Movimiento Armónico Simple

Transcripción

1 Movimiento Armónico Simpe 1. Definiciones Se ama movimiento periódico a aque en que a posición, a veocidad y a aceeración de móvi se repiten a intervaos reguares de tiempo. Se ama movimiento osciatorio o vibratorio a un movimiento periódico en que e móvi se mueve a un ado y a otro de una posición de equiibrio amada centro de osciación. Se denomina movimiento armónico simpe a un movimiento de trayectoria rectiínea, periódico y vibratorio, sometido a una fuerza proporciona a a posición de sentido contrario a ea y dirigida siempre hacia e centro de osciación: 2. Movimiento Armónico Simpe F k x - Osciación: distancia recorrida por e móvi en un recorrido de ida y vueta. - Eongación (x): distancia de centro de osciación a punto donde se encuentra e móvi en cada instante. - Ampitud (A): eongación máxima. - Se ama centro de osciación a punto medio de os despazamientos de móvi. - Periodo (T) : es e tiempo que tarda e móvi en dar una osciación competa. Se mide en segundos. - Frecuencia (f) : es e número de osciaciones que da e móvi en un segundo. Se mide en Herzios. - Pusación o frecuencia anguar (ω ): es e número de periodos en 2π segundos. ω 2π T 2π f - Ecuación de movimiento armónico simpe: x Asen(ωt + ϕ) - Veocidad de movimiento armónico simpe: v dx d(asen(ωt + ϕ)) La veocidad es máxima cuando cos(ωt + ϕ) 1 - Aceeración de movimiento armónico simpe: a dv d(aω cos(ωt + ϕ)) La aceeración máxima tiene como vaor: a max ±ω 2 A Aω cos(ωt + ϕ) Aω 2 sen(ωt + ϕ) ω 2 x 1

2 3. Dinámica de m.a.s Si una partícua de masa m está sometida a un m.a.s. sobre ea actuará una fuerza según a ey de Hooke: F ma mω 2 x kx A a k ( k mω 2 ) se e denomina constante eástica / recuperadora con unidades N/m 4. Energía de movimiento armónico simpe Una fuerza es centra si su móduo sóo depende de a distancia a a que se cacua a fuerza y se dirige siempre hacia e mismo punto. Por ejempo a fuerza de movimiento armónico simpe. Una fuerza F es conservativa si e trabajo reaizado por ea soo depende de punto inicia y e fina pero no de a trayectoria seguida. Todas as fuerzas centraes son conservativas. E trabajo reaizado por una fuerza conservativa es igua a a disminución de una magnitud amada energía potencia: W ΔE p Si una masa está sometida a un m.a.s tendrá una energía mecánica suma de a energía cinética y a energía potencia. - Energía cinética - Energía potencia W x A F E c 1 2 mv2 1 2 ma2 w 2 cos 2 (ωt + ϕ) 1 2 A2 k cos 2 (ωt + ϕ) v Aω cos(ωt + ϕ); k mω 2 x B kx 2 x A kx 2 B kx 2 A E PB + E PA ΔE p x B d x kx dx x A E p 1 2 kx2 1 2 ka2 sen(ωt + ϕ) x Asen(ωt + ϕ) x B - Energía mecánica E m E c + E p 1 2 ka2 cos 2 (ωt + ϕ) ka2 sen 2 (ωt + ϕ) 1 2 ka2 (cos 2 (ωt + ϕ) + sen 2 (ωt + ϕ)) 1 2 ka2 2

3 5. Pénduo simpe E pénduo simpe se construye mediante una masa puntua suspendida de un hio inextensibe y sin masa de ongitud. E pénduo iniciamente está en reposo porque en dicha posición e peso de a boa (mg) y a tensión de hio se equiibran. En cambio, si separamos e objeto de a posición de equiibrio, dicho equiibrio se rompe, situación representada por a figura a continuación: En esas condiciones, e peso queda descompuesto en una componente y que se anua con a tensión de hio, y en una componente x perpendicuar a hio, que a no estar equiibrada con ninguna otra fuerza causa e movimiento. Observando a figura se puede deducir e vaor de a componente x: P x mgsen(a) 3

4 E signo negativo indica que esta fuerza tiende a evar e pénduo a su posición de equiibrio. Es por tanto a fuerza recuperadora. Además, para ánguos muy pequeños ( < 20º ), se puede apicar a siguiente aproximación: a sen(a) por o que se puede sustituir e seno por e ánguo en radianes y por tanto a x. Por tanto, a expresión de a fuerza recuperadora queda como: P x mga mg x kx Por tanto, k mg será a constante recuperadora. A partir de ea podemos deducir a expresión de periodo para e pénduo: T 2π m k 2π m mg 2 g Nótese que e periodo no depende de a masa. 4

5 x : eongación A : ampitud x Asen(ωt + ϕ) (ωt + ϕ) : fase ϕ : fase inicia ω : frecuencia anguar v dx d(asen(ωt + ϕ)) Aω cos(ωt + ϕ) a dv ω 2π f 2π T F kδx d(aω cos(ωt + ϕ)) F ma mω 2 x kx k ω k mω 2 m T 2π m k E c 1 2 mv2 1 2 k(a2 x 2 ) Formuario Aω 2 sen(ωt + ϕ) ω 2 x E p 1 2 kx2 E m 1 2 ka2 Pénduo k mg T 2π g 5