto ya ha sido señaado por matemáticos de prestigio, A inguist woud be shocked to earn that if a set is not cosed this does not mean that it is open, or again that E is dense in E does not mean the same thing as E is dense in itsef. - J. E. Littewood Siguiendo con o que nos ocupa, e de probar que un conjunto no es abierto, una buena parte de estudiantado no puede hacer esto, y en otros casos e estudiante empieza con situaciones erróneas, por ejempo agunos dicen que no ser abierto significa ser cerrado. Hay que acarar que un conjunto es cerrado, si su compemento, en términos de teoría de conjuntos, es abierto. En resumen, hemos visto que ante a pregunta: Qué significa que un conjunto no es abierto? agunos estudiantes caramente faan en responder adecuadamente. Por otro ado, en otros tipos de ejercicios donde E Método de... Bibiografía Ir a a Revista Página 3 de 9

4 simpemente se e pide a estudiante mostrar que se cumpe cierta propiedad que invoucra existenciaes, y uno que otro concepto sobre sucesiones y funciones continuas, no hay necesidad de señaar que a pedírsee a estudiante que razone por contradicción se presentan os mismos probemas de no poder negar existenciaes de manera correcta. Entonces, qué se puede hacer para corregir esta deficiencia que se presenta en agunos estudiantes? Para ayudar a resover este probema que he identificado propongo a siguiente estrategia didáctica, a cua he denominado e método de discretización. Este método se utiiza en ejercicios donde haya que negar existenciaes, y en compañía de otros conceptos como e de sucesiones y de funciones continuas encuentra su utiidad máxima. E Método de... Bibiografía Ir a a Revista.2 E Método de Discretización. Los orígenes de método de discretización se basan en un resutado bastante conocido. En un curso típico de cácuo en varias variabes se prueba a siguiente caracterización para funciones continuas en términos de sucesiones: Página 4 de 9 Teorema. La función f : R n R m es continua en e punto a R n si, y sóo si, para toda sucesión { x k } k N en R n ta que x n a se cumpe que f ( x k ) f ( a). La forma cásica de probar a suficiencia de teorema anterior es proceder por e método de reducción a absurdo. Este método supone negar a concusión. En nuestro caso, supongamos que f no es continua en

5 un punto a R n, esto significa que existe un ɛ > 0 ta que para todo δ > 0 existen x R n con x a < δ pero f ( x) f ( a) ɛ. Ahora bien, para ta ɛ > 0 se sigue que si δ toma e vaor, obtenemos un eemento x en R n, ta que 0 < x a <, pero f ( x ) f ( a) ɛ. De a misma forma, si e damos a δ e vaor /2, obtenemos un eemento x 2 en R n, ta que 0 < x 2 a < /2, pero f ( x 2 ) f ( a) ɛ. En genera, si e damos a δ e vaor /k, obtenemos un eemento x k en R n, ta que 0 < x k a < /k, pero f ( x k ) f ( a) ɛ. Esto contradice a hipótesis dada ya que hemos construido una sucesión x k que converge a punto a, pero cuya sucesión de imágenes f ( x k ) no converge a f ( a). Por o tanto, o que asumimos originamente debe ser faso, es decir que f sí es continua en a R n. En a prueba de teorema anterior hemos procedido a dare vaores discretos a δ, taes vaores son, /2, /3,.... Cada vez que nos encontremos en una ta situación en a que podemos dare vaores discretos a cierta variabe, como en e caso anterior, estaremos haciendo uso de amado método de discretización. En o que sigue expondremos varios ejempos, de naturaeza distinta, donde e método de discretización puede ser utiizado con éxito. E Método de... Bibiografía Ir a a Revista EJEMPLO. Sea T : R n R m una transformación inea inyectiva. Muestre que existe c > 0 ta que para todo x R n T( x) c x, Página 5 de 9 Vamos a proceder por reducción a absurdo. Supongamos que para todo c > 0 existe x R n ta que T( x) < c x.

6 Dándoe vaores a c en e conjunto {, /2, /3,..., } obtenemos una sucesión de puntos x, x 2,..., en R n ta que T( x k ) < x k /k, para todo k. Reescribiendo o anterior, se usa propiedades de a norma y e hecho de que T es transformación inea, hemos obtenido una sucesión { x k } k N en R n ta que ( ) T xk < x k k. (.) Observemos, en primer ugar, que ningún miembro de a sucesión obtenida en e párrafo anterior, { x k } k N, es e vector cero en R n, ya que si existiera agún x = 0, entonces de hecho de que T( 0) = 0, ya que T es transformación inea, egaríamos a que E Método de... Bibiografía Ir a a Revista o cua es absurdo. 0 = T( 0) = 0 < 0 = 0, También se nota que ningún miembro de a sucesión, en R m, {T( x k )} k N es e vector cero, ya que de o contrario si agún T( x ) = 0, entonces por a inyectividad de T, se sigue que x = 0, o cua es imposibe por o probado anteriormente. ( ) De a ecuación (.) obtenemos que a sucesión T xk tiende a 0, y de esto se afirma que x k x k x k 0. Como a sucesión { x k x k } k N es acotada, de hecho a norma de cada uno de sus eementos es igua a uno, se tiene que ea, o aguna subsucesión de ea debe ser convergente, digamos, para fijar ideas, que a misma sucesión converge a un punto, e cua amaremos y. Usando a continuidad de T, ya que es inea, se sigue Página 6 de 9

7 ( ) que T xk tiende a T( 0) = 0. Por a unicidad de ímite se concuye que T( y) = 0, y por a inyectividad x k que y = 0. Esto es imposibe ya que a sucesión tiene a todos sus miembros de norma igua a uno. Por o tanto, a desiguadad inicia debe cumpirse, es decir debe existir c > 0 ta que T( x) c x. Resumen. E Método de... Bibiografía EJEMPLO.2 Sea f : R R una función continua. Considere e siguiente conjunto A = {(x, y) R 2 : f (x) > y}. Muestre que A es un conjunto abierto en R 2. Ir a a Revista Igua que en e ejempo anterior vamos a proceder por reducción a absurdo. Supongamos que A R 2 no es un conjunto abierto, esto significa que existe x A ta que para todo r > 0 a boa B( x; r) A. A igua que en e ejempo anterior tenemos a oportunidad de discretizar, es decir, dare vaores a r en e conjunto {, /2, /3,...}. Si r =, entonces podemos haar un eemento x B( x; ) \ A. Si r = /2, entonces podemos haar x 2 B( x; /2) \ A, y en genera para r = /n, debe existir un x n B( x; /n) \ A. Así, hemos obtenido una sucesión x n, fuera de A, ta que converge a un punto x A. Como x A, entonces necesariamente debe tenerse que x es de a forma (a, b) con a propiedad de que f (a) > b. La sucesión x n debe tener a forma (y n, z n ), y además y n tiende a a, y z n tiende a b. Como x n no pertenece a A, se debe cumpir que f (y n ) z n para cada n N. Usando e hecho de que f es continua, se tiene que f (y n ) debe ser convergente a vaor f (a), y de esto se debe seguir que f (a) b, o cua diría que (a, b) no vive en A, y esto caramente es un absurdo. Por o tanto, Página 7 de 9

8 podemos concuir que A es un conjunto abierto de R 2. E Método de... Bibiografía EJEMPLO.3 Sea f : R n R m una función uniformemente continua. Si Ω R n es un conjunto acotado, entonces f (Ω) es acotado en R m. Ir a a Revista Procedamos por reducción a absurdo una vez más. Supongamos que f (Ω) no es un conjunto acotado en R m. Esto significa que dado cuaquier M > 0 existe y R m para e cua se cumpe que y > M. De o anterior se sigue que podemos construir una sucesión { y} k N f (Ω) R m ta que y k > k +, para cada k N. Le dejamos a ector que haga esta tarea, no sin antes recordare que debe dare vaores a M en e conjunto {2, 3, 4,...}. Por definición, debe existir x k Ω R n ta que f ( x k ) = y k. Como Ω es acotado se sigue que a sucesión es acotada, y por e teorema de Bozano-Weiertrass debe existir una subsucesión { x k } k N ta que x k converge a agún punto, e cua para fijar ideas denotaremos por x. Si consideramos a subsucesión { y k } k N, tendríamos que por a continuidad de f ta sucesión converge a f ( x). Es caro que existe k 0 N ta que f ( x) k 0, ya que de o contrario N sería un conjunto acotado. Si tomamos ɛ = k 0 + f ( x), debe existir δ > 0 ta que para 0 < x y < δ impica que f ( x) f ( y) < ɛ. Como para ta ɛ > 0 existe N N ta que x k x < δ, para todo k N, entonces f ( x k ) f ( x) < ɛ, y teniendo en cuenta o anteriormente dicho se sigue que y k f ( x) < ɛ, y de esto que y k < ɛ + f ( x) para todo n N. Por o tanto, y k < k 0 + para todo k N. De esto se arriba a una contradicción, y por o tanto se concuye que f (Ω) debe ser acotado. Página 8 de 9

9 E útimo ejempo que presentaremos es más ambicioso que os expuestos anteriormente, pero o presentaremos para que e ector comprenda o importante, e inesperado, que puede ser e método de discretización. E Método de... Bibiografía EJEMPLO.4 Sea {x,..., x } un conjunto ineamente independiente en un espacio normado X de dimensión infinita. Existe c > 0 ta que para cuaquier eección de escaares β,..., β taes que β β = se cumpe que β x β x c. A igua que os tres ejempos anteriores usaremos e método de reducción a absurdo. Empezamos negando a concusión de resutado, es decir, para todo c > 0 existen escaares β,..., β taes que β β = y β x β x < c. Apicando e método de discretización a a variabe c, para cada vaor de c en e conjunto {, /2, /3,...} obtenemos o siguiente: Si c =, existen β (),..., β() taes que β () β () = y β () x β () x <. Si c = /2, existen β (2),..., β(2) taes que β (2) β (2) = y β (2) x β (2) x < 2. Ir a a Revista Página 9 de 9

10 Si c = /n, existen β (n),..., β(n) taes que β (n) β (n) = y β (n) x β (n) x < n, E Método de... Bibiografía para cada n N. Consideremos a sucesión {y m } m N dada por y m = β (m) x β (m) x donde β (m) i = (.2) i= Obsérvese que por o dicho anteriormente es caro que y m 0 siempre que m +. Además, para cada i =,..., y todo m N se tiene que β (m) i, esto se sigue de a condición que cumpen os betas en a ecuación (.2). De o anterior se deduce que as sucesiones {β (m) } m N,..., {β (m) } m N son sucesiones acotadas en R. Apicando e teorema de Bozano-Weiertrass a a sucesión acotada {β (m) } m N, obtenemos una subsucesión {β (m) } m N a cua converge, digamos a punto β. Ahora, consideremos a subsucesión {y,m } m N de {y m } m N. Por e mismo argumento anterior, considerando a subsucesión {β (2) 2 } m N, a cua es acotada, y obtenemos una subsucesión {β (2) 2 } m N 2 a cua converge a β 2. Ahora, consideremos a subsucesión {y 2,m } m N2 de {y,m } m N. En genera. después de etapas, egaremos a a subsucesión {y,m } m N con términos y,m = γ (m) j x j y ta que γ (m) j =. j= j= Además, es caro que a sucesión de escaares γ (m) j converge a β j cuando m +. Ir a a Revista Página 0 de 9

11 Por contrucción se deduce que y,m β j x j j= con β j =. j= E Método de... Bibiografía De o anterior se deduce que no todos os β j pueden ser cero, ya que su suma es uno. Si y = j= β jx j, entonces y = 0, ya que de o contrario, a usar a independencia inea de os x j, egaríamos a que os β j son todos iguaes a cero, y esto caramente no puede darse por o recién argumentado. Por otra parte, y,m y y a continuidad de a norma impicaría que y,m y siempre que m +. Como y m 0, es caro que y,m 0, y por o tanto y = 0, y entonces y = 0, o cua es una contradicción. Ir a a Revista En vista de absurdo a que hemos arribado se deduce que a suposición inicia es fasa, y con esto e resutado de ejercicio se sigue. Bibiografía [] Avner Friedman: Advanced Cacuus. First Edition, DOVER, [2] Wende Feming: Functions of Severa Variabes. Second Edition. Springer-Verag, 987. [3] C.B. Morrey and M.H. Protter: A First Course in Rea Anaysis. Second Edititon. Springer-Verag, 99. [4] Michae Spivak : Cacuus on Manifods. First Edition. Benjamin, New York, 974. Página de 9