GEOMETRIA DEL ESPACIO

Transcripción

1 GEOMETRI DEL ESCIO RELIMINRES: Los conceptos de espacio y de superficie son conceptos primitivos, es decir, no se definen pero podemos dar ideas para comprenderos. or ejempo, e espacio es e ugar donde existimos y podemos visuaizaro con ayuda de un esquema de a forma: Figura. Esquema gráfico de espacio. Indicando que podría tratarse de a esquina de una habitación o saa de cases. quí podemos visuaizar as tres dimensiones que configuran e espacio físico. E espacio geométrico es una ideaización de este espacio físico y cuando hacemos geometría en e espacio, a referencia tridimensiona no se dibuja sino que se supone presente, con a ayuda de a perspectiva. E concepto de superficie corre a misma suerte, y o mismo ocurre con e concepto de pano o superficie pana. or superficie de un sóido de espacio podemos entendera como e ímite entre ese objeto y e espacio que e rodea. ara visuaizar una superficie pana en e espacio, podemos trazar a siguiente figura: Figura. Un pano en e espacio. Un pano es a ideaización de una superficie como a cubierta de una mesa, o a pizarra o a hoja de cuaderno. hora, e hecho de dibujara en forma horizonta es sóo por razones estéticas. Denotamos este pano con a etra, y si debemos dibujar otros panos, usamos as etras,,.., *,, etc. No ovidemos que un pano es una superficie indefinida que puede ser caracterizada de a siguiente manera: Una superficie es pana si dos puntos de una recta están en a superficie, entonces todos os puntos de a recta están en a superficie. rof. Dr. Raú F Jiménez

2 odemos agregar que un pano divide e espacio en dos regiones de modo que para pasar de una región a otra, debemos cruzar e pano.. RECTS Y LNOS.. osiciones reativas de rectas y panos: Existen tres posibiidades: i) La recta tiene dos puntos situados en e pano, es decir, a recta está competamente contenida en e pano, o simpemente a recta está en e pano. ii) La recta tiene un punto en común con e pano, es decir, a recta atraviesa e pano o a recta corta e pano. iii) La recta no tiene puntos en común con e pano, es decir, a recta es paraea a pano. Figura 3. osiciones reativas de rectas y panos En a Fig. 3 aparecen una recta y un pano : en un caso a recta (en rojo) atraviesa e pano en e punto amado pie, en otro caso, a recta (en azu) tiene dos puntos en común con e pano, y. Finamente, a recta (en verde) no tiene puntos en común con e pano. E siguiente primer resutado que expica porque una mesa de tres patas no cojea: Teorema. or tres puntos no aineados pasa un único pano. En efecto, por dos de esos puntos, digamos y pasa una recta y por ea pasan infinitos panos. Luego, fijado un tercer punto, digamos C, habrá un único pano de esos infinitos que contenga a punto C. Idea gráfica: or os puntos y hemos trazado un pano (casi vertica) de os infinitos que existen. or e punto C hemos trazado otro pano (horizonta), que contiene a a recta que pasa por y, y que es uno de esos infinitos panos. hora, os tres puntos, y C determinan e pano donde se encuentra e triánguo C, y este pano es único. C Figura 4. Tres puntos de espacio determinan un único pano. Las consecuencias de este teorema son as siguientes: Un pano está determinado por: i) tres puntos no aineados rof. Dr. Raú F Jiménez

3 ii) por una recta y un punto que no pertenezca a esa recta iii) por dos rectas que se cortan iv) por dos recta paraeas. En efecto, Sea e punto de intersección de dos rectas y. Caramente, e punto y una recta, digamos determinan un pano que también contiene a a otra recta. Recíprocamente, todo pano que contiene a as rectas y, contiene a y a un punto cuaquiera de. Luego este pano coincide con. Es decir, os panos y se confunden y de ahí a unicidad.. osiciones reativas de dos rectas. Consideremos dos rectas y. or a recta y un punto cuaquiera de hacemos pasar un pano. Se pueden presentar dos situaciones:. a recta está en e pano, y en ta caso as rectas son secantes o son paraeas, es decir, tienen un punto en común o no tienen ningún punto en común.. a recta no está en e pano. Es decir, no existe ningún pano que contenga a as dos rectas y. Note que si suponemos que sí existe ese pano, egamos a una contradicción. En efecto, si existe un pano que contenga a una de as rectas, digamos, debe contener a un punto de a otra recta, digamos, confundiéndose este pano con e pano : contradiciendo a hipótesis. Concuimos que dos rectas en e espacio pueden tener tres posiciones reativas: i) as rectas son paraeas ii) as rectas son secantes iii) as rectas no están situadas en un mismo pano, o se cruzan. Observe a figura 3: Las rectas en rojo y en azu, se cruzan.. 3. Intersección de dos panos. Teorema. Si dos panos tienen un punto en común, entonces tienen una recta en común que pasa por ese punto. En efecto, consideremos dos panos y que tienen e punto en común. En tracemos dos rectas y (en rojo), notando que se tienen dos casos posibes;. Una de as rectas está en e pano. Luego os dos panos tiene un recta en común y e teorema está demostrado.. Ninguna de as dos rectas está en e pano. En este caso, sobre as rectas y consideremos dos puntos M y N situados a cada ado de pano, y tracemos una recta (de coor verde) que pase por M y por N. Evidentemente, esta recta debe cortar e pano en un punto. N M Luego, este punto pertenece a os dos panos, y como por hipótesis e punto también pertenece a os dos panos, a recta que pasa por y por es una recta común a os dos panos. 3 rof. Dr. Raú F Jiménez

4 Esta recta común se ama recta intersección de os dos panos.. 4 Rectas paraeas Definición: Dos rectas de espacio son paraeas si verifican as dos condiciones siguientes: i) Están en un mismo pano ii) No tienen puntos en común. Teorema 3. or un punto se puede trazar una y una única recta paraea a una recta dada. En efecto, a recta y e punto determinan un único pano. Sobre ese pano, de acuerdo a os postuados de Eucídes, se puede trazar una única recta paraea a a recta dada. Teorema 4. Si dos rectas son paraeas, entonces todo pano que corte a una de eas, cortará a a otra. Demostración: Sean // y un pano arbitrario taque =. Debemos probar que =. Sea * e pano determinado por as rectas paraeas y. Este pano es diferente de pano ya que * contiene a y no a contiene. Luego os panos y * tiene un punto en común:. or o tanto, existe una recta en común que pasa por. En *, esta recta que pasa por, debe cortar a, en un punto, * digamos. Este punto es común a pano y a a recta. Caramente, este punto es único, ya que si contiene a un segundo punto de, contendrá a a recta competa. Luego os panos y * contendrán a a recta y a punto, de modo que as rectas se confunden, o que no debe suceder. Teorema 5. Dos rectas paraeas a una tercera son paraeas entre sí Figura 5. Rectas paraeas en e espacio Hipótesis: // // Tesis: // Demostración: y están en un mismo pano determinado por y un punto. Compete Ud. La demostración para concuir que estas rectas y no tienen puntos en común. Figura 6. Tres rectas paraeas entre si Teorema 6. Dos ánguos en e espacio no situados en un mismo pano que tienen sus ados respectivamente paraeos, son iguaes o supementarios 4 rof. Dr. Raú F Jiménez

5 H C//DF //DE T α = β D Sobre os ados de os ánguos α, β copiamos trazos de igua ongitud: = DE, C = DF. Luego, ED es un paraeogramo. or o tanto D = E y D // E náogamente, CFD es un paraeogramo y así D = CF y D // CF Luego, E = CF, y además dos rectas paraeas a D son paraeas entre eas. Luego, CEF es un paraeogramo y así C = EF. or o tanto os triánguos C y DEF son congruentes y así α = β. D β α F C E S: Haga e dibujo de caso en que os ánguos son supementario y demuéstreo. Figura 7. Dos ánguos en e espacio Definición: Se ama ánguo entre dos rectas no situadas en e mismo pano, a ánguo formado por dos rectas secantes respectivamente paraeas a as dos rectas dadas. En a figura 8, as rectas y (en azu) no están situadas en un mismo pano, es decir, se cruzan. Sin embargo, de acuerdo con a definición anterior, podemos habar de ánguo entre eas. or un punto cuaquiera de espacio V trazamos una recta paraea a que denotamos * (en rojo). or ese mismo punto V trazamos otra recta paraea a, que denotamos * (en rojo). Caramente, as rectas * y * están en un mismo pano y forman un ánguo cuyo vértice es e punto arbitrario V. Ese ánguo es e ánguo que forman as rectas azues. * * V Figura 8. nguo entre dos rectas que se cruzan Dos rectas se dicen perpendicuares si estando en un mismo pano, forman un ánguo recto. Se aman rectas ortogonaes a dos rectas de espacio que no estando en un mismo pano, forman un ánguo recto. En cuaquiera de os dos casos, as rectas se dicen rectanguares.. RECTS Y LNOS RLELOS. Definición: Una recta es paraea a un pano si ea no tiene puntos en común con e pano. Note que e pano mismo es paraeo a a recta. E siguiente resutado asegura a existencia de rectas paraeas a un pano. 5 rof. Dr. Raú F Jiménez

6 Teorema 7. Toda recta no situada en un pano y paraea a una recta * de ese pano, es paraea a pano. En efecto, as rectas y * a ser paraeas, están un mismo pano * que corta a pano según a recta *. Si a recta y e pano tuvieran un punto en común, digamos X, ese punto pertenece a a intersección de ambos panos, y de esta manera as rectas siendo paraeas, tendrían un punto en común, o que es imposibe. Luego a hipótesis de a existencia de ese punto X en común es absurda, o que prueba e teorema 7. * * Figura 9. Recta paraea a un pano Teorema 8. (rimer recíproco a teorema 7) Si una recta es paraea a un pano, todo pano * trazado por corta a pano según una recta * paraea a. En efecto, i) y * están en un mismo pano *. ii) Si as rectas y * tienen un punto en común, digamos X, este punto será común a a recta y a pano, o que es imposibe. Teorema 9. (Segundo recíproco a teorema 7) Si una recta es paraea a un pano y si por un punto C de pano se traza a recta * paraea a, esta recta está competamente contenida en e pano En efecto, a recta y e punto C determinan un pano * que corta a pano según una recta (no dibujada en a figura de a derecha) paraea a. hora, o bien a recta * es a única paraea a que pasa por C o bien se confunde con, y ea está totamente contenida en e pano. C * NOT: E teorema directo y su primer recíproco se pueden enunciar de a siguiente manera: ara que una recta sea paraea a un pano, es necesario y suficiente que ea sea paraea a una recta * de pano. S: Indique caramente a condición suficiente y a condición necesaria. Teorema 0. Si dos panos secantes y son paraeos a una misma recta intersección de os pano es paraea a recta, entonces a 6 rof. Dr. Raú F Jiménez

7 Tracemos una recta *, secante con y paraea a. Como es paraea a pano, * es paraea a pano. Dado que es paraea a pano, entonces * está en e pano. Luego, * es a intersección de os dos panos y por o tanto se confunde con. * Figura 0. anos secantes paraeos a una recta Teorema. Si dos panos secantes y pasan por dos rectas paraeas y, respectivamente, a intersección de os panos es paraea a ambas rectas H: // = T: //, // D: La recta //, //. E pano que pasa por, corta según a intersección que es paraea a (teorema 8). náogamente se demuestra que es paraea a. Figura. anos que pasan por rectas paraeas 3. LNOS RLELOS Definición: Dos panos son paraeos si no tienen puntos en común. E siguiente teorema prueba a existencia de panos paraeos Teorema. Dos rectas secantes y paraeas a un pano, determinan un segundo pano paraeo a primero. Sean y as rectas secantes, ambas paraeas a un pano. Sea * e pano determinado por as rectas y. 7 rof. Dr. Raú F Jiménez

8 H: // // T: * // D: Si os panos y * tuviesen un punto en común, digamos E, tendrían en común una recta, digamos * (teorema ) que contiene a ese punto E. Esta recta encuentra a menos una de as dos rectas o, digamos y en e punto X. Este punto X será común a a recta y a pano *, que son dados paraeos, o que es imposibe. Figura. Existencia de panos paraeos Coroario. Los panos y de dos ánguos α y α cuyos ados son respectivamente paraeos, son paraeos En efecto, sea α y α dos ánguos situados en dos panos y respectivamente, cuyos ados son paraeos. La recta // es paraea a pano (teorema7). La recta // es paraea a pano (teorema 7). α ' Luego, os panos y son paraeos (teorema ). ' ' α ' ' Figura 3. ánguos de ados paraeos sobre panos paraeos Coroario. Si dos panos son paraeos, toda recta de uno de eos es paraea a otro pano. S: Intente una demostración por e absurdo. NOT: ara que dos panos sean paraeos es necesario y suficiente que uno de eos contenga dos rectas paraeas a otro: i) La condición es necesaria: Si dos panos y * son paraeos, dos rectas trazadas en e pano son paraeas a pano *. ii) La condición es suficiente: Si un pano contiene dos rectas paraeas a un pano *, este será paraeo a pano *. Teorema 3. Si un pano interfecta a dos panos paraeos, entonces as intersecciones son rectas paraeas. Sean y dos panos paraeos cuyas intersecciones con un tercer pano * son as rectas y. 8 rof. Dr. Raú F Jiménez

9 H: // * = * = T: // D: y están en un mismo pano *. demás, y no son secantes pues están en panos que no tienen puntos en común. Luego, //. Figura 4. Un pano intersecta panos paraeos Teorema 4. or un punto exterior a un pano se puede trazar un único pano paraeo a é. Sea *. or * trazamos un pano * //. En efecto, primero veamos que podemos trazar ese pano: en trazamos dos rectas secantes cuaesquiera y que se cortan en. or * trazamos * // y * //. E pano determinado por * y * es paraeo a. hora veamos que es único: supongamos que por * pasamos un segundo pano ^. Las rectas y serán paraeas a os panos * y ^ (coroario ). Las rectas * y * están en os panos * y ^ a a vez (teorema 9). Luego estos panos se confunden pues contienen a dos rectas secantes * y *. * * * Figura 5. Trazado de un pano paraeo a otro por un punto Coroario 3. Dos panos paraeos a un tercero son paraeos entre sí. Coroario 4. Si dos panos son paraeos, entonces todo otro pano que corte a uno de eos, cortará a otro. En ambos casos basta razonar por e absurdo y se ega fácimente a a concusión. Teorema 5. E LG de as rectas paraeas a un pano trazadas por un punto es un pano paraeo a pano dado y que pasa por e punto dado. S: Intente una demostración de teorema 5. 9 rof. Dr. Raú F Jiménez

10 Coroario 5. Si dos panos son paraeos, entonces toda recta paraea a uno de eos, será paraea a otro H: // // T: // D: // //, // 3, 3 //. S: Intente redactar a demostración anterior en enguaje usua. Coroario 6. Si dos panos son paraeos, toda recta que corte a uno de eos, cortará a otro. S: iense en una demostración por e absurdo. Teorema 6. Dos trazos paraeos comprendidos entre dos panos paraeos, son iguaes. H: // // CD T: = CD C D: // CD pano * ta que * = C, * = D C // D DC # = CD Figura 6. Trazos paraeos entre panos paraeos Teorema 7. Tres panos paraeos determinan sobre rectas cuaesquiera trazos proporcionaes H: // // 3, rectas arbitrarias taes que: = *, = ; =*, = ; 3 = C*, 3 =C. T: = * * C * C * D: or 3 // D = ** (teorema 6), 3 D D * * DE = *C* y D//CE. En pano * determinado por y 3 : = D C DE Luego, = * * C * C * 0 3 C E C* Figura 7. Trazos proporcionaes en panos paraeos rof. Dr. Raú F Jiménez

11 Teorema 8. (Recíproco de teorema 7) Si dos rectas arbitrarias son divididas en trazos proporcionaes, as rectas que unen os puntos de división son paraeos a un mismo pano. S: Haga un gráfico, especifique hipótesis y tesis. Haga una demostración de este teorema. 4. RECTS Y LNOS ERENDICULRES 4.. Recta perpendicuar a un pano Definición: Una recta es perpendicuar a un pano si ea es perpendicuar a todas as rectas de pano. Consideremos una recta y un punto sobre ea. or hacemos pasar dos panos y en cada uno de eos trazamos a perpendicuar a a recta. Sean y estas dos perpendicuares. Es caro que eas determinan un pano, digamos. Luego, una recta de espacio puede ser perpendicuar a dos rectas situadas en un mismo pano y que pasan por su pie. Esto permite justificar a hipótesis de siguiente teorema, que asegura a existencia de rectas perpendicuares a un pano Figura 8. Recta perpendicuar a un pano Teorema 9. Si una recta que corta a un pano es perpendicuar a dos rectas no paraeas de pano que pasan por su pie, ea es perpendicuar a toda otra recta de pano que pase por su pie. H:, H, H pie de a perpendicuar H 3 arbitraria que pasa por H. T: H 3 D: Sea arbitraria que corta as rectas en, y C. H ( )H : H = H* C = C* (C S * ) = * ( idem ) C C* = * = * S * H = S * 3 H. 3 * H Figura 9. Recta perpendicuar a un pano C Teorema 0. ara que una recta sea perpendicuar a un pano, es suficiente que ea sea perpendicuar a dos rectas secantes de ese pano. Dicho de otra manera: rof. Dr. Raú F Jiménez

12 . Toda recta ortogona a dos rectas secantes y es perpendicuar a pano que eas determinan. En efecto, ortogona a dos rectas secantes, será perpendicuar a toda otra recta de pano (teorema 9), uego, de acuerdo a a definición anterior, será perpendicuar a ese pano.. Dos rectas secantes y ortogonaes a una misma recta, determinan un pano perpendicuar a esta recta. En efecto, a recta perpendicuar a y, es perpendicuar a pano que determinan. Luego ese pano será perpendicuar a a recta 4.. Trazar por un punto un pano perpendicuar a una recta E punto está sobre a recta. Sea un punto dado en una recta dada arbitraria. Dos puntos arbitrarios de espacio y a recta determinan dos panos (no dibujados en a figura de a derecha). Sobre estos panos evantamos as perpendicuares a en, y respectivamente. Estas rectas y determinan un pano, perpendicuar a. Razonando por e absurdo, se puede probar que este pano es único. Consecuencia: Si dos rectas son paraeas, todo pano perpendicuar a una de eas, será perpendicuar a a otra E punto no está sobre a recta. Sea un punto de espacio que no está en una recta. or este punto trazaremos un pano que sea perpendicuar a. ara eo, por trazamos una paraea a, en e pano determinado por y a recta (no dibujado en a figura de a derecha), que denotamos por *. hora se procede como en e caso anterior, para trazar un pano perpendicuar a *, que también será perpendicuar a. Razonando por e absurdo, se puede demostrar que este pano es único. * Q Teorema. E LG de as perpendicuares trazadas desde un punto a una recta es un pano perpendicuar a a recta en e punto Distinguimos dos casos: rof. Dr. Raú F Jiménez

13 . E punto está en a recta: La recta es perpendicuar a todas as rectas de pano y en particuar a todas aqueas que pasan por su pie. or otro ado, toda perpendicuar a evantada en e punto, está en e pano.. E punto no está en a recta: Se traza una paraea a a recta por e punto y se razona anáogamente Trazar por un punto una recta perpendicuar a un pano E punto está en e pano: Sea arbitrario. or trazamos dos rectas que estén en e pano, y y en distintas direcciones. or trazamos un pano (4.. ) y por trazamos otro pano. Resuta que = y. Razonando por e absurdo, se prueba que esta recta es única E punto no está en e pano. En este caso, por se traza un pano paraeo a pano y si procede como en e caso anterior. Consecuencia: Dos rectas perpendicuares a un mismo pano son paraeas entre si Teorema de as tres perpendicuares. Teorema. Si una recta es perpendicuar a un pano y desde su pie se traza una recta perpendicuar a una recta arbitraria de pano, entonces a recta que une un punto cuaquiera de a perpendicuar con e punto de intersección de as dos rectas de pano, es perpendicuar a a recta arbitraria de pano. H: ta que = H y arbitraria, es decir, HQ T: Q D: Sea Q = Q H S H = H H H = S Q Q H Q Figura 0. Teorema de as tres perpendicuares 3 rof. Dr. Raú F Jiménez

14 Teorema 3 (Recíproco de teorema ) Sea una recta perpendicuar a un pano con pie H y una recta cuaquiera de pano. Si por un punto cuaquiera de se traza a perpendicuar Q a. La recta que pasa por H y Q es perpendicuar a. S: Redacte una demostración a teorema Rectas perpendicuares y obicuas. Definición: Una recta es obicua a un pano si ni es perpendicuar a pano. Sean un pano y un punto fuera de e. Desde bajamos a perpendicuar hasta su pie H: tenemos entonces un trazo H; pero también tenemos una recta que pasa por H o que contiene a H. náogamente, desde se pueden trazar obicuas, que serán trazos o rectas que contienen esos trazos. Evidentemente que cuando habamos de ongitudes, nos referimos a os trazos, como sucede con e siguiente Teorema 4. Desde un punto fuera de un pano se pueden trazar una única perpendicuar e infinitas obicuas a pano. i) La perpendicuar es a menor de todas as obicuas. ii) Dos obicuas cuyos pies se encuentran a a misma distancia de pie de a perpendicuar, son iguaes iii) La más corta de dos obicuas será aquea cuya distancia a pie de a perpendicuar sea menor Sea H pano y a recta que contiene a trazo H. Sea Q un trazo obicuo y * a recta obicua que contiene a trazo Q. C y D son obicuas también, ta que HC = UQ. i) En rectánguo HQ, H < Q ii) HC = HQ HQ HC Q = C. * iii) Q y D obicuas taes que HQ < HD. Sea C HD ta que HC = HQ. Luego Q = C. En HD C < D Q < D H C D Q Figura. Rectas obicuas y perpendicuares a un pano Teorema 5 (Recíproco de teorema 4) i) E trazo más corto de un punto a un pano es e trazo perpendicuar. Este trazo representa a distancia de punto a pano. ii) Si dos trazos obicuos que nacen en un mismo punto fuera de un pano son iguaes, sus pies son equidistantes de pie de a perpendicuar 4 rof. Dr. Raú F Jiménez

15 iii) Si dos obicuas que nacen desde un mismo punto fuera de un pano no son iguaes, e pie de a menor está más cerca de pie de a perpendicuar. S: Demuestre este teorema Ejercicios:. Trazar una recta que pase por un punto dado y que se apoye en dos rectas dadas. Trazar una recta que se apoye en tres rectas dadas. Cuántas rectas puede construir? 3. Haar un punto en e espacio que equidiste de 4 puntos dados. 4. Dados un pano y dos rectas que se cruzan, trazar un segmento de ongitud dada que se apoye en ambas rectas y que sea paraeo a pano. 5. Dadas tres rectas que se cruzan trazar una cuarta paraea a una de eas y que se apoye en as otras dos. 6. or tres puntos de espacio trazar panos paraeos y equidistantes. 7. Dados un pano, dos rectas que se cruzan u una dirección d r, trazar una recta paraea a pano, que se apoye en as rectas dadas y que sea perpendicuar a a dirección dada. 8. Trazar una recta que se apoye en dos rectas dadas y que tenga una dirección dada d r. 9. Trazar una recta que se apoye en cuatro rectas dadas, dos de eas paraeas. 0. Dado un pano y un punto fuera de é, trazar un segmento desde e punto a pano que tenga una ongitud dada y que sea paraeo a un segundo pano.. Dadas dos rectas y una dirección dada d r, trazar una recta que se apoye en ambas y que sea perpendicuar a a dirección d r.. Dados dos panos y un punto arbitrario de espacio, trazar un segmento que corte a uno de os panos, sea paraeo a otro y que tenga una ongitud dada. 3. or un punto dado de espacio trazar un pano que corte a tres rectas dadas bajo ánguos iguaes. 4. Dados dos trazos y ** perpendicuares a un pano taque = ** y cuyos pies son y *. or se traza una recta en e pano. Se pide haar sobre esta recta un punto ta que = **. 5. Dados os puntos y en e espacio, haar otro punto sobre una recta dada de modo que + sea de ongitud mínima. 6. Dados dos puntos a mismo ado de un pano, haar otro punto sobre e pano de modo que a suma de as distancias a os dos puntos sea mínima. 5 rof. Dr. Raú F Jiménez

16 7. Dados tres puntos y una recta en e espacio, haar un punto que equidiste de os tres y que esté a una distancia dada de a recta dada. 8. or tres rectas trazar tres panos que se corten en una misma recta. 9. or cuatro puntos dados trazar cuatro panos paraeos y equidistantes. 0. or una recta dada trazar un pano que forme un ánguo dado con otro pano dado.. Dadas una recta y dos puntos, haar sobre a recta un punto desde e cua se vea a distancia entre os dos puntos dados bajo un ánguo de Dados un punto a cada ado de un pano, haar en e pano un punto ta que a diferencia de as distancias a os puntos sea máxima. 3. or un punto dado de un pano, trazar en e una recta que esté a una distancia dada de otro punto dados en e espacio. 4. Dados dos panos que se cortan según una recta y se da otra recta * que penetra en ambos panos en os puntos y. Haar sobre un punto C taque C = or un punto dado pasar una recta que se apoye en otra recta dada y que forme ánguos iguaes con dos rectas dadas. 6. Dados un pano, un punto sobre é y una recta en e espacio. 7. Sobre un pano considere una circunferencia de diámetro. Sea M un punto cuaquiera de a circunferencia. Se traza S y uego, os trazos S y SM. Se traza C y N SM. robar: i) SM= 90 0 S ii) S =SN SM = SC S C iii) SCN SM iv) SCN = 90 0 v) SC NC N x O vi) CN = 90 0 vii) Cuá es e LG de N cuando M recorre a circunferencia? M 8. Un pano rota arededor de una recta. Desde un punto de espacio de abaten perpendicuares sobre e pano móvi en diversas posiciones. Haar e LG de as perpendicuares. 9. Haar e LG de os puntos equidistantes de dos panos y de dos rectas paraeas. 6 rof. Dr. Raú F Jiménez

17 7 rof. Dr. Raú F Jiménez