Por las propiedades de las funciones Impares es inmediato para la integral en la variable λ. f(ξ)senλ(ξ x)dξdλ = 0

Transcripción

1 VERSIÓN COMPLEJA DE LA INTEGRAL DE FOURIER NOCIONES BÁSICAS E. SÁEZ Sea f : (, R una función absolutamente integrable, seccionalmente continua en cada intervalo de la forma [ p,p], p > y con derivadas laterales en cada punto. Entonces se sabe que la función f se puede escribir puntualmente como una Integral de Fourier: (1 f(x = 1 f(ξcosλ(ξ xdξdλ, x R π Observación 1. Recordemos que la Integral de Fourier converge en los puntos de discontinuidad de f al valor medio del salto, por esta razón la igualdad anterior puede ser falsa pero esto ocurre a lo más en finitos puntos ya que f es seccionalmente continua. La integral de Fourier tiene el integrando en la variable λ como una función Par. Por las propiedades de las funciones Pares se puede escribir equivalentemente (2 f(x = 1 f(ξcosλ(ξ xdξdλ, x R Por las propiedades de las funciones Impares es inmediato para la integral en la variable λ En consecuencia multiplicando por i (3 i f(ξsenλ(ξ xdξdλ = f(ξsenλ(ξ xdξdλ = donde i es la unidad imaginaria del sistema de números complejos Sumando cero a la fórmula (2, reemplazando el cero por la fórmula (3 y reagrupando las integrales se obtiene: f(x = 1 [cosλ(ξ x isenλ(ξ x]f(ξdξdλ Departamento de Matemática, UTFSM e mail: eduardo.saez@usm.cl. 1

2 2 E. SÁEZ Por la identidad de Euler e iθ cosθ+isenθ con θ R se puede escribir la llamada versión compleja de la Integral de Fourier: (4 f(x = 1 f(ξe iλ(ξ x dξdλ, x R Importante: La Integral de Fourier se puede escribir equivalentemente (5 f(x = 1 (e iλx f(ξe iλξ dξ dλ, x R }{{} función de λ La existencia de las integrales impropias en (5 permite definir la función en la variable λ llamada Transformada de Fourier (6 F[f](λ := f(ξe iλξ dξ = ˆf(λ Nótese que introduciendo la función ˆf en (5 se recupera la función f pues se tiene: f(x = 1 ˆf(λe iλx dλ Entonces se define la llamada Transformación Inversa de Fourier por: (7 F 1 [ˆf](x := 1 ˆf(λe iλx dλ Comentario 1. Algunos autores para aumentar la simetria de las fórmulas en las definiciones de la Transformada de Fourier y su inversa reparten el coeficiente de (4, en ambas integrales y definen: 1 = 1 1 F[f](λ := 1 f(ξe iλξ dξ F 1 [ˆf](x := 1 ˆf(λe iλx dλ Expresiones conocidas con el nombre de Formas Simétricas de la Transformada de Fourier y su Inversa. Ejemplo 1. Por cálculo directo obtener: F[e a x ](λ =?,a > Solución: Es claro que la función f(x = e a x,a > es absolutamente integrable, seccionalmente continua en cada intervalo de la forma [ p,p], p > y con derivadas laterales en cada punto (ver Fig 1

3 VERSIÓN COMPLEJA f(x Figura 1 Usando directamente la definición (6 se tiene: F[e a x ](λ = e a x e iλx dx = e a x e iλx dx+ e a x e iλx dx = ex(a iλ dx+ e x(a+iλ dx = ex(a iλ a iλ x e x(a+iλ a iλ Pero e x(a iλ e ax (cosλx isenλx, entonces en el sentido de límite e x(a iλ = e ax si x pues a > Análogamente e x(a+iλ = e ax si x. Luego, F[e a x ](λ = 1 a iλ 1 a+iλ = 2a a 2 +λ 2, a >. Propiedades de la Transformada de Fourier Suponiendo la convergencia de las integrales impropias involucradas, las propiedades básicas de la Transformada de Fourier son análogas a las correspondientes propiedades de la Transformada de Laplace. Propiedad 1 (Linealidad. F[αf +βg] = αf[f]+βf[g], α,β C Consecuencia inmediata de la propiedad de linealidad de la integral. Propiedad 2 ( Primer Teorema de Traslación. F[f(xe iλ x ](λ = F[f](λ λ, λ R F[f(xe iλ x ](λ = f(xeiλ x e iλx dx = f(xe i(λ λx dx } {{ } F[f](λ λ

4 4 E. SÁEZ Ejemplo 2. Si F[f] = ˆf, entonces por la identidad de Euler ( F[f(xcosax](λ = 1 F[f(xe iax ](λ+f[f(xe iax ](λ 2( F[f](λ a+f[f](λ+a = 1 2 Análogamente, se deja como ejercicio al lector demostrar la fórmula: F[f(xsenax] = i ( F[f](λ a F[f](λ+a 2 Propiedad 3 ( Segundo Teorema de Traslación. F[f(x x ](λ = e iλx F[f](λ, x R F[f(x x ](λ = Sea el cambio de variables x x = ξ, entonces f(x x e iλx dx F[f(x x ](λ = f(ξe iλ(ξ+x dξ = e iλx Propiedad 4 ( Cambio de Escala. F[f(αx](λ = 1 α F[f](λ α, α R {} F[f(αx](λ = f(αxe iλx dx f(ξe iλξ dξ } {{ } F[f](λ Sea el cambio de variables αx = ξ, entonces: Si α >, F[f(αx](λ = 1 α f(ξe iλξ α dξ = 1 α F[f](λ α Si α <, F[f(α](λ = 1 f(ξe iλξ α dξ = 1 α α f(ξe iλξ α dξ = 1 α F[f](λ α Luego, F[f(αx](λ = 1 α F[f](λ α Propiedad 5 ( Transformada de la Transformada. F[ˆf](λ = f( λ F[f] = ˆf f = F 1 [ˆf], es decir, f(x = 1 ˆf(ξe iξx dξ f(x = ˆf(ξe iξx dξ, cambiando x λ f( λ = ˆf(ξe iξλ dξ, es decir,f[ˆf](λ = f( λ

5 VERSIÓN COMPLEJA Comentario 2. Nótese que la fórmula anterior permite calcular una transformada inversa, calculando la transformada de la transformada pues para recuperar una función f basta cambiar λ x y luego dividir por Ejemplo 3. En el ejemplo (1 se tiene, F[e a x ](λ = 2a a 2 +λ, a >. 2 Cambiando λ x en el segundo miembro de la igualdad anterior y aplicando la propiedad 5, se tiene: 2a F[ a 2 +x 2](λ = e a λ, de donde, F 1 2a [ a 2 +λ 2](x = e a x, a > 2a Nótese que tambien F[ a 2 +x 2](λ = 1 e a λ F[ a 2 +x 2](λ = π a e a λ, a > Definición 1. Una función f : (, (,, C -diferenciable tiende Rápidamente a Cero si y sólo si tiene la propiedad lím x m f (n (x =, n,m N x Comentario 3. La idea de la condición anterior significa geométricamente que para x muy grande ( a izquierda o derecha la gráfica de la función f y las gráficas de todas sus derivadas son curvas que tienden asintóticamente más rápido al eje x que el crecimiento de cualquier potencia x m (ver Fig. 2. x Figura 2 Teorema 1. Sea f una función que tiende Rápidamente a Cero, entonces: f(x dx <, ( converge Si f tiende Rápidamente a Cero, en particular lím x x 2 f(x =. Entonces existe una costante K R +, suficientemente grande tal que x > K, x 2 f(x 1, es decir, x > K, f(x 1. Esta desigualdad permite la x 2 mayoración: f(x dx f(x dx+ f(x dx x K x >K Pero f(x dx = M <, donde la constante M existe pues f es continua en x K el intervalo [ K, K]. Además la integral del segundo sumando tambien existe pues f(x dx dx = 2 dx = 2 1 = 2 < x >K x >K x 2 K x 2 x K K

6 6 E. SÁEZ Observación 2. Si f tiende Rápidamente a Cero, todas sus derivadas f (n tienden Rápidamente a Cero y por el Teorema anterior n N, f (n (x dx < Teorema 2. Sea f una función que tiende Rápidamente a Cero, entonces F[f ](λ = iλf[f](λ F[f ](λ = f (xe iλx dx = f(xe iλx +iλ f(xe iλx dx } {{ } F[f](λ Pero f(xe iλx = f(x si x pues f tiende Rápidamente a Cero. Comentario 4. Nótese que la derivada de una función, bajo la Transformada de Fourier, es convertida en una simple multiplicación por iλ. Teorema 3. Sea f una función que tiende Rápidamente a Cero, entonces: n N, F[f (n ](λ = (iλ n F[f](λ (Ejercio de Inducción Para n = 1 es el Teorema anterior. Supongamos que el Teorema es verdadero para n = k. Entonces, F[f (k+1 ](λ = F[(f (k ](λ = (iλf[f (k ](λ = (iλ k+1 F[f](λ Comentario 5. Una de las aplicaciones importantes de la Transformada de Fourier es a la resolución de Ecuaciones Diferenciales Parciales definidas en dominios no acotados. Sea el siguiente ejemplo para ilustrar este tipo de aplicaciones. Busquemos una función T = T(x,t, C 2 -diferenciable, definida en el dominio Ω = (, (, (dominionoacotadoenlavariablexquesatisfagalaecuación de Calor Unidimensional y la condición inicial: Indicación: F[e ax2 ](λ = π T = 2 T t x 2 < x <, t > x2 T(x, = e a e λ 2 4a, a >

7 VERSIÓN COMPLEJA Observación 3. El ejemplo planteado es una modelación de la distribución de Temperatura, T = T(variables espacial, tiempo de una barra suficientemente aislada, de longitud infinita tal que cada punto en el instante inicial t =, tiene la temperatura que indica la condición inicial. Aplicando al problema, la Transformada de Fourier y usando el Teorema 2, se tiene: [ T ] F (λ = λ 2 F[T](λ. Pero t [ ] T F (λ = t t (T(x,te iλx dx = t( T(x,te iλx dx ( = t F[T(x,t](λ Entonces, la Transformada de Fourier de la solución del problema como sólo función del tiempo t es solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria d ( F[T](λ = λ 2 F[T](λ dt Pero y(t = c(λe λ2t, donde c = c(λ es constante arbitraria respecto del tiempo, es la solución general de la E.D.O. Como la Transformada de Fourier de la solución del problema es solución de la E.D.O, entonces: [ ] F T(x,t (λ = c(λe λ2 t, para alguna constante respecto del tiempo, c(λ =? Para determinar la constante c, consideremos la condición inicial del problema, entonces tomando t = se tiene: F[e x2 ](λ = c(λ Es decir, la constante adecuada c(λ =? es la Transformada de Fourier de la condición inicial. Usando la Indicación para a = 1 se tiene c(λ = πe λ2 4. Luego [ F T(x,t ](λ = πe λ2 4 e λ 2t = πe λ2 (1+4t 4 PararecuperarT(x,t =?,usandolapropiedad5(transformadadelatransformada se tiene [ πe ] T( λ,t = F x2 (1+4t 4 (λ = e λ2 1+4t 1+4t En la expresión anterior, dividiendo por y cambiando λ x se obtiene la solución del problema planteado: 1 T(x,t = e x2 1+4t. Nótese que lím T(x,t = 1+4t x Producto de Convolución Es muy conocido que la integral de un producto de funciones no es igual al producto de las integrales de las funciones, en consecuencia la Transformada de Fourier de un producto de funciones, que es una integral, no es igual al producto de las

8 8 E. SÁEZ Transformadas de Fourier de las funciones. Sin embargo, es deseable una propiedad en este sentido y la solución es simplemente cambiar el producto ordinario de funciones definiendo un nuevo producto. Definición 2. Sean dos funciones f,g : (, R que tienden Rápidamente a Cero. El Producto de Convolución de f por g se define como: f(x g(x (f g(x := f(ξg(x ξdξ Observación: El Producto de Convolución es bien definido en el sentido que la integral impropia de la definición es convergente. En efecto (f g(x M f(ξ dξ < donde existe la cota M = sup x R { g(x }, pues g es una función que tiende rápidamente a cero. Teorema 4. Sean dos funciones f,g : (, R que tienden Rápidamente a Cero. Entonces F[f g] = F[f]F[g] F[f g](λ = (f g(xe iλx dx = ( Cambiando el orden de integración se puede escribir F[f g](λ = f(ξ Sea el cambio de variables t = x ξ, entonces F[f g](λ = f(ξ g(te iλ(t+ξ dtdξ = f(ξg(x ξdξ e iλx dx g(x ξe iλx dxdξ f(ξe iλξ dξ g(te iλt dt } {{ }}{{ } F[f](λ F[g](λ Comentario 6. La fórmula del Teorema anterior se puede escribir en términos de la Transformada Inversa. Supongamos que F[f] = ˆf y F[g] = ĝ, entonces F 1 [ˆf] = f y F 1 [ĝ] = g Por el Teorema 4, F 1 [ˆfĝ] = f g, y es inmediato que F 1 [ˆfĝ] = F 1 [ˆf] F 1 [ĝ]

9 VERSIÓN COMPLEJA Teorema 5. Sean dos funciones f,g : (, R que tienden Rápidamente a Cero. Entonces F[fg] = 1 F[f] F[g], o bien, F 1 [ˆf ĝ] = F 1 [ˆf]F 1 [ĝ] F 1 [ˆf ĝ](x = 1 (ˆf ĝ(λe iλx dλ = 1 ( Cambiando el orden de integración se puede escribir F 1 [ˆf ĝ](x = 1 ˆf(ξ Sea el cambio de variables t = λ ξ, entonces F 1 [ˆf ĝ](x = 1 ĝ(λ ξe iλx dλdξ ˆf(ξ ĝ(tei(t+ξx dtdξ = 1 ˆf(ξe iξx dξ dt ĝ(teitx [ 1 = ˆf(ξe iξx dξ }{{} = f(xg(x O bien, F 1 [ˆf ĝ] = F 1 [ˆf]F 1 [ĝ] F 1 [ˆf](x ][ 1 ˆf(ξĝ(λ ξdξ e iλx dλ ] ĝ(te itx dt } {{ } F 1 [ĝ](x Relación entre las transformadas de Laplace y Fourier Sea la función f : (, R tal que: { si t < f(t = e at,a donde ϕ : (, R es una función ϕ(t si t absolutamente integrable, seccionalmente continua y con derivadas laterales en cada punto, equivalentemente la función se puede escribir como f(t = µ(tϕ(te at Por definición de la Integral de Fourier: F[f](λ = f(te iλt dt = µ(tϕ(te at e iλt dt = ϕ(te (a+iλt dt Sea el exponente de la función exponencial en la integral anterior a+iλ = s, entonces s C. La integral tiene la forma de una transformada de Laplace y se puede escribir: F[f](λ = L[ϕ](s, donde s = a+iλ C

10 1 E. SÁEZ Luego, la transformada de Fourier de f es una función en la variable real λ y se puede considerar como la transformada de Laplace de ϕ que es una función en la variable compleja s. Ejemplo 4. Sea f : (, R una función absolutamente integrable, seccionalmente continua y con derivadas laterales en cada punto, entonces { L[f](iλ+L[f]( iλ si fes una función Par F[f](λ = L[f](iλ L[f]( iλ si fes una función Impar La función f admite integral de Fourier pues por hipótesis f satisface las condiciones para existencia de la transformada de Fourier. Entonces: F[f](λ = f(te iλt dt = f(te iλt dt+ f(te iλt dt Si f es una función Par, es decir f( t f(t, entonces sea el cambio de coordenadas t = η en la integral o f(te iλt dt = o f( ηe iλη dη = f(ηe iλη dη = L[f]( iλ Luego, F[f](λ = L[f]( iλ+l[f](iλ Análogamente si f es una función Impar, ejercicio para el lector. Ejercicios Propuestos 1 Demostrar que : F[ x ](λ = 2 λ 2 2 Calcular la integral; e ax cos(bxdx =?,a > 3 Demostrar: F[f(xsen(ax](λ = i ( F[f](λ a F[f](λ+a 2 4 Calcular la Transformada de Fourier de la función definida por: { x si x < 1 (xcosx senx 2 f(x =, y demostrar, dx = π si x 1 x Calcular la Transformada de Fourier de la función definida por: { cos(at si t c f(t =, c es una constante positiva si t > c 6.- Demostrar que la solución de la Ecuación Integral e a(x ξ µ(x ξϕ(ξdξ = x está dada por: ϕ(x = a x +2µ(x 1