UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS. Conjunto de estabilidad y aproximación de Yosida para un sistema hiperbólico

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS E.A.P DE MATEMÁTICA PURA Conjunto de estabilidad y aproximación de Yosida para un sistema hiperbólico Capítulo II. Estimativas a Priori TRABAJO MONOGRÁFICO Para optar el Título Profesional de Licenciado en Matemática Pura AUTOR Jesús Virgilio Luque Rivera LIMA PERÚ 4

2 Capítulo Estimativas a Priori En lo que sigue daremos condiciones para la función f, M y p R A) f u) = u u p u A) M r) es de clase C con M r) m > para r M : [, R. A3) p < N = 3, 4) o p N N 4 N = 5, 6). Lemas Centrales En esta sección desarrollaremos dos lemas fundamentales, que son usados en la demostración de existencia y unicidad de solución local del sistema ). Lema. Supongamos que se cumple A3). Entonces fu) satisface lo siguiente i) f es una aplicación no lineal de H R n ) en H R n ) el cual satisface: fu) H C s u P H u H R n ) fu) fv) H L u H + v H ) P u v H u, v H R n ), para C s, L >.

3 ii) fu) es una aplicación localmente Lipschitz de H R n ) en L R n ) el cual satisface fu) fv) L u P H + v P H ) u v H.) fu) fv) L u p H + v P H ) u v para algún L >.) iii) Si, en particular n = 3 entonces fu) C k u p H P u, u H R n ).3) Demostración p < ó p N N 4 N = 5, 6) Sea p < si n = 4, s =, m = por Teorema.5. b) 4 = entonces H R 4) L q R 4) q < H R 4) L p R 4) p < si n = 3, s =, m = por Teorema.5. c) 4 < entonces H R 3) L R 3) H R 3) L p R 3) En conclusión para n = 3, 4 y p < H R n ) L p R n ) 3

4 si n = 4, s =, m = por Teorema.5. b) 4 = entonces H R 4) L t R 4) t < sea t = q p ) entonces q p ) < entonces H R 4) L qp ) R 4), q p ) > 3 > 4 de manera análoga se obtiene H R 3) L qp ) R 3), q p ) > 3 En conclusión para n = 3, 4 H R n ) L qp ) R n ), q p ) > n Si consideramos p N N 4 N = 5, 6) para N = 6 tenemos p = por el teorema.5. a) n entonces > si y solo si n > H R n ) H R n ) L q R n ) así se obtiene H R n ) L qp ) R n ) H R n ) L qp ) R n ) q p ) n > n q p ) > n para N = 5 tenemos p 3, p si 3 > H R 3) L t R 3) t 6 4

5 entonces H R 3 ) L q R 3 ) q 3 H R 3 ) L qp ) R 3 ) q p ) > 3 si 4 = entonces En conclusión para n = 3, 4 H R 4) L qp ) R 4) q p ) > 4 H R n ) L qp ) R n ) q p ) > n si n =, k =, p = entonces por el corolario.5. Observación. H R n ) W,r R n ) r n n H R n ) W,r R n ) r n H R n ) L p R n ) H R n ) L qp ) R n ) ; H R n ) W,r R n ) ; q p ) n r n satisfaciendo q + r = de estas inmersiones se tiene u L p c u H, u H R n ) u L qp ) c u H, u H R n ) u W,r c u H, u H R n ) Observación. Para u H R n ) se tienen que u p ) L q R n ) u L q R n ) u L r u W,r 5

6 Notación: L p = P W r, =,r H k R n ) = H k, L =, producto interno en L Ω). Sea u H R n ) y f u) = µ u p u f u) = µ R n u x) p dx = µ u p p cµ u p H por observación. luego f u) < finito) f u) = pµ u p u x i x i f u) x i = pµ u x) p ) u x) R x n i dx cp u p ) u qp ) x i por desigualdad de Hölder r c u p ) H u H, por observación. c u p H <, finito entonces concluimos que f es una aplicación que va de H R n ) en H R n ) pues f u), Df u) L R n ). por definición f : H R n ) H R) u fu) fu) H R n ) = fu) + fu) 6

7 fu) = = fu)x) dx R n R n µ ux) P ) ux) dx = µ R n ux) P dx = µ u P P µ C u P H por observación. entonces fu) C u) p H.4) n fu) = µ ux) P ux) i= R x n i dx n = µ ux) P ux)) x i dx i= R n denotemos ux) P = u ) P n z fu) = u u ) P ux) i= R x n i n ) = µ P u ) P u u µ i= R x n i + u ) P u x i dx n = µ P )u ) P u + u ) P. u i= R x n i x i n = µ P u ) P u i= R x n i n = µ P u x) P ) u R x n i dx i= = µ P R n ux) P ) ux) dx = µ P R n ux) P ) ux) dx dx 7

8 tenemos fu) = µ p R n ux) p ) ux) dx = I por la desigualdad de Hölder y observación. tenemos luego I µ p R n ux) p )) q/ dx ) /q µ p u p ) qp ) u) r R n ux) ) r/ dx ) /r µ p c u p ) H u W,r por la observación. y. C u p ) H u H por la observación. fu) µ p u p ) qp ) u r por observación. C u p ) qp ) u W,r por observación. c u p ) H u H concluimos de la relación.4) y.5) que c u p H.5) fu) H = fu) + fu) Cµ u p H + C u p H max C, C } u H + u H ) p = máx C, C } u H ) p C s u p H para algún C s > entonces fu) H C s u p H, u H R n ) Consideremos: f : H R n ) H R n ) u fu) : R n R x fu)x) = µ ux) p ux); ux) R 8

9 fu)x) fv)x) = µ ux) p ux) vx) p vx) sea ux) = z R h : R R z hz) = z p z i) h es continua en R es continua en [z, w] ii) h es derivable en R es derivable z, w) por el Teorema de Valor Medio c z, w)/ c = θz + θ)w, θ, ) hz) hw) = h c).z w) h z) = P z p hz) hw) = P θz + θ)w p z w) Así se tiene la siguiente igualdad: fu)x) fv)x) = µ ux) p ux) vx) p vx) = µ p θux) + θ)vx) p u x) v x), θ, ) luego fu) fv) = = fu)x) fv)x) dx R n p µ θ u + θ) v p. u v dx R n p u R n p µ θ u + θ) v p. u v dx = I por el Lema.5.8 I p ).p u R n θu p ) + θ) v ) p ) u v dx como C max θ p ), θ) p )} u p ) + v p )) u v dx R n } C u p ) u v dx + v p ) u v dx = I 3 R n R n v p ), u p ) L q/ R n ) y u v L r/ R n ) con q + r = 9

10 entonces } I 3 = C u p ) u v dx + v p ) u v dx R n R n C u p )) ) q/ /q dx. u v ) ) /r r/ dx + R n R n v p )) ) q/ /q dx. u v ) ) } /r r/ dx R n R n } = C u) p ) qp ). u v r + v p ) qp ) u v r por la desigualdad de Hölder. De donde se obtiene la siguiente desigualdad } fu) fv) C u p ) qp ) + v p ) qp ) u v r.6) como H R n ) L qp ) R n ), H R n ) L r R n ), u H R n ) se tiene las siguientes desigualdades u) qp ) C u H, u v r C u v H.7) entonces de.6),.7) y la observación.) tenemos Así se concluye que fu) fv) C C C } u p ) qp ) + v p ) qp ) u v r u p ) H fu) fv) L u p H + v p ) H } u v H } u p ) H + v p ) H u v H + r p H } u v H.8)

11 para algún L > fu)x) fv)x) = fu)x) fv)x)) = µ ux) p ux) µ vx) p vx) ) = µ ux) p ux) ) vx) p vx) ) ) = µ p ux) p u, p ux) p u,..., p ux) p u x x n ) p vx) p v,..., p vx) p v x x n = p µ u ux) p,..., u ) vx) p v,..., v ) x n x x n = p µ ux) p. ux) vx) p vx) = p µ ux) p ux) ux) p vx) + ux) p vx) vx) p vx) p µ ux) p ux) vx)) Usando el Teorema de Valor Medio obtenemos entonces +p µ ux) p vx) p vx) ux) p vx) p p ) ux) p + vx) p ) ux) vx) f u) x) f v) x) p µ ux) p ux) vx)) +p µ p ) ux) p + vx) p ) v u x) v x) = p µ ux) p ux) vx) + pp ) µ ux) p + vx) p ) vx) ux) vx) Utilizando la relación.8) se obtiene la siguiente desigualdad fu) fv) = fu)x) fv)x) dx R n p µ ux) p ux) vx) + Rn pp ) µ ux) p + vx) p ) v ux) vx) )

12 = p µ u p u vx) + pp ) µ u p + v p ) v u v entonces fu) fv) p µ µ p u vu + pp ) µ µ p + u p ) u u v p µ µ p u v + pp ) µ µ p + v p ) v u v = I + I.9) donde I p µ u p [ u v] I pp ) µ u p + v p ) v u v I p µ R n u p u v ) dx = p µ R n ux) p ) ux) vx) dx por la desigualdad de Hölder y para u p ) L q/ R n ), u v L r/ R n ) con r + q = tenemos I p µ R n ux) p )) q/ dx } /q p µ u p ) qp ). u v r, R n ux) vx) ) dx r/ Cp µ u p ) H. u v r por observación.) C p µ u p ) H u v H u v r c u v H por observación.) y.) } /r por lo tanto I C u p H u v H.)

13 Cuando p = I = 4µ R n ux) vx) vx) dx ux) 4µ vx) ) ) /q q/ dx. vx) ) r/ dx R n = 4µ u v q v r 4µ u v qp ) v W,r por observación.) ) /r 4µ c u v qp ) v H C u v H v H Luego I C u v H v H cuando p > tenemos por Lema.5.8 y desigualdad de Hölder I p p ) µ R u x) p + v x) p ) vx) vx) dx n u p p ) µ x) p ) + v x) p ) ) v u x) v x) dx R n = p p )µ u x) p ) + v x) p )) v x) u x) v x) dx R n como u p ), v p ) L q/ R n ) y u v L t/ R n ), v L r/ R n ) con H R n ) L qp ) R n ) ), H R n ) W,r R n ) ), H R n ) L t R n ) ), qp ) N r N t N 3

14 donde r + q + r = entonces I p p ) µ R n u p ) v u v dx +p p ) µ R n v p ) v u v dx, por desigualdad de Hölder R n + ) ) u p ) q/ /q dx. R n v p ) ) q/ dx ) /q. = p p ) µ u p ) qp ) + v p ) qp ) v ) ) /r r/ dx. u v ) t/ dx R n R n v ) ) /r r/ dx. u v ) t/ dx R n R } n v r. u v t ) /t ) /t entonces } I C u p qp ) + v p qp ) v r u v t C u p H + v p H } C v W,r u v H por la inmersión anterior I = C I C u p H u p H + v p H } v W,r u v H + v p H } v H u v H por observación.) Luego I C u p H + v p H } v W,r u v H.) Para p = f u) f v) I + I por.) y.) se tiene f u) f v) C u p H u v H + C v H u v H máx C, C } u p H + v H } u v H C u H + v H } p u v H = C u H + v H } p u v H Es decir, f u) f v) C u H + v H } p u v H 4

15 Para p > f u) f v) C u p H u v H + De donde se tiene C u p H máx C, C } u p H máx C, C } u p H máx C, C } u p H + v p H } v H u v H + u p H L u H + v H } p u v H + v p H ) v H } u v H + u p v H + v p H } u v H + u H v H + v p H } u v H f u) f v) L u H + v H } p u v H.) de.8) y.) se obtiene la siguiente desigualdad f u) f v) H = f u) f v) + f u) f v) L u p H + v p H ) u v H +L u H + v H ) p u v H como H R n ) H R n ) máx L, L ) u H + v H } p u v H +máx L, L ) u H + v H } p u v H L u H + v H } p u v H Por tanto f u) f v) H L u H + v H } p u v H, u, v H Lema. ii) fue probado en.8) De.6) tenemos que f u) f v) C } u p qp ) + v p qp ) u v r 5

16 con q + = ; en el Teorema.5.9 Gagliardo - Nirenberg) r Hacemos q = N, p = entonces r = N N y q + r = entonces W, R N) = H R n ) L r R N) inmersión continua y además satisfaciendo por.3) u r C u.3) } f u) f v) C u p qp ) + v p qp ) u v r } Cc u p qp ) + v p qp ) u v r pues H R N) L qp ) R n ) f u) f v) L u p H f u) f v) L u p H finalmente mostremos iii) con N = 3 + v p H } u v + v p H } u v f u) C k u p H u u H R n ) Por el Teorema.5.c) W, R 3 ) = H R 3 ) entonces p = 3, m =, N = 3 y 3 < entonces H R 3) L R 3) f u) = µ ρ R u p ) u dα, como u p ) L q/ R 3 ), v L q/ R 3 ) µ ρ u p ) u dα µ ρ R R por la desigualdad de Hölder u p )) q/ dx } q = µ ρ u p ) qp ) u r cµ ρ u p ) u r C k u p ) H u r C k u p H u ) R3 u r dx } r 6

17 Luego f u) C k u p H v para algún C k >. Condiciones Previas y Conjunto Admisible Sea k > una constante arbitrario satisfaciendo con k 4 u + 8 u u ) u m H + M u ) u } H +.4) m = min, m } C = C s k p + M k m C = máx C, C sk p, M } k m } M M = máx r) r k C s k p T + 8C sk p T + C k ρ T m <.5) exp C T ) <.6) Introduciremos el conjunto admisible K donde v C i [, T ], H i R n )), i =,, / v ) = u, v t ) = u K = v t) H k, v t t) H k, en [, T ]}, k = constante Sea v K. Ahora consideremos la ecuación u tt t, x) M v t) ) u t, x) + ut t, x) = f v t)) x).7) 7

18 tal que t [, T ], x R n por A.) M : [, R es de clase C. Luego h : [, T ] R t h t) = M v t) ) es continua y diferenciable. Sea u, v K entonces u, v C i [, T ], H i R n )) i =,, ) entonces u t), v t) H R n ) parai = sabemos f : H R n ) H R n ) por Lema. i) y además f u t)) f v t)) H L u t) H + v t) H } p u t) v t) H L k} p u t) v t) H pues u t) H k v t) H k f u t)) f v t)) H C u t) v t) H, C > entonces para u t) v t) H < ε C entonces u t) v t) H < ε por lo tanto f es continua. Por la teoría general de ecuaciones lineales hiperbólicas implica que, existe una solución ) única u C [, i T ], H i R n ) i =,,,) de.7) satisfaciendo u) = u, u t ) = u. definamos la aplicación Φ por Φv = u, solo falta probar que u t) H k, u t t) H k si se logra probar esto, entonces Φ aplica K en sí mismo Φ : K K 8

19 definamos Au = u A : D A) L R n ), D A) H R n ) Para λ > sea A λ = AJ λ regularización Yosida de A) como J λ = I + λa) J λ resolvente de A) u t) = u t t) u t) = v tt u C i [, T ], H i R n ) ) i =,, ) u C [, T ], H R )) u C [, T ], H R n ) ) u C [, T ], H R n ) ) u C [, T ], L R n ) ) u C [, T ], L R n ) ) pasando.7) al contexto de L R n ) tenemos u t) + M v t) ) Au t) + t) + u t) = f v t)).8) Luego aplicando J λ sobre.8) se obtiene J λ u t) + M v t) ) Jλ Au t) + J λ u t) = J λ f v t)) J λ u t) + M v t) ) Aλ u t) + J λ u t) = J λ f v t)) Lema. Sea v K. Entonces Φ aplica K en si mismo. Prueba. Multiplicando.7) por u t, x) se tiene u t, x) u t, x)+m v t) ) u t, x).u t, x))+ [u t, x)] = f v t)) x) u t, x) y luego integrando sobre R n. u t, x) u t, x) dx + M v t) ) u t, x).u t, x)) dx+ R n R n + [u t, x)] dx = f v t)) x) u tx) dx. R n R n 9

20 u t), u t)) L + M v t) ) u t), u t)) L + u t) = f v t)), u t)) L como u t), u t)) L + M v t) ) u t), u t)) L + + u t) = f v t)), u t)) L.9) son distribuciones u t), u t)) L L, T ), u t), u x)) L L, T ) u t), u t)) L L, T ) y L, T ) D, T ) u t), u t)) L = d dt u t) M v t) ) u t), u t)) = d dt M v t) ) u t) M v t) ) v t), v t)) L u t) sustituyendo en.9) d u t) dt + M v t) ) } u t) + u t) = M v t) ) v t), v t)) L u t) + f v t)), u t)) integrando de hasta t; t [, T ], m m r), r [, t u t) + m u t) + u s) ds + desde que v K, por A.), Lema..i), M v s) ) v s), v s)) u s) f v s)), u s)) ds + u + M u ) u M = máx M r) / r k } + M v s) ) v s), v s)) u s) ds f v s)), u s)) ds + u + M u ) u 3

21 por la desigualdad de Cauchy - Schwartz + M v s) ) v s) v s) + M u s) ds f v s)) u s) ds + u + M u ) u como v K entonces v t) H k entonces v t) k v t) H k entonces v t) k por Lema. i), f v s)) H C s v s) p H C s k p, M k u s) + Ckp u s) ds + u +M u ) u aplicando la desigualdad de Young u + M [ u ) t u + C sk p ds + + M k m u s) m ds = u + M u ) t u + C sk p t + C s k p u s) ds + M k m u s) m ds u + M u ) u + C sk p t + [C s k p + M ] k [ u s) ds + C s k p + M ] k m m u + M u ) u + C sk p t + [C s k p + M ] k ) u s) m + m u ) + [C s k p + M ] k s ) u r) dr m u s) ds ] u s) ds = u + M u ) u + C sk p s + [C s k p + M ] k t s )} u s) + m u s) + u r) dr m 3

22 de esta manera u t) + m u t) + u s) ds u + M u ) u + C sk p t+ + [C s k p + M ] k ] [ u s) + m u s) + u r) dr ds m Luego por la desigualdad de Gromwall donde m u t) + u t) + u s) ds ) [H + C s k p t] exp C ds = [H + C s k p t] exp C t).) H u + M u ) u C C s k p + M k m Nuevamente multiplicamos ambos lados de.7) por u t, x) e integrando sobre R n u t, x) u t, x) M v t) ) u t, x) u t, x) + u t, x) u t, x) = f v t)) x).u t, x).) u t, x) u t, x) dx + M v t) ) u t, x) u t, x) dx+ R n R n + u t, x) u t, x) dx = f v t)) x).u t, x) dx R n R n u t), u t)) L + M v t) ) u t), u t))l + + u t), u t)) L = f v t)), u t)) L u t), u t)) L + M v t) ) u t), u t))l + u t), u t)) L = f v t)), u t)) L u t), u t)) L + M v t) ) u t), u t))l + u t), u t)) L = f v t)), u t)) L 3

23 Observación u t), u t)) L = d dt u t), u t)) u t) u t), u t)) L = d dt u t) sustituyendo en.) estas dos desigualdades obtenemos: d dt u t), u t)) L +M v t) ) u t) L + d dt u t) = u t) +f v t), u t))) L integrando de a t u t), u t)) L + M v s) ) u s) L ds + u t) = = u ), u )) L + u ) + u s) L ds + luego u t) + M v s) ) u s) L ds u t), u t)) L + u, u ) L + u, u ) + u + f v s)), u s)) ds fvs)), us))ds + u s) ds u t), u t)) L + u, u ) + u + f v s)), u s)) L ds + aplicando Cauchy - Schwartz u s) ds u t) u t) + u u + u + como m M r) r [, v t). u t) + m f v s)) u s) ds + u s) ds u s) ) ds u t) u t) + u u + u + + f v s)) u s) ds + u s) ds 33

24 Aplicando desigualdad de Young u + u u + + ) u t). u t) u s) ds + f v s)) u s) ds u + u u + u t) + u t) +4 u s) ds + f v s)) u s) ds como v K entonces v s) H k por Lema. i) f v s)) H C s v s) p H C s k p u + u u + u t) + } u t) + u s) ds +C s k p u s) ds t [, T ] u + u u + u t) + } u t) + u s) ds se tiene que u t) + m +C s k p t + C s k p u s) ds u t) ds u + u u + u t) + } u t) u s) ds +C s k p t + C s k p u s) ds.) por.) y.), como exp C t) < entonces u t) + u u + u t) + [H + C s k p ] exp C t)] +C s k p t + C s k p u s) ds. u t) + u u + u t) + 4 H + 4C sk p t t +C s k p u s) ds. t [, T ] + C s k p t 34

25 así obtenemos T u t) + m u t) ds u + u u + 4 H + 4C sk p t t + C s k p t + C s k p u t) u + 4 u u + 8 H + 8C sk p t tomemos H g t) C sk p t + C sk p [ u + u u + 4 ] H + 8C sk p [H + g t)] + C sk p t u s) ds + C sk p u s) ds. u s) ds. Aplicando la desigualdad de Gronwall s, se obtiene ) u t) C s k p [H + g t)] exp ds ) Cs k p = [H + g t)] exp t t [, T ].3) la ecuación.7) en el contexto de L R n ) se escribe u t) + M v t) Au t)) + u t) = f v t)) t [, T ] aplicando el operador resolvente J λ a.8) obtenemos J λ u t) + M v t) ) Jλ Au t) + J λ u t) = J λ f v t)) haciendo el producto interno en L R n ) con J λ + A λ ) u t) J λ u t), J λ u t)) L + J λ u t), A λ u t)) L + M v t) ) Jλ Au t), J λ u t)) + J λ Au t)), A λ u t) L } + J λ u t), J λ u t)) L + J λ u t), A λ u t)) L } = J λ f v t)), J λ + A λ ) u t)) L 35

26 pero A λ = J λ A J λ u t), J λ u t)) L + J λ u t), J λ Au t)) L + M v t) ) Jλ Au t), J λ u t)) L + J λ Au t), A λ u t)) L } + J λ u t), J λ u t)) L + J λ u t), J λ Au t))} = J λ f v t)), J λ + A λ ) u t)) L.4) Observación d dt J λu t) = J λ u t), J λ u t)) L d dt J λu t) = J λ u t), J λ u t)) L = J λ u t), J λ Au t)) L entonces d dt [ J λu t) H ] = J λ u t), J λ u t)) L + J λ u t), Au t)) L.5) d M v t) dt )) Jλ u t) H = M v t) ) v t), v t)) L J λ u t) H +M v t) ) d dt J λu t) H d dt J λu t) H = d dt J λu t) + d dt J λu t) H = J λ u t), J λ Au t)) L + J λ Au t), J λ Au t)) L d M v t) dt )) Jλ u t) H = M v t) ) v t), v t)) L J λ u t) H + M v t) ) Jλ u t), J λ Au t)) L + J λ Au t), J λ Au t)) L }.6) J λ u t), J λ u t)) L = J λ u t) J λ u t), J λ Au t)) L = J λ u t) J λ u t) H = J λ u t), J λ u t)) L + J λ u t), J λ Au t)) L.7) 36

27 sustituyendo.5),.6) y.7) en.4) obtenemos d dt J λ u t) H + M } v t) ) Jλ u t) + J λ u t) H = M v t) ) v t), v t)) J λ u t) H + J λ f v t)), J λ + A λ ) u t)) L.8) J λ f v t)), J λ + A λ ) u t)) L = J λ f v t)), J λ u t)) L + J λ fv t), A λ u t)) L = J λ f v t)), J λ u t)) L + J λ fv t), AJ λ u t)) L = J λ f v t)), J λ u t)) L + J λ u t), J λ f v t))) L = J λ f v t)), J λ u t)) L + J λ u t), J λ f v t))) L J λ f v t)), J λ u t)) L + J λ u t), J λ f v t))) L por Cauchy - Schwartz por la desigualdad de Young J λ f v t)) J λ u t) + J λ u t) J λ f v t)) = J λ f v t)) Jλ u t) + J λ u t) J λ f v t)) 4 J λf v t)) + J λu t) + J λ u t) + 4 J λf v t)) = Jλ f v t)) 4 + J λf v t)) } } + J λ u t) + J λu t) 37

28 = 4 J λf v t)) H + J λ u t) H 4 J λ L L ) f v t)) H + J λ u t) H Desde que J λ L L ) y teniendo en cuenta el Lema.i) obtenemos 4 C s v t) p H + J λ u t) H 4 C sk p + J λ u t) H.9) de.8) y.9) tenemos que d [ J λ u t) H + M v t) ) ] dt Jλ u t) H + J λ u t) H = J λ f v t)), J λ + A λ ) u t)) L + M v t) ) v t), v t)) J λ u t) H J λ f v t))), J λ + A) u t)) L + M v t) ) v t), v t)) J λ u t) H por.9) y desigualdad de Cauchy - Schwartz c sk p 4 c sk p 4 c sk p 4 c sk p 4 + J λ u t) H + M v t) ) v t) v t) J λ u t) H + J λ u t) H + M v t) v t) J λ u t) H + J λ u t) H + M [ ] v t) + v t) J λ u t) H + J λ u t) H + M k J λ u t) H así obtenemos d J λ u t) H + M v t) ) } dt Jλ u t) H c sk p + M k J λ u t) H.3) Integrando de hasta t J λ u t) H + M v t) ) Jλ u t) H c sk p ds+ + M k J λ u s) H ds + J λ u ) H + M v ) ) H Jλ u ) H 38

29 como m M r) r [, J λ u t) H + m v t) ) Jλ u t) H c sk p t+ + M k u s) H ds + J λ u ) H + M v ) ) Jλ u ) H.3) para t [, T ]. Como A es un operador no acotado maximal monótona entonces Luego haciendo λ en.3) obtenemos u t) H + u t) H c sk p J λ v H v H t + M k u s) H ds + u ) H + M v ) ) u ) H = c sk p t + M k u s) H ds + u H + M u ) u H como m = min, m } entonces de la desigualdad anterior se tiene [ ] m u t) H + u t) H u H + M u ) u H Luego se tiene que + c sk p t + M k u s) a H ds u H + M u ) u H + c sk p t ] +M k [ u s) H + u s) H ds u t) H + u t) H [ u H + M u m ) u H ] + c sk p t m + M k m aplicando la desigualdad de Gronwalls u t) H + u t) H [H + h t)] exp [ u s) H + u s) H ] ds ) M k ds m 39

30 u t) H + u t) H [H + h t)] exp C t).3) H [ u H + M v m ) u H ] g t) = c sk p t m C máx c, c sk p, M } k m adicionando.3) y.3) tenemos u t) + u t) H + u t) H ) cs k p t [H + g t)] exp + [H + h t)] exp c t) [H + H + g t) + h t)] exp c t) de.5) se tiene que entonces g t) + h t) c s k p T + 8c sk p T + c sk p T m < [H + H + g t) + h t)] exp c t) = [ u + u u ] + 4 u + M u ) u + 4 m [ u H + M u u H ] + g t) + h t)} exp c t) 4 u + 8 u u u + M u u ) + + [ u H + M u m ) u ] H 4 u + 8 u u ) u H + M u m u } H + k 4

31 luego se concluye u t) + u t) H + u t) H k de la expresión anterior tenemos u t) + u t) H } + u t) H k entonces de esta manera u t) H + u t) H k u t) H k, u t) H k luego se obtiene u K. Esto finaliza la demostración del Lema. 4