PRACTICA 5 PENDULO SIMPLE

Transcripción

1 PRACTICA 5 PENDULO SIMPLE 1. OBJETIVOS Los objetivos de esta práctica son os siuientes: i) Medir a aceeración de a ravedad () a través de as pequeñas osciaciones de un pénduo simpe. ii) Verificar experimentamente a dependencia de período con a ampitud de as osciaciones en e pénduo, y determinar e intervao de ampitud de as pequeñas osciaciones. Comparar os vaores medidos de período con os vaores cacuados a resover numéricamente a ecuación de movimiento de pénduo simpe. 2. FUNDAMENTO TEORICO E pénduo simpe es a ideaización de un sistema físico rea. Dicho sistema rea es una masa (m) suspendida de un soporte mediante un hio de masa muy pequeña comparada con m. La ideaización es una masa puntua, suspendida de un soporte inmóvi mediante un hio fexibe, inextensibe y sin masa, que se mueve confinada a un pano. Se desprecia a fuerza de rozamiento entre e aire y a masa. La ecuación de movimiento de pénduo simpe es: sin 0 (2.1) donde es a aceeración ravitatoria, a onitud de pénduo y t e ánuo respecto a a vertica. La ecuación (2.1) es váida para todo vaor de t, pudiéndose ineaizar en torno a a posición de equiibrio estabe, si t pequeño: 0 (2.2) Fiura 2.1 m De aquí en más nos referiremos a ésta como a ecuación de pequeñas osciaciones. De resover 2.2 en forma anaítica, se puede ver que si e movimiento se restrine a rano en que e ánuo formado por e hio y a vertica es pequeño, e período se vueve independiente de a ampitud de a osciación, esto es, que para cuaquier ampitud dentro de ese rano, es aproximadamente constante. 1

2 Ejercicio 1 a) Deducir a ecuación (2.1) a partir de modeo físico correspondiente a pénduo simpe. b) Haar a posición de equiibrio estabe y ineaizar a ecuación (2.1) para pequeñas osciaciones en torno a dicha posición. c) Demostrar que a expresión de período, considerando a ecuación ineaizada es : T 2 (2.3) Nota : La expresión de período puede ser usada para a determinación de vaor de, siempre que midamos T y con suficiente precisión. 3. DESCRIPCION DEL MONTAJE Se utiizará una masa esférica coando de un soporte, para a medición de período se utiizará un cronometro 2

3 4. PROCEDIMIENTO En a práctica se medirá e periodo de as osciaciones de penduo en función de a onitud de hio, de a masa y de anuo. Pequeñas osciaciones: 1. Medir a onitud, recordando que es a distancia de soporte a baricentro de a masa. 2. Poner a masa en movimiento con un ánuo pequeño (menor que 10 rados) procurando que e movimiento esté restrinido a un pano. 3. Medir e tiempo para un nro rande de períodos de orden de 20 y anotar e nro de periodos utiizados. 4..Modificar e vaor de y repetir os pasos anteriores para 5 vaores de. Grandes osciaciones: 1. Medir e priodo de penduo en función de anuo Ejercicio 2 A partir de a ecuación (2.3), obtener una expresión para a incertidumbre en. 5. TRATAMIENTO DE DATOS 1. Cacuar y su incertidumbre para cada una de as medidas reaizadas en e punto Utiizando MATLAB, raficar, obtener a curva de mejor ajuste (reresión inea) utiizando e método de mínimos cuadrados. A partir de a pendiente cacuar. Con e vaor de coeficiente de correación de a reresión inea cacuar a incertidumbre en. NOTA : Los vaores de T que se rafican son os T promedio para cada vaor de. A os efectos de reaizar a reresión inea se usa e comando poyfit de MATLAB. Para obtener e coeficiente de correación se usa e comando corrcoef. Los detaes de sintaxis de dichos comandos se pueden obtener usando hep poyfit y hep corrcoef desde e MATLAB. 6. ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL NO LINEAL Recordemos que en a sección 2 se había obtenido a ecuación de movimiento de un pénduo simpe ubicado en un campo ravitatorio uniforme, y que no soporta otras fuerzas (despreciando cuaquier fuerza resistiva), obedece a a siuiente ecuación no inea: sin 0 (2.1) Esta ecuación no es resoube anaíticamente, pero de su forma se pueden obtener aunas concusiones. En particuar haaremos una expresión intera para e período en función de as condiciones iniciaes (ver ejercicio 3). 3

4 En forma independiente de a expresión intera, resoveremos a ecuación diferencia numéricamente a ecuación diferencia por e método de Rune-Kutta, con a ayuda de un computador. 4

5 Ejercicio 3 Encuentre una pre-intera de movimiento de pénduo, interando una vez a ecuación (2.1). Considere que e pénduo se anza con veocidad nua. A partir de ea, obtena una expresión intera para e período. Observe a dependencia de mismo con a ampitud E interando de a expresión que se haó para e período presenta una sinuaridad, o que es inconveniente para e cácuo numérico de dicha intera. Modifique a expresión de forma ta que de eiminar e probema. Suerencias: 1. Apique a rea de a cadena con e término 2. Utiice a reación cosx 1 2sin 2 x 2 d dt 3. Efectúe e cambio de variabe definido por: y yx ta que x x sin siny sin o 2 2 donde x o es a ampitud. Siuiendo estos pasos demuestre que e periodo se puede cacuar como:. T K 4 K donde 2 1 sin métodos numéricos ) dx x sin o 2 x, (esta es una intera eíptica que se debe cacuar por 7. CÁLCULO Y MEDICIÓN DEL PERÍODO Para os cácuos numérico y experimenta de período se dispone de dos proramas en Matab: Resoución numérica de a ecuación. La resoución numérica se reaizará a través de prorama pen.m de Matab. Este soicita a onitud de hio y os vaores iniciaes de ánuo para os que se quiere reaizar os cácuos (donde estos se pueden dar a través de un vector predefinido). Para cacuar e período, e prorama intera numéricamente a expresión de período haada en e ejercicio 4, considerando que a veocidad inicia es nua. A finaizar a práctica se habrán obtenido dos tabas de vaores que nos darán as determinaciones de período experimenta (con su incertidumbre) y teórico para cada o. 5

6 Medición de período en función de a ampitud de movimiento 1) Correr e prorama en Matab para e cácuo teórico de período (pen.m) inresando todos os vaores que e mismo va soicitando (Se suiere ir variando o de ta modo que se tomen a menos 7 vaores entre 5º y 35º ) 2) Anotar os períodos que cacua e prorama. 3) Invocar a prorama exper.m que mide os períodos experimentaes. 4) Inresar e aro de a taba N donde N es e número de períodos que se quieran medir, eeiría e mismo número de períodos que en a parte anterior?. 5) Lanzar e pénduo con una ampitud o que corresponda a uno de os vaores utiizados en a parte teórica. 6) Anotar e período promedio y vover a paso INFORME Primera parte: Seunda parte: Cacuo de y para cada vaor de. Gráfica de T 2 vs. Vaores de y obtenidos por reresión por mínimos cuadrados. Gráfica teórica período vs. ampitud. Gráfica experimenta período vs. ampitud. Nota: Ambas ráficas deben estar en a misma hoja y se debe indicar e intervao de incertidumbre para cada uno de os datos experimentaes. 6

7 9. PRE-INFORME a)taba de datos de,, T y T con todas as cifras eídas en a PC. T T b) Repetición de a taba anterior, ajustando e número de cifras sinificativas de modo que correspondan a as incertidumbres estimadas. T T c) Taba de vaores y para cada. L 7

8 d) Vaores de os parámetros de a reresión por mínimos cuadrados, coeficiente de correación y vaores cacuados de y. a b r a b Misma taba anterior ajustando os vaores por cifras sinificativas: a b r a b Ahora e resutado obtenido: e) Taba de vaores de o, T exp. y T cac.. o T exp T exp T cac 8