Notas de clase sobre la Transformada de Fourier

Transcripción

1 Notas de clase sobre la Transformada de Fourier Pablo L. De Nápoli 3 de noviembre de 205. La definición de la transformada de Fourier Definición. Si f L ( ) definimos su transformada de fourier por f(ξ) = (2π) n/2 f(x) e ix ξ dx donde x ξ significa el producto escalar Observación.2 Tenemos la obvia pero importante estimación f (2π) n/2 f. Designemos por F el operador transformada de Fourier. Así F : L ( ) L ( ) es un operador lineal acotado. Teorema.3 Sea f L ( ) entonces f es uniformemente continua en. Demostración: Como f L ( ), dado ε > 0 encontraremos un η = η(ε) > 0 tal f(x) dx < ε. x η Por la continuidad de e i z existe un δ = δ(ε) > 0 tal que si z < δ e iz < ε. Tomemos h tal que h δ η (que depende de ε pero no de ξ). Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz si x < η x h x h η h < δ e ix h < ε

2 y entonces resulta que: f(ξ + h) f(ξ) = (2π) n/2 (2π) n/2 f(x)e ix (ξ+h) dx (2π) R n/2 f(x)e ix ξ dx n f(x)(e ix (ξ+h) e ix ξ ) dx n (2π) n/2 f(x)e ix ξ (e ix h ) dx (2π) n/2 f(x) e ix h dx [ (2π) n/2 f(x) e ix h dx + x η ] (2π) [2 n/2 f(x) dx + ε f(x) dx x η x <η (2π) n/2 (2ε + ε f ) = Cε x <η con C una constante (depende de f pero no de ε). Esto prueba que f es uniformemente continua. 2. La transformada de Fourier y las derivadas El siguiente teorema permite calcular la transformada de fourier de una a derivada: Teorema 2. Si f C ( ) L ( ) es tal que f(x) e ix h dx ] i) f x j L ( ) ii) f(x) 0 cuando x entonces f x j (ξ) = i ξ j f(ξ). Demostración: Integrando por partes se tiene: f (ξ) = (2π) n/2 x j = (2π) n/2 iξ j f x j (x) e ix ξ dx f(x) e ix ξ dx = iξ j f(ξ). 2

3 Corolario 2.2 Supongamos que f C k ( ) es tal que i) D β f L ( ) para β k (en particular D 0 f = f L ( )) ii) D β f(x) 0 para β < k y que α es un multi-índice tal que α = k entonces D α f(ξ) = (iξ) α f(ξ) (por inducción en k). Caso particular: Tomemos α = (0, 0,..., 0, 2, 0,..., 0). Queda 2 f (ξ) = ξj 2 f(ξ) x 2 j entonces tenemos que f(ξ) = ξ 2 f(ξ) El siguiente resultado se refiere a las derivadas de la transformada de Fourier. Para la demostración, requerimos un lema: Lema 2.3 (derivación bajo el signo de integral) Sean U, V R m abiertos y sea g : U V R derivable respecto de ξ j tal que g (x, ξ) h(x) (x, ξ) U V donde h(x) L (U), y sea F : V dada por F (ξ) = g(x, ξ)dx entonces U F g (ξ) = (x, ξ)dx. Demostración: Sea ξ V. Si h 0 es suficientemente pequeño tenemos [ ] F (ξ + he j ) F (h) g(x, ξ + hej ) g(x, ξ) = dx. h h Ahora por definición se tiene en cada punto lím h 0 U U g(x, ξ + he j ) g(x, ξ) h = g (x, ξ). Por otra parte, por el teorema del valor medio: g(x, ξ + he j ) g(x, ξ) h = g (x, ξ + θe j ) h(x) 3

4 (aquí θ = θ(x, ξ) (0, )), y como h es integrable, por convergencia mayorada [ ] g(x, ξ + hej ) g(x, ξ) g lím dx = (x, ξ)dx. h 0 U h Por lo que se obtiene la conclusión del enunciado. Teorema 2.4 Supongamos que f L ( ), x j f(x) L ( ) entonces f es derivable respecto de ξ j y se tiene f (ξ) = ( ix ξ j f)(ξ). j Demostración: Aplicamos el lema anterior a (con U = V = ). de donde g(x, ξ) = (2π) n/2 f(x)e ix.ξ g (x, ξ) = (2π) n/2 ( ix j )f(x)e ix ξ, g (x, ξ) (2π) n/2 x j f(x) que por hipótesis es integrable. Por lo tanto f (ξ) = (2π) n/2 U ( ix j ) f(x)e ix ξ dx. Corolario 2.5 Supongamos que α es un multi-índice α = k y que x β f L ( ) para todo β con β k entonces (D β f)(ξ) = (( ixj ) α f)(ξ). 3. La fórmula de inversión Lema 3. Sean f, g L ( ) entonces: (f ĝ)(x) = f(y) g(y) e ix y dy. 4

5 Demostración: (f ĝ)(x) = f(t) ĝ(x t)dt R n ] = f(t) [(2π) n/2 g(y)e i(x t) y dy dt R n = (2π) n/2 f(t) g(y) e ix y e it y dydt R n ] = g(y) [(2π) n/2 f(t) e it y dt e ix y dy = g(y) f(y)e ix y dy. Caso particular: Si x = 0 obtenemos la fórmula f(t) ĝ( t) dt = f(y) g(y) dy o sea f, ĝ = f, g para f, g L ( ). Lema 3.2 (efecto de una dilatación sobre la transformada de Fourier) Si g L ( ) y ε > 0, notemos δ ε g a la dilatada de g por el factor ε o sea, δ ε g(x) = g(εx). Entonces (δ ε g)(ξ) = ε n ĝ(ξ/ε) = ĝ ε (ξ) (donde f ε significa la aproximación de la identidad f(x) = ε n f(x/ε) obtenida a partir de f). Demostración: Haciendo el cambio de variable y = ε.x dy = ε n dx (ε n es el Jacobiano) R n (δ ε g)(ξ) = (2π) R n/2 g(εx)e ix ξ dx = ε n g(y)e i(x/ε) ξ dy n = ε n ĝ(x/ε). Lema 3.3 Si g(x) = e x 2 /2 entonces ĝ(ξ) = g(ξ). Demostración: Por medio del siguiente lema se reduce inmediatamente al caso n = g(x) = e x2 /2 g(0) = 5

6 por otra parte g (x) = xe x2 /2 = xg, d dξ ĝ (ξ) = ( ixg)(ξ) = iĝ (ξ) = ξ ĝ(ξ). Así pues ĝ es otra solución de la misma ecuación diferencial g = xg. Además ĝ(0) = (2π) /2 e x2 /2 dx =. Por la unicidad de la solución, concluimos que ĝ = g. R Lema 3.4 Si f(x) = f (x ).f 2 (x 2 )... f n (x n ) con f, f 2,..., f n L (R), entonces f(ξ) = f (ξ ). f 2 (ξ 2 )... f n (ξ n ). Demostración: Es inmediata por el teorema de Fubini f(ξ) = (2π) R n/2 f(x)e ix xi dx = n = f (ξ ) f 2 (ξ 2 )... f n (ξ n ). n (2π) /2 f j (x j )e ixj ξj j= R dx j Teorema 3.5 (Fórmula de inversión) Si f L ( ) y f L ( ) entonces se verifica que en casi todo punto. f(x) = (2π) n/2 f(y)e ix y dy Demostración: Eligiendo g(x) = (2π) n/2 e x 2 /2 de modo que g(x)dx =, resulta que (f g ε )(x) Lema 3.3 = (f ĝ ε )(x) (f (δ ε g))(x) Ahora cuando ε 0, f(y)g(εy)e ix y dy Lema 3. = Lema 3.2 = f(y)g(εy) e ix y dy. f(y)g(0)e ix y dy = (2π) n/2 f(y)e ix y dy, por convergencia mayorada (ya que estamos suponiendo que f es integrable y g es acotada). 6

7 Ahora justamente como f, g L ( ) y g(x)dx =, se tiene que f g ε f en L con lo que f(x) = (2π) n/2 f(y)e ix y dy () como funciones de L (es decir en casi todo punto). Observación 3.6 Se puede ver que la fórmula () vale en cada punto de continuidad de f, y más aún en todo punto de Lebesgue de f 2. Definición 3.7 Para f L ( ) definimos la anti-transformada de Fourier por F (f)(x) = (2π) n/2 f(ξ)e ix ξ dξ la fórmula de inversión afirma que si f L ( ) y f = F(f) L ( ) entonces F (F(f)) = f lo que justifica la notación F. Claramente las propiedades de la anti-transformada son análogas a las de la transformada. Observación 3.8 El Lema 3. dice que f ĝ = F (f ĝ). Observación 3.9 Designemos por f la reflejada de f dada por f(x) = f( x) entonces F ( f) = (2π) n/2 f( x)e ix ξ dx = (2π) n/2 La fórmula de inversión entonces afirma pues que F(F(f)) = f f(y)e iy ξ dx = f(ξ). siempre que f y f estén en L ( ). En particular F 4 = Id los únicos posibles autovalores de la transformada de Fourier son {±, ±i}. Wheeden & Zygmund Teorema 9.6 pag Wheeden & Zygmund ejemplo 9.2 pag. 52 teoremas 9,9y9,3. 7

8 Observación 3.0 Por la fórmula de inversión, si f L ( ) y f L ( ) se tiene, en particular, que f (2π) n/2 f de modo que f L ( ). Corolario 3. Supongamos que f, h L ( ) son tales que ĥ L ( ). En la fórmula del Lema 3., f, (ĝ) = f, g, pongamos g = ĥ ĝ = h, por la fórmula de inversión queda: f, h = f, ĥ (Teorema de Plancherel). Observación 3.2 En general es falso que si f L ( ) f L ( ). Por ejemplo f = χ [ a,a] L (R), pero a f(ξ) = (2π) /2 f(x) e ixξ dx = (2π) /2 e iaξ e iaξ a iξ /2 sin(aξ) = (2π), 2ξ que no pertenece a L (R). 4. El espacio de Schwarz Sea S( ) = { } f : R C tales que α, β multíndices sup x α D β f < +. x Los elementos de S( ) se llaman funciones rapidamente decrecientes en. La familia de seminormas: f α,β = sup x x α D β f hace de S( ) un espacio vectorial topológico localemente convexo. Observación 4. Si f S( ) y p R[X] es un polinomio, p f S( ). Si α es un multi-índice y f S( ) entonces D α f S( ). Observación 4.2 Si f S( ) entonces f L p ( ) para todo p. De hecho encontramos M tal que x 2 i f(x) M para i =, 2,..., n o sea (x 2 + x x 2 n)f(x) M n f(x) Mn x 2 8

9 En particular f(x) 0 cuando x. Más generalmente: dado k N, encontramos una constante C tal que por lo que x > (x 2 + x x 2 n) k f(x) C, f(x) x 2k f(x) p dx dx = x 2kp x > + = C p r 2kp r n dr < + si n 2kp < 0, o sea si n < 2kp,o k > n 2p. Esto muetra que f L p ( ) para todo p. Los resultados anteriores implican el siguiente resultado: Teorema 4.3 La transformada de Fourier aplica S( ) biyectivamente sobre si mismo y si f S( ) se tiene α multi-índice D α f(ξ) = (iξ) α f(ξ). D α ( f) = ( iω) α f 5. La transformada de Fourier en L 2 : Teorema de Plancherel En particular, si f, g S( ) se tiene la igualdad de Plancherel y por lo tanto, f, g = f, ĝ, f 2 = f 2 (tomando f = g). Como S( ) es denso en L 2 ( ) podemos extender por continuidad la transformada de Fourier a un operador F : L 2 L 2. La igualdades:. f, g = f, ĝ, 2. f 2 = f 2, 9

10 se verificará entonces f, g L 2 ( ). Análogamente podemos extender la anti-transformada, con lo que se ve que F : L 2 L 2 resulta un isomorfismo unitario. Cómo puede calcularse la transformada (o la anti-transformada) de una función f L 2 ( )? Tomemos un r > 0 y sea g r = fχ B(0,r). Tenemos que g r L ( ) y que g f en L 2 cuando r. De hecho f g r 2 2= f(x) 2 dx 0 cuando r pues f L 2. Entonces { x >r} f ĝ r 2 0 en L 2, es decir: ĝ r (ξ) = (2π) n/2 B(0,r) f(x)e ix.ξ dx f(ξ) en L 2 cuando r. Esto permite calcular f si f L 2 ( ). 6. Aplicación a la ecuacion del calor Consideremos el problema: encontrar una función u = u(x, t) con x, t R 0 tal que { u t = x u para t > 0 u(x, 0) = f(x). Apliquemos la transformada de Fourier en x, o sea introduzcamos la función: û(ξ, t) = (2π) n/2 u(x, t) e iξ x dx (operamos formalmente, suponiendo por ejemplo que u(x, t) S(+ )). Como transformamos solamente en x encontramos que: (u t )(ξ, t) = (û) t (ξ, t) (derivando bajo el signo de integral) mientras que: ( x u)(ξ, t) = ξ 2 û(ξ, t) por lo que obtenemos para cada ξ un problema de ecuaciones ordinarias { (û)t (ξ, t) = ξ 2 û(ξ, t) û(ξ, 0) = f(ξ), 0

11 con lo que resulta: û(ξ, t) = f(ξ)e ξ 2t. Queremos hallar su anti-transformada de Fourier con λ = 2t. Siendo g t (ξ) = e ξ 2t = e λξ 2 /2 = δ λ g g(ξ) = e ξ 2 /2 F (g) = g. F (g t (ξ)) = λ n F (g) Como (f n/2 g)(ξ) = (2π) f.ĝ, ( ) ξ = 2 e x /(4t). λ (2t) n/2 û(ξ, t) = f(ξ)e ξ 2 t entonces u(x, t) = (f K t )(x) = f(z x)e x 2 /(4t) dz, (4πt) n/2 donde K t (x) = (4πt) n/2 e x 2 /(4t) (núcleo del calor), pongamos ε = t K t (x) = (4π) n/2 ε n e ε 2 /4, entonces K t es una aproximación de la identidad. Teorema 6. Si f L p ( ) entonces u(x, t) = f(z x)e x (4πt) n/2 2 /(4t) dz es C en (0, + ) y es una solución de u t = x u. Si p <, u(, t) f en L p cuando t 0. Si f es acotada y continua, entonces u es continua en [0, + ) y u(x, 0) = f(x).