Dinámica del Punto sobre Curva

Transcripción

1 Dinámica de Punto sobre Curva Índice 1. Teoría genera de a Dinámica de Punto sobre Curva Introducción Curva isa Curva isa y móvi Curva isa y fija, con F = F( r) (campo estacionario) Curva Rugosa (con rozamiento) Curva Rugosa y Móvi Curva Rugosa y Fija (Ecuaciones Intrínsecas) Partícua pesada sobre curva isa y fija Ejempo: Pénduo simpe

2 1. Teoría genera de a Dinámica de Punto sobre Curva 1.1. Introducción Sea una partícua M de masa m que se mueve por a curva C de ecuaciones impícitas: { S1 : f( r,t) = 0 C : S 1 S 2 (1) S 2 : g( r,t) = 0 que está sometida a a siguiente fuerza directamente apicada: F = F( r, r,t) O z r R F M t S 1 C y Se pretende resover e probema directo S de a Dinámica de Punto sobre Curva, es 2 x decir, conocer e movimiento de a misma así como a reacción R de a curva. E versor tangente a a curva en un punto reguar ( f g 0) está definido por: f g t = f g E pano norma a a curva en un punto reguar está definido por e punto y una base de vectores de su variedad norma: Π N : {M; f, g}. La reacción norma que ejerce a curva sobre a partícua M para que permanezca sobre ea puede expresarse, por tanto, mediante a reación siguiente: N = λ f +µ g En genera, se tiene que: R = N + F R ( F R t = 0, N t = 0) 1.2. Curva isa Curva isa y móvi Sea C una curva isa ( F R 0), por o que a reacción de a misma sobre a partícua es excusivamente norma ( R = N) y puede ponerse como: N = λ f +µ g Ecuaciones: F + N = m γ Dinámica F +λ f +µ g = m γ [3 EDO orden 2] (2) { f( r,t) = 0 [1 EA] (1) g( r,t) = 0 [1 EA] Geometría que constituyen un sistema de tres ecuaciones diferenciaes ordinarias de segundo orden (2) y dos ecuaciones agebraicas (1). Incógnitas: q j (t) (j = 1,2,3) Movimiento [3 incógnitas] λ(t),µ(t) Reacción Norma [2 incógnitas]

3 Con o que e probema está matemáticamente cerrado. Para simpificar se suee usar e siguiente panteamiento aternativo: Representación paramétrica de a curva: r = r(u,t) (No es única) Versores de triedro intrínseco (Geometría diferencia): t(u,t) = r u r u, n(u,t) = ( r u r uu ) r u ( r u r uu ) r u, b(u,t) = r u r uu r u r uu ( b = t n) Vector veocidad de punto (Cinemática): v(u, u,t) = d r dt = r u u + r }{{} t (3) }{{} v re v ind La primera parte abrazada v re es a veocidad de M reativa a a curva considerada como fija (congeada) con esa parametrización, mientras que e útimo término v ind es a contribución a a veocidad de M inducida por e movimiento de a curva (que en genera no es fija). Vector aceeración de punto (Cinemática): γ(u, u,ü,t) = r u ü + r }{{} uu u 2 +2 r ut u+ r tt (4) t La recta tangente a a curva en un punto reguar ( r u 0) se define mediante e punto y su variedad tangente: R T : {M; r u } t = r u r u Proyectando as ecuaciones sobre a variedad tangente y a norma: R T : F ru = m γ r u (movimiento) [1 EDO orden 2] (5) Π N : N = t [(m γ F) t ] (reacción) [2 EA] (6) Incógnitas: u(t) Movimiento [1 incógnita] N n (t),n b (t) Reacción Norma [2 incógnitas] Con o que e probema vueve a estar matemáticamente cerrado, pero ahora a primera ecuación está desacopada de as dos útimas. Se resueve primeramente e probema de movimiento (5) y se eva su soución (u = u(t)) a as ecuaciones agebraicas (6) que dan a reacción norma. Obsérvese que a reacción norma desarroa potencia: P N = N v = N r u u+ N r t = N r t 0 y a ecuación de a Energía no resuta úti para resover e probema de movimiento desacopado de probema de cácuo de as fuerzas de igadura para curva no fija.

4 Curva isa y fija, con F = F( r) (campo estacionario) Sea una partícua M, de masa m, que se mueve por a curva isa y fija de ecuación paramétrica C : r = r(u) sometida a una fuerza directamente apicada de tipo F = F( r). Se pretende resover e probema directo de a Dinámica de Punto sobre Curva, es decir, conocer e movimiento de a partícua y a reacción que recibe de a curva. Por ser una curva fija ya sabemos que a propia curva es a trayectoria de punto. Soo quedan como incógnitas a ecuación horaria (1 inc.) y a reacción norma (2 incs.). La reacción norma no trabaja, por o que nos será úti a Ecuación de a energía para resover e probema de movimiento: d dt (1 2 mv2 ) = F v Teniendo en cuenta que a partícua está obigada a moverse por a curva: v = d r dt = r (u) u F = F(r(u)) resuta: d dt (1 2 m r (u) 2 u 2 ) = F(u) r (u) u d( 1 2 m r (u) 2 u 2 ) = F(u) r (u)du Definamos una función potencia de a forma: V(u) = u a F(ξ) r (ξ) dξ Como as fuerzas que trabajan derivan de una función potencia 1 cuando nos movemos sobre a curva (e trabajo eementa es una diferencia exacta), a ecuación de a energía conduce a a integra de a energía y a soución de movimiento nos queda reducida a a siguiente cuadratura: m t t 0 = ± 2 u u 0 r (ξ) dξ E V(ξ) 1.3. Curva Rugosa (con rozamiento) Curva Rugosa y Móvi Sea una partícua M, de masa m, que se mueve por a curva rugosa de ecuación paramétrica C : r = r(u, t) y coeficiente de rozamiento f, sometida a una fuerza directamente apicada de tipo F = F( r, v,t). Se pretende resover e probema directo de a Dinámica de punto sobre curva, es decir, conocer e movimiento de a partícua y a reacción R que recibe de a curva. La curva reaiza sobre a partícua una reacción genérica, que se expresa mediante sus componentes tangencia y norma en a forma: R = F R + N ( F R t = 0, N t = 0) 1 Potencia ordinario y estacionario

5 La incógnita asociada a a fuerza de rozamiento se reaciona con as incógnitas de caso de curva isa mediante a ecuación que proporciona e modeo de rozamiento de Couomb Morin para a misma: F R = f N v re v re (3) = f N r u u = f N r u u u u }{{} sign( u) t (7) La ecuación de cantidad de movimiento proporciona 3 ecuaciones independientes: m γ = F + F R + N (3 ecs.) Expresamos a aceeración y a fuerza directamente apicada en sus componentes tangencia y norma: γ = ( γ t) t+[ γ ( γ t) t] = ( γ t) t + t ( γ t) }{{}}{{} γ t γ πn F = ( F t) t+[ F ( F t) t] = ( F t) t + t ( F t) }{{}}{{} F t F πn La componente norma de a ecuación de cantidad de movimiento proporciona: N(u, u,t) = t [(m γ F) t] (8) no depende de ü, ya que γn ü m( γ t) = ( F t) f N(u, u,t) u u (4) = 0, e introducida en a componente tangencia resuta: 1 E.D.O. de 2 orden en u(t) (9) que nos sirve para obtener u = u(t) y, por sustitución, obtenemos N(t) = N(u(t), u(t),t) de (8) y F R = F R (u(t), u(t),t) de (7) Curva Rugosa y Fija (Ecuaciones Intrínsecas) Proyección de a ecuación de cantidad de movimiento m γ = F + R sobre e triedro intrínseco de una curva en un punto {M; t, n, b} Teniendo en cuenta que as proyecciones sobre os versores de triedro intrínseco de os vectores que aparecen en a ecuación de cantidad de movimiento: γ = dv dt t+ v2 ρ n F = ( F t) t+( F n) n+( F b) b R = F R t+n n n+n b b obtenemos as ecuaciones intrínsecas de movimiento de una partícua por una curva, que son: m dv dt = F t +F R m v2 ρ = F n+n n 0 = F b +N b

6 2. Partícua pesada sobre curva isa y fija Sea una partícua pesada M de masa m que se mueve por a curva C isa y fija, de ecuación paramétrica r = r(u), donde e eje Oz es a vertica ascendente. Se pretende resover e probema directo de a Dinámica de Punto sobre Curva, es decir, conocer e movimiento de a partícua y a reacción que recibe de a curva. De acuerdo a os resutados de estamos en presencia de un caso de sistema conservativo (a que puede apicarse e anáisis cuaitativo para e estudio de a evoución de u en e tiempo) donde e potencia vae: V(u) = mgz(u) y a energía mecánica se expresa en a forma: E = 1 2 mv2 0 +mgz 0 = mga (a = z 0 + v2 0 2g ) donde a es a atura constante de pano horizonta de puntos de parada de movimiento, en e que toda a energía de punto es potencia. Retomando a soución de apartado se tiene: t t 0 = ± 1 u r (ξ) dξ 2g a z(ξ) u 0 Las souciones de a ecuación z(u) = a proporcionan os puntos de parada de movimiento por a curva. E tiempo de acceso a punto de parada correspondiente a u = u z(u ) = a se define mediante a siguiente integra impropia: T 1 u = (±) 2g u 0 r (ξ) dξ a z(ξ) cuya convergencia depende de orden de a raíz de denominador en u : a z(u) = (u u ) β φ(u) φ(u ) 0 que es finito cuando es a integra impropia es convergente (β < 2) e infinito si es divergente (β 2). Para e caso convergente, e punto de parada es de cambio de sentido si β = 1 y de parada perpetua si 1 < β < Ejempo: Pénduo simpe Consiste en e movimiento de una partícua pesada de masa m por una circunferencia isa contenida en un pano vertica. Supongamos que a circunferencia se define mediante as ecuaciones x 2 + z 2 = 2, y = 0, donde Oz es a vertica ascendente. Sin pérdida de generaidad 2, se consideran as siguientes condiciones iniciaes: t = t 0 : r 0 = k, v 0 = v 0 ı E potencia para cuaquier partícua pesada en ese sistema de referencia vae V = mgz. Eigiendo como coordenada generaizada e ánguo θ que e radio vector de a partícua forma con a vertica descendente se tiene: z = cosθ, V(θ) = mgcosθ (θ [ π,π]) 2 Se demostrará que cuaquier condición inicia puede ser un estado anterior o posterior de una como a que se pantea

7 y as condiciones iniciaes quedan como sigue: t = t 0 : θ 0 = 0, θ0 = v 0 La constante de integración asociada a a conservación de a energía mecánica se escribe de a siguiente forma: T +V = E = 1 2 mv2 0 mg = mga (a = + v2 0 2g ) donde z = a es e pano de puntos de parada de movimiento y a integra de a energía conduce a: t t 0 = ± 2g θ 0 dθ a +cosθ E diagrama energético en variabes adimensionaes (θ, Ṽ(θ) = cosθ) (ver Figura 1) indica que hay cuatro tipos diferentes de movimientos en función de Ẽ = a/: caso coor atura veocidad Movimiento 1) rojo a = v 0 = 0 Reposo (Equiibrio estabe) 2) naranja < a < 0 < v 0 < 2 g Libración 3) verde a = v 0 = 2 g Tendencia asintótica 4) azu a > v 0 > 2 g Rotación E espacio de fases de un sistema mecánico de n coordenadas generaizadas es un espacio 2n-dimensiona donde cada dimensión está asociada a una de as variabes hamitonianas de sistema (coordenadas y veocidades generaizadas). E diagrama de fases es a representación de as trayectorias en e espacio de fases considerado como referencia cartesiana. Para e pénduo simpe es un sistema cartesiano bidimensiona de ejes (θ, θ) (ver Figura 1). La ecuación que proporciona as trayectorias en e pano de fases es: θ = 2g θ = ± a +cosθ La reacción norma se puede cacuar en función de a posición de a partícua entrando con a ecuación de a energía en a componente según a norma principa de a ecuación de cantidad de movimiento: N mgcosθ = m v2 N +mg z = m2g mg (a z) N(z) = (2a 3z) Si a igadura es uniatera, existe a posibiidad de desprendimiento de a partícua cuando a norma cambie de signo, o que se produce en a cota de desprendimiento z d = 2a/3. Casos: 1. a 0 (0 v 0 2g) z d a: La cota de desprendimiento está por encima de pano de puntos de parada. No puede haber desprendimiento < a 3 ( 2g < v 2 0 5g) z d < a: La cota de desprendimiento está por debajo de pano de puntos de parada. Hay desprendimiento < a ( 5g < v 2 0 ) z d > : No hay desprendimiento, porque a cota de desprendimiento está por encima de a posición más ata de pénduo.

8 Diagrama Energetico de Penduo Simpe 2 Ṽ,Ẽ θ Pano de Fases de Penduo Simpe 1.5 θ θ Figura 1: Diagrama energético y Diagrama de fases de pénduo simpe