TIRO CON RESISTENCIA

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1 TIRO CON RESISTENCIA Índice 1. Planteamiento del problema 1. Replanteamiento óptimo y resolución del problema 3. Análisis cualitatio del comportamiento de la hodógrafa 3.1. Puntos singulares de la hodógrafa Monotonía Comportamiento de ϕ Comportamiento de η ( ) Isoclinas del diagrama de la hodógrafa Isoclinas de pendiente nula ( η = 0) Separatrices del diagrama de la hodógrafa Tendencias Moimiento ertical con resistencia Moimiento ertical descendente Moimiento ertical ascendente Planteamiento del problema Sea una partícula de masa m que se muee libremente por el espacio E 3 sometida a dos fuerzas: Un campo graitatorio paralelo y uniforme modelizado por P = mg k Una resistencia modelizada por D() = mgφ(), donde φ() satisface tres condiciones: a) 0 φ(0) < 1, b) R : φ () > 0 y c) λ R : φ(λ) = 1 Inicialmente se tienen las siguientes condiciones iniciales: t = t 0 : r = 0, = 0 (cos cosθ 0 ı+cos sinθ 0 j+sinθ 0 k) Proyectando la ecuación de cantidad de moimiento en la base cartesiana, obtenemos: m γ ı = F ı mẍ = mgφ() ẋ m γ j = F j mÿ = mgφ() ẏ m γ k = ż F k m z = mgφ() mg (3) Diidiendo las dos primeras se tiene: dẋ ẋ = dẏ ẏ = C 1 ẋ = tan(θ 0 )ẋ y = tan(θ 0 )x+ ẏ C Trayectoria contenida en un plano ertical que pasa por Oz (1) ()

2 . Replanteamiento óptimo y resolución del problema Elegimos un sistema de referencia con origen en la posición inicial y tal que la elocidad inicial esté contenida en el plano y = 0. Inicialmente se tienen las siguientes condiciones iniciales: t = t 0 : x 0 = 0, z 0 = 0, ẋ 0 = 0 cos, ż 0 = 0 sin Usamos las ecuaciones intrínsecas del moimiento: m γ t = F t m d dt = mg[φ()+sinϕ] m γ n = F n m ρ = mgcosϕ y la relación de la geometría diferencial: ρ = ds Operando resulta: d = g[φ()+sinϕ] dt = gcosϕ dt Diidiéndolas queda: d = [φ()+sinϕ] cosϕ z O 0 ϕ0 n D P C t ϕ x (4) (5) (6) que es la ecuación diferencial de la hodógrafa en polares, a integrarse con ϕ = : = 0. Una ez conocida la hodógrafa = (ϕ), la trayectoria se calcularía mediante: dx = (ϕ)cos(ϕ)dt (5) = 1 g (ϕ) dz = (ϕ)sin(ϕ)dt (5) = 1 g (ϕ)tan(ϕ) x(ϕ) = 1 g z(ϕ) = 1 g ϕ (η) (7) ϕ (η)tan(η) (8) 3. Análisis cualitatio del comportamiento de la hodógrafa Adimensionalizamos de las ecuaciones (4, 5) mediante el cambio de ariables: η = λ, τ = g λ t. Así, nos queda: dτ = [φ(η)+sinϕ] dτ = cosϕ η (9) (10) La ecuación (6) que rige el comportamiento de la hodógrafa, escrita en ariables adimensionales es: = η[φ(η)+sinϕ] (11) cosϕ Para este análisis cualitatio amos a representar las coordenadas polares de la hodógrafa adimensionalizadas, ϕ yη =, en abscisas y ordenadas de un plano cartesiano, respectiamente. λ

3 La hodógrafa quedará representada en dicho plano por una cura de la región definida por: 0 η ( 0 ) π ϕ π 3.1. Puntos singulares de la hodógrafa Hay un único punto singular del plano de fases, que anula simultáneamente los segundos miembros de (9, 10): ϕ = π,η = 1 ( = λ). Se puede comprobar que es un foco estable, sin más que hacer una análisis de estabilidad lineal del mismo. Haciendo un desarrollo lineal alrededor del punto singular resulta: { } { d η = } 1 φ (1)(η 1)+O((η 1) )+ 1+O((ϕ+ π ) ) dτ ϕ (ϕ+ π)+o((ϕ+ π = )3 ) [ ]{ } φ (1) 0 η ϕ+ π Los autoalores de la matriz diagonal serán: l 1 = φ (1) < 0 y l = 1 < 0. Es un nodo estable (todas las trayectorias acaban en él). 3.. Monotonía Comportamiento de ϕ dτ = cosϕ η ϕ es siempre decreciente a menos que inicialmente sea ± π. Además decrecerá hasta que se uela anular la deriada, en ϕ π +. Vamos a plantear si tarda un tiempo finito o no en hacerlo. Considerando que la eolución de todas las trayectorias acaban en el nodo estable se tiene: lím t(ϕ) t 0 = 1 ϕ π g lím ϕ π π dξ ξ + π ϕ (ξ)dξ cosξ [ DIVERGENTE Por tanto, se pueden distinguir tres formas de eolución: Si = π ϕ(t) = π Si π < < π π < ϕ(t) < π ] β = 1 φ(x) = 1 [1+O(x+ π (x) ) ] (frontera del moimiento ertical descendente) (puntos interiores excepto el final) Si = π π, si < 0 (Moimiento ertical ascendente); ϕ(t) = π π, si = 0 (Punto de retroceso: discont. de salto); π, si > 0 (Moimiento ertical descendente) Comportamiento de η ( ) dτ = [φ(η)+sinϕ] η > 0 ( > 0) creciente, si φ()+sinϕ < 0 Zona [I] η < 0 ( < 0) decreciente, si φ()+sinϕ > 0 Zona [II] η = 0 ( = 0) estacionario, si φ()+sinϕ = 0 Frontera [I]/[II]

4 3.3. Isoclinas del diagrama de la hodógrafa Isoclinas de pendiente nula ( = η = 0) η = 0 ( = 0); φ(η)+sinϕ = 0 (Frontera [I]/[II]) 3.4. Separatrices del diagrama de la hodógrafa Hay una cura separatriz en el interior de la zona [II] que separa los casos en los que la elocidad es estrictamente decreciente ([ II](a)) de aquellos en los que no lo es ([ II](b)). Se representa en la figura y es una cura que entra en el nodo estable (ϕ = π,η = 1) con pendiente nula desde la zona [II]. Como este punto es singular, para capturar esta cura hay que usar la técnica de tanteo/error y probar a imponer condiciones en un punto próximo al singular y er como se comporta cuando se tiende al mismo. Figura 1: COORDENADAS POLARES DE LA HODÓGRAFA EN EL PLANO CARTESIANO 3.5. Tendencias 1. La elocidad está acotada superiormente: { creciente y acotada superiormente por λ, si (ϕ0,η 0 ) [I] frontera [I]/[II] acotada superiormente por max( 0,λ), si (,η 0 ) [II] Luego (ϕ) máx(λ, 0 ).. La trayectoria tiene una asíntota ertical: } dx = cosϕdt = dt g cosϕ dx = g x(ϕ) = 1 g lím x(ϕ) = 1 ϕ π g lím ϕ π ϕ ϕ (ξ) dξ (ξ) dξ 1 g máx(λ, 0)( + π )

5 4. Moimiento ertical con resistencia Por definición, se llama moimiento ertical con resistencia al moimiento rectilíneo de una partícula sometida exclusiamente al peso (modelizado como un campo de fuerzas paralelo y uniforme) y a la resistencia aerodinámica. Se comprueba que es un ejemplo típico del caso de integración del moimiento rectilíneo donde la fuerza es solo función de la elocidad, pero amos a abordar su estudio analítico tras el análisis cualitatio del tiro con resistencia, porque ya hemos isto que es un caso particular del mismo con = ± π Moimiento ertical descendente Tomamos un eje cartesiano z de referencia con origen en el punto de lanzamiento (z 0 = 0) y cuya dirección y sentido es la de la elocidad inicial descendente ( k = 0 0 ). Supongamos que la partícula se muee por dicho eje. La cinemática de este moimiento quedará definida por: r = z k, = k, γ = k 0 (para que sea descendente) Es un caso libre (sin ligaduras) y las fuerzas directamente aplicadas en una posición genérica serán: P = mg k D = mgφ() = mgφ() k Como en este moimiento las fuerzas que actúan (peso y resistencia aerodinámica) están contenidas en la dirección del eje, no hay forma de sacar la partícula del mismo, por lo que el moimiento será obligatoriamente rectilíneo. La proyección de la ecuación de cantidad de moimiento (libre) sobre el eje considerado es: m γ G k = FE k = P k + D k m d d = mg mgφ() dt dt = g(1 φ()) La elocidad será decreciente si > λ, creciente si < λ y estacionaria si = λ. Al final, tenderá obligatoriamente hacia λ. Es un caso típico de moimiento rectilíneo con fuerza solo función de la elocidad, cuya solución en forma de cuadraturas ya se hizo definitiamente si 0 λ (φ( 0 ) 1): dt = 1 d g1 φ() dx = dt = 1 g d 1 φ() t t 0 = 1 g z z 0 = 1 g φ(η) η 1 φ(η) Ya se ha isto que la integral del tiempo no conerge cuando la elocidad tiende a su alor límite. Si 0 = λ (φ( 0 ) = 1),(t) λ (moimiento rectilíneo uniforme) 4.. Moimiento ertical ascendente Tomamos un eje cartesiano z de referencia con origen en el punto de lanzamiento (z 0 = 0) y cuya dirección y sentido es la de la elocidad inicial ascendente ( k = 0 0 ). Supongamos que la partícula se muee por dicho eje. La cinemática de este moimiento quedará definida por: r = z k, = k, γ = k 0 (para que sea ascendente)

6 Es un caso libre (sin ligaduras) y las fuerzas directamente aplicadas en una posición genérica serán: P = mg k D = mgφ() = mgφ() k Como en este moimiento las fuerzas que actúan (peso y resistencia aerodinámica) están contenidas en la dirección del eje, no hay forma de sacar la partícula del mismo, por lo que el moimiento será obligatoriamente rectilíneo. La proyección de la ecuación de cantidad de moimiento (libre) sobre el eje considerado es: m γ G k = FE k = P k + D k m d d = mg mgφ() dt dt = g(1+φ()) La elocidad es decreciente (hasta anularse). Es un caso típico de moimiento rectilíneo con fuerza solo función de la elocidad, cuya solución en forma de cuadraturas ya se hizo definitiamente: dt = 1 d g1+φ() dx = dt = 1 g d 1+φ() t t 0 = 1 g z z 0 = 1 g φ(η) η 1+φ(η) El tiempo de ascenso y la altura que alcanza la partícula hasta su parada, comparados con los del caso sin resistencia (φ() 0), serán: T = 1 g H = 1 g φ(η) 1 g η 1+φ(η) 1 g = 0 0 g = T η = 0 g = H 0