Capítulo 4. Movimiento oscilatorio Oscilador armónico

Transcripción

1 Capítuo 4 Movimiento osciatorio 4.1. Osciador armónico E osciador armónico, es quizás a entidad física a a cua se recurre con mayor frecuencia ya sea a nive macroscópico o microscópico. E movimiento armónico simpe es muy importante en a práctica puesto que es una buena aproximación a as osciaciones ibres en muchas situaciones físicas. E movimiento armónico simpe se da cuando as fuerzas o torques que hacen que e objeto tienda a vover a su posición de equiibrio, son proporcionaes a os despazamientos respecto a esta posición de equiibrio. Esta fuerza, amada de restitución, se encuentra frecuentemente en a naturaeza y es de a forma: F = k r. En particuar, para e caso unidimensiona se tendrá: F = kx 1 x, Figura 4.1: Sistema masa-resorte visto como osciador armónico. siendo K, a amada constante de easticidad de resorte. Como F = dv, entonces, integrando se haa a energía dx potencia: V(x = 1 kx. Recordando que e intervao de tiempo para e movimiento unidimen- 71

2 OSCILADOR ARMÓNICO siona para t = es t = m x x dx E 1 kx. Para resover a integra anterior, se hace e cambio de variabe sin θ = x y a sustitución ω =, con o que queda: k m k E t = m θ θ cos θdθ. k 1 sin θ Lo que finamente da t = 1 ω (θ θ = θ = θ + ωt. De a expresión de cambio de variabe utiizado, se puede escribir: x = A sin (ωt θ, E donde, as características osciatorias son: a ampitud A =, a frecuencia k ν = ω, y e período T = 1 = π. Por otra parte, as condiciones iniciaes están π ν ω determinadas por as constantes A y θ mediante E = 1 ka x = A sin θ. La ecuación de movimiento para un osciador armónico inea es que se puede escribir como: m d r dt = kx 1 x, ẍ + ω x =, de cuya ecuación indicia se obtiene: r = ±iω; o que permite escribir a soución: x = A e iωt + B e iωt = A sin ωt + B cos ωt.

3 CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO 73 Sea ahora, un osciador sometido a dos fuerzas adicionaes: F d = β v (rozamiento F ext = F sin ω t (fuerza externa. Por o tanto, en una dimensión, a ecuación de movimiento es: con ω = γ = β m f = F m k m ẍ + γẋ + ω x = f sin ω t, (4.1 (frecuencia anguar (coeficiente de amortiguamiento (fuerza por unidad de masa. La soución genera de (4.1 es a suma de as souciones homogénea y particuar: x = x h (t + x p (t. La soución x h, se a obtiene a resover ẍ + γẋ + ω x =, cuya ecuación indicia es α + γα + ω =, que da como soución α = γ ± γ ω, o que nos proporciona para a soución homogénea: x h (t = e γt ( A e α t + B e α t, con α = γ ω. De anáisis de α, se ve que se tienen tres casos. Los tres casos posibes -que además se iustran en a Fig. 4.- son: Subamortiguamiento. En este caso, se tendrá movimiento osciatorio si γ < ω, o que equivae a tener a condición: β < 4km. Se puede escribir α = i ω γ = iσ, por o que a soución homogénea será: x h (t = e γt ( A e iσt + B e iσt = e γt (A sin σt + B cos σt, o que se puede escribir:

4 OSCILADOR ARMÓNICO x h (t = Ce γt cos ( σt φ, donde φ es e ánguo de fase y C = A + B, es a denominada ampitud armónica. Sobreamortiguamiento. En este caso, γ > ω, por o que β > 4km, que permite escribir a soución homogénea: x h (t = e γt ( A e α t + B e α t Amortiguamiento crítico. Se tendrá movimiento críticamente amortiguado si γ = ω, es decir, β = 4km; o que da para a soución homogénea x h (t = e γt (A + B t. La importancia de este amortiguamiento radica en e hecho de que, para as mismas condiciones iniciaes, un sistema voverá a su posición de equiibrio en e menor tiempo posibe. La soución particuar, se encuentra sustituyendo a forma genera y sus derivadas x = C 1 sin ω t + C cos ω t ẋ = ω C 1 cos ω t ω C sin ω t ẍ = ω C 1 sin ω t ω C cos ω t = ω x en (4.1; o que da [( ] ω ω C1 γω C sin ω t+ [( ] ω ω C + γω C 1 cos ω t = f sin ω t. De donde, iguaando, se obtiene e sistema de ecuaciones: ( ω ω C1 γω C = f ( ω ω C + γω C 1 =, cuyas soución es: C 1 = ( f ω ω ( ω ω + 4γ ω C = γω f ( ω ω + 4γ ω.

5 CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO 75 Amortiguamiento en un osciador armónico 6 4 crìticamente amortiguado sobreamortiguado subamortiguado x t Figura 4.: Tipos de amortiguamiento en un osciador armónico. Los vaores que se tomaron fueron en unidades de S.I.: A = 4, B = 3, m = 1, k = 1 para todos os casos y para e subamortiguamiento, β =,, para e sobreamortiguamiento, β = 14 y para e amortiguamiento crítico, β =. Por o que a soución particuar es: x p = ( ω ω f + 4γ ω [( ω ω sin ω t γω cos ω t ]. Haciendo: cos ϕ = sin ϕ = ω ω (ω ω + 4γ ω γω (ω, ω + 4γ ω con o que a soución particuar queda:

6 RESONANCIA f x p (t = sin ( ω t ϕ, (ω ω +4γ ω ( γω donde ϕ = arctan. Finamente, a soución genera x(t = x ω ω h (t + x p (t es: x(t = e γt ( A e α t + B e α t + f (ω ω + 4γ ω sin ( ω t ϕ. x h (t rápidamente, es decir, desaparece en un tiempo corto, por o que se puede decir que x h (t es una soución transitoria y x p (t es a soución estabe, por o que x p (trepresenta a soución genera de probema: x(t = f (ω ω +4γ ω sin ( ω t ϕ (osciaciones forzadas. 4.. Resonancia Es e fenómeno consistente en a máxima transmisión de potencia entre dos sistemas osciantes. Para e osciador armónico simpe se tiene: 1 x 1y 1z F = x y z =, kx por o que F es conservativa y V = V = y V = kx, o que da finamente y z x V = 1 kx. Así, a energía mecánica tota es E = 1 mv + 1 kx. Para e osciador armónico forzado, a potencia instantánea es: P = F v = Fv = La potencia máxima está definida por F f ω (ω sin ω t cos ( ω t ϕ. ω + 4γ ω P = 1 T T/ T/ Fvdt, por o que en nuestro caso, a potencia media por cico es F f ω 1 T P = (ω sin ω t cos ω t cos ϕdt + T ω + 4γ ω T sin ω t sin ϕdt.

7 CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO 77 Recordemos que un conjunto de funciones f i (x es ortogona en un intervao a < x < b si para dos funciones cuaesquiera f m (x y f n (x que están contenidas en f i (x, se cumpe b a f m (x f n (xdx = { ; m n g n ; m = n. Para un conjunto de funciones trigonométricas: T/ T/ T/ T/ T/ T/ { ; m n cos(mω t cos(nω tdt = T ; m = n { ; m n sin(mω t sin(nω tdt = T ; m = n sin(mω t cos(nω tdt =, m, n ; ω = π T. Por o que F P = ω (ω sin ϕ. m ω + 4γ ω Es decir, a potencia máxima transmitida se dará cuando sin ϕ = 1, con o que P max = F ω m (ω ω + 4γ ω y γω sin ϕ = (ω = 1, ω + 4γ ω o que da finamente a condición de resonancia: E máximo vaor de a ampitud es: ω = ω., A f = f (ω ω + 4γ ω,

8 RESONANCIA ocurre cuando ( ω ω + 4γ ω es mínimo; esto es, si g = ( ω ω + 4γ ω, se debe tener dg dω = y d g dω por o que se tendrán as souciones >. Para a primera derivada de g se tiene dg dω = ω ( ω ω + γ =, 1. ω = que se a descarta de antemano puesto que su existencia impicaría a no existencia de osciación forzada.. En tanto, ω = ω γ = ω R, es una soución váida y representa a frecuencia anguar resonante. Para a derivada segunda, se tiene ( d g ω = 16 γ >, dω y efectivamente representa un mínimo puesto que γ < ω. Luego, e vaor de a máxima ampitud para a frecuencia resonante es A f (max = f. γ ω γ La ampitud de estado estacionario, se puede expresar en términos de a frecuencia anguar de resonancia, ω R, sabiendo que ω = ω R + γ, o que da finamente: A f = f (ω R ω +4γ (ω γ. La Fig. 4.3, muestra a curva característica que da a ampitud en función de cuadrado de a frecuencia anguar de a fuerza impusora; en esta Fig. también se observa a ocaización de as frecuencias natura, de resonancia, y de amortiguamiento Fuerzas impusoras Un tipo de fuerzas muy importante en a Física corresponde a de as fuerzas impusoras que se caracterizan por ser de muy corta duración o que tiene como consecuencia que e intervao de apicación de estas fuerzas es t y también e despazamiento durante e cua actúa a fuerza se

9 CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO frecuencia de resonancia frecuencia con amortiguamiento frecuencia natura A f ω γ 1 5 ω 5 1 R ω ω Figura 4.3: Curva de a ampitud en función de cuadrado de a frecuencia para vaores de F = 1, m = 1, γ = 1 y ω = en unidades de S.I. comporta como x ; en tanto que a cantidad de movimiento tendrá un cambio finito p. Se puede definir una fuerza impusora unidad como a que produce un cambio de una unidad en a cantidad de movimiento durante e intervao t en e que actúa a fuerza impusora: t 1 + t t 1 F(tdt = 1, uego, e impuso producido si F es constante será F t = 1, con o que F = 1 t Si p (t a es a fuerza impusora constante que a actuar sobre a partícua en e tiempo medio t = a durante un intervao T imparte a a partícua una cantidad de movimiento p. Por consiguiente, (t a es una función adimensiona de impuso de magnitud 1 que actúa en e mismo intervao. t Cuanto menor sea e intervao t durante e cua actúa a fuerza impusora es caro que mayor será a aproximación, pues para t suficientemente pequeño, e despazamiento será despreciabe.

10 8 4.. RESONANCIA Figura 4.4: Fuerza impusora y fuerza impusora unidad constantes. Cuando t tiende a cero, a fuerza impusora tenderá a infinito con o que e producto de estas magnitudes será finito. Ahora, sea a fuerza impusora unidad F = 1 t π e (t a ( t. Se puede ideaizar esta situación diciendo que a fuerza impusora unidad tiene un vaor muy grande en e punto t = a y un vaor cero en todos os demás puntos. Dado que a fuerza impusora t=.5 t=.5 t=.1 Fuerza impusora F a Figura 4.5: Fuerzas impusoras para a =,5 y diferentes vaores de t F = p δ(t a da ugar a un cambio p en a cantidad de movimiento de t

11 CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO 81 a partícua, entonces, δ(t a se asume como a función ideaizada de impuso unidad que tiene entre otras propiedades: t t 1 δ(t adt = { 1 ; t1 < a < t ; eoc, δ(t a = ; t a, δ(t a = δ(a t. Esta función es amada deta de Dirac y se caracteriza por no tener área bajo su curva. La importancia de a fuerza impusora unidad radica en e hecho de que cuaquier fuerza dependiente de tiempo se puede expresar por una suma de fuerzas impusoras; y por e principio de superposición, que satisfacen as souciones de as ecuaciones diferenciaes ineaes, a soución para una fuerza dependiente de tiempo se podrá, consiguientemente, expresar por a suma de as souciones para as fuerzas impusoras. Figura 4.6: Una fuerza cuaquiera representada como a suma de una serie de fuerzas impusoras. Para una fuerza cuaquiera F(t, se puede considerar que para un intervao de tiempo suficientemente pequeño t 1 < t < t, es posibe considerar una fuerza continua variando ineamente. E vaor que toma esta fuerza en e tiempo medio de este intervao ξ 1 = t 1+t representará un vaor medio de a fuerza sobre este intervao, es decir: t F(ξ 1 = 1 F(tdt. t t 1 Para vaores infinitesimaes de t, e efecto de F(t sobre e movimiento de a partícua puede cacuarse de forma aproximada por e que produciría a fuerza constante F(ξ sobre dicho movimiento en e mismo t. Esta útima fuerza puede representarse por F(ξ 1 (t ξ 1 t actuando en t. Si se subdivide e tiempo en e cua actúa a fuerza F(t en N

12 PÉNDULO SIMPLE intervaos infinitesimaes t, se puede escribir: N F(t = F(ξ n (t ξ n ξ, n=1 donde (t ξ n es a función constante de impuso unidad definida en e intervao t = ξ. Tomando e ímite cuando estos intervaos tienden a cero: N F(ξ n (t ξ n ξ = ím F(ξδ(t ξdξ, ξ n=1 T 1 donde se utiiza a función deta de Dirac para representar (t ξ cuando t. T 1 y T son os ímites de período en que F(t actúa sobre a partícua Pénduo simpe E estudio de pénduos fue muy importante para a Física y uno de os fenómenos omnipresentes en a naturaeza como es e de a sincronización fue observado y estudiado sistemáticamente por primera vez por Huygens en Anaizando e esquema de pénduo simpe, podemos escribir por conservación de a energía: ( 1 Figura 4.7: Esquema de un pénduo simpe. m dθ mg cos θ = mg cos θ M, dt de donde dθ g dt = ± cos θ cos θm. Si t = cuando θ = y dθ > ; entonces: dt θ M dθ t g = dt, cos θ cos θm T

13 CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO 83 donde, evidentemente, t = T. Además, como 4 se puede escribir cos θ M = 1 sin ( θm, θ M g t = sin ( θ M dθ 1 sin ϕ, esto en virtud de que a ser θ θ M, se puede escribir ( ( θ θm sin = sin sin ϕ. Con o que finamente se tiene: π T = 4 g dϕ 1 sin ( θm sin ϕ. La integra anterior tiene a forma de una integra eíptica, por o que previamente se verán agunas propiedades de as mismas. Integraes eípticas. Se tienen dos cases de integraes eípticas: Integra eíptica de primera case: K(m = π dθ. 1 m sin θ Integra eíptica de segunda case: E(m = π 1 m sin θdθ. Recordando e desarroo en serie de binomio de Newton: (1 + x m = n= m! n!(m n! xn = 1 + mx + m(m 1 x +,!

14 PÉNDULO SIMPLE por o que 1 1 m sin θ que se puede escribir = m sin θ m sin 4 θ m3 sin 6 θ +, 1 1 m sin θ = n= (n 1!! m n sin n θ, (n!! donde (n!! = n(n (n (n 1!! = (n 1(n Entonces, reempazando en a integra T = 4 g π dϕ (,, con m = sin θm 1 m sin ϕ, o que da T = 4 g n= π (n 1!! m n n!! sin n ϕdϕ. Por otro ado, usando a función β, se puede encontrar π = (n 1!! π (n!!, por o que e período para un pénduo simpe sin amortiguamiento es: T = π [ ( [(n 1!!] g n= [n!!] sin θ M Haando os primeros términos de a serie: T = π g [ sin ( θm sin4 ( θm ] n sin6 ( θm ] +.

15 CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO OSCILATORIO 85 Evidentemente, si θ M es pequeño, se podrá hacer a aproximación sin θ M θ M, con o que e período adquiere a forma conocida de Física Básica: T = π g. E período para un pénduo simpe con ampitudes pequeñas, podía haberse obtenido de a ecuación de movimiento: m s = mg sin θ, con s = θ, o que da θ + g sin θ =, y apicando a aproximación de pequeños ánguos (menores a 15 o, se tendrá: θ + ω sin θ =, con o que a frecuencia será ν = ω π = 1 π T = π ω = π g. g, y finamente, e período será