u (0,x)=f(x) ; u u (t, 0) = u (t, l) =0 t>0

Transcripción

1 Capítuo 1 Un Examen Resueto Se presenta a continuación un examen resueto que se puso en a convocatoria de febrero de curso /1. Durante este curso se impartieron todos os temas de temario excepto e útimo. Es por eo que no aparecen en e examen preguntas correspondientes a este tema. De 33 aumnos que se presentaron a examen aprobaron 16. E examen consta de dos partes: una primera de preguntas y cuestiones breves de tipo teórico (es obigatorio responder a todas as preguntas de esta parte) y una de probemas (de os cuatro probemas propuestos e aumno deberá eegir y responder a tres de eos). Teoría y Cuestiones 1. (1 Pto) Escribe e modeo matemático que describe e movimiento de vibración transversa de una cuerda eástica de ongitud >, cuyosextremosestánfijos, suponiendo que es posibe determinar a posición y veocidad de a cuerda en e instante inicia. Expica e significado físico de todos os eementos que aparecen en dicho modeo. E modeo matemático para este probema se escribe como u tt (t, x) =c u xx (t, x) t>, <x< u (,x)=f(x) ; u t (,x)=g(x) <x< u (t, ) = u (t, ) = t La constante c que aparece en a ecuación recoge as propiedades físicas de a cuerda. Las condiciones iniciaes u (,x)=f (x) y u t (,x)=g (x) representan a posición y veocidad iniciaes de a cuerda, respectivamente. Las condiciones de contorno u (t, ) = u (t, ) = significan físicamente que a cuerda está sujeta en os extremos y permanece así durante todo e tiempo.. (1 Pto) Consideremos e siguiente probema con condiciones de contorno homogéneas para a ecuación de Kein-Gordon ½ ut (t, x) =1.3 u xx (t, x)+.5 u (t, x) t>, <x< (K-G) u (t, ) = u (t, ) = t> Si a función φ (t, x) es una soución de (K-G) verificando a condición inicia u (,x)=sinx, ysiafunciónψ (t, x) es otra soución de (K-G) que satisface a condición inicia u (,x)=cosx, determina una soución de (K-G) que verifique a condición inicia u (,x)=.89 sin x + π cos x. 1

2 Capítuo 1. Un Examen Resueto La soución buscada es a función u (t, x) =.89 φ (t, x)+π ψ (t, x). Es inmediato comprobar que efectivamente esta función es soución de nuestro probema, es decir, que se verifica tanto a ecuación diferencia como as condiciones iniciaes y de contorno. 3. (.5 Ptos) Sea f : R R y supongamos que f L 1 (R). Cómo se define a transformada de Fourier de f? Y a transformada inversa de Fourier de f? Bajo qué hipótesis se tiene a identidad f = bf? La transformada de Fourier de f se define como bf (ξ) = 1 π Z e iξx f (x) dx. La transformada inversa de f se define como Z f (x) = e iξx f (ξ) dξ. La identidad f = bf es cierta siempre que f y f b estén en L 1 (R) (es o que afirma e Teorema de Inversión de Fourier).. (.5 Ptos) La transformada de Fourier es una operación definida sobre e espacio L 1 (R), y en particuar, sobre L 1 (R) L (R). Se puede extender esta operación a todo e espacio L (R)? En caso afirmativo, enuncia de manera precisa e resutado que garantiza que esta extensión es posibe. La respuesta es afirmativa. Es o que afirma e Teorema de Panchare, cuyo enunciado es e siguiente: La transformada de Fourier, definida en principio sobre L 1 (R) L (R), se extiende de manera única a una apicación de L (R) en sí mismo. Además, esta apicación es biyectiva y se satisface a identidad f b = 1 π kfk. 5. (1 Pto) Sea f L 1 (R) L (R) una función continua a trozos y supongamos que bf (ω) =para todo ω >L,con L> (es decir, f = f (t) es una seña de energía finita y imitada en banda). Demuestra que bf (ω) = 1 L + X n= nπ f L e inπω/l para todo ω <L. Indicación: recuerda que a serie de Fourier compeja asociada a cuaquier función g = g (x) L (R) se escribe en a forma + X n= c n e inπx/l

3 3 donde c n = 1 Z L f (t) e inπx/l dt. L L Como consecuencia de Teorema de Panchare se tiene que b f L (R), ya que f L (R). Por tanto, podemos cacuar a serie de Fourier asociada a b f, a cua viene dada por + X n= c n e inπω/l, con c n = 1 Z L bf (ω) e inπω/l dω. L L Nos panteamos ahora a vaidez de a identidad bf (ω) = + X n= c n e inπω/l para todo ω <L. Para que dicha iguadad sea váida es suficiente con que se verifiquen as hipótesis de Teorema de Convergencia Puntua para series de Fourier. Por tanto, hemos de probar que bf es diferenciabe a trozos y continua en e intervao ] L, L[. La diferenciabiidad a trozos es consecuencia de ser f continua a trozos y a continuidad de f b es consecuencia de Lema de Riemann-Lebesgue (nótese que f L 1 (R)). Finamente hemos de probar que c n = 1 Z L bf (ω) e inπω/l dω = 1 nπ L L L f. L Ésto es consecuencia de Teorema de Inversión de Fourier ya que Z L L bf (ω) e inπω/l dω = Z + = bf nπ L nπ = f. L bf (ω) e inπω/l dω Nótese que se verifican as hipótesis de Teorema de Inversión ya que f L 1 (R), por hipótesis, y que b f L 1 (R), ya que b f L (R), b f (ω) =para todo ω >Ly b f es continua. Probemas 1. ( Ptos) A describir e comportamiento de un fuido isentrópico unidimensiona usando as ecuaciones de Euer, si suponemos conocido e cociente p x /ρ = x + p cos t (p R) y a veocidad inicia de fuido en cada punto, se obtiene e probema de Cauchy ½ ut (t, x)+u (t, x) u x (t, x) =x + p cos t t,x > u (,x)=u x> Resuéveo usando e método de as características.

4 Capítuo 1. Un Examen Resueto Consideremos a curva γ : R R definida como γ (s) =(,s). Es evidente que e probema consiste en encontrar a soución de a ecuación en derivadas parciaes que sobre a curva γ es constante e igua a u. Veamos en primer ugar que se satisface a condición de transversaidad. En efecto: det a1 (γ 1 (s), γ (s),u ) γ 1 (s) a (γ 1 (s), γ (s),u ) γ (s) E sistema característico asociado a este probema es t (s) =1 x (s) =u (s) u (s) =x (s)+p cos (t (s)) 1 =det u 1 =1. con as condiciones iniciaes t () = x () = s u () = u De a primera ecuación y de a condición inicia sobre t fácimente se deduce que t (s) =s. Por otra parte, derivando en a segunda ecuación de sistema y sustituyendo en a tercera se obtiene a ecuación diferencia de orden dos x (s) x (s) =p cos s cuya soución genera es x (s) =c 1 e s + c e s p cos s. Por tanto, u (s) =c 1 e s c e s + p sin s. A imponer as otras dos condiciones iniciaes obtenemos as constantes c 1 y c. En concreto, c 1 = s + u + p,c = s u + p. En resumen, a soución de sistema característico es t (s) =s x (s) = s+u + p e s + s u + p e s p cos s u (s) = s+u + p e s qsu + p e s p sin s Despejando de a segunda de as ecuaciones e vaor de s y sustituyendo en a tercera este vaor y e de t obtenemos a soución de nuestro probema u (t, x) = e t e t + e t ψ (t, x)+ u + p e t e t + e t ψ (t, x) u + p + p sin t donde ψ (t, x) =x + p cos t u + p e t u + p e t.

5 5. ( Ptos) Consideremos e probema de a transmisión de caor en una barra acotada e cua se modeiza por medio de a ecuación u t (t, x) =a u xx (t, x),t>, <x<. (Ec) A tener en cuenta a ey de enfriamiento de Newton sobre os extremos de a barra y suponiendo que a temperatura en e exterior de a misma es constante e igua a cero se obtienen as condiciones de contorno u (t, ) + u x (t, ) =, u(t, )+u x (t, ) = (t>). (Cc) Apica e método de separación de variabes para resover a ecuación (Ec) teniendo en cuenta as condiciones de contorno (Cc) y a condición inicia u (,x)=u (x) (x>). Como siempre en e método de separación de variabes proponemos una soución de tipo u (t, x) =T (t) X (x). Derivando y sustituyendo en (Ec) se tiene que T (t) a T (t) = X (x) = λ = cte. X (x) Las condiciones de contorno (Cc) se transforman en X () + X () = y X ()+X () =. Con todo eo se obtiene e probema de Sturm-Liovie con condiciones separadas ½ X (x)+λx (x) = X () + X () = ; X ()+X () = Los autovaores y autofunciones de este probema son λ = 1, λ n = nπ,x (x) =e x, X n (x) = nπ cos nπx +sin nπx Por e Teorema de Sturm-Liouvie sabemos además que a famiia de funciones (n 1). {X n (x)} n= es una base ortogona de L (,). Hemos de resover ahora as ecuaciones diferenciaes nπa T (t) a T (t) =, Tn (t)+ Tn (t) = (n 1). Las souciones generaes de estas ecuaciones son nπa T (t) =a e at, T n (t) =a n exp t (n 1).

6 6 Capítuo 1. Un Examen Resueto Finamente se propone como soución forma de probema a función X nπa u (t, x) =a e at e x + a n exp t nπ cos nπx +sin nπx. n=1 A imponer a condición inicia u (,x)=u (x) se tiene a identidad u (x) =a e x + X n=1 a n nπ cos nπx +sin nπx donde a n = 1 Z kx n k u (x) X n (x) dx (n ). 3. ( Ptos) Estudiar e probema de a difusión de caor en e recinto Ω = {(r, θ) : r b, θ π/} suponiendo que a temperatura inicia es conocida y que e borde está aisado, esto es, obtener a soución forma de probema u t (r, θ) =a u rr (r, θ)+r 1 u r (r, θ)+r u θθ (r, θ) t>, r<b, θ < π/ u (,r,θ) =u (r, θ) r<b, θ < π/ u θ (t, r, ) = u θ (t, r, π/) = u r (t, b, θ) = t>, r<b, < θ < π/ Como siempre en e método de separación de variabes proponemos una soución de a forma u (t, r, θ) =T (t) R (r) Θ (θ). A derivar y sustituir en a ecuación de caor se obtiene a ecuación T (t)+a µ T (t) = (1.1) y os probemas de Sturm-Liouvie reguar ½ Θ (θ)+ν Θ (θ) = Θ () = Θ (π/) = (1.) ysinguar ½ r R (r)+rr (r)+ µ r ν R (r) = R (1.3) (b) =. Nótese que as condiciones de contorno de probema reguar de Sturm-Liouvie para a función Θ proceden de as condiciones de contorno u θ (t, r, ) = u θ (t, r, π/) =, yque a condición R (b) =procede de a condición u r (t, b, θ) =. Nótese también que en e probema singuar de Sturm-Liouvie para a función R está impícita a condición de reguaridad de existir y ser finito e im r R (r). Los autovaores y autofunciones correspondientes a probema (1.) son ν n =n, Θ n (θ) =cos(nθ) (n ). Por su parte, os autovaores de probema (1.3) son os números µ k,n = λ k,n b

7 7 donde λ k,n son as souciones positivas de a ecuación J n (x) =. Las correspondientes autofunciones de probema (1.3) son as funciones de Besse de primera especie µ λk,n J n b r (k 1) ya que a condición de reguaridad de existir y ser finito e im r R (r) eimina a as funciones de Besse de segunda especie. Finamente, a soución genera de a ecuación (1.1) es T (t) =a kn e λk,n t. a b Con todo eo, a soución forma de probema es u (t, r, θ) =a 1 + X X n=1 k=1 a kn e λk,n t a b cos (nθ) Jn µ λk,n donde os coeficientes a kn se cacuan a imponer a condición inicia u (,r,θ) =u (r, θ).. ( Ptos) Consideremos a ecuación inea de transporte, u t (t, x)+u x (t, x) =, que modeiza a evoución de a concentración de un contaminante en suspensión en e seno de un fuido que atraviesa una conducción de sección simétrica yconstanteaoargodeejex. Supongamos que a concentración inicia es u (,x)=5para todo x, y que no se producen nuevas aportaciones desde e origen de a conducción, esto es, u (t, ) = para todo t >. Apica a transformada de Lapace para resover este probema, es decir, cacua, usando a transformada de Lapace a soución de probema u t (t, x)+u x (t, x) = t>, x> u (,x)=5 x u (t, ) = t> Si mutipicamos a EDP por e tz e integramos en [, + [ respecto a a variabe tempora t se tiene que Z + Z tz u + e (t, x) dt + e tz u (t, x) dt =. t x Teniendo en cuenta e comportamiento de a transformada de Lapace respecto a a derivación y usando formamente e teorema de derivación para integraes paramétricas se obtiene que u (,x)+zu (z,x)+u x (z,x) =, donde U (z, x) =L (u (,x)) (z). Por este procedimiento hemos transformada a EDP origina en a EDO U (z, x)+ z U x (z,x) =5. b r

8 8 Capítuo 1. Un Examen Resueto Por otra parte, a transformada de Lapace de a condición de contorno u (t, ) = es U (z,) =. Con todo eo obtenemos e probema transformado ½ U (z, x)+ z U x (z,x) =5 x> U (z, ) = La soución de este probema es U (z,x) = 5 z 1 e x z. La soución de probema origina se obtiene como a transformada de Lapace inversa de esta función. Para cacuar esta antitransformada es suficiente recordar que L e ωt = 1 z ω y L 1 e az F (z) ½ si t a (t) = L 1 (F )(t a) si t>a Combinando ambas propiedades se tiene que u (t, x) =L 1 (U (,x)) (t) = ½ 5 si t x/ si t>x/