Aplicación del Método de Separación de Variables a la Resolución de EDPs

Transcripción

1 Capítuo 6 Apicación de Método de Separación de Variabes a a Resoución de EDPs En os capítuos anteriores hemos desarroado todas as herramientas necesarias para poder apicar e método de separación de variabes a a resoución de ciertas EDPs. De eo nos ocuparemos en este capítuo, donde consideraremos as ecuaciones de caor y ondas con una soa variabe espacia, y a ecuación de apace en dimensión dos. 6.1 a Ecuación de Caor 1 dimensiona Consideremos e probema de a difusión de caor en una barra acotada. primer capítuo, e modeo matemático para este fenómeno físico es u t (t, x) =a 2 u xx (t, x) t>, <x<, (EC) u (,x)=f(x) x u (t, ) = u (t, ) = t y por e método de separación de variabes obtuvimos a soución forma nπa u (t, x) = b n e ( ) 2t sin nπx Como vimos en e donde además se tenía que verificar que f (x) = b n sin nπx, (6.2) con b n = 2 Z f (x)sin nπx dx. En aque momento quedaron pendientes agunas preguntas que trataremos de responder ahora. a primera de eas es: Puede a temperatura inicia f ser expresada en a forma (6.2)? a respuesta es Si. Si exigimos a f que sea continua y diferenciabe a trozos en [,] yque f () = f (), por e Teorema se tiene que f (x) = b n sin nπx x [,]. 67 (6.1)

2 68 Capítuo 6. Apicación de Método de Separación de Variabes a a Resoución de EDPs asegundapreguntaes: Es u una soución cásica? a respuesta vueve a ser Si. a justificación es un poco aboriosa pero en cuaquier caso a esbozamos a continuación. Supuesta f 2 ó f continua y diferenciabe a trozos, os coeficientes de Fourier de f satisfacen que im b n = n y por tanto existe una constante C>ta que b n C n N. (o único que estamos diciendo es que toda sucesión convergente es acotada). Por tanto, se tiene a estimación nπa b n e ( ) 2t sin nπx Ce δn2 n N, x [,] y t ε, siendo δ = π2 a 2 ε. Dado que a serie numérica 2 X e δn2 n es convergente, por e criterio de Mayoración de Weierstrass se tiene que a serie (6.1) converge nπa uniformemente en conjuntos de a forma [ε,t] [,] y además, como a funciones e ( ) 2t sin nπx son continuas, a función suma también o es, es decir, u es continua en ], [ [,]. E propio criterio de Mayoración de Weierstrass y e teorema de derivación de series de funciones nos aseguran (razonando como o hemos hecho hasta ahora) que a serie (6.1) se puede derivar término a término y que además u C 2 (], [ [,]). Como as funciones nπa b n e ( ) 2t sin nπx satisfacen a ecuación de caor, u también a satisface (gracias a a derivación término a término). Sóo nos queda ver que se satisfacen as condiciones iniciaes y de contorno. Como a serie (6.1) converge uniformemente para x [,], a función u, considerada como función dependiente de x, es continua y por tanto im x u (t, x) =imu (t, x) =u (t, ) = u (t, ) =. x Finamente, si f es continua, diferenciabe a trozos y si f () = f () =, a extensión impar de f es continua y diferenciabe a trozos con o cua, por e Teorema se satisface que b n <. Dado que nπa bn e ( ) 2t sin nπx b n n N, x [,] y t, de nuevo e criterio de Weierstrass nos asegura que a serie (6.1) converge uniformemente en [, [ [,] o que nos permite asegurar que u C ([, [ [,]). En particuar, im u (t, x) =u (,x)=f(x). t Por tanto, acabamos de probar e siguiente:

3 6.1. a Ecuación de Caor 1 dimensiona 69 Teorema (Existencia de soución cásica para a ecuación de caor) Supongamos que f sea continua, diferenciabe a trozos en [,] yquef () = f () =. Entonces a función dada en (6.1) es soución cásica de (EC). Nota Nótese que a hipótesis f () = f () =es una condición de compatibiidad necesaria entre as condiciones de contorno y a condición inicia. Aún quedan dos cuestiones por anaizar referentes a a ecuación de caor: unicidad y estabiidad de a soución. Para abordar ambas cuestiones necesitaremos e siguiente: ema (Principio de máximo y mínimo para a ecuación de caor) Sean, T >, D=[,T] [,] y = {(t, x) :x [,], t =} {(t, x) :t [,T], x =} {(t, x) :t [,T], x = }. Si u C 2 (D \ ) C (D) es soución de a ecuación de caor u t = a 2 u xx en D \, entonces max u =maxu y min u =minu. D D Pongamos M =max u y m =max u. Obviamente M m. Supongamos que M > m. D Entonces existe (t,x ) D \ ta que u (t,x )=M. Consideremos a función v (t, x) =u (t, x)+ M m 2 2 (x x ) 2. En se verifica que v (t, x) m + M m 2 2 <M.Por otra parte, v (t 2,x )=u(t,x )=M ypor tanto, e máximo de v es mayor o igua que M. Sea (t 1,x 1 ) e punto donde v acanza su máximo. Por o que hemos visto, (t 1,x 1 ) /. Si(t 1,x 1 ) está en e interior de D, entonces v t (t 1,x 1 )= v x (t 1,x 1 )= Si (t 1,x 1 ) {T } ],[, entonces y 2 v x 2 (t 1,x 1 ). v t (t v 1,x 1 ), x (t 1,x 1 )= y 2 v x 2 (t 1,x 1 ). v En definitiva, t (t 1,x 1 ) a 2 2 v x (t 2 1,x 1 ). Sin embargo, teniendo en cuenta a definición de v yqueu es soución de a ecuación de caor se tiene que v t (t 1,x 1 ) a 2 2 v x 2 (t 1,x 1 ) = a2 2 (M m) < o cua es una contradicción. Por tanto, M = m. a segunda iguadad se deduce ahora de a primera ya que min D u = max D ( u) = max ( u) =min u. Teorema (Unicidad de Soución Cásica) Sean, T, D y como en e ema anterior. Sean u 1 y u 2 dos souciones cásicas de (EC). Entonces u 1 = u 2. a demostración es una consecuencia inmediata de ema anterior. En efecto: consideremos a función u = u 1 u 2 que, por hipótesis, se anua en. Por e principio de máximo y mínimo tenemos max u =max D Por tanto, u =en D, esto es, u 1 = u 2. u = y min u =minu =. D

4 7 Capítuo 6. Apicación de Método de Separación de Variabes a a Resoución de EDPs Teorema (Estabiidad de a Soución) Sean, T, D y como en e ema anterior. Sean g 1,g 2 C ([,]) y h 1,h 2,k 1,k 2 C ([,T]) taes que y g 1 (x) g 2 (x) ε en [,], h 1 (t) h 2 (t) ε en [,T] k 1 (t) k 2 (t) ε en [,T]. Sean u 1 y u 2 dos souciones cásicas de a ecuación de caor verificando as condiciones: u 1 (,x)=g 1 (x), u 2 (,x)=g 2 (x) con x [,] u 1 (t, ) = h 1 (t), u 2 (t, ) = h 2 (t) con t [,T]. u 1 (t, ) =k 1 (t), u 2 (t, ) =k 2 (t) con t [,T] Entonces u 1 (t, x) u 2 (t, x) ε (t, x) D. De nuevo a demostración es consecuencia de principio de máximo y mínimo ya que por hipótesis y por dicho principio se verifica en todo D que ε min (u 1 u 2 )=min D (u 1 u 2 ) u 1 (t, x) u 2 (t, x) max (u 1 u 2 )=max (u 1 u 2 ) ε. D Nos ocuparemos finamente de a física de probema. Consideremos a función f (x) = sin (πx) 1 3 sin (2πx), cuya gráfica se muestra a continuación eje x Figura 6.1: Gráfica de f (x) =sin(πx) 1 3 sin (2πx).

5 temperatura 6.1. a Ecuación de Caor 1 dimensiona 71 Se muestra a continuación a gráfica de a soución de probema u t (t, x) = 1 4 u xx (t, x) t>, <x<1, (DC) u (,x)=sin(πx) 1 3 sin (2πx) x 1 u (t, ) = u (t, ) = t Se observa que a temperatura va rápidamente a cero y que además u es muy suave. Se produce por tanto un enfriamiento suave y rápido de a barra tiempo espacio Figura 6.2: Gráfica de a soución de probema de difusión de caor(dc) a ecuación de caor no homogénea Consideremos e probema no homogéneo para a ecuación de caor u t (t, x) =a 2 u xx (t, x)+f (t, x), t > y <x< u (,x)=f(x), <x< u (t, ) = u (t, ) =, t >. (6.3) Buscamos una soución que se pueda escribir en a forma u (t, x) = u n (t)sin nπx ya que as autofunciones de probema homogéneo son as funciones u n (x) =sin nπx. Supongamos que as funciones f (x) y F (t, x) se pueden desarroar en a forma donde a n = 2 f (x) = Z a n sin nπx f (s)sin nπs y F (t, x) = ds y b n (t) = 2 Z b n (t)sin nπx F (s, t)sin nπs ds.

6 72 Capítuo 6. Apicación de Método de Separación de Variabes a a Resoución de EDPs Sustituyendo todas estas expresiones en a ecuación de caor se obtiene que µ ³ nπa u 2 n (t)+ un (t) sin nπx = b n (t)sin nπx yportanto, ³ nπa u 2 n (t)+ un (t) =b n (t) n N. Por otra parte, de a condición inicia u (,x)=f(x) se obtiene que u n () = a n n N. Con todo eo, para cada n N se tiene e probema de vaor inicia ½ u n (t)+ nπa 2 un (t) =b n (t) cuya soución es u n () = a n nπa u n (t) =a n e ( ) 2t + Z t b n (s) e nπa ( y sustituyendo este vaor en u (t, x) obtenemos a soución forma u (t, x) = ½ nπa a n e ( ) 2t + Z t b n (s) e nπa ( ) 2 (t s) ds ¾ ) 2 (t s) ds sin nπx a ecuación de caor con condiciones de frontera no homogéneas Consideremos e siguiente probema para a ecuación de caor u t (t, x) =a 2 u xx (t, x)+f (t, x), t > y <x< u (,x)=f(x), <x< u (t, ) = h 1 (t), u(t, ) =h 2 (t), t > Sea v (t, x) =h 1 (t)+ x [h 2 (t) h 1 (t)]. Entonces a función z (t, x) =u (t, x) v (t, x) es soución de probema con condiciones homogéneas z t (t, x) =a 2 z xx (t, x)+f (t, x) h 1 (t) x [h 2 (t) h 1 (t)], t > y <x< z (,x)=f(x) h 1 () x [h 2 () h 1 ()], <x< z (t, ) =, z(t, ) =, t > que es de tipo (6.3). Nótese que una vez cacuada a función z, es conocida a función u soución de nuestro probema inicia. a forma de proceder en este tipo de probemas será siempre a misma: transformar as condiciones de contorno no homogéneas en homogéneas mediante un cambio de variabe adecuado. 6.2 a Ecuación de Ondas 1 dimensiona Consideremos e probema de a vibración de una cuerda de ongitud finita, sobre a que no actúa ninguna fuerza externa. Supongamos que en e instante inicia t =a cuerda tiene una forma dada por a función f (x) y cada uno de sus puntos posee una veocidad representada por g (x). Finamente supongamos que a cuerda permanece fija en sus extremos. as osciaciones

7 6.2. a Ecuación de Ondas 1 dimensiona 73 transversaes de a cuerda pueden ser representadas por una función u (t, x) que ta y como vimos en e primer capítuo satisface a ecuación y as condiciones iniciaes y de contorno u tt (t, x) =c 2 u xx (t, x) t, <x< (EO) u (,x)=f(x) ; u t (,x)=g(x) x u (t, ) = u (t, ) = t Apicaremos e método de separación de variabes para obtener a soución forma de (EO). Como siempre, suponemos que a soución se puede escribir en a forma u (t, x) =T (t) X (x). A derivar y sustituir en a ecuación de ondas obtenemos as siguientes ecuaciones diferenciaes ordinarias para T (t) y X (x) X (x) = λx (x) (6.4) y T (t)+λc 2 T (t) =. (6.5) as condiciones de frontera forman junto con a ecuación (6.4) e siguiente probema reguar de Sturm-iouvie ½ X (x)+λx (x) = X () = X () = e cua admite como autovaores λ n = nπ 2 y como autofunciones un (x) =sin nπx. Sustituyendo estos vaores de λ n en(6.5)setieneque ³ nπc T 2 (t)+ T (t) = para cada n =1, 2, 3, a soución genera de esta ecuación es T (t) =a n cos nπct a soución forma de (EO) es entonces u (t, x) = µ a n cos nπct + b n sin nπct. + b n sin nπct A imponer as condiciones iniciaes u (,x)=f (x) y u t (,x)=g (x) se obtiene y u (,x)=f (x) = u t (,x)=g (x) = a n sin nπx nπc b n sin nπx. sin nπx. (6.6) Por tanto, a n es e n ésimo coeficiente de Fourier de a función f, mientrasque nπc b n es e n ésimo coeficiente de Fourier de a función g, es decir, y a n = 2 b n = 2 nπc Z Z f (x)sin nπx g (x)sin nπx dx dx

8 74 Capítuo 6. Apicación de Método de Separación de Variabes a a Resoución de EDPs Sustituyendo estas expresiones en (6.6) obtenemos a soución forma de probema (EO). a gráfica que se muestra a continuación se corresponde con a soución de probema de ondas u tt (t, x) = 1 4 u xx (t, x), t >, <x<1 u (,x)=f(x) ; u t (,x)=, <x<1 u (t, ) = u (t, 1) =, t > con f (x) =sin(πx) 1 3 sin (2πx), es decir, a misma función que hemos tomado como temperatura inicia de probema de difusión de caor considerado en a sección anterior. Se observa que mientras que a soución de probema de difusión de caor que hemos anaizado en a sección anterior tiende a estabiizar a temperatura a cero (ver Figura 6.2), a soución de probema de ondas propaga en cierto sentido e perfi inicia tiempo espacio Nos imitaremos a continuación a enunciar e teorema de existencia, unicidad y estabiidad de a soución de probema (EO). a demostración de estos resutados puede verse en [13, p.p ]. Teorema (Existencia, Unicidad y Estabiidad de Soución) Si f C 2 ([,]), admite derivada tercera continua a trozos en [,] y f () = f () =f () = f () =ysi g C 1 ([,]) admite derivada segunda continua a trozos y g () = g () =, entonces (6.6) es a única soución de probema (EO). Además, esta soución es estabe respecto de os datos iniciaes, es decir, pequeñas variaciones en as funciones f y g originan pequeñas variaciones en a soución. a misma técnica descrita en a sección anterior para resover a ecuación de caor no homogénea y con condiciones de frontera no homogéneas es iguamente váida para resover a ecuación de ondas no homogénea y con condiciones de frontera no homogéneas. Iustraremos esta técnica con e probema de ondas u tt = c 2 u xx, t >, <x<1 u (,x)=u t (,x)=, <x<1 u (t, ) = t 2 ; u (t, 1) =, t >

9 6.2. a Ecuación de Ondas 1 dimensiona 75 Puesto que se trata de un probema con condiciones no homogéneas, construimos en primer ugar una función v (t, x) que as verifique. Para eo basta tomar v (t, x) =(1 x) t 2. Efectuamos ahora e cambio u (t, x) =z (t, x)+v (t, x). a función z (t, x) ha de ser soución de probema homogéneo z tt = c 2 z xx 2(1 x), t >, <x<1 z (,x)=z t (,x)=, <x<1 z (t, ) = = z (1,t)=, t > as autofunciones correspondientes a probema homogéneo son {sin nπx : n N}. Por tanto, proponemos como soución de probema no homogéneo una función de a forma z (t, x) = z n (t)sinnπx. (6.7) E desarroo en serie de Fourier senos de a función 2(1 x) es 4 sin nπx (6.8) nπ y sustituyendo (6.7) y (6.8) en a ecuación de ondas para z obtenemos que os coeficientes z n (t) han de verificar a ecuación y as condiciones iniciaes z n (t)+(nπc) 2 z n (t) = 4 nπ z n () = z n () = a soución de este probema de vaores iniciaes es. y por tanto, con o cua z (t, x) = z n (t) = u (t, x) =t 2 (1 x)+ 4 n 3 π 2 (cos (nπct) 1) c2 4 n 3 π 2 (cos (nπct) 1) sin nπx c2 4 n 3 π 2 (cos (nπct) 1) sin nπx. c Se Puede Escuchar a Forma de un Tambor? En a mayoría de probemas que abordamos en este curso e esquema consiste en cacuar a soución de un determinado probema de EDPs conocidos os parámetros de a ecuación y os datos iniciaes y/o de contorno. Sin embargo, en agunos probemas de a vida rea nos encontramos con a situación inversa, es decir, se trata de identificar os parámetros de una ecuación a través de informaciones parciaes o gobaes sobre as souciones que somos capaces de medir y observar experimentamente. Taes probemas aparecen, por ejempo, en a prospección petroífera y en diversas apicaciones médicas. Estudiaremos a continuación un ejempo académico pero de gran

10 76 Capítuo 6. Apicación de Método de Separación de Variabes a a Resoución de EDPs beeza. E probema se formua de una manera muy sencia: se puede oír a forma de un tambor?, es decir, somos capaces de determinar a forma de un tambor sabiendo cómo suena dicho tambor? Consideraremos a versión unidimensiona de probema, es decir, supongamos que tenemos una cuerda de ongitud desconocida y que está sujeta en os extremos y vibrando. Supongamos también que, gracias a un sensor, podemos medir a tensión que as vibraciones de a cuerda producen en e extremo x =. Podemos identificar a ongitud a través de as mediciones que e sensor proporciona de a tensión en e extremo conocido x =? a respuesta es Sí. Como hemos visto en a sección anterior, a soución de probema de ondas u tt (t, x) =c 2 u xx (t, x) t>, <x< u (,x)=f(x) ; u t (,x)=g(x) <x< u (t, ) = u (t, ) = t> es u (t, x) = a tensión en e extremo x =es u x (t, ) = µ a n cos nπct nπ + b n sin nπct sin nπx. (6.9) µ a n cos nπct + b n sin nπct. Por tanto, a tensión es una función periódica de periodo 2/c. De esta forma, a periodicidad de a tensión (2/c) está reacionada de manera unívoca con a ongitud de a cuerda. Para e caso dos dimensiona, se ha demostrado que a respuesta es también afirmativa para e caso de tambores circuares. Sin embargo, en 1992 se encontraron ejempos de tambores con esquinas que tenían distinta forma y que sin embargo sonaban igua. Más información sobre este bonito probema puede encontrarse en [14] y sobre todo en [27] Caor versus Ondas: un poco más de física... y de matemáticas Nos ocuparemos en esta sección de estudiar agunas propiedades físicas de a ecuación de ondas y también contrastaremos dichas propiedades con sus anáogas para a ecuación de caor. a fórmua de d Aembert para a ecuación de ondas está dada (ver ejercicios) por u (t, x) = 1 f (x ct)+f (x + ct)+ 1 Z x+ct g (y) dy. (6.1) 2 c x ct Es muy fáci convencerse de que si f C 2 (R) y g C 1 (R), entonces a función dada en (6.1) es soución de probema de vaores iniciaes u tt (t, x) =c 2 u xx (t, x), t >, <x<+ u (,x)=f(x), <x<+ u t (,x)=g(x), <x<+ Observemos también que con as fórmuas trigonométricas que reacionan e producto de senocoseno y seno-seno, a fórmua de Bernoui (6.9) se reescribe en a forma de d Aembert u (t, x) = 1 ³ nπ ³ nπ a n hsin (x + ct) +sin (x ct) i c ³ nπ cb n hcos ³ nπ (x ct) cos (x + ct) i.

11 6.2. a Ecuación de Ondas 1 dimensiona 77 A a vista de estas dos representaciones para a soución de a ecuación de ondas, es natura preguntarse por qué usar a fórmua de Bernoui si disponemos de a fórmua más sencia de d Aembert. Hay dos razones principaes que nos evan a no desechar a representación en serie de funciones dada por a fórmua de Bernoui: Por un ado, e método que usamos para obtener a fórmua de d Aembert no es váido para otro tipo de ecuaciones, ni tan siquiera para a propia ecuación de ondas en dimensión superior a uno o a incuir condiciones de contorno. Por otro ado, mientras que a fórmua de d Aembert nos dice o que vemos cuando miramos a una cuerda vibrando, a de Bernoui nos dice o que oímos cuando escuchamos a guitarra sonar. a representación de a soución en serie de funciones descompone una onda de sonido en sus componentes de diferentes frecuencias. Usuamente, uno escucha e primer sumando de (6.9), e cua es e tono fundamenta a frecuencia (2πc) /, yjuntoa é e resto de tonos de menor intensidad y de frecuencia (2nπc) /, n > 1. No obstante, de a fórmua de d Aembert también podemos extraer agunas otras consecuencias importantes. A a vista de a soución dada en (6.1), es caro que si a posición inicia de a cuerda, representada por medio de a función f, tiene aguna singuaridad, entonces dicha singuaridad se propaga. a ecuación de ondas no es capaz de suavizar o reguarizar os datos iniciaes. De hecho, a a vista de (6.1), se tiene que a soución u tiene a misma reguaridad que e dato inicia f y gana una derivada respecto a g. E comportamiento de os procesos de difusión es bien distinto: a difusión de caor tiende a suavizar cuaquier singuaridad en os datos iniciaes. En efecto, a serie de funciones mediante a cua se define a soución de a ecuación de caor contiene un término de tipo e n2t oqueprovocaqueafunciónqueestaseriedefine sea de case C. Es e famoso efecto reguarizante de a ecuación de caor. Este efecto reguarizante impica también a irreversibiidad en tiempo de a ecuación de caor. Así, si fijamos una temperatura inicia en un tiempo T>, entonces en genera no es posibe integrar a ecuación u t = a 2 u xx en e intervao [, T], esto es, hacia atrás en e tiempo. Si dicha integración fuese posibe, entonces debido a efecto reguarizante de a ecuación de caor obtendríamos que u (,x) es una función de case C o cua nos indicaría que todos os datos iniciaes en t =para a ecuación de caor son funciones muy reguares. Por supuesto, en genera esto no es cierto. Podemos integrar a ecuación de caor hacia adeante en e tiempo a partir de datos iniciaes de hecho muy irreguares. En a ecuación de ondas, por e contrario, si cambiamos t por T t obtenemos a misma EDP y entonces si que es posibe ir hacia atrás en e tiempo y averiguar e pasado de as ondas. a energía, cinética más a potencia eástica, en e tiempo t de una cuerda eástica de ongitud que está vibrando es, savo una constante, E (t) = Z u 2 t (t, x)+c 2 u 2 x (t, x) dx. Más adeante, en os ejercicios, veremos que esta energía se conserva con e paso de tiempo. a ecuación de caor se comporta, en este sentido, justo a revés: como hemos visto en as secciones anteriores, una barra metáica que iniciamente está a una temperatura dada tiende a enfriarse, a disipar toda su energía. Por útimo, nos ocuparemos de a veocidad a a que se propagan as ondas y e caor. No es difíci comprobar, a menos formamente, que a función u (t, x) = 1 4πa 2 t Z + f (y) e (x y)2 4a 2 t dy (6.11)

12 78 Capítuo 6. Apicación de Método de Separación de Variabes a a Resoución de EDPs es soución de probema de vaor inicia ½ ut (t, x) =a 2 u xx (t, x), u (,x)=f(x), t >, <x<+ <x<+ a fórmua (6.11) nos dice que e vaor de a temperatura u en cuaquier instante t depende de todos os vaores de f (x), con <x<+, esto es, de a temperatura en e instante inicia. Este hecho puede ser interpretado diciendo que e caor se propaga a veocidad infinita. Por su parte, a fórmua de d Aembert (6.1) nos dice que u (t, x) depende únicamente de o que e sucede a f en os puntos x ct y x + ct, yag en e intervao [x ct, x + ct]. Nos encontramos pues ante un fenómeno de propagación a veocidad finita. Este hecho tiene una gran importancia en a teoría de contro exacto de sistemas gobernados por EDPs. Así, debido a a veocidad finita de propagación de as ondas, os sistemas hiperbóicos tipo a ecuación de ondas necesitan de un tiempo mínimo para poder ser controados si actuamos únicamente sobre a frontera de os mismos. En cambio, os sistemas parabóicos tipo caor pueden ser controados en un tiempo infinitamente pequeño actuando también únicamente sobre su frontera. Podemos resumir gran parte de o dicho en esta sección en e siguiente cuadro: Caor Ondas Efecto reguarizante Si No Reversibiidad en tiempo No Si Conservación de a energía No Si Veocidad de propagación Infinita Finita 6.3 a Ecuación de apace en Dimensión 2 En esta útima sección nos ocuparemos de estudio de a ecuación de apace. Definición Una función u : Ω R 2 R, siendoω un conjunto abierto, se dice armónica si es de case C 2 (Ω) y si además satisface a ecuación de apace u (x, y) = 2 u x 2 (x, u y)+ 2 (x, y) = (x, y) Ω. y2 Nos ocuparemos en primer ugar de estudiar as propiedades de unicidad y estabiidad de soución de probema de Dirichet para a ecuación de apace, esto es, e probema ½ u = en Ω u = f sobre Ω donde Ω R 2 es un conjunto abierto y acotado y f es una función continua. a unicidad y estabiidad de soución para e probema anterior son ambas consecuencia de siguiente principio de máximo-mínimo. ema (Principio de máximo y mínimo para funciones armónicas) Sean Ω R 2 un conjunto abierto y acotado, y u C 2 (Ω) C Ω una función armónica. Entonces, max u =max Ω Ω u y min Ω u =min Ω u. a demostración de este ema así como a de resutado que sigue puede encontrarse en [13, p.p ].

13 6.3. a Ecuación de apace en Dimensión 2 79 Teorema (Unicidad y Estabiidad) Consideremos e probema (P) ½ u = en Ω u = f sobre Ω donde Ω R 2 es un conjunto abierto y acotado, y f es una función continua. Si u 1 y u 2 son souciones cásicas de (P), entonces u 1 = u 2 en Ω. Además, a soución depende de manera continua de f. Concuimos este capítuo cacuando a soución forma de a ecuación de apace en agunos dominios donde e método de separación de variabes es apicabe a ecuación de apace en un rectánguo Consideremos e probema u xx (x, y)+u yy (x, y) =, u (,y)=u(, y) =, u (x, ) = f 1 (x), u (x, ) =f 2 (x), <x<, <y< <y< <x< Supongamos que a soución de este probema se puede escribir en a forma u (x, y) =X (x) Y (y). Derivando y sustituyendo en a ecuación de apace se obtiene que X Y + XY =yportanto Y Y = X X = λ. A imponer as condiciones de frontera u (,y)=u(, y) =se obtiene que a función X (x) ha de ser soución de probema reguar de Sturm-iouvie ½ X + λx = X () = X () = mientras que a función Y ha de ser soución de a ecuación Y λy =. os autovaores de anterior probema de Sturm-iouvie son λ n = nπ 2 y as correspondientes autofunciones X n (x) =sin nπx. Por otra parte, a soución genera de a ecuación Y (y) ³ nπ 2 Y (y) = expresada en términos de as funciones seno y coseno hiperbóicos es Y (y) =α n cosh nπy + β n sinh nπy. Recordemos que sinh y = ey e y, cosh y = ey + e y. 2 2 Con todo eo se tiene que a soución forma de nuestro probema es u (x, y) = sin nπx ³ α n cosh nπy + β n sinh nπy (6.12)

14 8 Capítuo 6. Apicación de Método de Separación de Variabes a a Resoución de EDPs donde aún fatan por determinar os coeficientes α n y β n para que se satisfagan as condiciones de frontera u (x, ) = f 1 (x) y u (x, ) =f 2 (x). Para eo cacuamos os desarroos en serie de Fourier seno de as funciones f 1 y f 2, esto es, f 1 (x) = a n sin nπx y f 2 (x) = b n sin nπx. Imponiendo as condiciones de frontera antes mencionadas se obtiene que α n = a n y α n cosh nπ + β n sinh nπ = b n que conducen a α n = a n y β n = b n csc h nπ a n coth nπ. Sustituyendo estas fórmuas en (6.12) se obtiene a soución forma de nuestro probema a ecuación de apace en coordenadas poares Para e estudio de probemas reacionados con a ecuación de apace en dominios circuares taes como un círcuo, una corona circuar o un dominio Ω de tipo Ω = {(r cos θ,rsin θ) :<r r r 1 y α θ β} es conveniente escribir e apaciano en coordenadas poares. En dichas coordenadas (ver ejercicio 7) a ecuación de apace se escribe en a forma u rr + r 1 u r + r 2 u θθ =. Consideremos e probema u rr (r, θ)+r 1 u r (r, θ)+r 2 u θθ (r, θ) =, <r <r<r 1, < θ < β u (r, ) = u (r, β) =, r <r<r 1 u (r, θ) =f (θ), u (r 1, θ) =g (θ), < θ < β. Como siempre en nuestro esquema de separación de variabes, buscamos una soución que se pueda escribir en a forma u (r, θ) =R (r) Θ (θ). Derivando, sustituyendo en a ecuación de apace e imponiendo as condiciones de frontera homogéneas se tiene que Θ (θ) ha de ser soución de probema de Sturm-iouvie ½ Θ (θ)+λθ (θ) = Θ () = Θ (β) = (6.13) mientras que R (r) ha de ser soución de a ecuación r 2 R (r)+rr (r) λr (r) =. (6.14) ³ 2 E probema de Sturm-iouvie (6.13) es un viejo conocido que tiene por autovaores λ n = nπ β y por autofunciones Θ n (θ) =sin nπθ β. Por otra parte, a ecuación (6.14) es un caso particuar de un tipo de ecuación conocida como ecuación de Euer, a cua en su versión más genera adopta a forma r 2 f (r)+arf (r)+bf (r) =. (6.15)

15 6.4. Ejercicios 81 Como soución de esta ecuación se propone a función f (r) =r µ. Si sustituimos en a ecuación anterior se tiene [µ (µ 1) + aµ + b] r µ =, con o cua si µ 1 y µ 2 son dos raíces distintas de poinomio µ (µ 1) + aµ + b =, entonces a soución genera de (6.15) es f (r) =c 1 r µ 1 + c2 r µ 2 ysiµ1 = µ 2 = µ, entonces a soución genera de (6.15) es f (r) =c 1 r µ + c 2 r µ og r, siendo c 1 y c 2 dos constantes. ³ 2 Por tanto, a soución genera de a ecuación (6.14), donde hemos de poner λ = nπ β, es R (r) =a n r nπ/β + b n r nπ/β. Con todo eo, a soución forma de nuestro probema de apace es u (r, θ) = sin nπθ β ³a n r nπ/β + b n r nπ/β. Soo resta eegir os coeficientes a n y b n para que se verifiquen as condiciones de frontera u (r, θ) = f (θ) y u (r 1, θ) = g (θ). Para eo cacuamos os desarroos en serie de Fourier seno de as funciones f (θ) y g (θ). Se tiene así que f (θ) = c n sin nπθ β y g (θ) = d n sin nπθ β e imponiendo as condiciones de contorno anteriores se ha de verificar que a n r nπ/β 1 + b n r nπ/β 1 = c n y a n r nπ/β 2 + b n r nπ/β 2 = d n de donde se obtienen os coeficientes a n y b n. 6.4 Ejercicios 1. Apica e método de separación de variabes para obtener a soución forma de os probemas u t (t, x) =a 2 u xx (t, x)+ae bx, t >, <x<π (a) u (,x)=sinx, <x<π u (t, ) = u (t, π) =, t > siendo A y b constantes, y (b) u t (t, x) =a 2 u xx (t, x)+x, t >, <x< u (,x)=cos 2 x, <x< u (t, ) + u x (t, ) =,u(t, )+u x (t, ) =, t > 2. Una barra de hierro de coeficiente de conductibiidad térmica.15 y 1 metro de ongitud se encuentra iniciamente a temperatura cero y uno de sus extremos a 5 C. Si este útimo se mantiene permanentemente a dicha temperatura mientras que e otro extremo se mantiene a C, cacuar a temperatura en e punto medio de a barra a cabo de 5 minutos. Haar también a temperatura estacionaria, es decir, u (x) =im t u (t, x).

16 82 Capítuo 6. Apicación de Método de Separación de Variabes a a Resoución de EDPs 3. Apica e método de separación de variabes para obtener a soución forma de os probemas u tt (t, x) =c 2 u xx (t, x), t >, <x<π (a) u (,x)=sin2x ; u t (,x)=sin 3 x, <x<π u (t, ) = u (t, π) =, t > y u tt (t, x) =c 2 u xx (t, x), t >, <x<π (b) u (,x)=cosx ; u t (,x)=sinx, <x<π u x (t, ) = u x (t, π) =, t > 4. En a vida rea as vibraciones de una cuerda se amortiguan debido a que as cuerdas no son perfectamente eásticas. Esta situación se modeiza mediante a ecuación de ondas u tt (t, x) =c 2 u xx (t, x) 2ku t (t, x),t>, <x< (6.16) donde k< πc y donde e término 2ku t representa as fuerzas de fricción que causan dicho amortiguamiento. Apica e método de separación de variabes para obtener a soución genera de a ecuación (6.16) sujeta a as condiciones de contorno u (t, ) = u (t, ) =. 5. Apica e método de separación de variabes para obtener a soución forma de probema u tt (t, x) =c 2 u xx (t, x) a 2 u (t, x), t >, <x<π u (,x)=f(x) ; u t (,x)=g(x), <x<π u (t, ) = u (t, π) =, t > Este es e modeo matemático para una cuerda vibrando en un medio eástico: e término a 2 u representa a fuerza de reacción de medio sobre a cuerda. 6. Resonancia en una cuerda. Cacua a soución forma de probema de ondas u tt (t, x) =c 2 u xx (t, x) a 2 u (t, x), t >, <x<π u (,x)=; u t (,x)=, <x<π u (t, ) = ; u (t, π) =sinαt, t > que modeiza una cuerda de ongitud π que está fija en uno de sus extremos y acopada a un osciador en e otro extremo. Estudia también para qué vaores de α se produce e efecto de resonancia (ondas con ampitud creciente y tendiendo a infinito). 7. Probar que en coordenadas poares a ecuación de apace se escribe en a forma u rr + r 1 u r + r 2 u θθ =. 8. Apica e método de separación de variabes para obtener a soución forma de probema u rr (r, θ)+r 1 u r (r, θ)+r 2 u θθ (r, θ) =, <r <r<r 1, < θ < 2π u (r 1, θ) =f (θ), < θ < 2π u (r 2, θ) =g (θ), < θ < 2π 9. Apica e método de separación de variabes para obtener a soución forma de probema u xx + u yy =, <x<, <y< u (,y)=g 1 (y), u (, y) =g 2 (y), <y< u (x, ) = f 1 (x), u (x, ) =f 2 (x), <x<

17 6.4. Ejercicios Conservación de a energía. a energía tota de una cuerda de ongitud π vibrando en un instante t, savo una constante, es E (t) = Z π u 2 t (t, x)+c 2 u 2 x (t, x) dx. E primer sumando en a integra anterior es a energía cinética y e segundo a potencia. Si u (t, x) es soución cásica de probema de ondas u tt (t, x) =c 2 u xx (t, x) t>, <x<π u (,x)=f(x) ; u t (,x)=g(x) <x<π u (t, ) = u (t, π) = t> donde demuestra que f (x) = a n sin nx y g (x) = E (t) = πc2 2 (na n ) 2 + π 2 b n sin nx b 2 n. Observa que ésto, en particuar, nos da e principio de conservación de a energía: E (t) es independiente de t. También nos sugiere que un requerimiento físico natura es que a serie h i (na n ) 2 + b 2 n sea convergente. Esto es efectivamente cierto si f es continua y diferenciabe a trozos y si g es continua a trozos. Por qué? 11. Unicidad de soución para a ecuación de ondas. Utiiza os resutados de ejercicio anterior para probar unicidad de soución para e probema de ondas u tt (t, x) =c 2 u xx (t, x) t>, <x<π u (,x)=f(x) ; u t (,x)=g(x) <x<π u (t, ) = u (t, π) = t> 12. Sean a, p, >, c R y consideremos as funciones α C ([, + [),f C ([,]) y F C ([, + [ [,]). (a) Haar a soución forma de probema t >, <x< p (u t (t, x)+α (t) u (t, x)) au xx (t, x)+cu (t, x) =F (t, x), u (t, ) u (t, ) =u x (t, ) u x (t, ) =, t > u (,x)=f(x), <x< (b) Si r, s, ν R, obtener a soución de probema anterior en e caso en que F (t, x) = νe rt,f(x) =x y α (t) =2rt + s.

18 84 Capítuo 6. Apicación de Método de Separación de Variabes a a Resoución de EDPs 6.5 Objetivos E objetivo básico de este tema es que e aumno adquiera habiidad de cácuo en a resoución, usando e método de separación de variabes, de os probemas cásicos de EDPs (caor, ondas y apace) con diferentes condiciones iniciaes y/o de contorno. Intentaremos, no obstante, que e aumno se famiiarice y tenga conocimiento de a probemática de agunos otros aspectos, más teóricos pero no por eo menos importantes, taes como a convergencia de as series de funciones mediante as cuaes se representan as souciones a apicar e método de separación de variabes; todo eo enfocado a as propiedades de existencia, unicidad y estabiidad de souciones cásicas. Finamente, intentaremos no separar as dos cuestiones anteriores (cacuo forma y anáisis matemático de as souciones) de a física subyacente a os probemas que se abordan de forma que será interesante que e aumno tenga en mente estas cuestiones físicas y trate de obtener concusiones físicas de as souciones matemáticas que se cacuan. 6.6 Comentarios sobre a Bibiografía Nuestro estudio de a ecuación de caor sigue básicamente e ibro de Foand [8, p.p ] en o referente a a existencia de soución y a interpretación física de a misma. Para a unicidad y estabiidad utiizando principios de máximo-mínimo puede consutarse [11, p.p ]. En [13] se estabece a unicidad estudiando e funciona de energía asociado a probema, y se estudia a estabiidad directamente. También son interesantes as referencias [5, 17, 23, 26]. Respecto de a ecuación de ondas, todos os tratados cásicos de EDPs abordan esta ecuación. De nuevo, e hio conductor que hemos seguido es e ibro de Foand. as cuestiones de existencia, unicidad y estabiidad, ta y como se ha mencionado en e desarroo de os contenidos, pueden encontrarse en e ibro de Marceán-Casasús-Zarzo. E probema se puede escuchar a forma de un tambor? está tomado de artícuo de E. Zuazua [27] y e estudio comparativo de as ecuaciones de caor y ondas de ibro de Foand [8, p. 53]. Finamente, para a ecuación de apace hemos seguido [8] y [13].