PRINCIPIO DE MINIMA ENERGIA POTENCIAL TOTAL

Transcripción

1 Apéndice B Principio de Mínima Energía Potencia Tota B.- Introducción E Método de Rigidez fue desarroado para reticuados basándose en a hipótesis inea para a reación entre fuerzas y despazamientos, a partir de a reación inea: e. t En ese caso se obtuvieron también as ecuaciones de equiibrio: K. P Y os esfuerzos en as barras una vez obtenidos os despazamientos: P K.. t E procedimiento de cácuo se originó en un "razonamiento físico" que permitió determinar en forma expícita os coeficientes de a matriz de rigidez dando despazamientos unitarios a os extremos de a barra y cacuando as fuerzas necesarias en os mismos para mantener e equiibrio. E procedimiento mencionado es correcto siempre que sea aceptabe a hipótesis de ineaidad cinemática (también conocida como ineaidad geométrica). En este apéndice se desarroa e método de rigidez a partir de en un principio energético más genera que permite formuar además de as ecuaciones ya vistas para as hipótesis de pequeñas deformaciones y pequeños giros, as ecuaciones de equiibrio en a configuración deformada, es decir incuyendo os términos no ineaes de as reaciones cinemáticas. PRATO, MASSA --

2 Si bien a hipótesis inea es váida en una gran cantidad de situaciones prácticas de diseño estructura dentro de o que se denomina normamente teoría de primer orden en que as ecuaciones de equiibrio se pantean en e sistema no deformado, existen circunstancias especiaes en que es necesario pantear as condiciones de equiibrio en e sistema deformado. Entre eos están os casos en que se requiere a teoría de segundo orden, según a cua as ecuaciones de equiibrio se formuan en una versión ineaizada de as ecuaciones no-ineaes de equiibrio. Dicha formuación da origen a ecuaciones de equiibrio que son ineaes, pero en as que os coeficientes que componen a matriz de rigidez no son sóo funciones de a geometría y propiedades eásticas de as secciones de as barras, sino también de as cargas axiaes que soportan os miembros de a estructura. Otros casos menos frecuentes deben resoverse en e campo marcadamente no inea, y para obtener as ecuaciones de equiibrio en a configuración deformada resuta muy conveniente utiizar un teorema o principio energético váido para sistemas eásticos que se denomina Principio de a Mínima Energía Potencia Tota (P.M.E.P.T.). B.- Principio de Mínima Energía Potencia Tota Se define como energía potencia tota y se denota con, a a siguiente expresión función de os despazamientos i : Wi (Ec. B.) i i i Wi : Es a energía interna de deformación en función de os despazamientos (o bien, en función de as derivadas de os despazamientos que son as distorsiones,,, etc.) : Es e potencia de as fuerzas exteriores definido como a función ta que, derivada respecto a despazamiento incógnita en e punto de apicación de una fuerza exterior conocida, proporciona e vaor de esta fuerza cambiado de signo; es decir que:,,,..., P P. 3 n i i i (Ec. B.) i i E P.M.E.P.T. estabece que: "de todos os estados de deformación compatibes con os víncuos, e que satisface también as ecuaciones de equiibrio hace mínimo a " equiibrio: Esto equivae a decir que as condiciones para que sea mínimo son as ecuaciones de Wi 0 i i i PRATO, MASSA -- n i,... n P i

3 Wi Pi i (Ec. B.3) La energía interna es una función cuadrática de os despazamientos, (o de sus derivadas respecto a as coordenadas) y e potencia es una función inea. Por o tanto as ecuaciones de equiibrio (Ec. B.3) son ineaes. Para una barra en tracción : Wi. K. e d y dx 0 0 Para una barra en fexión : Wi E I dx E I dx donde "y" es e despazamiento transversa de a barra. (Ec. B.4) En reaidad, as ecuaciones (Ec. B.3) indican sóo que es estacionario. Para demostrar que además de estacionario se trata de un mínimo es necesario demostrar que Wi i. positivo definido. Aunque esta propiedad no será demostrada en forma genera, se puede justificar teniendo en cuenta que a energía de deformación es siempre positiva, y que a matriz de as derivadas segundas de Wi respecto a os despazamientos no es otra cosa que a matriz de rigidez de sistema, que es siempre simétrica y positiva definida dentro de as hipótesis de ineaidad para un sistema estabe. Resuta conveniente destacar que e P.M.E.P.C. * y e P.M.E.P.T. son teoremas energéticos compementarios: equiibrio. E mínimo impica que se cumpen as ecuaciones de equiibrio. E mínimo * impica que se cumpen as ecuaciones de compatibiidad. Se expresa en función de despazamientos y a condición de mínimo garantiza también * Se expresa en función de fuerzas en equiibrio y a condición de mínimo garantiza compatibiidad. De a misma manera que a apicación de P.M.E.P.C. * conduce a Método de as Fuerzas, e P.M.E.P.T. conduce a Método de Rigidez. demostrados. Estos dos principios también pueden ser considerados como teoremas, ya que pueden ser j es PRATO, MASSA -3-

4 B.3- E Método de Rigidez como apicación de P.M.E.P.T. E P.M.E.P.T. estabece que: COMPATIBILIDAD EQILIBRIO MINIMO De modo que será suficiente expresar en función de os despazamientos para que as condiciones de mínimo produzcan as ecuaciones de equiibrio en función de os despazamientos. Hay que destacar que e P.M.E.P.T. no es una "demostración" de método de rigidez. Simpemente provee una forma sistemática de pantear as ecuaciones de equiibrio en función de os despazamientos que es o esencia de Método de Rigidez. En e Capítuo 8 se formuaron as ecuaciones de equiibrio para reticuados. A continuación se obtendrán as mismas ecuaciones por un camino aternativo: e P.M.E.P.T. E P.M.E.P.T. vae sóo para sóidos eásticos, pero puede apicarse en a formuación de probemas no ineaes siempre que se defina correctamente Wi i. Ejempo Nº : Para iustrar a apicación de P.M.E.P.T. se resueve a continuación e siguiente ejempo. Como consecuencia de a simetría, este probema tiene un único grado de ibertad, e despazamiento vertica de nudo A, que se denota con. K K K 3 Wi. K j. e ; j j A P Figura B. e. t e.cos e PRATO, MASSA -4-

5 Wi.. K..cos. K... K.cos K. (Ec. B.5) P i. i P. (Ec. B.6) Wi.. K.cos K. P.. K.cos K. P 0. K.cos K. 0 P (Ec. B.7) (Ec. B.8) (Ec. B.9) La (Ec. B.5) muestra que Wi es cuadrática en mientras que a (Ec. B.9) muestra que a ecuación de equiibrio es inea en. En a Figura B. se ha representado corresponde a a configuración deformada en equiibrio. Wi, y ; 0 es e vaor de despazamiento que Wi 0 Figura B. Ejempo Nº : Se deduce a matriz de rigidez de reticuado de Figura B.3 apicando e P.M.E.P.T.. P y y P x x Figura B.3 PRATO, MASSA -5-

6 Wi. K. ea. K. e e t.,.,.. a a a a a a a x y x y e.. b b b x y Wi. K.... K... b a a b b a x y b x y P. P. P. i i x x y y. K.... K... P. P. x a a b b a x y b x y x x y y a a a b b b Ka.. x. y. Kb.. x. y. Px 0 y K.... K.... P 0 a a a b b b a x y b x y y y 0 y, 0 0 x y 0 x Figura B.4 Agrupando términos e sistema de ecuaciones de equiibrio en forma matricia queda: a b a a b b Ka. Kb. Ka.. Kb.. x Px. a a b b a b K y P y a Kb Ka Kb Nótese que se puede egar a a misma matriz de rigidez sumando a contribución de cada barra según se indicó en e capítuo anterior. x PRATO, MASSA -6-

7 B.4- Probemas no ineaes En esta sección se consideran probemas con no ineaidades de tipo geométrico. A modo de ejempo se considera e probema simpe de a Figura B.5, suponiendo que e eemento AB es muy fexibe, y que tiene ongitud " " y rigidez axia " K ". I) Hipótesis inea: d ; h ;. e,.,0. Wi. K. e. K.. P. e t.... K P ; 0 Figura B.5 K.. P 0 (Ec. B.0) Notar que partiendo de una reación inea entre as eongaciones y os despazamientos nodaes se ega a una ecuación inea en a incógnita. II) Condición no inea:. e t. (ya vista en e capítuo anterior).,0.,0 e,.,0... PRATO, MASSA -7-

8 .... K P. K... P 0.. e (Ec. B.). K P (Ec. B.) Partiendo de una expresión cuadrática en os despazamientos se ega a una ecuación poinómica en. Sí como resuta corriente, Nótese que e primer término contiene a, e segundo a, e término cúbico puede despreciarse.. y e tercero a.. Se recuerda que a expresión utiizada para cacuar as eongaciones eva impícita a imitación e. III) Cácuo exacto: e h d. d.... K e P. d. K.. d.. P... d d K d P. d (Ec. B.3) A fin de estabecer comparaciones se consideran vaores reativos a parámetro " d ". PRATO, MASSA -8-

9 d a) 0, 60 Error % Hip. I Error % Hip. II En En F En En F 0, , , , , I III II Figura B.6 En a Figura B.6 se observa que a teoría inea (I) da vaores en exceso mientras que a aproximación (II) da a mitad de error pero en defecto. d b) 0 I) La teoría inea no puede apicarse! II) Siendo 0 resuta simpe despejar en a expresión (Ec. B.): Figura B.7 PRATO, MASSA -9-

10 .. P 3 (Ec. B.4) K Luego: F K. e F K. (Ec. B.5). K.. P F 3 (Ec. B.6) La (Ec. B.4) resuta interesante porque permite cacuar de manera muy simpe. También debemos notar que (Ec. B.6) permite cacuar a fuerza en a barra sin cacuar e despazamiento. III) E cácuo exacto requiere resover a (Ec. B.3) que se reduce a: K P.. 0 Luego a fuerza en a barra es: F K. e, donde: e (Ec. B.7) E error en F dado por (Ec. B.5) resuta prácticamente igua a error en dado por (Ec. B.4). E error se mantiene inferior a % hasta una reación 0, y ega a 0% para reaciones 0, 6. Se puede apreciar que a teoría (II) basada en a (Ec. 7.) produce muy buenos resutados aún en casos que no cumpan a hipótesis básica. d c) 0, Como caso intermedio entre os dos anteriores, os resutados pueden anticiparse en cierta medida. La teoría inea es apicabe pero da buena aproximación únicamente para vaores muy pequeños. La teoría (II) da resutados exceentes aún para despazamientos grandes. Error % según Hip. I En Error % según Hip. II En 0,0 0 0, 0, 00 0, PRATO, MASSA -0-

11 Concusiones: Aunque no es prudente extraer concusiones generaes de os resutados de este probema tan simpe, se reaizan as siguientes observaciones: º) En casos de G.L. a ecuación no inea puede resoverse por iteraciones sucesivas En e caso de muchos G.L. resutan considerabemente más engorrosos e panteo y a soución de sistema de ecuaciones no ineaes. º) Existen probemas (afortunadamente muy pocos) en que os despazamientos son reativamente grandes y a teoría inea (I), también amada también teoría de primer orden, da resutados con demasiado error. Agunos probemas como e caso b), son definitivamente no ineaes aún para pequeños despazamientos. 3º) La (Ec. B.) puede sugerir un método iterativo que consiste en utiizar a matriz de caso inea y estabecer modificaciones en e segundo miembro. Despreciando os términos cúbicos (aunque esto no es esencia) queda: 3 K.. P. K... Si se puede en principio ignorar e término en de cacuar en a forma habitua se modifica e término de carga: Donde: f 3 K... i i. i i (Ec. B.8) de segundo miembro y uego K P f (Ec. B.9) Lamentabemente este método resuta muy pobre desde e punto de vista de a convergencia. Si os vaores de no son suficientemente pequeños (y es aí donde un método no inea se justifica) e método es divergente. 4º) En genera a (Ec. 7.) da buenos resutados pero no se debe pretender apicara sóo a fina cuando se cacuan as fuerzas basadas en despazamientos poco exactos provenientes de a teoría inea. Debe efectuarse un panteo consistente y pantear a matriz de rigidez no inea desde e principio. 5º) Por útimo, no resuta ta fáci definir con precisión qué se entiende por despazamientos grandes. PRATO, MASSA --

12 B.5- Otras apicaciones de P.M.E.P.T. ) Souciones aproximadas Para a apicación de P.M.E.P.T. se requiere proponer un conjunto de despazamientos compatibes con os víncuos y con a continuidad interna. Cuando se apica e principio de mínimo sobre un conjunto que contempa todos os infinitos despazamientos posibes se ega a a soución exacta. Por e contrario, operando con un subconjunto que no contiene a esta soución se ega a una soución aproximada. A continuación se iustra este concepto con un ejempo simpe; a viga de a Figura B.8. Se propone una eástica con forma de sinusoide. Figura B.8 y A. sen. x (Ec. B.0) 4 d y. E. I. A ( ) dx Wi f E I dx E I dx. P. i dx. y. A 4. E. I. A. 3 A A (Ec. B.) 76,5. E. I Resutado exacto: 4 A 76,8. E. I PRATO, MASSA --

13 Se ha obtenido a mejor de as eásticas con forma de sinusoide y e resutado contiene un error de apenas e 0,4% para a fecha a centro. En reaidad, no cuaquier curva que tenga e aspecto de a Figura B.8.b es iguamente buena como aproximación de a eástica. Es conveniente que además a derivada segunda de a eástica sea una buena aproximación de a curvatura exacta para tener una buena aproximación de vaor de a energía interna. tiizando una eástica "parabóica" de tipo: y A. 4. x (Ec. B.) Figura B.9 Se ega a un resutado poco aproximado debido a que a (Ec. B.) impica suponer e momento fector constante. Si se propone una eástica de tipo: y B. 6. x 4 4 (Ec. B.3) E resutado es aún peor que en e caso anterior de a (Ec. B.). Nótese que en todos os casos se han propuesto eásticas simétricas. Si se propone como eástica una combinación de as eásticas de as (Ec. B.) y (Ec. B.3), vae decir: Resuta: 0,8.. A.. B 3 4 x x y A B (Ec. B.4) A 3 Wi 30, A. B. B 3 3 Haciendo 0 se encuentra: A B PRATO, MASSA -3-

14 4 A 0, E. I 4 B 0, E. I (Ec. B.5) En este caso hemos egado a a soución exacta. Esto se podía anticipar ya que a ser e diagrama de carga constante a eástica resuta de cuarto grado y por simetría no puede haber exponentes impares. Se debe notar que una vez obtenido e o os parámetros iniciamente desconocidos, se conoce e despazamiento de os puntos (a través de a eástica) y se pueden obtener e momento fector y e corte por simpe derivación. Sea como ejempo e caso de a viga biempotrada de a Figura B.0. E hecho de ser hiperestática no introduce ninguna dificutad. Se propone una eástica de tipo: Figura B.0 Y resuta: y A x. cos.. (Ec. B.6) Wi A. 4 A. E. I ; A.. E. I 3 A 4 A 389,6. E. I (Ec. B.7) E resutado exacto es: 4 A 384. E. I PRATO, MASSA -4-

15 Comparando con a fecha exacta se puede apreciar que a soución aproximada tiene un error de apenas e,5%. Sin embargo, a caidad de a aproximación para os despazamientos no es a misma en todos os puntos. Los momentos fectores se obtienen derivando dos veces a eástica. Figura B. a) En e centro: M. E. I x M (E vaor exacto es: 9,7 Error: % en exceso. M ) 4 b) En e empotramiento: M. E. I x0 M (E vaor exacto es: 9,7 Error: 39% en defecto. M ) Se observa que a caidad de a soución aproximada para os momentos fectores es bastante inferior a a obtenida para os despazamientos. Esta característica es típica en as souciones aproximadas deducidas a partir de este procedimiento. Para un caso no tan simpe, como e de a Figura B., se puede tomar: n i. y Ai. sen. x i (Ec. B.8) i,..., m Figura B. PRATO, MASSA -5-

16 Tomando varios términos de esta serie se puede obtener una buena aproximación. Debe notarse que a aumentar e número de parámetros indeterminados mejora a soución pero también aumenta e tamaño de sistema agebraico de ecuaciones ineaes a resover. ) Souciones iterativas: es una función escaar cuadrática en os despazamientos de modo que sus derivadas parciaes son as componentes de un vector gradiente. y Wi 0 0 : : Wi Figura B.3 (Ec. B.9) Son as fuerzas eásticas correspondientes a estado de deformación 0. Son as fuerzas exteriores conocidas e independientes de 0. Según (Ec. B.9) e gradiente tiene a dirección y e sentido de as fuerzas desequiibradas. Resuta evidente que a condición de equiibrio corresponde a a situación en que se anua e gradiente. Existen programas de cácuo que partiendo de origen de coordenadas se mueven "cuesta abajo" en a dirección de gradiente hasta egar a un punto que corresponde a mínimo en esa dirección. Luego se mueven en e a dirección de gradiente en e punto hasta egar a un punto que corresponde a un mínimo de en esa dirección y así sucesivamente. (Se dice "cuesta abajo" porque siendo Wi una forma cuadrática definida positiva, por ser energía de deformación, siempre tiene sus ramas "hacia arriba"). PRATO, MASSA -6- x

17 Esté "método de os gradientes" tiene convergencia monotónica, pero a pesar de moverse en a dirección en que más rápidamente varía (a dirección de gradiente) es de convergencia enta. Se puede hacer una modificación que sacrificando "a mayor ganancia a corto pazo" permite egar más rápidamente a a soución. Esto se ogra teniendo en cuenta en cada paso a historia previa y no moviéndose "exactamente" en a dirección de máxima variación (dirección de gradiente). Este procedimiento se conoce como e "método de os gradientes conjugados". E método de os gradientes puede iustrarse a través de reticuado siguiente: P P P P Figura B.4 En e primer paso de iteración, as fuerzas eásticas son nuas y a soución (cambio de os despazamientos) se busca en a dirección de as fuerzas exteriores. En e segundo paso, debido a a deformación causada por e despazamiento de os nudos, hay fuerzas eásticas en todas as barras deformadas y se debe despazar cada nudo en a dirección de a fuerza desequiibrada en ese nudo. A través de gradiente se va corrigiendo simutáneamente en cada paso de iteración os desequiibrios nodaes existentes en todos os nudos. Hay otros procedimientos iterativos basados en ideas simiares a a expuesta, por ejempo e método de Cross que se usaba antes de advenimiento de a computadora digita. La diferencia entre os distintos procedimientos radica en dos aspectos: - Como se evaúa a "dirección" en e espacio de os despazamientos nodaes en que se produce e paso correctivo. PRATO, MASSA -7- P

18 - Como se evaúa a magnitud de paso corrector en esa dirección. E método de os gradientes asegura convergencia monotónica ya que a magnitud de cada paso es ta que se ogra ocamente un mínimo de en a dirección de paso. No ocurre o mismo con e método de Cross que puede osciar arededor de a soución, aunque as osciaciones son progresivamente menores con as sucesivas iteraciones. PRATO, MASSA -8-