Dinámica Relativa. 1. Introducción Objetivo de la Dinámica Relativa Planteamientos posibles... 2

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1 Índice Dinámica eativa 1. Introducción Objetivo de a Dinámica eativa Panteamientos posibes Movimiento eativo Ecuación de cantidad de movimiento de a partícua Nomencatura Anaogía de as ecuaciones de cantidad de movimiento Anáisis de dependencias de as fuerzas de inercia Caracterización de as referencias inerciaes Características de as fuerzas de inercia Ecuación de momento cinético en e movimiento reativo Ecuación de a energía en e movimiento reativo Ecuaciones universaes de movimiento reativo educción de as fuerzas de inercia en un sóido Estática eativa: Equiibrio reativo a a referencia no inercia Movimiento reativo a a superficie terrestre Definiciones y Sistemas de referencia Dinámica de punto en as proximidades de Tierra Hipótesis simpificativas Fuerzas que actúan en e probema Ecuación Equiibrio reativo a a superficie terrestre Definiciones de pomada, vertica y atitudes Ecuaciones de equiibrio: desviación de a vertica y peso específico Hipótesis de Tierra con simetría esférica Soución anaítica aproximada Aproximación de primer orden Peso específico en una atitud en función de ecuatoria Separación de a vertica en a caída ibre de os graves Probema matemático Soución exacta Soución aproximada Pénduo de Foucaut Probema matemático Soución aproximada Cácuo de a tensión Cácuo de a posición Movimiento respecto a triedro orbita 14

2 1. Introducción 1.1. Objetivo de a Dinámica eativa Se pretende anaizar e movimiento de un sistema materia X(i = 1,...,N) respecto a un sistema de referencia no inercia S que posee un movimiento conocido respecto a otro inercia S 1. E movimiento S /S 1 se conoce a través de as dos funciones vectoriaes siguientes: O 1 X(i = 1,...,N) x i r i O M i 1 v O 1 (t) ω 1(t) 1.2. Panteamientos posibes Figura 1: Situación genera 1. Se pantean as ecuaciones de a Dinámica que rigen e movimiento de sistema respecto a a referencia inercia y se trasforman os resutados usando as reaciones cinemáticas de composición de movimientos. Con a terminoogía habitua de a composición de movimientos de a Cinemática e movimiento resueto es e absouto (X/1) y, como se conoce e movimiento de arrastre (/1), fácimente se cacua e movimiento reativo (X/). 2. Se pantean as ecuaciones de a Dinámica que rigen e movimiento de sistema con respecto a a referencia no inercia directamente (X/) usando previamente as reaciones cinemáticas de composición de movimientos en as ecuaciones. Es este segundo tipo de panteamiento e que nos ocupa en este tema. 2. Movimiento eativo 2.1. Ecuación de cantidad de movimiento de a partícua Sea a partícua i de masa m i y situada en e punto M i (sóido 2): ECM en e movimiento absouto m i γ 21 i = F i (1) Composición de aceeraciones ineaes γ 21 i = γ 2 i + γi 1 +2 ω 1 v 2 i (2) ECM en e movimiento reativo m i γ 2 i = F i m i γ 1 i 2mi ω 1 v 2 i (3) 2.2. Nomencatura Terminoogía de a Cinemática habituamente empeada en a ecuación (2): γ 21 i γ 2 i γ 1 i 2 ω 1 v i 2 Aceeración absouta Aceeración reativa Aceeración de arrastre Aceeración de Coriois Terminoogía que introducimos en a Dinámica eativa: Fuerza de inercia de arrastre: Fi IA = m i γ 1 i Fuerza de inercia de Coriois: Fi IC = 2m i ω 1 v 2 i (4)

3 Como e movimiento de arrastre es e movimiento de un sóido se puede escribir: Fuerza de inercia de arrastre: Fi IA = m i { γ O 1 +ᾱ 1 OM i + ω 1 ( ω 1 OM i )} (5) 2.3. Anaogía de as ecuaciones de cantidad de movimiento La única finaidad de a introducción de fuerzas de inercia es conseguir que a ecuación que gobierna e movimiento reativo (1) tenga a misma estructura que a ecuación de movimiento absouto (3). m i γ i 2 = F i + F i I 2.4. Anáisis de dependencias de as fuerzas de inercia En as fuerzas de inercia definidas por as ecuaciones (4) y (5) intervienen as siguientes funciones conocidas ω 1, γ 1 i,ᾱ 1 y as siguientes incógnitas OM i, v 2 i. Es evidente que estas dos útimas no son independientes. Si para simpificar amamos a vector de posición de a partícua i-ésima en S x i = OM i se tiene que x i = d xi dt = v 2 i. F IA i = mi { γ 1 O + ᾱ }{{}}{{} 1 OM }{{} i + ω 1 ( ω }{{} 1 OM }{{}}{{} i )} (t) (t) x i (t) (t) x i F IC i = F 2mi ω }{{} 1 v 2 i I i = F I i ( xi, x i,t) }{{} (t) x i Las fuerzas de inercia se asemejan a as fuerzas directamente apicadas porque son conocidas a priori en función de: 1. a posición x i 2. a veocidad reativa x i 3. e tiempo ( eementos conocidos de movimiento de arrastre: ω 1 (t), v O 1 (t)) 2.5. Caracterización de as referencias inerciaes La referencia S es inercia si as fuerzas de inercia son nuas para toda partícua de sistema y en todo instante: Fi IA = F i IC =, i X, t F i IC, i, t ω 1 (t) ᾱ 1 (t) (6) F i IA, i, t (6) γ 1 O (t) v 1 O (t) = CTE (7) S es inercia si tiene un movimiento reativo a S 1 (inercia) de trasación pura y uniforme (a veocidad constante) Características de as fuerzas de inercia Las fuerzas de inercia se consideran en Mecánica Newtoniana fuerzas ficticias por contraposición a as fuerzas reaes por os siguientes motivos: No están asociadas a ninguna de as interacciones fundamentaes de a Naturaeza (atómica fuerte, atómica débi, gravitatoria, eectromagnética) No obedecen a a tercera ey de Newton de acción-reacción Varían si se cambia de referencia no inercia (fuerzas de referencia)

4 2.7. Ecuación de momento cinético en e movimiento reativo Premutipicando a ecuación de cantidad de movimiento (3) vectoriamente por OM i se obtiene a ecuación de Momento Cinético respecto a origen O en e movimiento reativo a una referencia no inercia: OM i m i γ i 2 = d(omi m i v i 2 ) dt = d( h i O ) 2 = OM dt i F i +OM i F I i (8) 2.8. Ecuación de a energía en e movimiento reativo Mutipicando a ecuación de cantidad de movimiento (3) escaarmente por v 2 i se obtiene a ecuación de a Energía en e movimiento reativo a una referencia no inercia: m i v 2 i γi 2 = mi v 2 i d vi 2 = d( 1 2 mi v 2 i 2) = dti 2 = v 2 i dt dt dt F i + v 2 i F IA i (9) 2.9. Ecuaciones universaes de movimiento reativo Las ecuaciones universaes de a Dinámica en e movimiento reativo a una referencia no inercia se obtienen de forma anáoga a as de movimiento respecto a una referencia inercia: mediante suma de as ecuaciones de cantidad de movimiento (3), momento cinético (8) y energía (9) respectivamente de todas as partícuas de sistema. Sean X e identificador de sistema genera de partícuas cuyo movimiento estamos anaizando, m = m i a masa tota y x i = OM i, x i = d xi dt = v 2 i a notación cinemática simpificada. i X ECM: m γ G X/ = i X( F i + F i I ) EMC: d( h O ) X/ dt = i X( x i F i + x i F I) i EE: dt X/ dt = i X( x i F i + x i F i IA) 2.1. educción de as fuerzas de inercia en un sóido IA = m γ G 1 ( M G ) IA = Ī G.ᾱ 1 ω 1 (Ī G. ω 1 ) IC = 2m ω 1 v G 2 ( M G ) IC = 2 ω 2 ( PG. ω 1 ) Estática eativa: Equiibrio reativo a a referencia no inercia Buscamos as souciones estacionarias de vaor nuo de probema de a Dinámica eativa de una partícua formuado en (3), es decir, a existencia de posiciones en as que, si dejamos a partícua con veocidad reativa nua, ésta permanecerá en reposo en eas indefinidamente. eposo: v 2(t) i = x(t) x(t) = x (vector constante) Posiciones de equiibrio reativo: { x F( x,,t)+ F IA ( x,,t) =, t > t } Puede comprobarse fácimente que, independientemente de número de igaduras que actúen sobre a partícua (,1,2), e probema anterior está constituido por e mismo número de ecuaciones y de incógnitas (con as hipótesis de cierre de mismo habituaes).

5 3. Movimiento reativo a a superficie terrestre 3.1. Definiciones y Sistemas de referencia Ecíptica Trayectoria de centro de masas de sistema Tierra-Luna. Pano ecíptico Pano que contiene a a Ecíptica. z 1 z 1 z Pano ecuatoria Pano centra perpendicuar a a veocidad anguar de a Tierra. ecíptica ǫ Ecuador Paraeo intersección de pano ecuatoria con a Tierra. O 1 y 1 Dirección equinoccia Intersección de os panos ecuatoria y ecíptico (recta que une os nodos de So respecto a pano ecuatoria). Equinoccio verna Instante en e que e So pasa por su nodo ascendente (atraviesa e pano ecuatoria de sur a norte). x 1 x 1 O ǫ ω t ω t x Figura 2: eferencias úties y y 1 Sistema Heiocéntrico Inercia: Un sistema de referencia con origen en e centro de masas de sistema soar y ejes coordenados apuntando a direcciones fijas (estreas ejanas). SHI {O 1 ;x 1,y 1,z 1 } O 1 G SS Es costumbre eegir a siguiente determinación: O 1 x 1 y 1 Pano de a Ecíptica. O 1 x 1 ( ) Dirección equinoccia y sentido verna. Sistema Geocéntrico Inercia: Un sistema de referencia con origen en e centro de masas de a Tierra y ejes coordenados apuntando a direcciones fijas (estreas ejanas). SGI {O;x 1,y 1,z 1 } O G Es costumbre eegir a siguiente determinación: Ox 1 y 1 Pano Ecuatoria. Ox 1 ( ) Dirección equinoccia y sentido verna. Sistema Geocéntrico Ligado: Un sistema de referencia con origen en e centro de masas de a Tierra y ejes coordenados rígidamente unidos a a Tierra. SGL {O;x,y,z} O G Es costumbre eegir a siguiente determinación: Oxy Pano Ecuatoria. Ox Corta a meridiano de Greenwich.

6 3.2. Dinámica de punto en as proximidades de Tierra Sea una partícua M de masa m sometida a un sistema de fuerzas. Consideremos a a partícua M como sóido 2, a a Tierra (SGL) como sóido y a SHI como sóido 1. Se trata de escribir as ecuaciones de a Dinámica de movimiento 2/ conocido e / Hipótesis simpificativas E movimiento terrestre se conoce a través de v O 1 (t) y ω 1(t), siendo ésta útima ta que: ᾱ 1 = ᾱ ω 1 = ω ω k = CTE Fuerzas que actúan en e probema Atracción gravitatoria terrestre específica 1 : Ā ( x) Atracción gravitatoria específica de resto de os cuerpos ceestes: Ā ( x,t) esto de as fuerzas reaes: F( x, x,t) Fuerza de inercia de arrastre: FIA = m{ γ 1 O +ω2 k ( k x)} Fuerza de inercia de Coriois: FIC = 2mω k x ( x = d x dt ) Las atracciones gravitatorias responden a a ey de Gravitación Universa de Newton, es decir, son proporcionaes a a masa e inversamente proporcionaes a cuadrado de a distancia Ecuación Ecuación resutante: m x = F( x, x,t)+mā ( x)+mā( x,t) m γ O 1 mω2 k ( k x) 2mω k x Panteamos a ECM de movimiento /1 (/ ): M γ O 1 = M {Ā(,t)+ ւ} Sustituyendo este resutado en a ecuación anterior: m x = F( x, x,t)+mā ( x)+m[ā( x,t) Ā(,t)] mω }{{} 2 k ( k x) 2mω k x Perturbación unisoar Los cuerpos ceestes que más infuencia tienen son e So ( ), por ser muy masivo aunque esté muy distante, y a Luna ( ), porque aún siendo poco masivo está bastante próxima a a Tierra. Por esta razón a término de a ave se e denomina perturbación unisoar. En os fenómenos que van a estudiarse a aceeración que provoca es mucho menor que a de otros términos, por o que se despreciará. Sin embargo, en fenómenos como as mareas es e término mas significativo. La ecuación resutante de despreciar a perturbación unisoar será: m x = F( x, x,t)+mā ( x) mω2 k ( k x) 2mω k x 1 por unidad de masa, en nuestro contexto

7 4. Equiibrio reativo a a superficie terrestre esover e probema de equiibrio de un pénduo en e sistema de referencia geocéntrico igado Definiciones de pomada, vertica y atitudes Geoide es una superficie equipotencia terrestre de referencia (G) Superficie topográfica es a forma rea de a Tierra (S) Pomada es un pénduo en su posición de equiibrio estabe en as proximidades de a Tierra. Vertica oca es a dirección definida por a pomada en cada punto: v + = T/ T. Latitud astronómica es e ánguo que forma a vertica oca y e pano ecuatoria:φ = arcsin( k v + ). Latitud geocéntrica es e ánguo que forma e radio-vector de a partícua con e pano ecuatoria: φ = arcsin( k x/ x ). Latitud geodésica es e ánguo que forma a norma a a superficie terrestre de referencia (geoide) con e pano ecuatoria: φ g = arcsin( k N G ). Desviación de a vertica es e ánguo que forman a vertica astronómica y a norma a a superficie terrestre de referencia (geoide): α = arccos( v + N G ) Ecuaciones de equiibrio: desviación de a vertica y peso específico Fuerzas que actúan en e equiibrio de a pomada: Tensión de hio T Atracción gravitatoria específica Ā ( x) epusión centrífuga mω 2 k ( k x) Ecuación de equiibrio: T +mā ( x) mω2 k ( k x) = Se define e peso de una partícua como a fuerza que equiibra a a tensión de hio de a pomada: P = T = mā +mω2 M M = m{ā ( x)+ω2 M M} = mḡ M PN M Ā ḡ φ φ G α φ g ω 2 M M ϕ(α) siendo M a proyección ortogona de punto M sobre e eje poar y ḡ e peso específico. Figura 3: Tierra genérica Fata por definir un modeo geométrico-másico de Tierra para determinar a atracción terrestre y otras reaciones geométricas entre atitudes. Así podríamos cacuar e ánguo que forma a atracción gravitatoria terrestre con a vertica descendente: ϕ(α) = arccos( v + Ā/ Ā ). Supongamos todo contenido en e pano meridiano: α = arccos( v + N G ) = φ φ g Proyectando a ecuación de equiibrio de a pomada en a direcciones vertica y en su perpendicuar y considerando que M M = x cosφ y que ḡ = g v + se tiene: g = A ( x)cos(ϕ(α)) ω 2 x cosφ cosφ = A ( x)sin(ϕ(α)) ω 2 x cosφ sinφ que constituye un sistema de 2 ecuaciones agebraicas (aunque trascendentes) con 2 incógnitas para obtener e peso específico g y a desviación de a vertica α.

8 4.3. Hipótesis de Tierra con simetría esférica Adoptemos a hipótesis de que a Tierra tiene simetría esférica (geométrica y másica). Para este modeo a atitud geocéntrica y geodésica coinciden y por tanto, a desviación de a vertica resuta que es e ánguo entre a vertica astronómica y e radio vector. adio Masa M } Donde as constantes de modeo son: Ā = µ x 3 x, G = 6,67259(±,3) 1 11 Kg 1 m 3 s 2 = 6378,145 Km M = 59, Kg ω = 7, s 1 µ = 3, Km 3 s 2 Con este modeo se tiene que: ϕ(α) = α φ = φ α A (r) = µ r 2 µ = G(M +m) m M GM M G PN Ā α φ φ ḡ M ω 2 M M Figura 4: Modeo de Tierra esférica Proyectando as ecuaciones en a dirección vertica y en su perpendicuar se tiene: g = µ r 2 cosα rω2 cos(φ α)cosφ = µ r 2 sinα rω2 cos(φ α)sinφ que constituye un sistema de 2 ecuaciones agebraicas (pero trascendentes) con 2 incógnitas: g = g(r, φ) y α = α(r,φ). Las ecuaciones están acopadas y para cacuar a soución exacta se exige resoución numérica. Sobre a misma superficie terrestre se tiene: g = µ cosα 2 ω 2 cos(φ α)cosφ = µ [ cosα 3ω2 cos(φ α)cosφ ] (1) 2 µ sinα = 3 ω2 µ cos(φ α)sinφ (11) 4.4. Soución anaítica aproximada Aproximación de primer orden Si definimos e parámetro: ǫ = 3 ω2 µ 3, se desprende de a ecuación (11) que α va a ser un ánguo pequeño. Se busca a soución para a desviación de a vertica mediante un desarroo en potencias de ǫ: α = α i ǫ i = α +α 1 ǫ+... i=

9 si se retienen os dos primeros términos y se introducen en a ecuación (11) resuta: sinα cos(ǫα 1 )+cosα sin(ǫα 1 )+o(ǫ) = ǫsinφ [ cosφcosα +sinφsinα o +o(ǫ) ] Iguaando términos de mismo orden: sinα = α = ǫα 1 = ǫcosφsinφ+o(ǫ) α 1 = cosφsinφ con o introducida en (1) resuta: } α(φ,ǫ) = ǫcosφsinφ+o(ǫ) (12) g(φ,ǫ) = µ { 1 ǫcos 2 φ+o(ǫ) } (13) 2 E peso específico es máximo en os poos y mínimo en e Ecuador. Para que se anuase e peso específico en e Ecuador debería satisfacerse: g(,ǫ ) = ǫ = 1 ω = µ 3 17ω Si a Tierra girarse 17 veces más aprisa de o que o hace as partícuas situadas en e Ecuador se podrían escapar ( anios de Saturno?) Peso específico en una atitud en función de ecuatoria g (,ǫ) = µ (1 ǫ) 2 g (φ,ǫ) = µ [1 ǫ(1 sin 2 φ)+o(ǫ)] = µ (1 ǫ)+ µ ǫsin 2 φ+o(ǫ) = = µ (1 ǫ)[1+ ǫ 2 1 ǫ sin2 φ+o(ǫ)] = = µ (1 ǫ)[1+ǫ(1+ǫ+o(ǫ))sin 2 φ+o(ǫ)] = 2 = g (,ǫ)(1+ǫsin 2 φ+o(ǫ))

10 5. Separación de a vertica en a caída ibre de os graves Se pretende resover e movimiento de una partícua pesada M de masamque se deja con veocidad nua a una atura H de a superficie terrestre (caída ibre de os graves). Para anaizar este probema se utiiza un sistema de referencia que introducimos a continuación: Sistema Topocéntrico Ligado Un sistema de referencia con origen en un punto de a superficie terrestre y ejes coordenados rígidamente unidos a a Tierra. STL {P;x,y,z} G P = Es costumbre eegir a siguiente determinación: Oz Ox Vertica ascendente Contenido en e pano meridiano oca y hacia e sur En este sistema a veocidad anguar será e vector constante ω = ω ( cosφ ı+sinφ j) y as condiciones iniciaes son: r() = H k r() = 5.1. Probema matemático La ecuación que rige e fenómeno será: r = g k 2 ω r Mediante un integración en e tiempo se obtiene r = gt k 2 ω r + C Para obtener a constante de integración particuarizamos a ecuación anterior en e instante inicia t = : = 2 ω r()+ C C = 2 ω r() y queda finamente: (14) r = gt k 2 ω [ r r()] (15) Se usan as siguientes magnitudes características y variabes adimensionaizadas para reescribir a ecuación anterior: c = H t c = Ω 1 H = g r = H x t = τ Ω ǫ = ω Ω u = ω ω y aquea resuta: d x dτ = τ k 2ǫ u [ x x()] (16) que es un SEDO de primer orden inea y de coeficientes constantes en x, a ser integrada con as condiciones iniciaes: x() = k d x dτ () =

11 5.2. Soución exacta Sea x = ξ ı+η j+ζ k. dη dτ dξ dτ 2ǫ[η η()]sinφ = (17) +2ǫ{[ξ ξ()]sinφ+[η η()]cosφ} = (18) dζ dτ 2ǫ[ξ ξ()]sinφ = τ (19) Se deriva con respecto a τ a ecuación (18) y se sustituyen dξ dζ de (17) y de (19) y obtenemos una dτ dτ EDO de segundo orden inea y de coeficientes constantes para obtener η = η(τ). Este resutado se introduce en (17) y (19) para obtener respectivamente ξ = ξ(τ) y ζ = ζ(τ) Soución aproximada Buscamos a soución como desarroo en potencias de parámetro pequeño ǫ: x = x +ǫ x 1 +ǫ 2 x 2... Las condiciones iniciaes en os distintos ordenes son: x () = k x () = x 1 () = x 1() = x 2 () = x 2 () = La soución para e orden cero (ǫ = ) es a cásica de caída ibre de os graves sin rozamiento: ǫ = : x (τ) = (1 τ2 2 ) k La soución de orden uno se ogra introduciendo x = (1 τ2 2 ) k+ǫ x 1 en a ecuación (16) y resoviendo en x 1. cuya soución es: τ k +ǫ d x 1 dτ d x 1 dτ = τ k 2ǫ u [( 1 τ2 2 ) k +ǫ x 1 k ǫ x 1 ()] = τ 2 u k x 1 (τ) = τ3 3 ( u k) La soución de orden dos se ogra introduciendo x 1 = τ3 3 ( u k)+ǫ x 2 en a ecuación (16) sin os términos de orden cero y resoviendo en x 2. τ 2 ( u k)+ǫ d x 2 dτ +2ǫ u [τ3 3 ( u k)+ǫ x 2 ] = τ 2 ( u k) d x 2 dτ = 2 τ3 3 u ( u k)

12 cuya soución es: x 2 (τ) = τ4 6 u ( u k) La soución competa hasta orden dos será: x(τ) = (1 τ2 2 ) k +ǫ τ3 3 ( u k) ǫ 2τ4 6 u ( u k) (2) u k = cosφ j u ( u k) = cosφsinφ ı cos 2 φ k que en variabes dimensionaes se corresponde con: x(t) = 1 6 gω2 t 4 cosφsinφ y(t) = 1 3 gωt3 cosφ z(t) = H 1 2 gt gω2 t 4 cos 2 φ De donde se desprende que x << y << z 6. Pénduo de Foucaut Se pretende resover e movimiento de un pénduo de masa m y ongitud respecto a sistema topocéntrico igado, en cuyo origen se encuentra amarrado Probema matemático Las fuerzas que actúan son as mismas de probema de equiibrio de a pomada. La ECMD de Pénduo de Foucaut es: m x = T x + P 2m ω x (21) y e punto debe satisfacer a igadura geométrica siguiente: x x 2 = (Superficie esférica de centro O y radio ) (22) Las condiciones iniciaes son: x = (sinθ ı cosθ k) x = 6.2. Soución aproximada Para pequeñas desviaciones de a vertica se puede hacer a siguiente aproximación: x = k + t, t (23) Definamos e parámetro pequeño ǫ = t 1. Si introducimos a aproximación (23) en a ecuación (22) se tiene: }{{} t t + 2 2( k t) 2 = }{{} k t t Π{ k ( x k) = } t = x ı+y j. ǫ 2 2 ǫ 2

13 y en as condiciones iniciaes que θ 1 nos queda: t sinθ ı = x ı t = Sustituyendo a aproximación (23) en a ECMD de pénduo de Foucaut (21) resuta: m t = T t k mg k 2m ω t (24) Cácuo de a tensión Mutipicando a ecuación (24) escaarmente por k nos proporciona: T = mg 2mωẏcosφ (25) Cácuo de a posición Sustituyendo a expresión anterior (25) en (24) y simpificándoa y organizándoa obtenemos: t+2 ω t+ g t = que es un SEDO de segundo orden, inea y de coeficientes constantes. La soución para e caso de Tierra no giratoria (ω = ) es: g g t = Ācos( t)+ Bsin( t) que tiene trayectoria eíptica en e STL que representa a soución genera de as pequeñas osciaciones de pénduo esférico. Para e caso de Tierra giratoria (ω ) si separamos sus dos componentes escaares se ve que as EDOs están acopadas y que es úti integraras conjuntamente usando a variabe compeja z = x+iy: ẍ 2ωẏsinφ+ g x = (26) ÿ +2ωẋsinφ+ g y = (27) (26)+i(27) z +i2ωsinφż + g z = (28) Que es una EDO de segundo orden inea y de coeficientes constantes en a variabe compeja z. La soución de a ecuación característica de a misma es: r = iωsinφ± ω 2 sin 2 φ g ω 2 g i ( g ) ωsinφ± y su soución es: z(t) = e iωtsinφ[ g g Ācos( t)+ Bsin( t)] donde as constantes de integración compejas son: Ā = c 1 +id 1 B = c2 +id 2 Particuarizando en e instante inicia obtenemos as constantes de integración: z() = x = Ā } { ż() = = iωx sinφ+ c1 = x d 1 = g B ωsinφ c 2 = d 2 = x g

14 La soución obtenida puede ponerse como: z(t) = e iωtsinφ z(t) [ g z(t) = x cos( t)+iω g g sinφsin( t)] con o que a trayectoria se interpreta como a un punto que describe una eipse en e pano compejo z, que a su vez gira arededor de origen en sentido antihorario con veocidad anguar ωsinφ respecto a pano compejo igado a STL. Las ecuaciones paramétricas de a trayectoria en e sistema STL son: Propiedad: b a = ωsinφ 2π Ω = Ω 2π x(t) = x [ cos( g y(t) = x [ cos( g ωsinφ = t)cos(ωtsinφ) ωsinφ g t)sin(ωtsinφ) ωsinφ g T(pénduo simpe) T(rotación pénduo de Foucaut) g sin( t)sin(ωtsinφ)] (29) g sin( t)cos(ωtsinφ)] (3) La razón entre os semiejes de a eipse es igua a a razón de os periodos de pénduo simpe y de rotación de pano giratorio. 7. Movimiento respecto a triedro orbita x 1 O 1 z 1 r M z Figura 5: Movimiento reativo a triedro orbita x y O y 1 x Se define e triedro orbita Oxyz de un objeto (secundario) en órbita arededor de otro (primario) de a siguiente forma: Tiene origen O en e centro de masas de secundario Tiene eje Ox en dirección de a vertica eno y sentido cenita Oz es perpendicuar a a órbita con e sentido de momento cinético de secundario en O 1 E estado cinemático de objeto que sigue una órbita circuar de radio arededor de un primario de constante gravitatoria µ es e siguiente: µ r O = u r v O = u θ γ O = µ 2 u r Por o tanto, e estado cinemático de su triedro orbita asociado será: µ v 1 O = j γo 1 = µ µ 2 ı ω 1 = 3 k ᾱ 1 = Sea x = x ı + y j + z k e vector de posición de una partícua M de masa m respecto a triedro orbita. La Dinámica eativa a triedro orbita de M está regida por a siguiente ecuación: m x = mµ O 1M O 1 M 3 + F IA + F IC (31)

15 donde O 1 M = O 1 O+OM = (x+) ı+y j+z k. Las expresiones de as fuerzas de inercia de arrastre y de Coriois son: F IA = m[ γ 1 O + ᾱ 1 OM + ω 1 ( ω 1 OM)] = m µ 3[(+x) ı+y j] F IC = 2m ω 1 v M 2 = 2m µ 3[ẏ ı ẋ j] Desarroo en potencias de ǫ = x/: O 1 M = (+x) 2 +y 2 +z 2 1+2ǫ O 1 M 3 = 3 (1+2ǫ) 3/2 3 (1 3ǫ) F G = mµ (1 3ǫ) 3 F IA = mµ [ 3 F IC = 2mω ẏ ẋ + x+ y z x y ] = mµ 3 x+ 3x 3ǫx y z = mµ 3 2x y z Ecuación resutante: x = ẍ ÿ z = ω2 3x z } {{ } gradiente gravitatorio +2ω ẏ ẋ que tiene soución anaítica de a forma x = x(t; x, x ): x(t) = ẋ ω ( y(t) = z(t) = ż ω 6x + 4ẏ ω ( sin(ωt) ) sin(ωt)+ 2ẋ ω sin(ωt)+z 3x + 2ẏ ω ) ( cos(ωt) + ( cos(ωt) (6ωx +3ẏ )t+ cos(ωt) 4x + 2ẏ ) ω y 2ẋ ) ω