Soluciones analítico-numéricas de ecuaciones en derivadas parciales con retardo. Elia Reyes Salguero

Transcripción

1 Souciones anaítico-numéricas de ecuaciones en derivadas parciaes con retardo Eia Reyes Saguero

2 Departamento de Matemática Apicada TESIS DOCTORAL SOLUCIONES ANALÍTICO-NUMÉRICAS DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES CON RETARDO Memoria presentada por a icenciada en Ciencias Matemáticas Dª Eia Reyes Saguero para optar a grado de Doctora por a Universidad de Aicante. Directores: José Antonio Martín Austiza Catedrático de Escuea Universitaria Dpto. de Matemática Apicada Universidad de Aicante Francisco Rodríguez Mateo Profesor Tituar de Universidad Dpto. de Matemática Apicada Universidad de Aicante ALICANTE, 28

3 Objetivos y resumen de a tesis La creciente utiización en distintos probemas científico-técnicos de modeos en os que se tiene en cuenta a existencia de efectos hereditarios o retardados, destacando en os útimos años e empeo de modeos basados en ecuaciones y sistemas de ecuaciones en derivadas parciaes con retardo (EDPR), pantea a necesidad de disponer de souciones exactas y de aproximaciones numéricas para este tipo de ecuaciones. Mientras que as cuestiones de existencia y propiedades cuaitativas de as souciones de distintas cases de EDPR han sido consideradas en numerosos trabajos, a obtención de souciones expícitas y e desarroo de métodos de aproximación numérica eficientes para tipos específicos de EDPR es un campo menos desarroado. E objetivo de este trabajo es a obtención de souciones exactas y anaítico-numéricas de probemas mixtos para ciertos tipos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones en derivadas parciaes con retardo. En concreto, se considerá a ecuación generaizada de difusión con retardo, u t (t, x) = a 2 u xx (t, x) + b 2 u xx (t τ, x), t > τ, x, y se abordará a obtención de souciones exactas en forma de serie infinita y de aproximaciones numéricas continuas para probemas mixtos, con condición inicia u(t, x) = ϕ(t, x), t τ, x, y condiciones frontera de tipo Dirichet, u(t, ) = u(t, ) =, t. En e Capítuo 1, tras una breve introducción a tema, se presentan as estrategias utiizadas en os distintos probemas abordados en esta memoria. i

4 En e Capítuo 2 se reaiza un estudio detaado de a soución de probema anterior en forma de serie infinita, obtenida apicando e método de separación de variabes, y se obtienen acotaciones para e error cometido a truncar a serie soución. Con eo, se obtienen souciones numéricas continuas que permiten aproximar a soución exacta en dominios acotados con precisión prefijada. E objetivo de Capítuo 3 es mejorar a eficiencia computaciona de as souciones numéricas obtenidas en e capítuo anterior. Para eo, en primer ugar se muestra que si a función inicia es de tipo poinómico, entonces es posibe cacuar de forma exacta agunos de os términos que definen dicha soución numérica y que os demás términos de a soución, dados en forma de serie infinita, pueden truncarse de forma que e error cometido decaiga de forma exponencia con e número de términos de a serie truncada. Para una función inicia cuaquiera, se pantea su aproximación mediante poinomios de grado adecuado, de forma que e error tota, a aproximar a función inicia por una función poinómica y a truncar a correspondiente soución en forma de serie infinita, quede acotado por e error admisibe prefijado, manteniéndose as propiedades de rapidez en a convergencia de a serie. De esta forma, es posibe obtener aproximaciones numéricas precisas con un número reducido de términos en a serie truncada. En e Capítuo 4 se generaizan os resutados de Capítuo 2 para e caso de sistemas de ecuaciones acopados, esto es, probemas anáogos a considerado más arriba pero donde as funciones u(t, x) y ϕ(t, x) son vectoriaes y os coeficientes a 2 y b 2 son sustituidos por coeficientes matriciaes A y B, cumpiendo condiciones adecuadas pero en genera no simutáneamente diagonaizabes. Todos os métodos numéricos desarroados en este trabajo han sido impementados utiizando e programa Mape. Los correspondientes códigos, con os que se han reaizado os cácuos de os ejempos y figuras incuidos en a memoria, se recogen en un anexo. ii

5 Agradecimientos Quiero expresar mi reconocimiento y agradecimiento a mis directores de tesis D. José Antonio Martín Austiza y en especia a D. Francisco Rodríguez Mateo por haberme iuminado en os momentos difícies cuando parecía que no había saida y siendo además su actitud positiva motivo de inspiración constante permitiéndome egar a fina de camino y hacer posibe este trabajo. A Antonio, mi marido, por su paciencia infinita que me ha animado siempre a seguir adeante. A mis padres, que a pesar de no poder eer este trabajo siempre han estado ahí para ayudarme en todo o que he necesitado. Gracias Maite por escucharme y entenderme cuando te contaba mis dificutades. A mis amigos, en especia a Ana, que siempre ha sabido esperarme. Este trabajo se ha desarroado en e marco de os proyectos GV4B/454 y GV6/27, financiados, respectivamente, por a Conseeria de Cutura, Educación y Deporte y a Conseeria de Empresa, Universidad y Ciencia de a Generaitat Vaenciana y GRE411, financiado por a Universidad de Aicante. La Universidad de Aicante ha contribuido también a través de as ayudas a grupo de investigación en ecuaciones diferenciaes con retardo (VIGROB38). iii

6 Índice genera Objetivos y resumen de a tesis Agradecimientos I III 1. Introducción 1 2. Souciones de probemas mixtos para a ecuación generaizada de difusión con retardo Soución de a ecuación diferencia ordinaria con retardo Soución en forma de serie infinita Lemas previos Continuidad de a soución Reguaridad de a soución Acotaciones de os restos Soución numérica con cota de error a priori La ecuación de reacción-difusión con retardo Acotaciones de os restos Continuidad y reguaridad de a soución Aproximaciones poinómicas de a función inicia Expresión de tercer sumando de a serie si ϕ t (t, x) se aproxima por un poinomio en a variabe t Estudio de a serie sin(λ g n,k nx) (n 2 d 2 ) k+1 j 3.3. Estudio de a serie ( 1) n sin(nx), siendo k un número natura.. 7 n 2k Expresión definitiva de a soución aproximada Teorema de Weierstrass. Poinomios de Bernstein Cácuo de error cometido a truncar a soución obtenida aproximando ϕ t por un poinomio en a variabe t Acotación de error tota de aproximación iv

7 4. Souciones de sistemas acopados de ecuaciones generaizadas de difusión con retardo Apicación de método de separación de variabes Soución de a ecuación diferencia vectoria con retardo Soución exacta en forma de serie infinita Caso particuar de iguadad de coeficientes Lemas previos Convergencia y continuidad de a soución Reguaridad de a soución Aproximaciones numéricas Concusiones 125 Apéndice. Programas en Mape 127 Bibiografía 147 v

8 Capítuo 1 Introducción Las ecuaciones diferenciaes constituyen una de as herramientas básicas de a modeización matemática. Existen numerosos probemas reaes en os que e comportamiento de sistema depende, aunque sea en parte, de su historia previa, de modo que para poder modeizar estos procesos es necesario utiizar ecuaciones diferenciaes funcionaes. En particuar, as ecuaciones diferenciaes con retardo (EDR) y as ecuaciones en derivadas parciaes con retardo (EDPR) han merecido un especia interés, debido a que recogen as características esenciaes de os procesos en os que existen efectos hereditarios o retardados, encontrando mutitud de apicaciones en probemas y campos muy diversos, como por ejempo en dinámica de pobaciones, teoría de contro de procesos, propiedades de materiaes viscoeásticos, transmisión de caor en materiaes con memoria térmica, etc... (véase [4, 1, 11, 17, 22, 23, 44] y as referencias aí incuidas). En este trabajo consideraremos probemas mixtos para a ecuación generaizada de difusión con retardo u t (t, x) = a 2 u xx (t, x) + b 2 u xx (t τ, x), t > τ, x, (1.1) donde τ >, con condición inicia u(t, x) = ϕ(t, x), t τ, x, (1.2) y condiciones de contorno de tipo Dirichet u(t, ) = u(t, ) =, t. (1.3) 1

9 Asimismo, se considerarán probemas simiares para a ecuación de reacción-difusión con retardo u t (t, x) = a 2 u xx (t, x) + bu(t τ, x), t > τ, x, (1.4) y para sistemas acopados de ecuaciones de difusión con retardo de tipo (1.1). Este tipo de ecuaciones aparecen a incorporar efectos de retardo en as ecuaciones cásicas que describen os procesos de difusión, transmisión de caor o dispersión de pobaciones. Así, a ecuación (1.1) sin retardo, es decir, con b =, u t (t, x) = a 2 u xx (t, x), (1.5) corresponde a modeo cásico para describir a difusión de sustancias químicas, a conducción de caor y otros fenómenos de transporte. Una cuestión que se ha venido panteando desde hace argo tiempo respecto de esta ecuación, por su fata de fundamento físico, es que este modeo impica una veocidad de propagación infinita ([7, 41, 42]), por o que se han propuesto, especiamente en e campo de a transmisión de caor, diferentes variaciones de modeo cásico que producen veocidades de propagación finitas y pueden, por tanto, resutar en modeos más reaistas en situaciones en as que existen fenómenos de inercia térmica, ondas de caor o respuestas retardadas a as perturbaciones (véase [21]). Centrándonos en e fenómeno de a conducción de caor, consideremos a ey de Fourier en una dimensión q(t, x) = ku x (t, x), (1.6) donde q es e fujo de caor, u a temperatura y k > es a conductividad térmica, un coeficiente que mide a capacidad de materia para conducir e caor. E modeo cásico de difusion (1.5) se obtiene combinando (2.38) con a ecuación de conservación de a energía q x (t, x) + Q(t, x) = C p u t (t, x), donde C p es e caor específico por unidad de voumen, Q es a energía térmica generada por unidad de tiempo y voumen, correspondiendo a a posibe existencia de fuentes de caor, y a 2 = k/c p es a difusividad térmica. E modeo cásico de conducción de caor proporciona descripciones macroscópicas precisas de comportamiento, en periodos argos de tiempo, de sistemas con dimensiones espaciaes suficientemente grandes, por o que se puede apicar de forma satisfactoria en 2

10 os probemas técnicos convencionaes. Sin embargo, cuando se necesita una descripción de a conducción de caor a escaa microcópica o cuando se estudian procesos transitorios rápidos, como ocurre en e anáisis de caentamiento de estructuras de áminas degadas mediante áseres utrarápidos o en e fenómeno de segundo sonido en e heio [5, 32, 33, 38], es preciso considerar modeos que incuyan retardos en e fujo de caor y/o en e gradiente de temperatura [39, 4]. En e modeo denominado de retardo de fase dua (dua-phase-agging o DPL) propuesto por Tzou [4], a ey de Fourier se reempaza por q(t + τ q, x) = ku x (t + τ u, x), (1.7) donde τ q y τ u son, respectivamente, os retardos de fujo de caor y de gradiente de temperatura. En as apicaciones de modeo DPL es habitua utiizar aproximaciones de primer orden en (1.7), q q(t, x) + τ q t (t + x) u x = k{u x (t, x) + τ u (t, x)}, (1.8) t y es usua referirse como modeo DPL a a ecuación resutante de esta aproximación [39], que, para τ u =, se reduce a denominado modeo de Cattaneo-Vernotte [7, 41, 42]. Sin embargo, si se mantiene a formuación origina de modeo DPL, dada en (1.7), y utiizando a ecuación de conservación de energía adecuada, puede demostrarse [26, 45] que, para τ = τ q τ u >, e modeo DPL de conducción de caor puede escribirse en a forma u t (t, x) = αu xx (t τ, x), t > τ q, (1.9) donde u es a temperatura, α a difusividad térmica y t = t + τ q, que es una ecuación de a forma (1.1) con a =. Por o que respecta a a ecuación de reacción-difusión con retardo (1.4), puede obtenerse como resutado de a inearización de agunos modeos usuaes en dinámica de pobaciones. Así, a ecuación ogística con retardo, conocida también como ecuación de Hutchinson o Wright (p. ej., [25, p. 4],[24, p. 83]), [ N (t) = rn(t) 1 N(t τ) K ], (1.1) donde r es a tasa intrínseca de crecimiento y K es a capacidad de carga, permite incorporar a través de término N(t τ) os efectos de diversos factores que producen 3

11 efectos retardados en e crecimiento de a pobación y si en este modeo se incorpora a dispersión de a pobación se obtiene una ecuación en derivadas parciaes con retardo no inea [37]. La inearización de (2.48) en e entorno de a capacidad de carga (véase, p. ej., [28, p. 18], [24, p. 84]), n(t) = N(t) K, da ugar a a ecuacin diferencia con retardo inea n (t) = rn(t τ), y a incorporación de un término de difusión resuta en una ecuación de reaccióndifusión con retardo de a forma (1.4). E método de separación de variabes, o método de Fourier, es una técnica cásica muy eficiente para resover probemas mixtos de ecuaciones en derivadas parciaes con coeficientes constantes ([6, 12, 14, 16]) que también puede ser de utiidad en probemas con coeficientes variabes ([2, 19]) o matriciaes ([2, 29]). Las souciones exactas en forma de serie infinita que se obtienen con este método, y as souciones númericas continuas que se pueden obtener truncando estas series, se expresan en términos de os datos de probema y, por tanto, permiten estudiar as variaciones de a soución frente a perturbaciones de os datos, sus propiedades de osciación o asintóticas y anaizar a corrección de modeo utiizado. E método de separación de variabes también ha sido apicado en agunos probemas de ecuaciones en derivadas parciaes con retardo ([34],[43]). La apicación de método es simiar a caso de ecuaciones en derivadas parciaes no funcionaes, pero en a ecuación separada para e tiempo que se obtiene como resutado, se pantea un probema de vaores iniciaes de una ecuación diferencia con retardo, siendo necesario disponer de una soución expicita para este probema. 4

12 Capítuo 2 Souciones de probemas mixtos para a ecuación generaizada de difusión con retardo En este capítuo consideramos probemas mixtos para a ecuación generaizada de difusión de tipo u t (t, x) = a 2 u xx (t, x) + b 2 u xx (t τ, x), t > τ, x, (2.1) u(t, x) = ϕ(t, x), t τ, x, (2.2) u(t, ) = u(t, ) =, t, (2.3) donde a y b son constantes distintas de cero y τ >. Utiizaremos e método de separación de variabes para proponer una soución exacta en forma de serie infinita. Una vez demostrada a convergencia de esta serie, y de as derivadas necesarias, acotaremos e resto de a serie, de modo que a truncar a misma con e número de términos adecuado se obtenga una soución numérica continua cuyo error pueda ser fijado a priori en dominios acotados. La reguaridad de a función ϕ a supondremos, por e momento, suficiente para que sean correctos os cácuos que vamos a reaizar; más adeante se estudiarán cuáes son as condiciones de reguaridad suficientes. 5

13 Abordaremos e probema (2.1)-(2.3) utiizando e método de separación de variabes. Buscaremos una soución de a forma u(t, x) = T (t)x(x). De esta forma, se obtendrán dos probemas separados para as variabes tiempo y espacio. o T (t)x(x) = a 2 T (t)x (x) + b 2 T (t τ)x (x), T (t) a 2 T (t) + b 2 T (t τ) = X (x) X(x) = λ2. Consecuentemente, X(x) es a soución de probema X (x) + λ 2 X(x) =, X() = X() = y resoviendo esta ecuación se tiene que su soución es X(x) = a 1 sin(λx) + a 2 cos(λx), e imponiendo as condiciones de contorno se tiene que a 2 = y a 1 sin(λ) =, de donde o λ = nπ λ 2 = n2 π 2 2, n = 1, 2,... con o que as funciones características serán X n (x) = sin( nπx ). Las correspondientes funciones T n (t) serán a soución de a ecuación diferencia ordinaria con retardo T n(t) + n2 π 2 2 ( a 2 T n (t) + b 2 T n (t τ) ) =, (2.4) con T n (t) = B n (t) para t τ y donde B n (t) son os coeficientes de desarroo de Fourier de a función inicia ϕ(t, x) con respecto a sin( nπx ), de modo que ϕ(t, x) = B n (t) sin( nπx ), t τ, x. Con este panteamiento, propondremos como soución de probema (2.1)-(2.3) a serie forma u(t, x) = T n (t) sin( nπx ). 6

14 En a Sección 1 se construye una expresión expícita para a soución de a ecuación diferencia con retardo genérica que se obtiene a apicar e método de separaración de variabes. La construcción de una soución de probema (2.1)-(2.3) en forma de serie infinita y as cuestiones de convergencia y reguaridad son discutidas en as secciones 2-5. En a Sección 6 se obtienen acotaciones de os restos de a serie infinita, o que permitirá truncar a misma con a precisión deseada, obteniendo souciones numéricas continuas con cotas de error a priori, como se muestra en a sección 7. Finamente, en a sección 8, se considera una ecuación de reacción-difusión con retardo, como ejempo de ecuaciones que pueden ser abordadas con métodos simiares a os empeados en este capítuo Soución de a ecuación diferencia ordinaria con retardo La apicación de método de separación de variabes a probema (2.1)-(2.3) nos conduce a un probema de vaor inicia genera para a ecuación diferencia con retardo, F (t) = αf (t) + βf (t τ), t > τ, (2.5) F (t) = f(t), t τ, (2.6) donde τ > y α, β. En primer ugar consideramos e probema particuar en e que a función inicia es a función constante f(t) = 1. Utiizando e método de os pasos (véase [4, p ], [11, p.6-15], [23, p ]), se puede ir resoviendo e probema (2.5)-(2.6) en sucesivos intervaos [mτ, (m+1)τ], a partir de intervao inicia [, τ], en e que a soución coincide con a función inicia y es, por tanto, conocida. En e siguiente ema se presenta a expresión genera, para un intervao cuaquiera, de a soución que se deduce por este método y se demuestra su vaidez por inducción. Lema 2.1. Consideremos a EDD (2.5), con condición inicia F (t) = 1 para t [, τ], y escribamos γ = β/α. Su soución en e intervao [mτ, (m + 1)τ], m =, 1,..., viene dada por m k 1 F 1 (t) = (1 + γ) ( γ) k 1 e α(t kτ) ( α(t kτ)) j + ( γ) m. (2.7) j! j= 7

15 Demostración. Comprobemos a expresión propuesta por inducción. De forma trivia, para m = a suma es vacía y vae y F 1 (t) = 1 coincide con a condición inicia. Supongamos que a expresión es cierta para m, es decir que a soución en e intervao [mτ, (m + 1)τ] viene dada por m k 1 F 1 (t) = (1 + γ) ( γ) k 1 e α(t kτ) ( α(t kτ)) j j! j= + ( γ) m. (2.8) Cacuaremos a soución en e intervao [(m + 1)τ, (m + 2)τ], que debe venir dada por a expresión m+1 k 1 F 1 (t) = (1 + γ) ( γ) k 1 e α(t kτ) j= ( α(t kτ)) j j! + ( γ) m+1. (2.9) La ecuación para t en e intervao [(m + 1)τ, (m + 2)τ] es t t ] F 1 (t) = e (m+1)τ [c αds + e s (m+1)τ αdu βf 1 (s τ)ds (m+1)τ (2.1) y, ajustando e vaor de c para que en e extremo izquierdo, (m + 1)τ, e vaor de F 1 (t) coincida con e proporcionado por (2.9), se tiene que c = F 1 ((m + 1)τ) y, sustituyendo en (2.1), t t ] F 1 (t) = e (m+1)τ [F αds 1 ((m + 1)τ) + e s (m+1)τ αdu βf 1 (s τ)ds, (2.11) (m+1)τ es decir, F 1 (t) = e α(t (m+1)τ) F 1 ((m + 1)τ) t + βe α(t (m+1)τ) e α(s (m+1)τ) F 1 (s τ)ds. (2.12) (m+1)τ Extrayendo constantes fuera de a integra y simpificando se tiene t F 1 (t) = e α(t (m+1)τ) F 1 ((m + 1)τ) + βe αt e αs F 1 (s τ)ds. (2.13) (m+1)τ 8

16 Dado que (m + 1)τ s (m + 2)τ, a expresión F 1 (s τ) es a soución en e intervao [mτ, (m + 1)τ]. Por tanto, teniendo en cuenta os vaores F 1 ((m + 1)τ) y F 1 (s τ) en (2.8) y sustituyendo éstos en (2.13), se tiene, m k 1 F 1 (t) = e α(t (m+1)τ) [(1 + γ) ( γ) k 1 e α(m+1 k)τ ( α(m + 1 k)τ) j + ( γ) m ] j! t m k 1 + βe αt e αs [(1 + γ) ( γ) k 1 e α(s (k+1)τ ( α(s (k + 1)τ)) j ) ]ds j! j= (m+1)τ j= t + βe αt e αs ( γ) m ds. (2.14) (m+1)τ Ahora vamos a desarroar a primera parte en a expresión (2.14), que quedaría de a siguiente forma, m k 1 e α(t (m+1)τ) [(1 + γ) ( γ) k 1 e α(m+1 k)τ ( α(m + 1 k)τ) j + ( γ) m ] j! j= m k 1 = (1 + γ) ( γ) k 1 e α(t kτ) ( α(m + 1 k)τ) j j! j= + ( γ) m e α(t (m+1)τ). (2.15) Separando k = 1 en e primer sumatorio, a expresion (2.15) quedaría m k 1 (1 + γ) ( γ) k 1 e α(t kτ) ( α(m + 1 k)τ) j j! k=2 + (1 + γ)( γ) 1 1 e α(t τ) + ( γ) m e α(t (m+1)τ) (2.16) y separando j = de segundo sumatorio, (2.16) quedaría como sigue, (1 + γ) + (1 + γ) j= m k 1 ( γ) k 1 e α(t kτ) ( α(m + 1 k)τ) j j! j=1 m ( γ) k 1 e α(t kτ) k=2 k=2 + (1 + γ)e α(t τ) + ( γ) m e α(t (m+1)τ). (2.17) 9

17 Ahora vamos a desarroar a segunda y tercera expresión de (2.14), t m k 1 βe αt e αs [(1 + γ) ( γ) k 1 e α(s (k+1)τ ( α(s (k + 1)τ)) j ) ]ds j! (m+1)τ j= t + βe αt e αs ( γ) m ds (m+1)τ t = βe αt (1 + γ) m k 1 ( γ) k 1 e α(k+1)τ ( α(s (k + 1)τ)) j ds j! (m+1)τ j= t + β( γ) m e αt e αs ds. (2.18) (m+1)τ Introduciendo a primera integra dentro de sumatorio y resoviendo a segunda integra, se obtiene βe αt (1 + γ) m k 1 ( γ) k 1 e α(k+1)τ t j= (m+1)τ ( α(s (k + 1)τ)) j ds j! β α ( γ)m e αt (e αt e α(m+1)τ ). (2.19) Operando en (2.19), quedaría como sigue β(1 + γ) m k 1 ( γ) k 1 e α(t (k+1)τ) ( α(s (k + 1)τ))j+1 [ ] t (m+1)τ ( α)(j + 1)! + ( γ) m+1 (1 e α(t (m+1)τ) ) = β m α (1 + γ) k 1 ( γ) k 1 e α(t (k+1)τ) ( α(t (k + 1)τ)) j+1 (j + 1)! j= j= + β m α (1 + γ) k 1 ( γ) k 1 e α(t (k+1)τ) ( α(m k)τ) j+1 (j + 1)! j= ( γ) m+1 e α(t (m+1)τ) + ( γ) m+1. (2.2) Renombrando os índices de os primeros sumatorios de as expresiones de (2.2) se tiene que a expresión anterior es igua a o siguiente m+1 k 2 γ(1 + γ) ( γ) k 2 e α(t kτ) k=2 j= m+1 k 2 + γ(1 + γ) ( γ) k 2 e α(t kτ) k=2 j= ( α(t kτ)) j+1 (j + 1)! ( α(m + 1 k)τ) j+1 (j + 1)! ( γ) m+1 e α(t (m+1)τ) + ( γ) m+1. (2.21) 1

18 Ahora renombramos os segundos sumatorios de as expresiones anteriores, con o que se tiene m+1 k 1 γ(1 + γ) ( γ) k 2 e α(t kτ) k=2 j=1 m+1 k 1 + γ(1 + γ) ( γ) k 2 e α(t kτ) k=2 j=1 ( α(t kτ)) j j! ( α(m + 1 k)τ) j ( γ) m+1 e α(t (m+1)τ) + ( γ) m+1 (2.22) o o que es o mismo, introduciendo γ dentro de os sumatorios, m+1 k 1 = (1 + γ) ( γ) k 1 e α(t kτ) k=2 j=1 m+1 k 1 (1 + γ) ( γ) k 1 e α(t kτ) k=2 j=1 j! ( α(t kτ)) j j! ( α(m + 1 k)τ) j ( γ) m+1 e α(t (m+1)τ) + ( γ) m+1. (2.23) Teniendo en cuenta que para k = m + 1 a expresión ( α(m + 1 k)τ) j es cero, as expresiones anteriores quedarían de a forma m+1 k 1 (1 + γ) ( γ) k 1 e α(t kτ) (1 + γ) k=2 j=1 j! ( α(t kτ)) j m k 1 ( γ) k 1 e α(t kτ) ( α(m + 1 k)τ) j j! k=2 j=1 ( γ) m+1 e α(t (m+1)τ) + ( γ) m+1. (2.24) j! Sumando as expresiones (2.17) con as expresiones (2.24), que proceden de desarroo de (2.14), tenemos a expresión de F 1 (t) en e intervao [(m + 1)τ, (m + 2)τ]. Por tanto, se tiene m+1 k 1 F 1 (t) = (1 + γ) ( γ) k 1 e α(t kτ) k=2 j=1 ( γ) m+1 e α(t (m+1)τ) + (1 + γ) ( α(t kτ)) j j! m ( γ) k 1 e α(t kτ) + (1 + γ)e α(t τ) + ( γ) m e α(t (m+1)τ) + ( γ) m+1 (2.25) k=2 11

19 y, simpificando (2.25), m+1 k 1 F 1 (t) = (1 + γ) ( γ) k 1 e α(t kτ) + (1 + γ) k=2 j=1 ( α(t kτ)) j m ( γ) k 1 e α(t kτ) + (1 + γ)( γ) m e α(t (m+1)τ) k=2 + (1 + γ)e α(t τ) + ( γ) m+1. (2.26) Finamente, agrupando as expresiones de (2.26) se tiene m+1 k 1 F 1 (t) = (1 + γ) ( γ) k 1 e α(t kτ) k=2 m+1 + (1 + γ) ( γ) k 1 e α(t kτ) k=2 y reagrupando a primera y a segunda ínea o o que es igua, j=1 j! ( α(t kτ)) j + (1 + γ)e α(t τ) + ( γ) m+1 (2.27) m+1 k 1 F 1 (t) = (1 + γ) ( γ) k 1 e α(t kτ) k=2 j= j! ( α(t kτ)) j + (1 + γ)e α(t τ) + ( γ) m+1, (2.28) j! m+1 k 1 F 1 (t) = (1 + γ) ( γ) k 1 e α(t kτ) j= ( α(t kτ)) j j! + ( γ) m+1 (2.29) en e intervao [(m + 1)τ, (m + 2)τ], como queríamos demostrar. En e próximo ema probaremos este resutado escribiendo a soución en una forma más compacta, utiizando a función gamma y a función gamma incompeta compementaria, Γ(k) = e s s k 1 ds, Γ(k, v) = v e s s k 1 ds. Lema 2.2. La soución de a ecuación (2.5) con a condición inicia F (t) = 1 para t [, τ], en e intervao [mτ, (m + 1)τ], m =, 1,..., viene dada por F 1 (t) = (1 + γ) m k 1 Γ (k, α(t kτ)) ( γ) + ( γ) m. (2.3) Γ(k) 12

20 Demostración. La equivaencia entre (2.7) y (2.3) se sigue inmediatamente de a identidad (véase [1, p. 262]) k 1 e v j= v j j! = Γ (k, v) Γ(k). La suma en (2.3) es vacía para m =, con o que es evidente que F 1 (t) satisface a condicion inicia. No es difíci comprobar que F 1 (t) es continua para t y continuamente diferenciabe para t > τ. Usando as reaciones 1 Γ (k, v) Γ(k) v 1 Γ(1) Γ (1, v) v = e v v k 1 Γ (k, v) = Γ(k) Γ(k) = e v Γ (1, v) = Γ(1), Γ (k 1, v) Γ(k 1), k > 1, (ver [1, p. 262]), obtenemos que para t (mτ, (m + 1)τ), m 1, F 1(t) = m (1 + γ) ( γ) k 1 Γ (k, α(t kτ)) α Γ(k) m (1 + γ) ( γ) k 1 Γ (k 1, α(t kτ)) α Γ(k 1) k=2 = αf 1 (t) α( γ) m k 1 Γ (k, α(t τ kτ)) + αγ(1 + γ) ( γ) Γ(k) = αf 1 (t) + βf 1 (t τ). Para obtener a soución para una función inicia cuaquiera, consideramos a siguiente representación integra (véase [11, p. 67]). Lema 2.3. Sea F 1 (t) a soución de a ecuación (2.5) con a condición inicia considerada en e Lema 2.2. Entonces, a soución de probema de vaores iniciaes (2.5)-(2.6), para una función inicia f diferenciabe, viene dada por F f (t) = f(τ) + γf() F 1 (t) + γ 1 + γ 1 + γ τ F 1 (t s)f (s)ds. (2.31) Demostración. Buscamos una soución de a forma F f (t) = KF 1 (t) + τ F 1 (t s)g (s)ds, (2.32) 13

21 donde F 1 (t) es a soución de (2.5)-(2.6) con F 1 (t) = f(t) = 1 en t τ e g(s) una función a determinar de manera que F f (t) sea soución de (2.5)-(2.6). Es fáci comprobar sin más que sustituir en a ecuación diferencia que a función F f (t) antes definida es soución de probema. Nos queda determinar a constante K y a función g(s) de manera que F f coincida con a función siguiente para vaores de t cumpiendo que τ t 2τ, F f (t) = e t τ αds [f(τ) + t τ e s τ αdu βf(s τ)ds] t = e α(t τ) f(τ) + e α(t τ) e (s τ)α βf(s τ)ds. Haciendo un cambio de variabe en a integra anterior se tiene que a expresión anterior se quedaría como sigue t τ F f (t) = e α(t τ) f(τ) + e α(t τ) e sα βf(s)ds. Por otro ado, teniendo en cuenta que en e intervao [, τ] y en e intervao [τ, 2τ] τ F 1 (t) = 1 F 1 (t) = (1 + β α )eα(t τ) β α sustituyendo as expresiones anteriores en (2.32) se tiene, t τ e α(t τ) f(τ) + e α(t τ) e sα βf(s)ds = K((1 + β α )eα(t τ) β α ) + t τ ((1 + β α )eα(t s τ) β α )g (s) + Apicando integración por partes se tiene que t τ (1 + β α )eα(t s τ) g (s) τ = (1 + β α )eα(t τ) [e αs g(s)] t τ + (1 + β α )eα(t τ) t τ = (1 + β α )eα(t τ) e α(t τ) g(t τ) (1 + β α )eα(t τ) g() + (1 + β t τ α )eα(t τ) αe αs g(s)ds. t τ g (s)ds. (2.33) αe αs g(s)ds 14

22 Así (2.33) se queda como sigue, t τ e α(t τ) f(τ) + e α(t τ) e sα βf(s)ds = K(1 + β α )eα(t τ) K β α β α g(t τ) + β α g() + g(τ) g(t τ) + (1 + β )g(t τ) α (1 + β α )eα(t τ) g() + (1 + β t τ α )eα(t τ) αe αs g(s)ds. Simpificando o anterior se tiene o siguiente, Si tomamos se deduce que o o que es o mismo t τ e α(t τ) f(τ) + e α(t τ) e sα βf(s)ds = K(1 + β α )eα(t τ) K β α + β g() + g(τ) α (1 + β α )eα(t τ) g() + (1 + β t τ α )eα(t τ) αe αs g(s)ds. (2.34) t τ e α(t τ) e sα βf(s)ds = (1 + β t τ α )eα(t τ) αe sα g(s)ds (2.35) βf(s) = (1 + β α )αg(s) f(s) = (1 + α β )g(s). Y despejando se obtiene g(s) = β β + α f(s). Por otro ado, teniendo en cuenta (2.35), a expresión (2.34) se quedaría como sigue, e α(t τ) f(τ) = K((1 + β α )eα(t τ) β α ) + g(τ) + ( (1 + β α )eα(t τ) + β α )g() y teniendo en cuenta a definición de g(t), de a expresión anterior se obtiene e α(t τ) f(τ) = K((1 + β α )eα(t τ) β α ) + β α + β f(τ) + ( (1 + β α )eα(t τ) + β α ) β α + β f() o o que es o mismo (e α(t τ) β α + β )f(τ) (β α (1 + β β α )eα(t τ) ) α + β f() = K((1 + β α )eα(t τ) β ). (2.36) α 15

23 Teniendo en cuenta que e α(t τ) e vaor de K de (2.36) se despeja como sigue β α + β = α β β β + α ((1 + β α )eα(t τ) β α ), K = βf() + αf(τ) β + α = γf() + f(τ). 1 + γ Por tanto, sustituyendo g(t) y K en (2.32), se tiene F f (t) = f(τ) + γf() F 1 (t) + γ 1 + γ 1 + γ τ F 1 (t s)f (s)ds. Nuestro próximo teorema se deduce fácimente sustituyendo a expresión (2.3) en (2.31), sabiendo que si t [mτ, (m + 1)τ] entonces t s se va a mover en dos intervaos diferentes. Esto habrá que tenero en cuenta para e cácuo de γ 1 + γ τ F 1 (t s)f (s)ds. Así, s t mτ = mτ t s t y F 1 (t s) es a soución F 1 (t) en [mτ, (m + 1)τ] cambiando t por t s, mientras que t mτ s τ = t τ t s mτ y F 1 (t s) es a soución F 1 (t) en [(m 1)τ, mτ] cambiando t por t s. De esta forma, γ 1 + γ τ F 1 (t s)f (s)ds = γ [ ] t mτ m k 1 Γ (k, α(t kτ)) (1 + γ) ( γ) + ( γ) m f (s)ds 1 + γ Γ(k) + γ [ ] τ k 1 Γ (k, α(t kτ)) (1 + γ) ( γ) + ( γ) f (s)ds (2.37) 1 + γ t mτ Γ(k) E resutado fina se recoge en e siguiente teorema. 16

24 Teorema 2.4. La soución de probema de vaores iniciaes (2.5)-(2.6), para una función inicia f diferenciabe, viene dada, en e intervao [mτ, (m + 1)τ], m =, 1,..., por F f (t) = (f(τ) + γf()) + m ( 1) k 1 k 1 Γ (k, α(t kτ)) γ Γ(k) m t mτ ( 1) k 1 γ k + ( 1) k 1 γ k τ t mτ Γ (k, α(t kτ s)) f (s)ds Γ(k) Γ (k, α(t kτ s)) f (s)ds Γ(k) +( 1) m γ m f(t mτ). (2.38) Demostración Por e Lema 2.3, f(τ) + γf() F f (t) = F 1 (t) + γ τ F 1 (t s)f (s)ds. (2.39) 1 + γ 1 + γ Teniendo en cuenta (2.37) y e Lema 2.2, = + + F f (t) [ ] f(τ) + γf() m k 1 Γ(k, α(t kτ)) (1 + γ) ( γ) + ( γ) m 1 + γ Γ(k) [ ] γ t mτ m k 1 Γ(k, α(t kτ)) (1 + γ) ( γ) + ( γ) m f (s)ds 1 + γ Γ(k) [ ] γ τ k 1 Γ(k, α(t kτ)) (1 + γ) ( γ) + ( γ) f (s)ds. 1 + γ Γ(k) t mτ Simpificando o anterior, F f (t) = (f(τ) + γf()) + m k 1 Γ(k, α(t kτ)) ( γ) Γ(k) f(τ) + γf() ( γ) m 1 + γ t mτ m k Γ(k, α(t kτ)) ( γ) f (s)ds Γ(k) τ t mτ ( γ)m γ k Γ(k, α(t kτ)) ( γ) f (s)ds Γ(k) t mτ f (s)ds ( γ)m 1 + γ τ t mτ f (s)ds. (2.4) 17

25 Resoviendo y simpificando as integraes de (2.4), se tiene, m k 1 Γ(k, α(t kτ)) F f (t) = (f(τ) + γf()) ( γ) Γ(k) m f(τ) + γf() + ( γ) 1 + γ t mτ m k Γ(k, α(t kτ)) ( γ) Γ(k) τ t mτ f (s)ds k Γ(k, α(t kτ)) ( γ) f (s)ds Γ(k) + ( γ) m m f(τ) + γf() f(t mτ) ( γ). (2.41) 1 + γ De esta forma, se obtiene e resutado de teorema, m F f (t) = (f(τ) + γf()) ( 1) k 1 k 1 Γ (k, α(t kτ)) γ Γ(k) m t mτ + ( 1) k 1 γ k Γ (k, α(t kτ s)) f (s)ds Γ(k) τ ( 1) k 1 γ k + t mτ Γ (k, α(t kτ s)) f (s)ds Γ(k) +( 1) m γ m f(t mτ). (2.42) Nótese que para m =, a expresión (2.42) se reduce a útimo término. La expresión equivaente que sigue se obtiene reordenando e segundo y e tercer términos en (2.42), sobreentendiéndose que a suma de tercer término es vacía para m =. m F f (t) = (f(τ) + γf()) ( 1) k 1 k 1 Γ (k, α(t kτ)) γ Γ(k) + τ ( 1) k 1 γ k Γ (k, α(t kτ s)) f (s)ds Γ(k) t mτ +( 1) γ m Γ (m, α(t mτ s)) f (s)ds Γ(m) +( 1) m γ m f(t mτ). (2.43) Destacamos e caso a = para e probema (2.1)-(2.3), o que se traduce en α = para e probema (2.5)-(2.6). Tomando P (k, x) = 1 Q(k, x), y usando a reación [1, 18

26 p. 262] P (k, x) = xk exp( x) M(1, k + 1, x), Γ(k + 1) donde M es una función hipergeométrica [1, p. 54], que satisface M(1, k + 1, ) = 1, a expresión (2.38) se puede escribir de a forma F f (t) = f(τ) + (αf(τ) + βf()) + + βm m! β k τ k! t mτ y, para α =, o anterior se reduce a F f (t) = f(τ) + βf() + βm m! m β k 1 (t kτ) k e α(t kτ) M(1, k + 1, α(t kτ)) k! (t kτ s) k e α(t kτ s) M(1, k + 1, α(t kτ s))f (s)ds (t mτ s) m e α(t mτ s) M(1, m + 1, α(t mτ s))f (s)ds. t mτ m β k 1 (t kτ) k + k! (t mτ s) m f (s)ds. β k k! τ (t kτ s) k f (s)ds 2.2. Soución en forma de serie infinita Consideremos e probema (2.1)-(2.3). En o que sigue se suponen as siguientes condiciones para ϕ(t, x), que iremos utiizando cuando sean necesarias. ϕ(t, x) es continuamente diferenciabe en t, ϕ(t, x) y ϕ t (t, x) son dos veces continuamente diferenciabes en x, ϕ xx (t, x) es variación acotada en x, continua en t. Usando e método de separación de variabes, buscamos souciones de (2.1) de a forma u(t, x) = T (t)x(x) de (2.1)-(2.3), como ya se indicó anteriormente, proponiéndose a soución u(t, x) = T n (t) sin( nπx ). (2.44) 19

27 Aquí, T n (t) es a soución de probema ( nπ ) 2 ( nπ ) 2 T n(t) = a 2 T n (t) b 2 T n (t τ), t > τ, (2.45) T n (t) = B n (t), t τ, (2.46) y B n (t) son os coeficientes de Fourier taes que ϕ(t, x) = B n (t) = 2 ϕ(t, x) sin( nπx )dx, B n (t) sin( nπx ), t τ, x. E probema (2.45)-(2.46) es de tipo considerado en e Teorema 2.4, por o que a expresión para T n (t) se sigue inmediatamente de (2.43). Para escribir a soución en una forma más compacta, sean y consideremos a función c = b a, d = πa, Q(k, v) = Γ(k, v)/γ(k), v, que es una función de distribución ([1, p. 941]), que es positiva, monótona decreciente y satisface Q(k, ) = 1, ím Q(k, v) =. v Entonces, a serie soución (2.44) de probema (2.1)-(2.3) que amaremos u(t, x) puede ser expresada como u(t, x) = , (2.47) donde = 1 m ( nπx ( 1) k 1 c 2(k 1) (B n (τ) + c 2 B n ()) sin ) Q ( k, n 2 d 2 (t kτ) ), (2.48) = ( nπx ) τ ( 1) k 1 c 2k sin B n(s)q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) ds, (2.49) 2 2

28 ( nπx ) t mτ = ( 1) c 2m sin B n(s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds, (2.5) 3 4 ( nπx ) = ( 1) m c 2m sin B n (t mτ) = ( 1) m c 2m ϕ(t mτ, x). (2.51) Para que ϕ sea desarroabe en serie de Fourier es condición suficiente que ϕ sea de variación acotada. Más adeante veremos que hay que exigir a ϕ condiciones más fuertes para que a menos a soución sea continua. Antes de seguir adeante, vamos a enunciar agunos resutados que serán de utiidad en e resto de trabajo Lemas previos Usaremos e siguiente resutado de reguaridad de funciones definidas por una integra. Lema 2.5. Sean Ω 1 y Ω 2 abiertos de R q. 1. Sea f : Ω 1 Ω 2 R q R q R verificando: a) Para cada x Ω 1, a función y f(x, y) es integrabe. b) Para cada y Ω 2, a función x f(x, y) es continua. c) Existe una función no negativa g integrabe en Ω 2 ta que f(x, y) g(y) para cada y Ω 2. Entonces h(x) = f(x, y)dy Ω 2 es continua. 2. Si además f verifica, a) Para y Ω 2, a función x f(x, y) tiene derivadas primeras continuas respecto a x i, i = 1,..., q. 21

29 b) Existe una función no negativa g integrabe en Ω 2 ta que f(x, y) g(y) Entonces para cada y Ω 2. h(x) = f(x, y)dy Ω 2 tiene derivadas primeras continuas que además se cacuan por a fórmua h f (x) = (x, y)dy, i = 1,..., q x i x i Ω 2 Su demostración puede puede verse en ([3, p. 31]). E siguiente ema se usará para probar a existencia de as derivadas parciaes de a soución de nuestro probema. Lema 2.6. Supongamos que cada término de {f n } es una función rea con derivada finita en cada punto de (a, b). Sea F N = N f n. Supongamos que para un punto x, por o menos, de (a, b) a sucesión {F N (x )} converge. Supongamos además que existe una función g ta que F N g uniformemente en (a, b). Entonces: Existe una función F ta que F N F uniformemente en (a, b). Para cada x (a, b) a derivada F (x) existe y es igua a g(x). Véase ([3, p. 28]). Enunciaremos a continuación agunos resutados sobre series de Fourier que usaremos en distintas ocasiones. Consideramos e desarroo en serie de Fourier de una función f, f(x) = 1 2 a + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) Lema 2.7. Supongamos que f y sus primeras k 2 derivadas son 2π periódicas. Si f es de case C (k 1) y f (k 1) es diferenciabe a trozos (esto es f (k 1) existe excepto en un conjunto finito de puntos en cada intervao acotado y es continua a trozos), entonces os coeficientes de Fourier de f satisfacen n k a n 2 <, n k b n 2 <. 22

30 En particuar n k a n, n k b n cuando n. Véase ([14, p. 41]). Consecuencia de o anterior es que existe M > cumpiendo para todo n número natura y para k 1. a n M n k b n M n k Podemos decir entonces que a mayor reguaridad de a función se traduce en un mayor decaimiento de sus coeficientes de Fourier. Vamos a obtener una apicación inmediata de este hecho a a obtención de un teorema de convergencia uniforme. Lema 2.8. Si f es de variación acotada en e intervao compacto [x δ, x + δ] para un δ < π, entonces a serie de Fourier converge a ímite cuando t tiende a cero de a función f(x+t)+f(x t) 2. Véase ([3, p. 388]). Lema 2.9. Supongamos que f(x) es una función de variación acotada sobre (, 2π). Entonces En cada punto x, a serie de Fourier S(f) converge a f(x) en cada punto de continuidad de f. Si f es además continua en cada punto de un intervao cerrado I, entonces S(f) converge uniformemente en I. Véase ([46, p. 57]). Lema 2.1. Sea f una función continua en [ π, π], ta que f( π) = f(π), y sea f una función continua a trozos en dicho intervao. Entonces a serie de Fourier es diferenciabe en cada punto x de intervao π x π donde existe f (x) y en cada punto donde f admite derivadas ateraes. Su derivada se obtiene derivando término a término a serie de Fourier de f. 23

31 Véase ([18, p. 81, 82]). Lema Sea f 2π- periódica y ta que f(x) = f()+ x f (s)ds, con f L 2 ([ π, π]) y sea S N f(x) su suma parcia de Fourier N esima. Entonces uniformemente en [ π, π]. ím S Nf(x) = f(x) N Véase ([3, p. 164]). También será úti e siguiente resutado, que es una versión de criterio de Abe para series de productos de funciones que dependen de dos variabes (véase [3, p. 237]). Lema Sean T y S dos subconjuntos de R y g n : T R una sucesión de funciones reaes taes que g n+1 (t) g n (t) para cada t T y cada n = 1, 2... Si g n es uniformemente acotada en T y f n : S R una sucesión de funciones reaes taes que f n(x) converge uniformemente en S, entonces f n (x)g n (t) también converge uniformemente en S T. Sea Demostración. Como a sucesión g n está uniformemente acotada M > : g n (t) M, n N t T. f(x) = f n (x) y F n (x) a sucesión de sumas parciaes de f(x). Dado ɛ > por ser F n (x) una sucesión que converge uniformemente a f(x) N N : n N 1 F n (x) f(x) < ɛ 4M x S. 24

32 Para h N, se tiene N+h f n (x)g n (t) n=n = f N (x)g N (t) + f N+1 (x)g N+1 (t) f N+h (x)g N+h (t) = (F N (x) F N 1 (x))g N (t) + (F N+1 (x) F N (x))g N+1 (t) (F N+h (x) F N+h 1 (x))g N+h (t)+ = F N 1 (x)g N (t) + F N (x)(g N (t) g N+1 (t)) + F N+1 (x)(g N+1 (t) g N+2 (t)) F N+h 1 (x)(g N+h 1 (t) g N+h (t)) + F N+h (x)g N+h (t) = (F N 1 (x) f(x))g N (t) + (F N (x) f(x))(g N (t) g N+1 (t)) (F N+h 1 (x) f(x))(g N+h 1 (t) g N+h (t)) + (F N+h (x) f(x))g N+h (t) F N 1 (x) f(x) g N (t) + F N (x) f(x) g N (t) g N+1 (t) F N+h 1 (x) f(x) g N+h 1 (t) g N+h (t) + F N+h (x) f(x) g N+h (t) (2.52) Puesto que a sucesión {g n } es decreciente, g N (t) g N+1 (t) = g N (t) g N+1 (t), con o que a expresión anterior es menor o igua que F N 1 (x) f(x) g N (t) + ɛ 4M (g N(t) g N+1 (t) + g N+1 (t) g N+2 (t) g N+h 1 (t) g N+h (t)) + F N+h (x) f(x) g N+h (t) = F N 1 (x) f(x) g N (t) + ɛ 4M (g N(t) g N+h (t)) + F N+h (x) f(x) g N+h (t) F N 1 (x) f(x) g N (t) + ɛ 4M g N(t) + ɛ 4M g N+h(t) + F N+h (x) f(x) g N+h (t) Por tanto, ɛ 4M M + ɛ 4M M + ím ɛ 4M M + N n=n ɛ 4M M = ɛ. f n (x)g n (t) =, x S, t T. Lema Sea u(t) = t g(t, s)ds, donde g(t, s) es una función continua en s y g t (t, s) continua en s. Entonces, u (t) = g(t, t) + t g t (t, s)ds. Ver ([31, p. 288]). 25

33 E siguiente ema se utiizará para acotar a soución. Utiizaremos en su demostración razonamientos anáogos a os que se usan en e criterio de a integra como puede verse en ([3, p. 232]). Lema Sea f una función decreciente en [N, ) siendo N un número natura mayor o igua que cero, cumpiendo que f(x)dx <. Entonces N f(n) f(x)dx n=n+1 N Demostración. N+h n=n+1 h 1 f(n) = k= N+k+1 N+k f(n + k + 1)dx. Por ser f decreciente a expresión anterior es menor o igua que h 1 N+k+1 k= N+k f(x)dx = N+h Por tanto tomando ímite cuando h tiende a, se tiene f(n) f(x)dx. n=n+1 N N f(x)dx. A continuación apicaremos e Lema 2.5 para cacuar B n(t). Si suponemos que ϕ admite derivada continua con respecto a t, y dado que ésta es integrabe con respecto a a variabe x, e podemos apicar a segunda parte de Lema 2.5 y se tendrá B n(t) = 2 ϕ t (t, x) sin( nπ x)dx Continuidad de a soución En e siguiente teorema exigiremos as condiciones suficientes a ϕ para que a soución sea continua. Teorema Consideremos e probema (2.1)-(2.3). Supongamos que ϕ(t, x), ϕ t (t, x) son funciones continuas en [, τ] [, ] y ϕ x (t,.) continua en [, ] para cada t. Entonces a soución candidata u(t, x) dada en (2.47) es continua en [τ, ) [, ]. 26

34 Demostración. Probaremos que cada serie es acotada, justificando así os intercambios de sumatorios e integra. La hipótesis de que que ϕ sea continuamente diferenciabe en t se utiiza para e cácuo de B n(t) que antes comentamos. Dado 1 k m, para probar que = 1 ( c 2 ) k 1 (B n (τ) + c 2 B n ()) sin( nπx )Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) Γ(k) está acotada apicaremos e Lema Lamaremos f n (x) = (B n (τ) + c 2 B n ()) sin( nπ x). A ser ϕ x (t,.) continua, podemos apicar e Lema 2.11 para concuir que esta serie converge uniformemente en [, ]. Tomaremos g n (t) = Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)), teniéndose que {g n (t)} es decreciente t [mτ, (m + 1)τ] y g n (t) Γ(k), t [mτ, (m + 1)τ]. De esta forma, apicando e Lema 2.12, os restos de a serie ( c 2 ) k 1 (B n (τ) + c 2 B n ()) sin( nπx )Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) Γ(k) tienden a cero, por o que ésta converge uniformemente en [, ] [mτ, (m + 1)τ], siendo 1 una función continua. Para probar a convergencia de segundo y tercer sumando de a serie (2.49)-(2.5), apicaremos e Lema 2.14, ya que Q (k, n 2 d 2 (t kτ s)) es una sucesión decreciente respecto de n, Q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) y, con e cambio de variabe w = v 2 d 2 (t kτ s), Q ( k, v 2 d 2 (t kτ s) ) dv 27

35 tenemos Q ( k, v 2 d 2 (t kτ s) ) 1 dv = 2d t kτ s w 1 2 Q (k, w) dw, integrando por partes y teniendo en cuenta a propiedad (6.5.37) de [1]. w Q (k, w) dw = w 2Γ ( ) k Γ (k, w) dw = 2, Γ (k) Γ (k) por o que Q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) Γ ( ) k Γ (k) d t kτ s. (2.53) Así, Q (k, n2 d 2 (t kτ s)) está acotada por una función integrabe para s en e intervao [, τ], cuando k < m, y para s [, t τ] cuando k = m, o que permite e intercambio de sumatorio e integra en o que sigue. Por tanto, de (2.53), y amando B a una cota de B n(s), n 1, s [, τ], se tiene, τ B c 2k Q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) ds 2 B c 2k Γ ( ) k + 1 τ 2 ds Γ(k)d t kτ s = 2B c 2k Γ ( ) k + 1 ( 2 t ) kτ t (k + 1)τ, (2.54) d Γ(k) pero Γ ( ) k k Γ(k) y, para t [mτ, (m + 1)τ], t kτ t (k + 1)τ (m + 1 k)τ (m k 1)τ. Así, y, anáogamente, 3 4B τ d 2 B c 2m t mτ c 2k k m + 1 k (2.55) Q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds ) t mτ B c2m Γ ( m Γ(m)d = 2B c 2m Γ ( ) m t mτ d Γ(m) 2B c 2m mτ d ds t mτ s. (2.56) 28

36 De esta forma, a soución está acotada y amando {u N (t, x)} a a serie de as sumas parciaes, {u N (t, x)} converge uniformemente en [mτ, (m + 1)τ] [, ] a a soución u(t, x) dada en (2.47)-(2.51), siendo ésta una función continua para (t, x) [mτ, (m + 1)τ] [, ] para cada m por ser ímite uniforme de funciones continuas. No es difíci comprobar que as expresiones de u(t, x) dadas en cada intervao coinciden en e extremo común t = mτ y u(t, x) es una función continua en [τ, ) [, ]. En a siguiente sección vamos a enunciar un teorema que resume as propiedades de a soución propuesta para e probema (2.1)-(2.3). La mayor parte de as propiedades ya han sido demostradas; sóo nos queda ver que nuestra soución definida como una serie admite derivada parcia segunda con respecto a x y derivada parcia con respecto a t en [mτ, (m + 1)τ] (, ). Finamente, demostraremos un teorema que nos asegura a existencia de as derivadas en todo e intervao [mτ, (m + 1)τ] [, ], así como as condiciones mínimas que ha de cumpir a función ϕ para que a soución de nuestro probema admita derivadas parciaes continuas Reguaridad de a soución Antes de comenzar con a demostración de a existencia de as derivadas, vamos a enunciar un ema que necesitaremos posteriormente. Lema Sea f L[, ] con segunda derivada, cumpiendo f() = f() =, y F : [, ] R ta que F (x) = f(x) y F ( x) = f(x) si x [, ] si amamos S(F ) a desarroo en serie de Fourier de a función F en e intervao (, ), y b n = 2 nπx F (x)sen( )dx es decir S(F ) = b n sen( nπx ), entonces e desarroo en serie de Fourier de su segunda derivada es S(F ) = b n ( nπ )2 sen( nπx ). (2.57) 29

37 Demostración. E desarroo en serie de Fourier de F es S(F ) = c n sen( nπx ), donde c n = 2 F (x) sen( nπx )dx. (2.58) Integrando por partes (2.58), c n = 2 ( [F (x) sen( nπx )] nπ F (x) cos( nπx ) )dx (2.59) y, dado que e seno se anua en y en, se tiene, c n = 2 ( nπ F (x) cos( nπx ) )dx. (2.6) Si vovemos a integrar por partes, c n = 2 ( nπ [F (x) cos(nπx)] ( nπ )2 y, puesto que F () = F () = por hipótesis, se tiene, c n = 2 (nπ )2 como queríamos demostrar. F (x) sen( nπx ) )dx (2.61) F (x) sen( nπx )dx = ( nπ )2 b n, (2.62) Teorema Supongamos as condiciones de Teorema 2.15 y además (a) ϕ xx es continua en [, τ] (, ) y de variación acotada en x (, ), (b) ϕ t (t,.) es dos veces continuamente diferenciabe para cada t. Entonces u(t, x) dada en (2.47) verifica: 1. u(t, x) es continua en [τ, ) [, ]. 2. u(t, x) es soución de probema (2.1)-(2.3). 3. u t (t, x) y u xx (t, x) son continuas en (τ, ) (, ). 3

38 Demostración. La demostración de primer apartado se hizo en e Teorema Para probar a segunda condición vamos a estudiar a existencia de as derivadas parciaes u t y u xx. Empezamos buscando a existencia de u t. La soución es de a forma, u(t, x) = T n (t) sin( nπx ). (2.63) Si probamos que T n(t) sin( nπx ) (2.64) converge uniformemente t [mτ, (m + 1)τ], por e Lema 2.6, habremos probado que u t (t, x) = T n(t) sin( nπx ) (2.65) Para probar que (2.64) converge uniformemente utiizamos a expresión, y (2.65) se escribiría de a forma T n(t) = a 2 ( nπ )2 T n (t) b 2 ( nπ )2 T n (t τ) (2.66) T n(t) sin( nπx ) (2.67) = a 2 ( nπ )2 T n (t) sin( nπx ) b 2 ( nπ )2 T n (t τ) sin( nπx ) (2.68) Por tanto, probaremos que y ( nπ )2 T n (t) sin( nπx ) ( nπ )2 T n (t τ) sin( nπx ) convergen uniformemente t [mτ, (m + 1)τ]. Como ambas expresiones son anáogas, nos dedicaremos sóo a estudio de una de eas. Así, ( nπ )2 T n (t) sin( nπx ) = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 31

39 donde S 1 = S 2 = ( c 2 ) k Γ(k) (nπ )2 sin( nπx ( nπ )2 sin( nπx ) S 3 = ( c2 ) m Γ(m) m ( c 2 ) k 1 (B n (τ) + c 2 B n ())( nπ Γ(k) )2 sin( nπx )Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) τ ) B n(s)γ(k, n 2 d 2 (t kτ s))ds t mτ S 4 = ( c 2 ) m B n (t mτ)( nπ )2 sin( nπx ) B n(s)γ(m, n 2 d 2 (t mτ s))ds Probaremos que S 1, S 2, S 3, S 4 convergen uniformemente t [mτ, (m + 1)τ]. En cuanto a S 1, apicaremos e Lema 2.12 a cada sumando desde k = 1 hasta k = m, ( c2 ) k 1 (B n (τ) + c 2 B n ()) n2 π 2 Γ(k) 2 Por un ado, a sucesión { Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) } sin( nπx )Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) (2.69) es decreciente para todo t; por otra parte, como ϕ es desarroabe en serie de de Fourier ϕ(τ, x) = B n (τ) sin( nπx ), teniendo en cuenta que ϕ(t, ) = ϕ(t, ) =, apicando e Lema 2.16 se tiene que e desarroo en serie de Fourier de ϕ xx (τ, x) es ( nπ )2 B n (τ) sin( nπx ). (2.7) Por ser ϕ xx (t,.) continua y de variación acotada en (, ), apicando e Lema 2.9 se sigue que a serie de Fourier de ϕ xx (τ, x) converge uniformemente en cada punto de (, ) a ϕ xx. De esta forma, hemos probado que (2.7) converge uniformemente en un entorno de cada punto de (, ) y además se tiene Lo mismo ocurre con ϕ xx (τ, x) = ϕ xx (, x) = ( nπ )2 B n (τ) sin( nπx ). (2.71) ( nπ )2 B n () sin( nπx ). (2.72) 32

40 En consecuencia, apicando e Lema 2.12, a serie ( c2 ) k 1 (B n (τ) + c 2 B n ()) n2 π 2 Γ(k) 2 sin( nπx )Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) (2.73) converge uniformemente en un entorno de cada punto de (, ). Así S 1 converge uniformemente en [mτ, (m + 1)τ] (, ). En cuanto a S 2, se tiene que S 2 (c 2 ) k τ Γ(k) π 2 n 2 B n(s) Γ(k, n 2 d 2 (t kτ s))ds 2 Por otro ado, ϕ t (t,.) es dos veces continuamente diferenciabe para cada t; así, tenemos por e Lema 2.7, B n(s) B (s) n 2 pero como ϕ t es continua existe B cumpiendo y, por tanto, B n(s) B n 2 S 2 B π 2 2 (c 2 ) k τ Γ(k, n 2 d 2 (t kτ s))ds. Γ(k) Tendremos en cuenta a siguiente acotación, Q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) y, con e cambio de variabe tenemos e, integrando por partes, Q ( k, v 2 d 2 (t kτ s) ) du = w 1 2 Q (k, w) dw = 1 Γ (k) w = v 2 d 2 (t kτ s), Q ( k, v 2 d 2 (t kτ s) ) dv 1 2d t kτ s w 1 2 Q (k, w) dw, w 2Γ ( k Γ (k, w) dw = 2 Γ (k) ), 33

41 por o que Q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) Γ ( ) k Γ (k) d t kτ s. (2.74) Por tanto, Q (k, n2 d 2 (t kτ s)) está acotada por una función integrabe para s en e intervao [, τ], o que permite e intercambio de sumatorio e integra en o que sigue. En consecuencia, de o anterior y de Lema 2.7 apicado a B n(s), se tiene pero S 2 B π 2 2 B π 2 2 = 2B π 2 d 2 y, para t [mτ, (m + 1)τ], c 2k τ Q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) ds c 2k Γ ( ) k Γ(k)d c 2k Γ ( ) k Γ(k) Γ ( k Γ(k) τ ) ds t kτ s ( t kτ t (k + 1)τ ), (2.75) k t kτ t (k + 1)τ (m + 1 k)τ (m k 1)τ, con o que S 2 2B π 2 d 2 c 2k ( ) k (m + 1 k)τ (m k 1)τ. (2.76) Así, hemos probado que existe S 2 y además es continua en todo e intervao Procedemos ahora con S 3, S 3 (c2 ) m π 2 Γ(m) 2 [mτ, (m + 1)τ] [, ]. t mτ n 2 B n(s) Γ(m, n 2 d 2 (t mτ s))ds. Teniendo en cuenta que B n(s) B n 2, 34

42 a expresión anterior se acota de a misma forma que S 2, S 3 B c 2m π 2 2 = 2B π 2 d 2 t mτ B π 2 c 2m Γ ( m Γ(m)d ( 2 m c 2m Γ Γ(m) Por tanto, S 3 converge uniformemente en Q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds ) t mτ ) t mτ ds t mτ s 2B π 2 c 2m mτ d 2. (2.77) [mτ, (m + 1)τ] [, ]. Por útimo, por ser ϕ xx razonado anteriormente, continua y de variación acotada en (, ), como ya hemos S 4 = ϕ xx (t mτ, x), que es una función continua en [mτ, (m + 1)τ] (, ) por hipótesis. De esta forma hemos probado a existencia y continuidad de u t en [mτ, (m + 1)τ] (, ). Es trivia comprobar que as expresiones de u t en os intervaos [(m 1)τ, mτ] y [mτ, (m + 1)τ] coinciden en e extremo común t = mτ. Así hemos probado que u t es continua en (τ, ) (, ). Ahora probaremos a existencia y continuidad de u xx (t, x) y que u es soución de probema. Por o que ya hemos visto, se tiene, u t (t, x) = T n(t) sin( nπx ) (2.78) = a 2 ( nπ )2 T n (t) sin( nπx ) b 2 ( nπ )2 T n (t τ) sin( nπx ) (2.79) La expresión (2.78) verifica a ecuación diferencia a 2 u xx (t, x) + b 2 u xx (t τ, x) si probamos que u xx (t, x) = ( nπ )2 T n (t) sin( nπx ) 35

43 y es decir si, u xx (t τ, x) = ( nπ )2 T n (t τ) sin( nπx ), u xx (t, x) = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 donde, S 1 = S 2 = ( c 2 ) k Γ(k) (nπ )2 sin( nπx ( nπ )2 sin( nπx ) S 3 = ( c2 ) m Γ(m) m ( c 2 ) k 1 (B n (τ) + c 2 B n ())( nπ Γ(k) )2 sin( nπx )Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) τ ) B n(s)γ(k, n 2 d 2 (t kτ s))ds t mτ S 4 = ( c 2 ) m B n (t mτ)( nπ )2 sin( nπx ) B n(s)γ(m, n 2 d 2 (t mτ s))ds En primer ugar, supongamos que t mτ. Sabemos por (2.47) que u(t, x) = , (2.8) donde = 1 = 2 m ( nπx ( 1) k 1 c 2(k 1) (B n (τ) + c 2 B n ()) sin ) Q ( k, n 2 d 2 (t kτ) ), (2.81) ( nπx ) τ ( 1) k 1 c 2k sin B n(s)q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) ds, (2.82) ( nπx ) t mτ = ( 1) c 2m sin B n(s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds, (2.83) 3 = ( 1) m c 2m ϕ(t mτ, x). (2.84) 4 Por un ado ϕ(t mτ, x) se puede derivar dos veces con respecto a a variabe x, y como ésta es de variación acotada y continua en (, ), por o que ya hemos visto ( 1) m c 2m ϕ xx (t mτ, x) = ( c 2 ) m B n (t mτ)( nπ )2 sin( nπx ) (2.85) 36

44 Por otro ado, queremos ver que 1, 2, 3 se pueden derivar dos veces con respecto a a variabe x, término a término. Apicando e Lema 2.6, tenemos que probar que a serie formada por as primeras derivadas y a serie formada por as segundas derivadas convergen uniformemente, como ésta útima ya está probada sóo nos queda ver que m ( c 2 ) k 1 (B n (τ) + c 2 B n ())( nπ Γ(k) ) cos(nπx )Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) (2.86) τ ) B n(s)γ(k, n 2 d 2 (t kτ s))ds (2.87) ( 1) k 1 c 2k ( nπ Γ(k) ) cos(nπx ( 1) c 2m ( nπ Γ(m) ) cos(nπx ) t mτ B n(s)γ(m, n 2 d 2 (t mτ s))ds (2.88) convergen uniformemente en (, ). La segunda y tercera expresión convergen uniformemente en [mτ, (m + 1)τ] [, ] puesto que n n 2, cos( nπx ) 1 y como ya se visto S 2 < y S 3 <. Por tanto, sóo queda probar que a serie siguiente converge uniformemente en (, ), m ( c 2 ) k 1 (B n (τ) + c 2 B n ())( nπ Γ(k) ) cos(nπx )Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)). (2.89) A partir de un cierto N en adeante, para cada vaor de t, a sucesión {nγ(k, n 2 d 2 (t kτ))} es monótona decreciente respecto de n, por o que apicando e Lema 2.14 se tiene que nγ(k, n 2 d 2 (t kτ)) uγ(k, u 2 d 2 (t kτ))du n=n+1 N uγ(k, u 2 d 2 (t kτ))du y, con e cambio de variabe v = u 2 d 2 (t kτ), 37

45 se tiene = = = uγ(k, u 2 d 2 (t kτ))du (2.9) v 1 2 v 1 2 d t kτ 2d Γ(k, v)dv t kτ (2.91) 1 Γ(k, v)dv 2d 2 (t kτ) (2.92) 1 2d 2 (t kτ) Γ(k, v)dv (2.93) y por a propiedad (6.5.37) de [1], a expresión (2.93) se queda como sigue, Γ(k + 1) 2d 2 (t kτ). (2.94) Así para cada vaor de t (mτ, (m + 1)τ], a expresión (2.89) converge uniformemente en (, ). Para t = mτ, si sustituimos este vaor en (S 1 S 4 ), se tiene que es o mismo que se obtiene a substituir ese vaor en (S 1 S 4 ) para e intervao anterior ((m 1)τ, mτ], es decir, sustituimos t = mτ en a siguiente expresión, m 2 ( c 2 ) Γ(m 1) ( c 2 ) ( c 2 ) k 1 (B n (τ) + c 2 B n ())( nπ Γ(k) )2 sin( nπx )Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) ( c 2 ) k Γ(k) (nπ )2 sin( nπx τ ) B n(s)γ(k, n 2 d 2 (t kτ s))ds ( nπ )2 sin( nπx ) t ()τ B n (t (m 1)τ)( nπ )2 sin( nπx ) y dicho vaor por o ya demostrado coincide con u xx (mτ, x). B n(s)γ(m 1, n 2 d 2 (t (m 1)τ s))ds Queda por tanto demostrada a existencia y continuidad de as derivadas parciaes de a soución. En e siguiente teorema daremos as condiciones suficientes para que as derivadas parciaes sean continuas en todo e intervao cerrado [, ]. 38

46 Teorema Suponiendo que ϕ cumpe as condiciones de Teorema 2.17 y además ϕ xxx (t,.) L 2 ([, ]) y ϕ xx (t, + ) = ϕ xx (t, ), entonces u t (t, x) y u xx (t, x) son continuas en (τ, ) [, ] para m 1. Demostración. En e teorema anterior hemos probado a continuidad de as series S 2 y S 3, por o que sóo nos fata probar a continuidad de as series S 1 y S 4 en e intervao [, ]. Vamos a estudiar a continuidad de S 1. S 1 = m ( c2 ) k 1 (B n (τ) + c 2 B n ()) n2 π 2 Γ(k) 2 es continua, ya que a siguiente serie de Fourier f n (x) = (B n (τ) + c 2 B n ()) n2 π 2 sin( nπx )Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) (2.95) 2 sin( nπx ), converge uniformemente en [, ], porque ϕ xxx L 2 [, ] y ϕ xx es periódica (Lema 2.11). La sucesión {g n (t)} = {Γ(m, n 2 d 2 (t mτ))} es una sucesión decreciente en a variabe t y uniformemente acotada por Γ(m). De esta forma, apicando e Lema 2.12 a serie S 1 converge uniformemente y es continua en En cuanto a S 4, se tiene que S 4 = ( c 2 ) m [mτ, (m + 1)τ] [, ]. B n (t mτ) n2 π 2 2 sin( nπx ) converge uniformemente a ϕ xx (t mτ, x) en todo e intervao [, ]. E resto de os sumandos no panteaba ningún probema de continuidad en e intervao [mτ, (m + 1)τ] [, ]. Así, queda por tanto demostrada a continuidad de as derivadas parciaes de a soución en [mτ, (m + 1)τ] [, ]. 39

47 2.6. Acotaciones de os restos En este apartado vamos a estimar e error cometido a truncar a soución u de probema (2.1)-(2.3) dada en (2.47) en N términos. Sean R1,k N ( c 2 ) k 1 = (B n (τ) + c 2 B n ()) sin( nπx )Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) Γ(k), n=n+1 R2,k N ( c 2 ) k = sin( nπx τ ) B Γ(k) n(s)γ(k, n 2 d 2 (t kτ s))ds n=n+1 y R3 N ( c 2 ) m = sin( nπx t mτ ) B Γ(m) n(s)γ(m, n 2 d 2 (t mτ s))ds n=n+1 os correspondientes restos. Empezaremos acotando e primer resto, R1,k N. Por ser ϕ(t,.) dos veces continuamente diferenciabe para cada t, apicando e Lema 2.7, existe B > ta que B n (t) B n 2 para todo t [, τ]. Por tanto, amando B 1 = B + c 2 B, se tiene Así pues, Bn (τ) + c 2 B n () B 1 n 2. R N 1,k n=n+1 = B 1c 2k 2 Γ(k) (c) 2k 2 Γ(k) B Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) 1 n 2 n=n+1 Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) n 2. Usaremos [1, p ] que Γ(k, v) es una función monótona decreciente de v, con Γ(k, ) = Γ(k) y ím v Γ(k, v) =, y que para k un número natura Γ(k) = kγ(k 1) = (k 1)!, y k 1 Γ(k, v) = Γ(k)e v j= v j j!. (2.96) 4

48 Por tanto, n=n+1 Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) n 2 Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t kτ)) n=n+1 Por ser { } 1 n una sucesión monótona decreciente respecto de n, apicando e Lema 2.14, 2 se tiene Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t kτ)) Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t kτ)) n=n+1 N 1 n 2 1 n 2 du u = Γ(k, (N + 1)2 d 2 (t kτ)) 2 N Así, R1,k N B 1c 2k 2 Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t kτ)). Γ(k) N La acotación fina para e primer resto es m R1 N B 1 c 2k 2 Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t kτ)). (2.97) Γ(k) N De (2.96) se deduce Γ(k, N 2 d 2 (t kτ)) Γ(k)e N 2 d 2 (t kτ) (1 + N 2 d 2 (t kτ)) k 1, o que muestra que R N 1 decae en forma exponencia con e número de términos. Con razonamientos simiares cacuaremos a acotación de segundo resto, R N 2,k. Por ser ϕ t (t,.) dos veces continuamente diferenciabe para cada t, apicando e Lema 2.7, existe B > ta que para todo t [, τ]. B n(t) B n 2 Si tenemos en cuenta que Γ(k, n 2 d 2 (t kτ s)) Γ(k, n 2 d 2 (t (k + 1)τ)), para todo s en e intervao [, τ], se tiene, R N 2,k = n=n+1 n=n+1 ( c 2 ) k c 2k Γ(k) Γ(k) τ sin( nπx τ ) B n(s)γ(k, n 2 d 2 (t kτ s))ds B n(s) Γ(k, n 2 d 2 (t (k + 1)τ)ds 41

49 y, teniendo en cuenta a cota de B n en e intervao [, τ] y procediendo de forma anáoga a R N 1,k, R N 2,k c2k Γ(k) B τ B τc 2k Γ(k) n=n+1 Así, a acotación fina para e segundo resto es Γ(k, n 2 d 2 (t (k + 1)τ) n 2 Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t (k + 1)τ) N R N 2 B τc 2k Γ(k) Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t (k + 1)τ). (2.98) N Por útimo vamos a acotar R3 N. Se tiene R3 N ( c 2 ) m = sin( nπx t mτ ) B Γ(m) n(s)γ(m, n 2 d 2 (t mτ s))ds n=n+1 c 2m t mτ (m 1)! B n(s)γ(m, n 2 d 2 (t mτ s))ds n=n+1 c 2m t mτ B (m 1)! n(s) Γ(m, n 2 d 2 (t mτ s))ds. n=n+1 Teniendo en cuenta que obtenemos R N 3 c2m (m 1)! y, con e cambio de variabe, n=n+1 a expresión anterior toma a forma, B n(s) B n 2, t mτ v = (t mτ s)n 2 d 2 B n 2 Γ(m, n2 d 2 (t mτ s))ds R N 3 c 2m (m 1)! B c2m B (m 1)! n=n+1 n=n+1 1 n 4 d 2 1 n 4 d 2 n 2 d 2 (t mτ) Γ(m, v)dv Γ(m, v)dv 42

50 y teniendo en cuenta que Γ(m, v)dv = Γ(m + 1), [1, p. 263], obtenemos R N 3 c2m B (m 1)! = c2m B m d 2 c2m B m d 2 n=n+1 n=n+1 N 1 Γ(m + 1) n 4 d2 1 n 4 du u = c2m B m 4 3d 2 N 3 Así pues, de todo o anterior se deduce e siguiente resutado. Teorema Consideremos e probema (2.1)-(2.3), sea u a soución exacta dada en (2.47), y sea u N a aproximación obtenida cuando 1, 2, y 3 en (2.47) son sustituidas por as correspondientes sumas parciaes con os N primeros términos. Entonces, para (t, x) [mτ, (m + 1)τ] [, ], tenemos a acotación u N (t, x) u(t, x) m + B 1 c 2k 2 Γ(k) B τc 2k Γ(k) Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t kτ)) N Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t (k + 1)τ) N + c2m B m 3d 2 N 3. Consecuentemente, dado δ > y un error prefijado ɛ >, puede encontrarse N ta que u N (t, x) u(t, x) ɛ para (t, x) [mτ + δ, (m + 1)τ] [, ] Soución numérica con cota de error a priori A partir de as cotas dadas por as expresiones de Teorema 2.19, se puede ver que, dado cuaquier ɛ >, podemos encontrar un vaor de N ta que cada uno de os restos R1 N -R3 N sea menor que ɛ/3, de forma que e error cometido a aproximar a soución exacta ( ) por a suma parcia de a serie con N términos esté uniformemente acotado por ɛ en e intervao [mτ, (m + 1)τ]. Así, se dispone de souciones numéricas continuas que permiten e cácuo efectivo de as souciones de os probemas considerados en este capítuo con cotas de error prefijadas en dominios acotados. En a Figura 2.7 se muestran ejempos de cácuo de souciones aproximadas de probema (2.1)-(2.3) para distintas eecciones de os parámetros. 43

51 x t x t Figura 2.1: Soución numérica de probema (2.1, ) cacuada utiizando a serie truncada u N dada en e Teorema 2.19, para N = 2, con = 1, τ = 1, función inicia ϕ(t, x) = sin(t)x(1 x) y distintos vaores de os parámetros a y b. Gráfica superior: a =,2 y b =,2. Gráfica inferior: a = 1 y b = 1. 44

52 3.5 4 Error (og) N Figura 2.2: Cotas de error (ogaritmos decimaes) en función de N para a soución numérica de probema (2.1, ) cacuada utiizando a serie truncada u N dada en e Teorema 2.19, con = 1, τ = 1, a = 1, b = 1 y con función inicia ϕ(t, x) = sin(t)x(1 x), para (t, x) [mτ + δ, (m + 1)τ] [, ], donde δ =,1, m = 2 (círcuos) y m = 1 (cruces). En a Figura 2.2 se muestra un ejempo de a reación entre e número de términos de a serie truncada, N, y a cota de error proporcionada por e Teorema Aunque en e próximo capítuo abordaremos a posibiidad de mejorar a eficiencia de nuestras aproximaciones numéricas, intentando garantizar una cota de error dada con un reducido número de términos en a suma parcia de a serie, conviene tener en cuenta que a precisión de nuestras aproximaciones puede ser, en genera, mucho mayor que o que aseguran as cotas de Teorema

53 2.8. La ecuación de reacción-difusión con retardo En este sección consideramos probemas mixtos de tipo u t (t, x) = a 2 u xx (t, x) + bu(t τ, x), t > τ, x, (2.99) u(t, x) = ϕ(t, x), t τ, x, (2.1) u(t, ) = u(t, ) =, t, (2.11) donde a y b son constantes distintas de cero y τ >. Utiizaremos e método de separación de variabes para proponer una soución exacta en forma de serie infinita. La reguaridad de a función ϕ a supondremos, por e momento, suficiente para que sean correctos os cácuos que vamos a reaizar. Abordaremos e probema (2.99)-(2.11) utiizando e método de separación de variabes nuevamente. Buscaremos una soución de a forma u(t, x) = T (t)x(x). De esta forma, se tendrá o T (t)x(x) = a 2 T (t)x (x) + bt (t τ)x(x), T (t) bt (t τ) a 2 T (t) = X (x) X(x) = λ2. Consecuentemente, X(x) es a soución de probema X (x) + λ 2 X(x) =, X() = X() = y resoviendo esta ecuación se tiene que su soución es X(x) = a 1 sin(λx) + a 2 cos(λx), e imponiendo as condiciones de contorno se tiene que a 2 = y a 1 sin(λ) =, de donde o λ = nπ λ 2 = n2 π 2 2, n = 1, 2,... con o que as funciones características serán X n (x) = sin( nπx ). 46

54 Las correspondientes funciones T n (t) serán a soución de a ecuación diferencia ordinaria con retardo T n(t) + n2 π 2 2 a 2 T n (t) bt n (t τ) =, (2.12) con T n (t) = B n (t) para t τ y donde B n (t) son os coeficientes de desarroo de Fourier de a función inicia ϕ(t, x) con respecto a sin( nπx ), de modo que ϕ(t, x) = B n (t) sin( nπx ), t τ, x. Con este panteamiento, propondremos como soución de probema (2.99)-(2.11) a serie forma u(t, x) = T n (t) sin( nπx ). La ecuación (2.12) da ugar a resover a ecuación diferencia ordinaria con retardo (2.5) donde α = λ 2 a 2 y β = b de donde γ = β α = b a 2 λ = c2 2 bλ. 2 De esta forma, nos quedaría a siguiente soución, u(t, x) = u 1 + u 2 + u 3 + u 4, (2.13) donde m ( ) c u 1 = ( 1) k k 1 (B bπ 2 n 2 n (τ) c2 2 ( nπx ) bπ 2 n B n()) sin Q ( k, n 2 d 2 (t kτ) ), 2 ( ) c u 2 = ( 1) k k ( nπx ) τ sin B bπ 2 n 2 n(s)q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) ds, ( ) c u 3 = ( 1) 2 2 m ( nπx ) t mτ sin B bπ 2 n 2 n(s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds, ( ) c u 4 = ( 1) m 2 2 m ( nπx ) sin B bπ 2 n 2 n (t mτ). 47

55 o o que es o mismo m ( ) c 2 2 k 1 ( nπx ) u 1 = B bπ 2 n 2 n (τ) sin Q ( k, n 2 d 2 (t kτ) ) u 2 = m ( ) c 2 2 k 1 c 2 2 ( nπx bπ 2 n 2 bπ 2 n B n() sin 2 ) Q ( k, n 2 d 2 (t kτ) ) (2.14) ( ) c 2 2 k ( nπx ) τ sin B bπ 2 n 2 n(s)q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) ds (2.15) ( ) c 2 2 m ( nπx ) t mτ u 3 = sin B bπ 2 n 2 n(s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds (2.16) u 4 = ( ) c 2 2 m ( nπx ) sin B bπ 2 n 2 n (t mτ). (2.17) Nótese que u 4 se puede cacuar de forma expícita. Véase e Teorema 3.4. En a próxima sección estimaremos e error cometido a truncar en N términos as tres primeras expresiones anteriores Acotaciones de os restos En este apartado vamos a estimar e error cometido a truncar a soución de probema (2.99)-(2.11) en N términos. Teniendo en cuenta que c = b a podemos escibir a soución de a siguiente forma, m ( ) k 1 b u 1 = (B d 2 n 2 n (τ) b ( nπx d 2 n B n()) sin 2 u 2 = u 3 = ( ) k b sin d 2 n 2 y d = πa ) Q ( k, n 2 d 2 (t kτ) ) (2.18) ( nπx ) τ B n(s)q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) ds (2.19) ( ) m b ( nπx ) t mτ sin B d 2 n 2 n(s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds (2.11) 48

56 n=n+1 u 4 = ( ) m b sin d 2 n 2 ( nπx ) B n (t mτ). (2.111) Consideremos os siguientes restos, R1,k N ( ) k 1 b = (B d 2 n 2 n (τ) b ( nπx ) d 2 n B n()) sin Q ( k, n 2 d 2 (t kτ) ) 2 R2,k N = R3 N = n=n+1 n=n+1 ( ) k b ( nπx ) τ sin B d 2 n 2 n(s)q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) ds ( ) m b ( nπx ) t mτ sin B d 2 n 2 n(s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds Empezaremos acotando e primer resto, R N 1,k. Lamamos B a una cota superior de B n (τ) y B n () y B 2 = B + b B. Por tanto, d 2 B n(τ) b d 2 n B n() 2 B 2. Así pues, para k = 1, R1,1 N = (B n (τ) b ( nπx ) d 2 n B n()) sin Q ( 1, n 2 d 2 (t τ) ) 2 n=n+1 B 2 = = Para k 2, n=n+1 B 2 N e n2 d 2 (t τ) B 2 e u2 d 2 (t τ) du d 2 (t τ) u e u2 udu B 2 N B 2 2Nd 2 (t τ) R N 1,k = n=n+1 N N N e u2 d 2 (t τ) udu e u2 d 2 (t τ) 2ud 2 (t τ)du = ( ) k 1 b B 2 d 2 Γ(k) ) k 1 B 2 Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) (n 2 ) k 1 ( b Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) d 2 Γ(k) (n 2 ) k 1 n=n+1 ( ) k 1 b B 2 Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t kτ)) d 2 Γ(k) B 2 2Nd 2 (t τ) e N 2 d2 (t τ). n=n+1 1 (n 2 ) k 1 (2.112) 49

57 { Por ser 2.14, Por tanto, } 1 (n 2 ) k 1 una sucesión monótona decreciente respecto de n, apicando e Lema n=n+1 1 (n 2 ) 1 du. k 1 N (u 2 ) k 1 R N 1,k = ( ) k 1 b B 2 Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t kτ)) 1 du d 2 Γ(k) N (u 2 ) k 1 b k 1 B 2 Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t kτ)). (2k 3)d 2(k 1) Γ(k) N 2k 3 Así, a acotación fina para e primer resto es R N 1 + B 2 2Nd 2 (t τ) e N 2d2 (t τ) m b k 1 B 2 Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t kτ)). (2k 3)d 2(k 1) Γ(k) N 2k 3 k=2 Con razonamientos simiares cacuaremos a acotación de segundo resto, R N 2,k. Si tenemos en cuenta que Γ(k, n 2 d 2 (t kτ s)) Γ(k, n 2 d 2 (t (k + 1)τ)), para todo s en e intervao [, τ], se tiene, R2,k N = ( ) k b ( nπx ) τ sin B d 2 n 2 n(s)q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) ds, n=n+1 ( ) k b B τ Γ (k, n 2 d 2 (t (k + 1)τ)) d 2 Γ(k) n 2k n=n+1 y procediendo de forma anáoga a R1,k N, se obtiene, Así, n=n+1 1 n 1 du. 2k N u2k R N 2,k = ( ) k b B τ d 2 Γ(k) Γ ( k, (N + 1) 2 d 2 (t (k + 1)τ) ) N b k B τ (2k 1)d 2k Γ(k) Γ (k, (N + 1) 2 d 2 (t (k + 1)τ)) N 2k 1. 1 du u2k 5

58 Finamente, R N 2 b k B τ Γ (k, (N + 1) 2 d 2 (t (k + 1)τ)). (2k 1)d 2k Γ(k) N 2k 1 Por útimo vamos a acotar R3 N. Se tiene que R3 N = ( ) m b ( nπx ) t mτ sin B d 2 n 2 n(s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds n=n+1 b m t mτ B Γ (m, n 2 d 2 (t mτ s)) ds d 2m Γ(m) n 2m n=n+1 y, con e cambio de variabe, a expresión anterior toma a forma, v = n 2 d 2 (t mτ s) R N 3 B b m d 2m Γ(m) n=n+1 1 n 2m+2 d 2 n 2 d 2 (t mτ) Γ(m, v)dv y teniendo en cuenta que Γ(m, v)dv = Γ(m + 1), [1, p. 263], obtenemos R N 3 B b m d 2m+2 Γ(m) = mb b m d 2m+2 = mb b m d 2m+2 n=n+1 N n=n+1 1 n 2m+2 du u 2m+2 mb b m (2m + 1)d 2m+2 N 2m+1. 1 Γ(m + 1) n2m+2 Así pues de todo o anterior se concuye e siguiente resutado. Teorema 2.2. Consideremos e probema (2.99)-(2.11), sea u a soución exacta dada en (2.13), y sea u N a aproximación obtenida cuando u 1, u 2, y u 3 en (2.13) son sustituidas por as correspondientes sumas parciaes con os N primeros términos. 51

59 Entonces, para (t, x) [mτ, (m + 1)τ] [, ], tenemos a acotación B 2 u N (t, x) u(t, x) 2Nd 2 (t τ) e N 2d2 (t τ) m b k 1 B 2 Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t kτ)) + (2k 3)d 2(k 1) Γ(k) N 2k 3 k=2 + + b k B τ Γ (k, (N + 1) 2 d 2 (t (k + 1)τ)) (2k 1)d 2k Γ(k) N 2k 1 mb b m (2m + 1)d 2m+2 N 2m+1. Consecuentemente, dado δ > y un error prefijado ɛ >, puede encontrarse N ta que u N (t, x) u(t, x) ɛ para (t, x) [mτ + δ, (m + 1)τ] [, ] Continuidad y reguaridad de a soución En e siguiente teorema exigiremos as condiciones suficientes a ϕ para que a soución sea continua. Teorema Consideremos e probema (2.99)-(2.11). Sea u(t, x) a soución candidata dada por (2.13). Supongamos que (a) ϕ t (t, x) es una función continua en [, τ] [, ]. (b) ϕ x (t,.) es continua en [, ] para cada t. Entonces u(t, x) es continua en [τ, ) [, ]. Demostración. La hipótesis de que ϕ sea continuamente diferenciabe en t se utiiza para e cácuo de B n(t) a igua que se comentaba en e probema anterior. La convergencia uniforme de as series de as expresiones (2.15), (2.16) está basada en que as series ( c 2 2 ) k convergen para todo k 1. bπ 2 n 2 52

60 Para comprobar a convergencia uniforme en e intervao [mτ, (m + 1)τ] [, ] de a serie dada por (2.14) basta fijarse en e caso más desfavorabe que es a expresión de sumando correspondiente para k = 1 siguiente, ( nπx ) B n (τ) sin Q ( k, n 2 d 2 (t kτ) ). E razonamiento para probar su convergencia uniforme es e mismo que se hizo en e Teorema 2.15 donde se utiizaba a hipótesis de que ϕ x (t,.) es una función continua. Teorema Supongamos as condiciones de Teorema Entonces, a soución candidata u(t, x) dada por (2.13) verifica: 1. u(t, x) es continua en [τ, ) [, ]. 2. u(t, x) es soución de probema (2.99)-(2.11). 3. u t (t, x) y u xx (t, x) son continuas en (τ, ) (, ). Demostración. La demostración de primer apartado se hizo en e Teorema Para probar a segunda condición vamos a estudiar a existencia de as derivadas parciaes u t y u xx. Empezamos buscando a existencia de u t. La soución es de a forma, u(t, x) = T n (t) sin( nπx ). (2.113) Si probamos que T n(t) sin( nπx ) (2.114) converge uniformemente t [mτ, (m + 1)τ], por e Lema 2.6, habremos probado que u t (t, x) = T n(t) sin( nπx ) (2.115) Para probar que (2.114) converge uniformemente utiizamos a expresión, T n(t) = a 2 ( nπ )2 T n (t) + bt n (t τ) (2.116) y (2.114) se escribiría de a forma T n(t) sin( nπx ) (2.117) = a 2 ( nπ )2 T n (t) sin( nπx ) + b T n (t τ) sin( nπx ). (2.118) 53

61 Por tanto, probaremos que y ( nπ )2 T n (t) sin( nπx ) T n (t τ) sin( nπx ) convergen uniformemente t [mτ, (m + 1)τ]. Como a segunda expresión converge uniformemente por o que hemos visto en e teorema anterior, nos dedicaremos sóo a estudio de a primera. Así, ( nπ )2 T n (t) sin( nπx ) = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 donde m ( ) c 2 k 1 ( ) 2 k 2 S 1 = (B b π 2 n 2 n (τ) c2 2 ( nπx ) π 2 n B n()) sin Q ( k, n 2 d 2 (t kτ) ), 2 ( ) c 2 k ( ) 2 k 1 ( nπx ) τ S 2 = sin B b π 2 n 2 n(s)q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) ds, ( ) c 2 m ( ) 2 ( nπx ) t mτ S 3 = sin B b π 2 n 2 n(s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds, ( ) c 2 m ( ) 2 ( nπx ) S 4 = sin B b π 2 n 2 n (t mτ). Probaremos que S 1, S 2, S 3, S 4 convergen uniformemente t [mτ, (m + 1)τ]. Empezamos con S 1. Si m = 1, k = 1 a serie más desfavorabe es ( ) π 2 n 2 ( nπx ) (B 2 n (τ) sin Q ( 1, n 2 d 2 (t τ) ). (2.119) Esta expresión converge dado que = = u 2 Γ ( 1, u 2 d 2 (t τ) ) du = v 1 2 v 1 2 v d 2 (t τ) 2d Γ(1, v)dv (2.12) t τ 1 Γ(1, v)dv = 2d 3 (t τ) 3 2 3d 3 (t τ) 3 2 x e x dx (2.121) Γ(5/2). 3d 3 (t τ) 3 2 (2.122) 54

62 Dado t (τ, 2τ] existe un entorno de mismo donde a expresión (2.122) está acotada. Así pues hay convergencia uniforme de a serie (2.119) en (τ, 2τ] [, ] en un entorno de cada punto de este intervao y u t (t, x) es continua en (τ, 2τ] [, ]. Para m 2, k = 1 a serie (2.119) converge uniformemente en [mτ, (m + 1)τ] [, ] puesto que (2.122) se puede acotar por Γ(5/2). 3d 3 τ 3 2 Para m 2, k = 2 a serie c 2 ( nπx ) b B n(τ) sin Q ( 2, n 2 d 2 (t 2τ) ) (2.123) converge uniformemente en [mτ, (m + 1)τ] [, ] utiizando e mismo argumento que en e teorema anterior. Para m 2, k > 2, a serie ( ) c 2 k 1 ( ) 2 k 2 ( nπx ) B b π 2 n 2 n (τ) sin Q ( k, n 2 d 2 (t kτ) ) converge uniformemente en [mτ, (m + 1)τ] [, ] puesto que a serie ( ) 2 k 2 es convergente. π 2 n 2 Estudiaremos ahora S 2. Para m = 1 a suma es vacía. Para m 2 y k = 1 a serie c 2 ( nπx ) τ b sin B n(s)q ( 1, n 2 d 2 (t τ s) ) ds converge en [mτ, (m + 1)τ] [, ] como ya se razonó en e Teorema Véase (2.54). Para m 2 y k 2 a expresión S 2 converge uniformemente en [mτ, (m+1)τ] [, ] debido a a convergencia de a serie ( ) k 1 1. n 2 55

63 Así S 2 converge uniformemente en [mτ, (m + 1)τ] [, ]. En cuanto a estudio de S 3 es anáogo a de S 2. Por útimo, en cuanto a S 4 para m = 1 a serie c 2 ( nπx ) b sin B n (t mτ) = ϕ(t mτ, x) razonando igua que en e Teorema 2.15 supuestas para ϕ as condiciones de teorema anterior. Para m 2 a serie ( 2 ) π 2 n 2 converge y por tanto S 4 converge uniformemente en [mτ, (m + 1)τ] [, ]. De esta forma hemos probado a existencia y continuidad de u t en [mτ, (m + 1)τ] [, ]. Es trivia comprobar que as expresiones de u t en os intervaos [(m 1)τ, mτ] y [mτ, (m + 1)τ] coinciden en e extremo común t = mτ. Así hemos probado que u t es continua en (τ, ) [, ]. Ahora probaremos a existencia y continuidad de u xx (t, x) y que u(t, x) es soución de probema. Por o que ya hemos visto, se tiene, u t (t, x) = T n(t) sin( nπx ) (2.124) = a 2 ( nπ )2 T n (t) sin( nπx ) + b T n (t τ) sin( nπx ) (2.125) La expresión (2.124) verifica a ecuación diferencia a 2 u xx (t, x) + bu(t τ, x) si probamos que es decir si, u xx (t, x) = ( nπ )2 T n (t) sin( nπx ) u xx (t, x) = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 56

64 donde, m ( ) c 2 k 1 ( ) 2 k 2 S 1 = (B b π 2 n 2 n (τ) c2 2 ( nπx ) bπ 2 n B n()) sin Q ( k, n 2 d 2 (t kτ) ), 2 ( ) c 2 k ( ) 2 k 1 ( nπx ) τ S 2 = sin B b π 2 n 2 n(s)q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) ds, ( ) c 2 m ( ) 2 ( nπx ) t mτ S 3 = sin B b π 2 n 2 n(s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds, ( ) c 2 m ( ) 2 ( nπx ) S 4 = sin B b π 2 n 2 n (t mτ). En primer ugar supongamos que m > 1. Queremos ver que u 1, u 2, u 3, u 4 dadas por (2.14)-(2.17) se pueden derivar dos veces con respecto a a variabe x, término a término. Apicando e Lema 2.6, tenemos que probar que a serie formada por as primeras derivadas y a serie formada por as segundas derivadas convergen uniformemente en e intervao (, ) para cada t [mτ, (m + 1)τ], como ésta útima ya está probada sóo nos queda ver que m ( c 2 2 bπ 2 n 2 m ( c 2 2 bπ 2 n 2 ) k 1 nπ B n(τ) cos ) k 1 nπ ( nπx c 2 2 bπ 2 n 2 B n() cos ) Q ( k, n 2 d 2 (t kτ) ) (2.126) ( nπx ) Q ( k, n 2 d 2 (t kτ) ) (2.127) ( c 2 2 bπ 2 n 2 ) k nπ ( nπx ) τ cos B n(s)q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) ds, (2.128) ( c 2 2 bπ 2 n 2 ) m nπ ( nπx ) t mτ cos B n(s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds, (2.129) ( c 2 2 bπ 2 n 2 ) m nπ ( nπx cos convergen uniformemente para todo vaor de x (, ). ) B n (t mτ), (2.13) 57

65 Empezamos con (2.126). E sumando más desfavorabe para a convergencia uniforme de (2.126) es e correspondiente a k = 1, nπ B n(τ) cos ( nπx ) Q ( 1, n 2 d 2 (t τ) ). Teniendo en cuenta a acotación (2.94) para cada vaor de t existe N cumpiendo, nγ(1, n 2 d 2 (t τ) Γ(2) 2d 2 (t τ). (2.131) Por tanto, como m > 1 a serie (2.126) converge uniformemente en [mτ, (m+1)τ] [, ]. E estudio de a serie (2.127) es simiar a de (2.126). Estudiamos ahora a convergencia uniforme de (2.128). E sumando más desfavorabe para a convergencia uniforme de (2.128) es e correspondiente a k = 1, c 2 2 nπ ( nπx ) τ cos B bπ 2 n 2 n(s)q ( 1, n 2 d 2 (t τ s) ) ds que converge uniformemente en [mτ, (m + 1)τ] [, ] ya que c 2 2 nπ ( nπx ) τ cos B bπ 2 n 2 n(s)q ( 1, n 2 d 2 (t τ s) ) ds c2 τ B bπ n(s) Q ( 1, n 2 d 2 (t τ s) ) ds < a igua que razonamos en (2.55). La convergencia uniforme de as series (2.129) y (2.13) en [mτ, (m + 1)τ] [, ] teniendo en cuenta que m 2 está basada en a convergencia de a serie ( c 2 2 ) m nπ bπ 2 n 2. En segundo ugar supongamos que m = 1. En este caso, teniendo en cuenta e Teorema 3.4, u 4 = = c2 b c 2 2 ( nπx bπ 2 n sin 2 ( 2F (2) () ) B n (t τ) ( 1) n nπ ) ( nπx ) sin F (2) (x) (2.132) 58

66 donde Como F (2) (x) = x para x [, ), se tiene que 2 u 4 x 2 y desarroando ϕ en serie de Fourier como queríamos probar. 2 u 4 x 2 = u2 du 2 ϕ(t τ, u 1 )du 1. ( 1) n nπ ( nπx ) sin = x = c2 ϕ(t τ, x) b c 2 ( nπx ) b sin B n (t τ) Para probar que u 1, u 2, u 3, se pueden derivar dos veces con respecto a a variabe x término a término, basta probar a convergencia uniforme en (, ) para cada t [mτ, (m + 1)τ] de as series (2.126)-(2.129) a igua que comentamos en e caso m > 1. Estudiaremos a convergencia de as series (2.126) y (2.129) ya que (2.127) se estudiaría como (2.126) y a serie (2.128) es vacía para m = 1. Para (2.126) e razonamiento es e mismo que hemos hecho antes, es decir nγ(1, n 2 d 2 (t τ) Γ(2) 2d 2 (t τ). Así para cada t (τ, 2τ] y m = 1 a serie (2.126) converge uniformemente x [, ]. En cuanto a a serie (2.129), se tiene a siguiente acotación c 2 2 nπ ( nπx ) t τ cos B bπ 2 n 2 n(s)q ( 1, n 2 d 2 (t τ s) ) ds c2 t τ B bπ n(s) Q ( 1, n 2 d 2 (t τ s) ) ds < a igua que razonamos en (2.56). Se tiene por tanto que a serie (2.129) converge uniformemente en [mτ, (m + 1)τ] [, ]. Queda por tanto demostrada a existencia y continuidad de as derivadas parciaes de a soución en (τ, ) (, ). 59

67 Capítuo 3 Aproximaciones poinómicas de a función inicia En e capítuo anterior se obtuvieron souciones aproximadas de probema (2.1)- (2.3) que garantizaban una precisión prefijada en e intervao [mτ, (m+1)τ]. Si recordamos as acotaciones de os restos dadas en e Teorema 2.19, se observa que, para cada t en (mτ, (m + 1)τ], e error cometido en cada sumando disminuía de forma exponencia con e número de términos en a suma parcia, excepto en e tercer sumando 3. Para soventar este probema, vamos a aproximar a función inicia ϕ t (t, x) por un poinomio de cierto grado L en a variabe t, a que amaremos P L,ϕt (t, x), usando poinomios de aproximación adecuados, L P L,ϕt (t, x) = t k f k (x). Sea u(t, x) a soución de probema (2.1)-(2.3) dada por (2.47). En a soución aproximada a ésta, a a que amaremos u P (t, x), agunas partes podrán ser cacuadas de forma exacta, de modo que a en a serie truncada, u N P (t, x), e resto asociado a ea disminuirá de forma exponencia con e número de términos. k= Así, u P (t, x) adoptaría a forma siguiente, u P (t, x) = , (3.1) 6

68 donde y 4 = = m ( nπx ( 1) k 1 c 2(k 1) (B n (τ) + c 2 B n ()) sin ) Q ( k, n 2 d 2 (t kτ) ), ( nπx ) τ ( 1) k 1 c 2k sin B n(s)q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) ds, ( nπx ) t mτ = ( 1) c 2m sin P n,l (s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds ( nπx ) = ( 1) m c 2m sin B n (t mτ) = ( 1) m c 2m ϕ(t mτ, x), donde P n,l (s) son os coeficientes de desarroo en serie de Fourier de poinomio P L,ϕt (s, x), es decir P n,l (s) = 2 P L,ϕt (s, x) sin( nπx )dx. En a próxima sección desarroaremos y reescribiremos a expresión 3. A continuación, buscaremos e poinomio adecuado que aproxime a ϕ t (t, x) y para acabar e capítuo cacuaremos e error cometido a truncar a soución aproximada y estimaremos e error a aproximar ϕ t (t, x) por e poinomio P L,ϕt (t, x), es decir, acotaremos os errores cometidos en as aproximaciones u(t, x) u P (t, x) u N P (t, x) Expresión de tercer sumando de a serie si ϕ t (t, x) se aproxima por un poinomio en a variabe t Supongamos que ϕ t (t, x) es aproximado por un poinomio de grado L, P L,ϕt (t, x). Se tiene entonces e siguiente resutado. Lema 3.1. Sea P L,ϕt (t, x) = L k= tk f k (x). Si P n,l (t) son os coeficientes de desarroo en serie de Fourier de a función P L,ϕt y amamos g n,k = 2 f k(x) sin( nπx )dx, d = πa 61

69 y λ n = nπ, entonces = + + t mτ sin(λ n x) P n,l (s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds (3.2) L (t mτ) k+1 f k (x) (3.3) k + 1 k= L k+1 ( ) ( 1) k+j (t mτ) j k + 1 Γ(k + m j + 1) (k + 1)Γ(m) j k= j=. g n,k sin(λ n x) (3.4) (n 2 d 2 ) k+1 j L k+1 k= j=. ( 1) k+j+1 (t mτ) j (k + 1)Γ(m) ( ) k + 1 j sin(λ n x) g n,kγ(k + m j + 1, n 2 d 2 (t mτ)) (n 2 d 2 ) k+1 j. (3.5) Demostración. Lamemos P (k) L,ϕ t (t, x) = t k f k (x). De esta forma, P L,ϕt escribir como sigue, se puede P L,ϕt (t, x) = L t k f k (x) = k= L k= P (k) L,ϕ t (t, x) y además P n,l (t) = 2 P L,ϕt (t, x)dx. Si desarroamos P (k) L,ϕ t (t, x) en serie de Fourier, se tiene P (k) L,ϕ t (t, x) = P (k) n,l (t) sin(nπx), donde y P (k) n,l (t) = 2 f k (x) = t k f k (x) sin( nπx )dx = t k g n,k ( nπx ) g n,k sin. 62

70 Teniendo en cuenta o anterior, ( nπx ) t mτ sin P n,l (s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds = = L k= L k= ( nπx ) t mτ sin P (k) n,l (s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds ( nπx ) t mτ sin s k g n,k Q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds. (3.6) A continuación, desarroaremos a expresión Integrando por partes, t mτ s k Γ ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds. u = Γ ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ), dv = s k ds, y amando se tiene du = n 2 d 2 e n2 d 2 (t mτ s) (n 2 d 2 (t mτ s)) ds, Exp(n, s) = e n2 d 2 (t mτ s) (n 2 d 2 (t mτ s)), v = sk+1 k + 1, = t mτ s k Γ ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds [Γ ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) s k+1 (t mτ)k+1 = Γ(m) k + 1 t mτ k + 1 ] t mτ t mτ s k+1 k + 1 n2 d 2 Exp(n, s)ds Exp(n, s) sk+1 k + 1 n2 d 2 ds. (3.7) Si reescribimos esta útima integra y desarroamos e siguiente binomio de Newton, s k+1 = ( 1) k+1 ( 1) k+1 s k+1 = ( 1) k+1 ( s) k+1 = ( 1) k+1 (t mτ s + ( t + mτ)) k+1 k+1 ( ) k + 1 = ( 1) k+1 (t mτ s) k+1 j ( t + mτ) j, (3.8) j j= 63

71 sustituyendo (3.8) en a siguiente integra, se tiene = = = t mτ t mτ k+1 j= k+1 j= s k+1 k + 1 n2 d 2 e n2 d 2 (t mτ s) (n 2 d 2 (t mτ s)) ds [ ( 1) k+1 k+1 ( ) ] k + 1 (t mτ s) k+1 j ( t + mτ) j n 2 d 2 Exp(n, s) ds k + 1 j j= ( ) ( 1) k+j+1 (t mτ) j k + 1 t mτ (t mτ s) k+1 j n 2 d 2 Exp(n, s)ds k + 1 j ( ) ( 1) k+j+1 (t mτ) j k + 1 t mτ (n 2 d 2 (t mτ s)) k+1 j n 2 d 2 Exp(n, s)ds, (k + 1)(n 2 d 2 ) k+1 j j y, teniendo en cuenta a expresión de Exp(n, s), se tiene k+1 ( ) ( 1) k+j+1 (t mτ) j k + 1 t mτ (n 2 d 2 (t mτ s)) k+m j n 2 d 2 e n2 d 2 (t mτ s) ds (k + 1)(n 2 d 2 ) k+1 j j j= k+1 ( ) ( 1) k+j+1 (t mτ) j k + 1 t mτ = Γ (k + 1)(n 2 d 2 ) k+1 j s (k + m j + 1, n 2 d 2 (t mτ s))ds j j= k+1 ( ) ( 1) k+j+1 (t mτ) j k + 1 = Γ(k + m j + 1, ) (k + 1)(n 2 d 2 ) k+1 j j j= k+1 ( ) ( 1) k+j+1 (t mτ) j k + 1 Γ(k + m j + 1, n 2 d 2 (t mτ)) (k + 1)(n 2 d 2 ) k+1 j j j= k+1 ( ) ( 1) k+j+1 (t mτ) j k + 1 = Γ(k + m j + 1) (k + 1)(n 2 d 2 ) k+1 j j j= k+1 ( ) ( 1) k+j (t mτ) j k Γ(k + m j + 1, n 2 d 2 (t mτ)). (3.9) (k + 1)(n 2 d 2 ) k+1 j j j= Si sustituimos (3.9) en (3.7), t mτ = Γ(m) + + k+1 j= k+1 j= s k Γ(m, n 2 d 2 (t mτ s))ds (t mτ)(k+1) k + 1 ( 1) k+j (t mτ) j (k + 1)(n 2 d 2 ) k+1 j ( 1) k+j+1 (t mτ) j (k + 1)(n 2 d 2 ) k+1 j ( k + 1 j ( k + 1 j ) Γ(k + m j + 1) ) Γ(k + m j + 1, n 2 d 2 (t mτ)). (3.1) 64

72 Lamando λ n = nπ, sustituyendo (3.1) en (3.6) y teniendo en cuenta que se tiene, Q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) = Γ (m, n2 d 2 (t mτ s)), Γ(m) = + + L k= L k= L k+1 k= j= L k+1 k= j= t mτ sin (λ n x) s k g n,k Q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds sin (λ n x) g n,k (t mτ) k+1 k + 1 ( 1) k+j (t mτ) j Γ(k + m j + 1) (k + 1)Γ(m) ( 1) k+j+1 (t mτ) j (k + 1)Γ(m) ( ) k + 1 j ( ) k + 1 g n,k sin(λ n x) j (n 2 d 2 ) k+1 j sin(λ n x) g n,kγ(k + m j + 1, n 2 d 2 (t mτ)) (n 2 d 2 ) k+1 j. Finamente, teniendo en cuenta que g n,k son os coeficientes de desarroo en serie de Fourier de as funciones f k, = + + L k= t mτ sin (λ n x) s k g n,k Q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds L (t mτ) k+1 f k (x) k + 1 k= L k+1 k= j= L k+1 k= j=. ( 1) k+j (t mτ) j Γ(k + m j + 1) (k + 1)Γ(m) ( 1) k+j+1 (t mτ) j (k + 1)Γ(m) ( ) k + 1 j ( ) k + 1 g n,k sin(λ n x) j (n 2 d 2 ) k+1 j sin(λ n x) g n,kγ(k + m j + 1, n 2 d 2 (t mτ)) (n 2 d 2 ) k+1 j. (3.11) Nótese que e primer sumando se cacua de forma exacta. En a próxima sección nos ocuparemos de estudio de a segunda serie de (3.11) y veremos que e segundo sumando se puede cacuar de forma exacta también. E tercer sumando no ofrecerá ningún probema, pues como veremos más adeante e resto de dicha serie se puede acotar de forma exponencia en reación con e número de términos. 65

73 3.2. Estudio de a serie sin(λ nx) g n,k (n 2 d 2 ) k+1 j Lema 3.2. Sea F (i) k a función formada por i integraes iteradas de f k, F (i) k x ui (x) = du i du i 1... u2 Entonces, para todo i número natura no nuo se tiene f k (x) sin(λ n x)dx = i p=1 ( 1) n+p (λ n ) 2p 1 F (2p) k f k (u 1 )du 1. ()+( 1) i (λ n ) 2i F (2i) k (x) sin(λ n x)dx. (3.12) Demostración. Se va a demostrar por inducción, integrando por partes dos veces. Comprobemos a fórmua para i = 1. Integrando por partes y amando se tiene, f k (x) sin(λ n x)dx = u = sin(λ n x), du = λ n cos(λ n x)dx, v = = [ sin(λ n x) ( x x dv = f k (x)dx, ] f k (u) Integrando de nuevo por partes en (3.13), tomando u = λ n cos(λ n x), dv = ( du = λ 2 n sin(λ n x)dx, v = (3.13) se puede escribir de a forma [ x u2 ] λ n cos(λ n x) ( f k (u 1 )du 1 )du 2 = λ n cos(λ n ) = ( 1) n+1 λ n ( u2 u2 = ( 1) n+1 λ n F (2) k () λ2 n ( f k (u 1 )du 1 )du 2 λ 2 n f k (u 1 )du 1 )du 2 λ 2 n x f k (u)du, ( x f k (u)du)λ n cos(λ n x)dx f k (u)du)λ n cos(λ n x)dx. (3.13) x x u2 ( F (2) k (x) sin(λ nx)dx. f k (u)du)dx, f k (u 1 )du 1 )du 2, λ 2 n sin(λ n x)( sin(λ n x)( sin(λ n x)( x x u2 ( x u2 ( u2 ( f k (u 1 )du 1 )du 2 )dx f k (u 1 )du 1 )du 2 )dx f k (u 1 )du 1 )du 2 )dx 66

74 Supuesta cierta a fórmua para i, veamos qué ocurre para i + 1 f k (x) sin(λ n x)dx = i p=1 ( 1) n+p (λ n ) 2p 1 F (2p) k Si integramos por partes a integra de (3.14), tomando ()+( 1) i (λ n ) 2i F (2i) k (x) sin(λ n x)dx. (3.14) se tiene u = sin(λ n x), dv = F (2i) k du = λ n cos(λ n x)dx, v = x (x)dx, F (2i) k (u)du, = F (2i) k (x) sin(λ n x)dx [ sin(λ n x) x = λ n cos(λ n x)( ] F (2i) k (u)du x Si vovemos a integrar por partes (3.15), con u = λ n cos(λ n x), dv = ( du = λ 2 n sin(λ n x)dx, v = λ n cos(λ n x)( x F (2i) k (u)du)dx F (2i) k (u)du)dx. (3.15) x u2 ( se tiene que (3.15) se puede escribir en a forma F (2i) k (x) sin(λ n x)dx = x F (2i) k [ λ n cos(λ n x)f (2i+2) k (x) = λ n ( 1) n F (2i+2) k () λ 2 n F (2i) k (u)du)dx, (u 1 )du 1 )du 2 = F (2i+2) (x), ] λ 2 n k F (2i+2) k (x) sin(λ n x)dx F (2i+2) k (x) sin(λ n x)dx. (3.16) 67

75 Finamente, sustituyendo (3.16) en (3.14) se tiene i f k (x) sin(λ n x)dx = ( 1) n+p (λ n ) 2p 1 F (2p) k () p=1 + ( 1) i (λ n ) 2i [ λ n ( 1) n F (2i+2) k () λ 2 n = i p=1 ( 1) n+p (λ n ) 2p 1 F (2p) k () + (λ n ) 2i+1 ( 1) n ( 1) i+1 F (2i+2) k () + (λ n ) 2i+2 ( 1) i+1 F (2i+2) k (x) sin(λ n )dx = i+1 ( 1) n+p (λ n ) 2p 1 F (2p) k () p=1 + ( 1) i+1 (λ n ) 2i+2 F (2i+2) k (x) sin(λ n x)dx] F (2i+2) k (x) sin(λ n x)dx. (3.17) A continuación enunciaremos un coroario inmediato, que consiste en despejar de a fórmua de ema anterior. Coroario 3.3. Bajo as condiciones de Lema 3.2, se tiene = i ( 1) n+p 1 p=1 1 ( n2 π 2 ) i 2 (2p) ( nπ F ) 2(i p)+1 k para todo i número natura no nuo. f k (x) sin( nπx )dx () + ( 1) i F (2i) k (x) sin( nπx )dx, En e próximo teorema daremos e vaor exacto de a serie 1 (n 2 d 2 ) sin(nπx )g i n,k. Teorema 3.4. Supongamos as condiciones de Lema 3.2 y sean d = πa y g n,k = 2 f k(x) sin( nπx )dx. Entonces, 1 (n 2 d 2 ) sin(nπx )g i n,k i 2( 1) p F (2p) k () ( 1) n = a 2i ( nπ sin(nπx) + ( 1)i F (2i) ) 2(i p)+1 a 2i k (x). p=1 68

76 Demostración. Teniendo en cuenta que d = πa, n2 d 2 = n2 π 2 2 a 2, = 1 (n 2 d 2 ) sin(nπx i 2 sin(nπx ( n2 π 2 ) i a2i 2 apicando e Coroario 3.3 se tiene, )g n,k ) f k (x) sin( nπx )dx, (3.18) = 1 ( n2 π 2 2 ) i i ( 1) n+p 1 p=1 f k (x) sin( nπx )dx (2p) ( nπ F ) 2(i p)+1 k () + ( 1) i F (2i) k (x) sin( nπx )dx. (3.19) Sustituyendo (3.19) en (3.18), = + = 1 (n 2 d 2 ) sin(nπx )g i n,k 2 i sin(nπx) ( 1) n+p 1 (2p) a2i ( nπ F ) 2(i p)+1 k () p=1 2 sin(nπx)( 1) i F (2i) a2i k (x) sin( nπx )dx i 2( 1) p F (2p) k () ( 1) n sin( nπx ) a 2i ( nπ ) 2(i p)+1 p=1 + ( 1)i a 2i sin( nπx ) 2 F (2i) k (x) sin( nπx )dx, y teniendo en cuenta que e desarroo en serie de Fourier de F (2i) k (x) es finamente se tiene, sin( nπx ) 2 F (2i) k (x) sin( nπx )dx, = 1 (n 2 d 2 ) sin(nπx i i 2( 1) p F (2p) k () a 2i p=1 )g n,k ( nπ ) ( 1) n 2(i p)+1 sin(nπx ) + ( 1)i a 2i F (2i) k (x). 69

77 Apicaremos e teorema anterior en nuestra serie tomando i = k j + 1, quedando e resutado de a siguiente forma, = k j+1 p=1 + ( 1)k j+1 a 1 sin(nπx (n 2 d 2 ) k j+1 2( 1) p F (2p) k () a 2(k j+1) (2(k j+1)) F 2(k j+1) k (x). Como se puede observar, e estudio de a serie ( nπx sin )g n,k ( nπ ) ) gn,k ( 1) n 2(k j+1 p)+1 sin(nπx (n 2 d 2 ) i se expresa en términos de a nueva función conocida F (i) (x) y de a serie ( 1) n ( nπ ) que vamos a estudiar a continuación. 2(i p)+1 sin(nπx k ), ) 3.3. Estudio de a serie ( 1) n sin(nx), siendo k n 2k+1 un número natura impar. Vamos a estudiar e desarroo en serie de Fourier de senos para funciones x k con k Lema 3.5. E desarroo en serie de Fourier de a función f(x) = x es 2( 1) n+1 sin(nx), n x [, π). Demostración. Sea f(x) = x, con π < x < π. E desarroo en serie de Fourier tiene a forma f(x) = b n sin(nx), 7

78 donde b n = 2 π π f(x) sin(nx)dx. Para a función dada, a expresión de b n es b n = 2 π e, integrando por partes, se tiene π x sin(nx)dx, con o que π b n = 2 π [ xcos(nx) ] π + 2 cos(nx) dx n π n = 2 ] [ π( 1)n + 2 [ ] π sin(nx) = 2( 1)n+1, π n π n 2 n x = 2( 1) n+1 sin(nx), n x [, π). A continuación vamos a cacuar b n para una función x k, con k impar, mediante una fórmua de recurrencia en función de k. Lema 3.6. Sea I k,n = 2 π de recurrencia π xk sin(nx)dx. Entonces, para k 3 se cumpe a fórmua k 1 ( 1)n+1 k(k 1) I k,n = 2π I n n 2 k 2,n. (3.2) Demostración. Para k = 1, Integrando por partes con I 1,n = 2 π π I k = 2 π x sin(nx)dx = 2( 1)n+1. n π x k sin(nx)dx, u = x k, du = kx k 1, dv = sin(nx)dx, v = cos(nx), n 71

79 se tiene, I k,n = 2 π = 2 π [ x k cos(nx) ] π + 2 n π ( 1)n+1 (πk ) + 2k n π y, voviendo a integrar por partes, con obtenemos k 1 ( 1)n+1 I k,n = 2π + 2k n π π π u = x k 1, du = (k 1)x k 2, dv = cos(nx), v = sin(nx), n n 2 [ k 1 sin(nx) x k 1 ( 1)n+1 2k(k 1) = 2π n πn 2 k(k 1) k 1 ( 1)n+1 = 2π n Proposición 3.7. Sea I k,n = 2 π para vaores de x [, π). n 2 π ] π k 1 cos(nx) kx dx n k 1 cos(nx) x dx n 2k(k 1) πn 2 x k 2 sin(nx)dx π x k 2 sin(nx)dx I n 2 k 2,n. (3.21) π xk sin(nx)dx y k un número impar. Entonces, x k = π k 1 x k(k 1) I k 2,n n 2 sin(nx) (3.22) Demostración. Como k es un número impar, x k = I k,n sin(nx) y apicando e Lema 3.6 a expresión anterior adopta a forma x k = Teniendo en cuenta e Lema 3.5, k 1 ( 1)n+1 2π sin(nx) k(k 1) n 2( 1) n+1 sin(nx) = x, n I k 2,n n 2 sin(nx). 72

80 a expresión resutante es x k = π k 1 x k(k 1) I k 2,n n 2 sin(nx). Veamos un ejempo para k = 3 cacuando a siguiente serie, ( 1) n+1 sin(nx). n 3 Ejempo y, despejando a serie, se tiene x 3 = π 2 x 6 x 3 = π 2 x 6 x 3 = π 2 x 12 ( 1) n n 3 I 1,n n sin(nx), 2 2( 1) n+1 sin(nx), n 3 ( 1) n+1 sin(nx), n 3 sin(nx) = x3 12 π2 x 12. En nuestro probema, x [, ) y, por tanto, πx [, π). De esta forma, ( 1) n sin( nπx ) = ( πx )3 n 3 12 π2 πx 12. Apicando e método de recurrencia anterior, podemos obtener e vaor de cuaquier expresión de tipo ( 1) n sin(nπx). n2k+1 En e siguiente teorema daremos a expresión definitiva de a serie 3 dada en (3.1) si ϕ t es aproximada por un poinomio en a variabe t. Esto va a dar ugar a una expresión en a que vamos a cacuar de forma expícita todos sus términos, savo uno que se puede truncar de forma que e resto asociado decaiga en forma exponencia con e número de términos. 73

81 3.4. Expresión definitiva de a soución aproximada Teorema 3.8. Sea P L,ϕt (t, x) un poinomio de grado L, es decir, y sean g n,k = 2 donde v 1 (t, x) = v 2 (t, x) = P L,ϕt (t, x) = L t k f k (x), k= f k(x) sin( nπx )dx y λ n = nπ. Entonces, L sin( nπx t mτ ) s k g n,k Q(m, n 2 d 2 (t mτ s))ds k= = v 1 (t, x) + v 2 (t, x) + v 3 (t, x) + v 4 (t, x), k= v 3 (t, x) = y v 4 (t, x) = k= j=. L (t mτ) k+1 f k (x), (3.23) k + 1 L k+1 ( ) 2( 1) k+j (t mτ) j k j+1 Γ(k + m j + 1) k + 1 ( 1) p F (2p) (k + 1)Γ(m)a 2(k j+1) k () j ( 1) n (λ n ) 2(k j+1 p)+1 sin(λ nx), (3.24) L k+1 k= j= L k+1 k= j=. (t mτ) j Γ(k + m j + 1) (k + 1)Γ(m)a 2(k j+1) ( 1) k+j+1 (t mτ) j (k + 1)Γ(m) ( ) k + 1 j ( k + 1 j p=1 ) F (2(k j+1)) k (x) (3.25) (3.26) sin(λ n x) g n,kγ(k + m j + 1, n 2 d 2 (t mτ)) (n 2 d 2 ) k j+1. (3.27) Demostración. E resutado se obtiene sustituyendo a expresión proporcionada por e Teorema 3.4 en as expresiones de Lema 3.1. Nótese que, savo e útimo sumando v 4 (t, x), e resto de expresiones de este teorema se cacuan de forma expícita. Por tanto, a expresión definitiva de a soución aproximada de nuestro probema a a que amamos u P (t, x) es igua que a obtenida en e capítuo anterior u(t, x), en ( ), savo en e tercer sumando, donde aproximamos t mτ B n(s)q(m, n 2 d 2 (t mτ s))ds 74

82 por t mτ P n,l (s)q(m, n 2 d 2 (t mτ s))ds, siendo P n,l (s) os coeficientes de desarroo en serie de Fourier de poinomio P L,ϕt, es decir, P n,l (s) = 2 P L,ϕt (s, x) sin( nπx )dx. En consecuencia, u P (t, x) = , (3.28) donde y 4 = = m ( nπx ( 1) k 1 c 2(k 1) (B n (τ) + c 2 B n ()) sin ) Q ( k, n 2 d 2 (t kτ) ), ( nπx ) τ ( 1) k 1 c 2k sin B n(s)q ( k, n 2 d 2 (t kτ s) ) ds, = ( 1) c 2m (v 1 (t, x) + v 2 (t, x) + v 3 (t, x) + v 4 (t, x)), ( nπx ) = ( 1) m c 2m sin B n (t mτ) = ( 1) m c 2m ϕ(t mτ, x), siendo v 1, v 2, v 3 y v 4 as funciones descritas en e Teorema Teorema de Weierstrass. Poinomios de Bernstein En esta sección vamos a ver cómo podemos aproximar ϕ t por un poinomio en a variabe t. E Teorema de Weierstrass (véase [3, p. 392]) nos asegura que toda función continua se puede aproximar por un poinomio, aunque en nuestro caso tenemos una función que depende de dos variabes, t, x. Queremos aproximar a función ϕ t por un poinomio en a variabe t que sea váido para cuaquier vaor de x. Nos apoyaremos en os poinomios de Bernstein (ver [9, p. 166]) pero dada a mayor eficacia de os 75

83 poinomios de Tschebyscheff (ver [8, p.66]) empearemos éstos en os programas de os anexos que cacuan e error a partir de número de términos y e que cacua e número de términos en función de error. En reaidad en os cácuos que hacemos partimos de un poinomio cuaquiera en a variabe t. Sóo nos apoyamos en os de Bernstein para probar que toda función continua en dos variabes definida en un conjunto compacto se puede aproximar por un poinomio en una de sus variabes, o veremos en e próximo teorema. Proposición 3.9. E conjunto de poinomios { ( L k) t k (1 t) L k, k =, 1,..., L} es una base de conjunto de os poinomios de grado L en a variabe t. Proposición 3.1. Propiedades Inmediatas 1. Propiedad 1 = L k= ( ) L t k (1 t) L k. (3.29) k 2. Propiedad Lt = L k= ( ) L kt k (1 t) L k. (3.3) k 3. Propiedad t = L k= ( ) L k k L tk (1 t) L k. (3.31) 4. Propiedad (1 1 L )t2 + t L = L k= ( ) L k 2 k L 2 tk (1 t) L k. (3.32) Usaremos as anteriores iguadades en a demostración de siguiente teorema. Si ϕ t (., x) es una función continua en e intervao [, 1] se define e poinomio de Bernstein de grado L, en a variabe t asociado a a función ϕ t de a forma siguiente: P L,ϕt (t, x) = L k= ( ) L ϕ t ( k k L, x)tk (1 t) L k. (3.33) 76

84 Teorema Si ϕ t (., x) es una función continua en e intervao [, 1] para cada x, entonces ε > L (ε) N ϕ t (t, x) P L,ϕt (t, x) < ε L L (ɛ) (3.34) t [, 1] x [, ]. Demostración. Por a Propiedad 1 (3.29), se tiene ϕ t (t, x) = L k= ( ) L ϕ t (t, x)t k (1 t) L k. (3.35) k Teniendo en cuenta a expresión de P L,ϕt (t, x) en (3.33), L ( ) L ϕ t (t, x) P L,ϕt (t, x) = (ϕ t (t, x) ϕ t ( k k L, x))tk (1 t) L k (3.36) k= L ( ) L = ϕ t (t, x) ϕ t ( k k L, x) tk (1 t) L k. (3.37) k= Como ϕ t es continua en [, 1] [, ] es uniformemente continua en [, 1] [, ]. Por tanto, ε > δ 1, δ 2 > / t 1 t 2 < δ 1, x 1 x 2 < δ 2, ϕ t (t 1, x 1 ) ϕ t (t 2, x 2 ) < ε 2. (3.38) En particuar, si x 1 = x 2, δ 1 > ta que si t 1 t 2 < δ 1 se cumpe ϕ t (t 1, x) ϕ t (t 2, x) < ε 2 x [, ]. Lamando y S 1 = {k / t k L < δ 1} S 2 = {k / t k L δ 1} a expresión (3.37) se escribe de a forma ( ) L ϕ t (t, x) ϕ t ( k k L, x) tk (1 t) L k (3.39) k S 1 + ( ) L ϕ t (t, x) ϕ t ( k k L, x) tk (1 t) L k. (3.4) k S 2 77

85 Teniendo en cuenta a continuidad uniforme de ϕ t y a Propiedad 1 (3.29), se tiene a siguiente desiguadad k S 1 Por otro ado, si k S 2 entonces ( ) L ϕ t (t, x) ϕ t ( k k L, x) tk (1 t) L k < ε 2. (3.41) t k L δ 1 y Así, Por otro ado, si amamos (t k L )2 δ 2 1. (t k L )2 δ M = Max{ϕ t (t, x), t [, 1], x [, ]} se tiene, Así, k S 2 L k= 2M δ 2 1 = 2M δ 2 1 = 2M δ 2 1 ϕ t (t, x) ϕ t ( k L, x) 2M 2M(t k L δ 1 ) 2. (3.42) ( ) L ϕ t (t, x) ϕ t ( k k L, x) tk (1 t) L k (3.43) ( ) L 2M( t k L ) 2 t k (1 t) L k k δ 1 (3.44) L ( ) L (Lt k) 2 t k (1 t) L k k L 2 (3.45) k= L k= [ ( L )( L2 t 2 k t 2 2t L k= L 2 2Lkt L 2 ( ) L k k L tk (1 t) L k + + k2 L 2 )tk (1 t) L k (3.46) L k= ( ) L k 2 k L 2 tk (1 t) L k ] (3.47) y usando as propiedades 3 y 4 (3.31) - (3.32) a expresión anterior queda como sigue = 2M δ 2 1 = 2M δ 2 1 = 2M δ 2 1 [t 2 2t 2 + (1 1 L )t2 + t L ] (3.48) [t 2 (1 1 L 1) + t L ] (3.49) 1 t(1 t). (3.5) L 78

86 Teniendo en cuenta que t [, 1], e máximo de a función f(t) = t(1 t) se acanza en t = 1 y vae 1. Por tanto (3.5) se puede acotar por 2 4 Y M 2Lδ 2 1 < ε si L > M. 2 εδ1 2 2M δ L = M. (3.51) 2Lδ1 2 Si ϕ t (., x) es una función continua en [, τ] para cada x [, ] entonces e poinomio de Bernstein de grado L, en a variabe t, asociado a a función ϕ t es e siguiente, P L,ϕt (t, x) = L k= ( ) L ϕ t (τ k k L, x)( t τ )k (1 t τ )L k Cácuo de error cometido a truncar a soución obtenida aproximando ϕ t por un poinomio en a variabe t Como acabamos de ver, os coeficientes de os poinomios que aproximan a ϕ t (t, x) dependen expícitamente de a función ϕ t (t, x), P L,ϕt (t, x) = L k= ( ) L ϕ t (τ k k L, x)( t τ )k (1 t τ )L k (3.52) y, como por hipótesis ϕ t (t, x) es dos veces continuamente diferenciabe en a variabe x, existe B cumpiendo B n(t) B n 2. Lamando P L,ϕt (t, x) a poinomio que aproxima a ϕ t (t, x) y f k (x) a os coeficientes de poinomio que aproxima a ϕ t (t, x), es decir, P L,ϕt (t, x) = L t k f k (x) k= e iguaando (3.52) a a expresión anterior, se ve que f k (x) es combinación inea de ϕ t y, por tanto, amando g n,k a os coeficientes de desarroo en serie de Fourier de f k (x), es decir, f k (x) = g n,k sin( nπx ), 79

87 donde existe g cumpiendo que g n,k = 2 f k (x) sin( nπx )dx, g n,k g n 2. En e Teorema 3.8 hemos probado que si ϕ t (t, x) es una función poinómica en a variabe t entonces 3 dada en (3.28) se escribe en forma de una función dada más una serie que depende de a función Gamma, que es a que vamos a acotar en e próximo teorema, en e que probaremos que e resto de a serie dada va a decaer de forma exponencia con e número de términos, de forma simiar que en e Teorema 2.19 se obtenía para 1 y 2 en Teorema Sean d = πa y g un vaor cumpiendo g n,k g n 2 n 1, k L j k + 1 Entonces, para (t, x) [mτ, (m + 1)τ] [, ], a expresión se puede acotar por n=n+1 sin( nπx ) g n,kγ(k + m j + 1, n 2 d 2 (t mτ)) (n 2 d 2 ) k+1 j gγ(k + m j + 1, (N + 1) 2 d 2 (t mτ)) (2(k j) + 3)d 2(k+1 j) N 2(k j)+3. (3.53) Demostración. n=n+1 n=n+1 sin( nπx )g n,k Γ(k + m j + 1, n 2 d 2 (t mτ)) (n 2 d 2 ) k+1 j (3.54) g n,k Γ(k + m j + 1, n2 d 2 (t mτ)) (n 2 d 2 ) k+1 j. (3.55) Teniendo en cuenta que g n,k g n 2, a expresión (3.55) se puede acotar por g n=n+1 Γ(k + m j + 1, n 2 d 2 (t mτ)) n 2 (n 2 d 2 ) k+1 j. (3.56) 8

88 Por ser {Γ(k + m j + 1, n 2 d 2 (t mτ))} una sucesión decreciente respecto de n para cada t y apicando e Lema 2.14, se tiene Γ(k + m j + 1, n 2 d 2 (t mτ)) g n 2 (n 2 d 2 ) k+1 j n=n+1 gγ(k + m j + 1, (N + 1) 2 d 2 (t mτ)) gγ(k + m j + 1, (N + 1)2 d 2 (t mτ)) d 2(k+1 j) = gγ(k + m j + 1, (N + 1)2 d 2 (t mτ)) (2(k j) + 3)d 2(k+1 j) N 2(k j)+3 n=n+1 N 1 d 2(k+1 j) n 2(k j)+4 du u 2(k j)+4 En os próximos teoremas estimaremos e error cometido a truncar a serie aproximada u P (t, x) en N términos. Recordemos que, ver (3.28), 3 = ( 1) c 2m (v 1 + v 2 + v 3 + v 4 ). Si truncamos v 4 en N términos se tiene, L k+1 ( ) v4 N ( 1) k+j+1 (t mτ) j k + 1 N = (k + 1)Γ(m) j k= j= sin(λ n x) g n,kγ(k + m j + 1, n 2 d 2 (t mτ)) (n 2 d 2 ) k j+1. A resto obtenido obtenido a considerar os N primeros términos o amaremos R3 N, L k+1 ( ) R3 N = c 2m ( 1) k+j+1 (t mτ) j k + 1 H n, (k + 1)Γ(m) j donde H n = n=n+1 k= j= sin(λ n x) g n,kγ(k + m j + 1, n 2 d 2 (t mτ)) (n 2 d 2 ) k j+1. En e siguiente teorema daremos a acotación de resto correspondiente a R N 3. Teorema Sea g un vaor cumpiendo g n,k g n 2 n 1, k L. Entonces, para (t, x) [mτ, (m + 1)τ] [, ] con m 1 se tiene R N 3 L k= gc 2m 2 k+1 Γ(k + m + 1, (N + 1) 2 d 2 (t mτ)). Γ(m)(k + 1)d 2(k+1) N 2k+3 81

89 Demostración. Teniendo en cuenta e Teorema 3.12, se tiene a siguiente acotación para R N 3, R N 3 = L k+1 k= j= L k+1 k= j= L k+1 k= j= c 2m (t mτ) j (k + 1)Γ(m) ( ) k + 1 gγ(k + m j + 1, (N + 1) 2 d 2 (t mτ)) j (2(k j) + 3)d 2(k+1 j) N 2(k j)+3 gc 2m (t mτ) j Γ(k + m j + 1, (N + 1) 2 d 2 (t mτ)) (k + 1)Γ(m)d 2j N 2j d 2(k+1) N 2k+3 ( ) k + 1 gc 2m (N 2 d 2 (t mτ)) j Γ(k + m j + 1, (N + 1) 2 d 2 (t mτ)) Γ(m)(k + 1)d 2(k+1) N 2k+3 j ( k + 1 j ). Por otro ado, (N 2 d 2 (t mτ)) j Γ(k + m j + 1, (N + 1) 2 d 2 (t mτ)) = (N 2 d 2 (t mτ)) j e s s k+m j ds = (N+1) 2 d 2 (t mτ) (N+1) 2 d 2 (t mτ) Teniendo en cuenta o anterior, R N 3 = L k+1 k= j= (N+1) 2 d 2 (t mτ) e s s k+m ( N 2 d 2 (t mτ) s ) j ds e s s k+m ds = Γ(k + m + 1, (N + 1) 2 d 2 (t mτ)). se puede acotar por gc 2m Γ(k + m + 1, (N + 1) 2 d 2 (t mτ)) Γ(m)(k + 1)d 2(k+1) N 2k+3 ( ) k + 1 gc 2m 2 k+1 Γ(m)(k + 1)d 2(k+1) Γ(k + m + 1, (N + 1) 2 d 2 (t mτ)) N 2k+3, con o que queda probado e teorema. j de y Resumiendo todo o anterior, y teniendo en cuenta as expresiones de as acotaciones R1 N = R2 N = n=n+1 n=n+1 m ( c 2 ) k 1 Γ(k) ( c 2 ) k Γ(k) (B n (τ) + c 2 B n ()) sin( nπx sin( nπx τ ) )Γ(k, n 2 d 2 (t kτ)) B n(s)γ(k, n 2 d 2 (t kτ s))ds, dadas en (2.97) y (2.98), e error cometido cuando u P dada en (3.28) se aproxima con sumas finitas se resume en e siguiente teorema. 82

90 Teorema Sea u P a expresión dada en (3.28). Denotemos por u P,N a aproximación a u P obtenida cuando 1 y 2 en (2.47), y v 4 en (3.26) son sustituidas por as correspondientes sumas parciaes con os N primeros términos. Entonces para (t, x) [mτ, (m + 1)τ] [, ] con m 1 se tiene m B 1 c 2k 2 u P,N u P Γ(k) + + L k= B τc 2k Γ(k) Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t kτ)) N Γ(k, (N + 1) 2 d 2 (t (k + 1)τ) N (3.57) (3.58) gc 2m 2 k+1 Γ(k + m + 1, (N + 1) 2 d 2 (t mτ)).(3.59) Γ(m)(k + 1)d 2(k+1) N 2k+3 En definitiva, hemos probado que si B n(t) se aproxima por un poinomio en a variabe t, es posibe obtener de forma exacta agunas de as partes que constituyen a soución, pudiendo reordenarse e resto de modo que e error cometido a truncar a serie infinita decaiga de forma exponencia con e número de términos según se ha mostrado en e Teorema A continuación vamos a estimar e error cometido en a soución a tomar a soución aproximada u P dada en (3.28) en ugar de u en (2.47), o que nos permitir acotar e error tota de aproximación Acotación de error tota de aproximación Proposición Sean u a soución exacta de probema (2.1)-(2.3) dada en (2.47) y u P a aproximación obtenida cuando 3 en (2.47) os coeficientes de Fourier B n(t) son sustituidos por aqueos que proceden de a aproximación poinómica a ϕ t dada en e Lema 3.1. Entonces si ϕ t (t, x) P L,ϕt (t, x) < ε t [, τ] x [, ] se tiene, u u P 4c2m mτ d ε. (3.6) Demostración. Apicando e Teorema 3.11 a ϕ t (t, x), existe un poinomio a que hemos amado P L,ϕt (t, x) cumpiendo o siguiente: ε > ϕ t (t, x) P L,ϕt (t, x) < ε t [, τ] x [, ]. 83

91 ( nπx ) t mτ u u P = ( 1) c 2m sin B n(s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds ( nπx ) t mτ ( 1) c 2m sin P n,l (s)q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds Por tanto u u P c 2m y teniendo en cuenta que y t mτ B n(s) P n,l (s) Q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds (3.61) B n(s) = 2 P n,l (s) = 2 ( nπx ) ϕ s (s, x) sin dx ( nπx ) P L,ϕt (s, x) sin dx se tiene que a expresión (3.61) se queda como sigue u u P 2c2m 2c2m = 2c 2m ε t mτ t mτ t mτ Q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ϕ s (s, x) P L,ϕt (s, x) dxds Q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) εds Q ( m, n 2 d 2 (t mτ s) ) ds y a igua que hicimos en e Capítuo 1, (ver 2.56) se tiene u u P 4c 2m Γ(m + 1) 2 t mτε (3.62) Γ(m)d o o que es o mismo y como entonces u u P 4c2m Γ(m ) τ Γ(m)d Γ(m ) Γ(m) m u u P 4c2m mτ d ε (3.63) ε. (3.64) 84

92 2 4 Error (og) N Figura 3.1: Cotas de error (ogaritmos decimaes) en función de N para a soución numérica de probema (2.1, ) cacuada utiizando a serie truncada u P,N dada en e Teorema 3.14, con = 1, τ = 1, a = 1, b = 1 y con función inicia ϕ(t, x) = sin(t)x(1 x), para (t, x) [mτ + δ, (m + 1)τ] [, ], donde δ =,1, m = 2 (círcuos) y m = 1 (cruces). En consecuencia, combinando os resutados proporcionados por e Teorema 3.14 y a Proposición 3.15, se obtiene inmediatamente una cota para e error tota de aproximación. Un ejempo de estas cotas de error, en función de número de términos de a serie truncada, se muestra en a Figura 3.1, donde puede observarse caramente a mayor precisión de estas acotaciones en reación con as proporcionadas en e capítuo anterior (compárese con a Figura 2.2). En esta figura se utiizó un poinomio de aproximación común para todos os vaores de N, con un vaor de ε en a Proposición 3.15 escogido para obtener una cota de 1 15 en (3.64). No obstante, dado cuaquier δ > y cuaquier error prefijado, es posibe obtener un poinomio de aproximación adecuado y un vaor de N de modo que a precisión de a soución aproximada u P,N cumpa as condiciones de error a priori uniformemente para (t, x) [mτ + δ, (m + 1)τ] [, ]. 85

93 Capítuo 4 Souciones de sistemas acopados de ecuaciones generaizadas de difusión con retardo En este capítuo abordamos a extensión de os resutados obtenidos en e Capítuo 2 a caso de sistemas acopados de ecuaciones generaizadas de difusión con retardo, es decir, consideraremos sistemas de a forma u t (t, x) = Au xx (t, x) + Bu xx (t τ, x), t > τ, x, (4.1) u(t, x) = ϕ(t, x), t τ, x, (4.2) u(t, ) = u(t, ) =, t, (4.3) donde u(t, x) y ϕ(t, x) son vectores de C M y os coeficientes A y B son matrices de C M M. Más adeante se indicará as condiciones que exigiremos a estas matrices, que en genera no serán simutáneamente diagonaizabes. La organización de este capítuo es a siguiente. En a próxima sección apicaremos e método de separación de variabes a probema (4.1)-(4.3), o que nos permitirá pantear a obtención de una soución exacta en forma de serie infinita, que será obtenida en a Sección 3. Previamente, en a Sección 2, consideraremos a obtención de souciones constructivas expícitas de probemas de vaor inicia, matriciaes y vectoriaes, para ecuaciones ordinarias con retardo. En as restantes secciones probaremos a convergencia y reguaridad de a soución propuesta y obtendremos acotaciones para e error 86

94 cometido a considerar aproximaciones numéricas mediante e truncamiento de a serie soución Apicación de método de separación de variabes Buscaremos souciones de a ecuación (4.1) utiizando e método de separación de variabes en a forma u(t, x) = T (t)x(x), T (t) C M, X(x) R. (4.4) Imponiendo que a expresión (4.4) satisfaga a ecuación (4.1), se tiene con o que obtenemos, Como T (t) no depende de x, T (t)x(x) = AT (t)x (x) + BT (t τ)x (x), (4.5) T (t) = (AT (t) + BT (t τ)) X (x) X(x). (4.6) X (x) X(x) = λ2. (4.7) esto da ugar a dos probemas, uno de eos es e probema escaar y otro es e probema vectoria X (x) + λ 2 X(x) =, x, (4.8) T (t) + λ 2 (AT (t) + BT (t τ)) =, t > τ. (4.9) La soución genera de a ecuación diferencia (4.8) es X(x) = a sin(λx) + b cos(λx) e imponiendo as condiciones de contorno X() = X() = se ega a que b = y a sin(λx) =, con o que λ = nπ, n = 1, 2,... 87

95 De esta forma, as funciones características de probema (4.8), con as condiciones de contorno dadas, son X n (x) = sin( nπx ). (4.1) La función correspondiente T n (t) es a soución de a ecuación T n(t) + n2 π 2 [AT 2 n (t) + BT n (t τ)] =, (4.11) donde T n (t) = B n (t) para t τ y B n (t) son os coeficientes de Fourier con respecto a sin( nπx de modo que ) en e desarroo de a función inicia ϕ(t, x), es decir, ϕ(t, x) = B n (t) = 2 ϕ(t, x) sin( nπx )dx, (4.12) B n (t) sin( nπx ), t τ, x. (4.13) Una vez resueto este útimo probema, propondremos como soución de (4.1)-(4.3) a serie forma u(t, x) = T n (t) sin( nπx ) Soución de a ecuación diferencia vectoria con retardo E probema que hemos de resover en (4.11) es un probema de vaores iniciaes para una ecuación diferencia vectoria con retardo, cuya forma genera es F (t) = AF (t) + BF (t τ), t > τ, (4.14) F (t) = f(t) = (f 1 (t),..., f M (t)), t τ, (4.15) donde A y B son matrices de C M M y f 1 (t),..., f M (t) son funciones escaares de C. Antes de abordar este probema, vamos a resover e siguiente probema matricia asociado, G (t) = AG(t) + BG(t τ), t > τ, (4.16) G(t) = I, t τ, (4.17) 88

96 donde A, B e I son matrices de C M M, siendo I a matriz identidad. En e próximo ema se obtiene a soución de probema (4.16)-(4.17) en términos de ciertas expresiones matriciaes que definimos a continuación. Sean Q(1, t) = y, para k 2, Q(k, t) = t t Nótese que Q(k, t) se cacua de forma expícita, Q(k, t) = t sk e A(t sk) Bds k e A(s k s k 1 ) Bds k 1... e A(t s) (A + B)ds (4.18) e A(t s) BQ(k 1, s)ds. (4.19) s2 e A(s 2 s 1 ) (A + B)ds 1. Si derivamos (4.18) y (4.19) con respecto a a variabe t, apicando e Lema (2.13), se tiene que Q (1, t) = AQ(1, t) + A + B (4.2) y Q (k, t) = AQ(k, t) + BQ(k 1, t) (4.21) para k 2. Podemos ahora enunciar e siguuiente ema. Lema 4.1. La soución a probema matricia (4.16)-(4.17) en e intervao [mτ, (m + 1)τ], m =, 1,... viene dada por G(t) = I, m =, (4.22) m G(t) = I + Q(k, t kτ), m 1. (4.23) Demostración. Veamos en primer ugar que a soución propuesta es continua. Puesto que se trata de una suma de funciones continuas en cada intervao [mτ, (m+1)τ], sóo nos queda comprobar que as expresiones dadas para dos intervaos consecutivos toman igua vaor en e extremo común. En efecto, para t = τ se tiene que G(τ) = I, por (4.22), pero además por (4.23) se tiene que G(t) = I + Q(1, t τ), τ t 2τ, (4.24) 89

97 con o que sustituyendo t = τ en a expresión (4.24) se obtiene G(τ) = I + Q(1, ) = I, y a soución es continua en t = τ. Veamos que a soución es continua en t = mτ para cuaquier m > 1. Sea G () (t) a soución en e intervao [(m 1)τ, mτ], G () (t) = I + Q(k, t kτ), y G (m) (t) a soución en e intervao [mτ, (m + 1)τ], m G (m) (t) = I + Q(k, t kτ). Vamos a comprobar que G () (mτ) = G (m) (mτ). Se tiene, G (m) (mτ) = I + m Q(k, mτ kτ) = I + Q(k, mτ kτ) + Q(m, ) (4.25) y, teniendo en cuenta que Q(m, ) =, a expresión de (4.25) es igua a I + Por tanto G(t) es una función continua. Q(k, mτ kτ) = G () (mτ). Veamos que (4.23) verifica a ecuación (4.16). Se tiene, m G (t) = (I + Q(k, t kτ)) (4.26) = Q (1, t τ) + m Q (k, t kτ) (4.27) y, teniendo en cuenta (4.2) y (4.21), a expresión anterior es igua a m AQ(1, t τ) + A + B + (AQ(k, t kτ) + BQ(k 1, t kτ)) (4.28) = A + AQ(1, t τ) + k=2 k=2 m AQ(k, t kτ) + B + k=2 m BQ(k 1, t kτ), (4.29) de donde, sacando factor común A y B y renombrando e segundo sumatorio, se obtiene [ ] [ ] m A I + AQ(k, t kτ) + B I + Q(k, t (k + 1)τ) (4.3) = AG(t) + BG(t τ). (4.31) k=2 9

98 Ahora buscamos a soución de probema de vaores iniciaes (4.14)-(4.15) considerando a siguiente representación integra. Lema 4.2. Sean A, B, I + C, con C = A 1 B, matrices inversibes. Sea G(t) a soución de probema matricia (4.16)-(4.17) dada en e Lema 4.1. Entonces, a soución de probema vectoria (4.14)-(4.15), para una función inicia f(t) = (f 1 (t),..., f M (t)) diferenciabe, viene dada por F (t) = G(t) ( (I + C) 1 Cf() + (I + C) 1 f(τ) ) + τ G(t s)(i + C) 1 Cf (s)ds. (4.32) Demostración. Buscamos souciones de a ecuación (4.14) de a forma F (t) = G(t)K + τ G(t s)y (s)ds (4.33) donde G(t) es a soución de a ecuación matricia de Lema 4.1 y que viene dada por a expresión (4.23), K es una constante a determinar e y(s) una función que cacuaremos más adeante, para que a expresión (4.33) sea soución de probema (4.14)-(4.15). Veamos que a expresión (4.33) verifica a ecuación (4.14) para t [mτ, (m + 1)τ]. F (t) = G (t)k + τ G (t s)y (s)ds (4.34) y teniendo en cuenta que G verifica a ecuación matricia (4.16), (4.34) se escribe como sigue (AG(t) + BG(t τ)) K + = AG(t)K + BG(t τ)k + + τ τ τ (AG(t s) + BG(t τ s)) y (s)ds (4.35) AG(t s)y (s)ds BG(t τ s)y (s)ds (4.36) = AF (t) + BF (t τ) (4.37) A continuación vamos a cacuar a constante K e y(t) de forma que F coincida con a función siguiente para t [τ, 2τ], F (t) = e t τ Ads [f(τ) + t τ e s τ Adu Bf(s τ)ds] t = e A(t τ) f(τ) + e A(t τ) e (s τ)a Bf(s τ)ds. τ 91

99 Haciendo un cambio de variabe en a integra anterior se tiene que a expresión anterior se quedaría como sigue t τ F (t) = e A(t τ) f(τ) + e A(t τ) e As Bf(s)ds. (4.38) Por otro ado, teniendo en cuenta que en e intervao [, τ] y en e intervao [τ, 2τ] G(t) = I G(t) = I + Q(1, t τ) = I + t τ e A(t τ s) (A + B)ds = e A(t τ) (I + A 1 B) A 1 B. Sustituyendo a expresión anterior y (4.38) en (4.33) y teniendo en cuenta que A es una matriz inversibe se tiene t τ e A(t τ) f(τ) + e A(t τ) e As Bf(s)ds = (e A(t τ) (I + A 1 B) A 1 B)K + t τ (e A(t s τ) (I + A 1 B) A 1 B)y (s) + Apicando integración por partes se tiene que t τ e A(t s τ) (I + A 1 B)y (s) = [e A(t s τ) (I + A 1 B)y(s)] t τ + t τ = (I + A 1 B)y(t τ) e A(t τ) (I + A 1 B)y() t τ + e A(t τ) e As A(I + A 1 B)y(s)ds. Así (4.39) se queda como sigue, t τ e A(t τ) f(τ) + e A(t τ) e As Bf(s)ds τ t τ Iy (s)ds. (4.39) e A(t s τ) A(I + A 1 B)y(s)ds = e A(t τ) (I + A 1 B)K A 1 BK + (I + A 1 B)y(t τ) e A(t τ) (I + A 1 B)y() t τ + e A(t τ) e As A(I + A 1 B)y(s)ds A 1 By(t τ) + A 1 By() + y(τ) y(t τ). 92

100 Simpificando o anterior se tiene o siguiente, t τ e A(t τ) f(τ) + e A(t τ) e As Bf(s)ds = e A(t τ) (I + A 1 B)K A 1 BK + A 1 By() + y(τ) t τ e A(t τ) (I + A 1 B)y() + e A(t τ) e As A(I + A 1 B)y(s)ds. (4.4) Si tomamos t τ t τ e A(t τ) e As Bf(s)ds = e A(t τ) e As A(I + A 1 B)y(s)ds (4.41) se deduce que Bf(s) = A(I + A 1 B)y(s) o o que es o mismo, como B es una matriz inversibe, f(s) = B 1 A(I + A 1 B)y(s). Lamando C = A 1 B y teniendo en cuenta que A y B son matrices inversibes se tiene, f(s) = (I + C 1 )y(s). Despejando y(s) se obtiene y(s) = (I + C 1 ) 1 f(s) o o que es o mismo y(s) = (I + C) 1 Cf(s). Así, teniendo en cuenta (4.41), a expresión (4.4) se quedaría como sigue, e A(t τ) f(τ) = (e A(t τ) (I + C)K CK + (C e A(t τ) (I + C))y() + y(τ) y teniendo en cuenta a definición de y(s), a expresión anterior se queda como sigue e A(t τ) f(τ) = (e A(t τ) (I+C) C)K+(C e A(t τ) (I+C))(I+C) 1 Cf()+(I+C) 1 Cf(τ) o o que es o mismo (e A(t τ) (I+C) C)K = (e A(t τ) (I+C) 1 C)f(τ) (C e A(t τ) (I+C))(I+C) 1 Cf(). Despejando K y teniendo en cuenta que (I + C) 1 C(I + C) = C se obtiene o siguiente K = (I + C) 1 f(τ) + (I + C) 1 Cf(). 93

101 Finamente sustituyendo e vaor de K e y(t) en (4.33) se tiene F (t) = G(t) ( (I + C) 1 Cf() + (I + C) 1 f(τ) ) + τ G(t s)(i + C) 1 Cf (s)ds. (4.42) E siguiente teorema nos da a soución definitiva de a ecuación (4.14) para t [mτ, (m + 1)τ], teniendo en cuenta a expresión de G(t) en e Lema 4.1. Teorema 4.3. La soución de probema (4.14)-(4.15), para una función inicia diferenciabe f(t) = (f 1 (t),..., f M (t)), en e intervao [mτ, (m + 1)τ] viene dada por ( ) m F (t) = I + Q(k, t kτ) ((I + C) 1 Cf() + (I + C) 1 f(τ)) + + τ ( t mτ I + Q(k, t s kτ) ) (I + C) 1 Cf (s)ds Q(m, t s mτ)(i + C) 1 Cf (s)ds. (4.43) Demostración. Vamos a sustituir G(t) en a expresión (4.32) de ema anterior. Teniendo en cuenta que t [mτ, (m + 1)τ], para m 1, si s t mτ entonces mτ t s t (m + 1)τ y G(t s) es a soución G(t) en e intervao [mτ, (m + 1)τ] cambiando t por t s. Por otro ado, si t mτ s τ entonces t τ t s mτ y G(t s) es a soución G(t) en e intervao [(m 1)τ, mτ], cambiando t por t s. De 94

102 esta forma, = + = + τ t mτ τ t mτ ( τ t mτ G(t s)(i + C) 1 Cf (s)ds ( ) m I + Q(k, t s kτ) (I + C) 1 Cf (s)ds ( ) I + Q(k, t s kτ) (I + C) 1 Cf (s)ds ) I + Q(k, t s kτ) (I + C) 1 Cf (s)ds Q(m, t s mτ)(i + C) 1 Cf (s)ds. Así, a soución de probema (4.14)-(4.15) quedaría como sigue, ( ) m ((I F (t) = I + Q(k, t kτ) + C) 1 Cf() + (I + C) 1 f(τ) ) + + τ ( t mτ I + Q(k, t s kτ) ) (I + C) 1 Cf (s)ds Q(m, t s mτ)(i + C) 1 Cf (s)ds. (4.44) 4.3. Soución exacta en forma de serie infinita Ahora estamos en condiciones de abordar a soución de probema (4.1)-(4.3). Como se indicó anteriormente, usando e método de separación de variabes proponemos a soución en forma de serie infinita u(t, x) = T n (t) sin( nπx ), (4.45) donde T n (t) es a soución de probema de vaores iniciaes con retardo ( nπ ) 2 T n(t) = (ATn (t) + BT n (t τ)), t > τ, (4.46) T n (t) = B n (t), t τ, (4.47) y B n (t) son os coeficientes de Fourier de a función inicia ϕ, B n (t) = 2 ϕ(t, x) sin( nπx )dx. 95

103 y Teniendo en cuenta os resutados de a sección anterior, si amamos Q n (1, t) = n2 π 2 Q n (k, t) = n2 π t t e A n2 π 2 2 (t s) (A + B)ds (4.48) e A n2 π 2 2 (t s) BQ n (k 1, s)ds, (4.49) e Teorema 4.3 proporciona de forma inmediata a soución de (4.46)-(4.47), ( ) m ((I T n (t) = I + Q n (k, t kτ) + C) 1 CB n () + (I + C) 1 B n (τ) ) + + τ ( t mτ o o que es o mismo, I + T n (t) = (I + C) 1 CB n () + + (I + C) 1 B n (τ) + Q n (k, t s kτ) ) (I + C) 1 CB n(s)ds Q n (m, t s mτ)(i + C) 1 CB n(s)ds m Q n (k, t kτ)(i + C) 1 CB n () m Q n (k, t kτ)(i + C) 1 B n (τ) + (I + C) 1 C(B n (τ) B n ()) + + t mτ y eiminando agunos términos τ Q n (m, t s mτ)(i + C) 1 CB n(s)ds, Q n (k, t s kτ)(i + C) 1 CB n(s)ds T n (t) = + + m Q n (k, t kτ)(i + C) 1 CB n () + τ t mτ m Q n (k, t kτ)(i + C) 1 B n (τ) Q n (k, t s kτ)(i + C) 1 CB n(s)ds Q n (m, t s mτ)(i + C) 1 CB n(s) + B n (τ). (4.5) Utiizando este resutado, e siguiente teorema nos da a soucción definitiva a nuestro probema. 96

104 Teorema 4.4. Con as condiciones adecuadas para e probema inicia que garantizan a continuidad y reguaridad, a soución de probema (4.1)-(4.3) para t [mτ, (m+1)τ] viene dada por u(t, x) = m m τ t mτ Q n (k, t kτ)(i + C) 1 CB n () sin( nπx ) Q n (k, t kτ)(i + C) 1 B n (τ) sin( nπx ) Q n (k, t s kτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds Q n (m, t s mτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds + ϕ(τ, x). (4.51) Demostración. Teniendo en cuenta (4.45) y as expresiones (4.5), a soución de probema (4.1)-(4.3) sería a dada en e teorema Caso particuar de iguadad de coeficientes Proposición 4.5. Si A = B, Para todo número natura k 1 se tiene, [ ] k 1 Q(k, t) = 2 ( 1) k I + ( 1) k 1 e At ( At) i i! donde I es a matriz identidad. i= Demostración. Lo haremos por inducción. Para k = 1, Q(1, t) = t e A(t s) 2Ads = 2e At [e As ] t = 2e At [e At I] = 2[ I + e At ]. 97

105 Supuesta a fórmua cierta para k, veamos qué ocurre para k + 1. = = t t Q(k + 1, t) = e A(t s) AQ(k, s)ds [ ] t k 1 e A(t s) 2A ( 1) k I + ( 1) k 1 e As ( As) i ds i! i= t k 1 e A(t s) 2A( 1) k ds + 2( 1) k e At ( As) i A ds i! k 1 = 2( 1) k ( I + e At ) + 2( 1) k e At i= i= ( At) i+1 (i + 1)! k = 2( 1) k+1 I + 2( 1) k e At + 2( 1) k e At ( At) i k = 2( 1) k+1 I + 2( 1) k e At ( At) i i! i= [ ] k = 2 ( 1) k+1 I + ( 1) k e At ( At) i. i! i= i=1 i! Teniendo en cuenta a definición de Q n (k, t) véase (4.49), a expresión anterior se quedaría como sigue, [ ] k 1 Q n (k, t) = 2 ( 1) k I + ( 1) k 1 (Aλ e Aλ2 nt 2 nt) i i! y por tanto a soución a nuestro probema se recoge en a siguiente proposición. Proposición 4.6. Con as condiciones adecuadas para e probema inicia que garantizan a continuidad y reguaridad, a soución de probema (4.1)-(4.3) con A = B para t [mτ, (m + 1)τ] viene dada por u(t, x) = + m k 1 ( 1) k 1 e Aλ2 n (t kτ) (Aλ 2 n(t kτ)) i (B n () + B n (τ)) sin(λ n x) i! τ i= k 1 ( 1) k 1 (Aλ e Aλ2 n(t s kτ) 2 n(t s kτ)) i B i! n(s) sin(λ n x)ds + ( 1) t mτ i= e Aλ2 n(t s mτ) i= (Aλ 2 n(t s mτ)) i B i! n(s) sin(λ n x)ds i= + ( 1) m ϕ(t mτ, x). (4.52) 98

106 Demostración. Sustituyendo a expresión anterior, Q n (k, t), en e Teorema 4.4 y teniendo en cuenta que (I + C) 1 = 1 I se tiene, 2 [ m u(t, x) = ( 1) k I + ( 1) k 1 e Aλ2 n(t kτ) ] k 1 (Aλ 2 n(t kτ)) i B n () sin(λ n x) i! i= [ ] m k 1 ( 1) k I + ( 1) k 1 (Aλ e Aλ2 n(t kτ) 2 n(t kτ)) i B n (τ) sin(λ n x) i! τ τ t mτ t mτ + ϕ(τ, x). ( 1) k B n(s) sin(λ n x)ds i= [ ] k 1 ( 1) k 1 (Aλ e Aλ2 n(t s kτ) 2 n(t s kτ)) i B i! n(s) sin(λ n x)ds ( 1) m B n(s) sin(λ n x)ds [ ( 1) e Aλ2 n(t s mτ) i= i= ] (Aλ 2 n(t s mτ)) i B i! n(s) sin(λ n x)ds Si separamos de a expresión anterior a parte constante que no depende de t se obtiene, + m ( 1) k B n () sin(λ n x) + ( 1) k (B n (τ) B n ()) sin(λ n x) + + ϕ(τ, x) m = ( 1) k ϕ(, x) + m ( 1) k B n (τ) sin(λ n x) (4.53) ( 1) m (B n (t mτ) B n ()) sin(λ n x) m ( 1) k ϕ(τ, x) + ( 1) k ϕ(τ, x) ( 1) k ϕ(, x) + ( 1) m ϕ(t mτ, x) ( 1) m ϕ(, x) + ϕ(τ, x) = ( 1) m ϕ(t mτ, x). 99

107 Por tanto u tendría a forma siguiente, u(t, x) = + m k 1 ( 1) k 1 (Aλ e Aλ2 n(t kτ) 2 n(t kτ)) i (B n () + B n (τ)) sin(λ n x) i! τ i= k 1 ( 1) k 1 (Aλ e Aλ2 n(t s kτ) 2 n(t s kτ)) i B i! n(s) sin(λ n x)ds + ( 1) t mτ i= e Aλ2 n(t s mτ) (Aλ 2 n(t s mτ)) i B i! n(s) sin(λ n x)ds i= + ( 1) m ϕ(t mτ, x). (4.54) 4.5. Lemas previos En primer ugar indicaremos agunas definiciones y emas que utiizaremos posteriormente.., Consideraremos a 2 norma para una matriz A ([15, p.56]) que denotaremos por A = sup y Ay 2 y 2. Lamaremos σ(a) a conjunto de vaores propios de una matriz A. Lema 4.7. Sea A C M M existe K ν 1 ta que y α(a) = max{re(z); z σ(a)}. Entonces, ν > α(a) e At K ν e νt, t. (4.55) Demostración. Consideremos a forma canónica de Jordan de a matriz A, es decir A = P JP 1 donde P es una matriz inversibe y J = D + E con D una matriz diagona formada por os vaores propios de A y E una matriz trianguar superior nipotente. Lamando de ([15, p.396]) se sigue que P (t) = k= Et k k! e At e tα(a) P (t) (4.56) 1

108 Si ν > α(a), entonces: e tα(a) P (t) ím = t + e νt o sea que existe T > ta que si t T e tα(a) P (t) e νt. Por otro ado si K 1 = max{p (t); t [, T ]} entonces si t [, T ] se tiene e tα(a) P (t) K 1 e tα(a) K 1 e νt. Finamente, si amamos K ν = max{1, K 1 } se verifica que e At e tα(a) P (t) K ν e νt t. En particuar para d 2 = π2 un número positivo tendremos 2 e An2 d 2 t e α( A)n2 d 2t P (n 2 d 2 t) K ν e νn2 d 2 t t, n 1. (4.57) Lema 4.8. Sean Q n (k, t) as matrices definidas en (4.48)-(4.49) para k 1. Si amamos β = B, γ = A 1 B, d 2 = π2 2, tomamos ν > α( A) y K ν cumpiendo (4.57), entonces podemos escribir Q n (k, t) = ( 1) k (A 1 B) k 1 (I + A 1 B) + Q (1) n (k, t), (4.58) donde Q (1) n (k, t) es una matriz que se puede acotar de a forma Q (1) n (k, t) k 1 (1 + γ)k k ν e νn2 d 2 t (n 2 d 2 β) j k 1 j tj γ j!. (4.59) Estas expresiones son váidas para todo k 1. j= Demostración. Vamos a demostrar a fórmua por indución sobre k. Para k = 1 se tiene Q n (1, t) = t e A n2 π 2 2 (t s) n 2 π 2 (A + B)ds 2 11

109 y amando d 2 = π2 2, Q n (1, t) = t = e An2 d 2 t e An2 d 2 (t s) n 2 d 2 (A + B)ds t Resoviendo a integra, a expresión anterior es igua a e An2 d 2s n 2 d 2 (A + B)ds. e An2 d 2t [e An2 d 2s ] t A 1 (A + B) o, o que es igua, e An2 d 2t (e An2 d 2t I)A 1 (A + B), y simpificando a expresión anterior nos queda (I + A 1 B) + e An2 d 2t (I + A 1 B). De esta forma, amando Q (1) n (1, t) = e An2 d 2t (I + A 1 B) se tiene a expresión de ema. Veamos a acotación de Q (1) n (1, t). Según a expresión (4.57), para ν > α( A) se tiene, Q (1) n (1, t) Teniendo en cuenta que a norma es subaditiva, e An2 d 2 t I + A 1 B K ν e νn2 d 2 t I + A 1 B. Q (1) n (1, t) Kν e νn2 d 2t ( I + A 1 B ) y amando γ = A 1 B, Q (1) n (1, t) Kν e νn2 d 2t (1 + γ). Supuesta probada a fórmua para k, veamos qué ocurre para k + 1. Q n (k + 1, t) = t e An2 d 2 (t s) Bn 2 d 2 Q n (k, s)ds. 12

110 Apicando a hipótesis de indución en a expresión anterior, se obtiene = = Q n (k + 1, t) t t t e An2 d 2 (t s) Bn 2 d [ 2 ( 1) k (A 1 B) k 1 (I + A 1 B) + Q (1) n (k, s) ] ds e An2 d 2 (t s) Bn 2 d 2 ( 1) k (A 1 B) k 1 (I + A 1 B)ds e An2 d 2 (t s) Bn 2 d 2 Q (1) n (k, s)ds = [e An2 d 2 (t s) ] t A 1 B( 1) k (A 1 B) k 1 (I + A 1 B) t e An2 d 2 (t s) Bn 2 d 2 Q (1) n (k, s)ds = (I e An2 d 2t )( 1) k (A 1 B) k (I + A 1 B) t e An2 d 2 (t s) Bn 2 d 2 Q (1) n (k, s)ds = ( 1) k+1 (A 1 B) k (I + A 1 B) + ( 1) k e An2 d 2t (A 1 B) k (I + A 1 B) t e An2 d 2 (t s) Bn 2 d 2 Q (1) n (k, s)ds = ( 1) k+1 (A 1 B) k (I + A 1 B) + Q (1) n Veamos ahora cómo se puede acotar Q 1 n(k + 1, t). Q (1) (k + 1, t). n (k + 1, t) = ( 1) k e An2 d 2t (A 1 B) k (I + A 1 B) t e An2 d 2 (t s) Bn 2 d 2 Q (1) n (k, s)ds. (4.6) Apicando a desiguadad trianguar en a norma matricia se tiene, Q (1) n (k + 1, t) Kν e νn2 d 2t γ k (1 + γ) + Por a hipótesis de indución, y (4.61) se puede acotar por +K ν e νn2 d 2 t t Q (1) n (k, s) k 1 (1 + γ)kν k e νn2 d 2 s (n 2 d 2 β) j γ t K ν e νn2 d 2 (t s) βn 2 d 2 Q (1) n (k, s) ds. (4.61) j= Q (1) n (k + 1, t) K ν e νn2 d 2t γ k (1 + γ) j= k 1 j sj j! e νn2 d 2s k 1 n 2 d 2 β(1 + γ)kν k e νn2 d 2 s (n 2 d 2 β) j k 1 j sj γ j! ds. 13

111 Simpificando a expresión anterior Q (1) n (k + 1, t) K ν e νn2 d 2t γ k (1 + γ) + Kν k+1 e νn2 d 2 t t = K ν e νn2 d 2t γ k (1 + γ) + K k+1 ν e νn2 d 2t (1 + γ) Teniendo en cuenta que K ν 1, K ν < Kν k+1 anterior se puede acotar por [ K k+1 ν e νn2 d 2t (1 + γ) γ k + k 1 n 2 d 2 β(1 + γ) (n 2 d 2 β) j k 1 j sj γ j! ds t k 1 t k 1 j= (n 2 d 2 β) j+1 γ j= k 1 j sj j! ds. y sacando factor común a expresión (n 2 d 2 β) j+1 γ j= ] k 1 j sj j! ds. Y resoviendo a integra nos queda, [ ] Kν k+1 e νn2 d 2t k 1 (1 + γ) γ k + (n 2 d 2 β) j+1 γ k 1 j t j+1. (j + 1)! Renombrando a suma se tiene, j= Q (1) n (k + 1, t) K k+1 ν e νn2 d 2t (1 + γ)[γ k + = K k+1 ν e νn2 d 2t (1 + γ) En e siguiente ema vamos a reescribir a acotación de j= k (n 2 d 2 β) j k j tj γ j! ] j=1 k (n 2 d 2 β) j k j tj γ j!. n (k, t). Q (1) Lema 4.9. Sean δ = Max{β j γ k 1 j, j =,..., k 1}, µ = Max{ 1, j =,..., k 1}, ν j y ν y K ν os números antes descritos en e Lema 4.8. Si suponemos que cada vaor propio de A tiene parte rea positiva, entonces t, Q (1) n (k, t) (1 + γ)k k ν δµ Γ (k, n2 ν d 2 t). (4.62) Γ(k) Demostración. Consideramos δ = Max{β j γ k 1 j, j =,..., k 1} 14

112 y µ = Max{ 1, j =,..., k 1}. ν j Apicando a acotación (4.59) y teniendo en cuenta e vaor de δ, Q (1) n (k, t) k 1 (1 + γ)kν k e νn2 d 2 t (n 2 d 2 ) j δ tj j! j= k 1 = (1 + γ)kν k δe νn2 d 2 t Teniendo en cuenta a definición de µ, se tiene j= (n 2 ) j ν j d 2j ν j Q (1) n (k, t) k 1 (1 + γ)k k ν δµe n2 νd 2 t (n 2 ν d 2 t) j j! j= t j j!. (4.63) y como por hipótesis cada vaor propio de A tiene parte rea positiva, todos os vaores propios de A tienen parte rea negativa y por tanto podemos eegir ν < y K ν cumpiendo e Lema 4.7. Finamente, por a definición de as funciones gamma y gamma incompeta, (4.63) se puede escribir de a forma Q (1) n (k, t) (1 + γ)kν k δµ Γ (k, n2 ν d 2 t). Γ(k) 4.6. Convergencia y continuidad de a soución Probaremos agunos resutados antes de probar a continuidad de a soución de probema (4.1)-(4.3) dada en e Teorema 4.4. Teniendo en cuenta a expresión 4.6 se tiene, Q (1) n (k, t) = ( 1) k 1 e An2 d 2t (A 1 B) k 1 (I + A 1 B) t Tomando n 2 = v y amando Q (1) v (k, t) = Q (1) n (k, t), Q (1) e An2 d 2 (t s) Bn 2 d 2 Q (1) n (k 1, s)ds. (4.64) v (k, t) = ( 1) k 1 e Avd2t (A 1 B) k 1 (I + A 1 B) t e Avd2 (t s) Bvd 2 Q (1) v (k 1, s)ds. (4.65) 15

113 Proposición 4.1. Para todo vaor de k se cumpe, d dv Q(1) Hk v (k, t) ϱ j e νvd2t ( ν vd 2 t) j t j= t, v donde H k es un número mayor o igua que cero que depende de k, y ϱ j para todo j son constantes que no dependen ni de v ni de t. Demostración.Lo demostraremos por inducción. Para k = 1, y por tanto, d dv Q(1) v Q (1) v (1, t) = e Avd2t (I + A 1 B) (1, t) = e Avd2t ( Ad 2 t)(i + A 1 B). Tomando normas en a expresión anterior se tiene, d v (k, t) K νe νvd2t ( A + B )d 2 t. dv Q(1) En este caso se cumpe a proposición tomando H k =, ϱ = K ν ( A + B )d 2. Supongamos que es cierto para k 1. Derivando (4.65) con respecto a a variabe v, Apicando (4.63), d dv Q(1) v (k, t) = ( 1) k 1 e Avd2t ( Ad 2 t)(a 1 B) k 1 (I + A 1 B) (4.66) t t t e Avd2 (t s) ( Ad 2 )(t s)bvd 2 Q (1) v (k 1, s)ds (4.67) e Avd2 (t s) Bd 2 Q (1) v (k 1, s)ds (4.68) e Avd2 (t s) Bvd 2 d dv Q(1) v (k 1, s)ds. (4.69) Q (1) v (k 1, s) (1 + γ)k k 1 ν k 2 δµe νvd2 s ( ν vd 2 s) j j= j! (4.7) y amando D k = (1 + γ)k k 1 ν δµ 16

114 Q (1) v (k 1, s) k 2 Dk e νvd2 s ( ν vd 2 s) j. (4.71) j! Vamos a tomar normas en as expresiones (4.66)-(4.69) y veremos que cada una de eas es de a forma pedida en e ema. Lamando γ = A 1 B, (4.66) se acota de a forma siguiente, j= ( 1) k 1 e Avd2t ( Ad 2 t)(a 1 B) k 1 (I + A 1 B) (4.72) K ν A d 2 γ k 1 (1 + γ)e νvd2t t. (4.73) La expresión anterior es de a forma pedida. Procedemos ahora con (4.67). Lamando β = B, t t e Avd2 (t s) ( Ad 2 )(t s)bvd 2 Q (1) v (k 1, s)ds (4.74) K ν e νvd2 (t s) A d 2 tβvd 2 Q (1) v (k 1, s) ds. (4.75) Apicando (4.71) a a expresión anterior se tiene, t t K ν e νvd2 (t s) A d 2 tβvd 2 Q (1) v (k 1, s) ds k 2 K ν e νvd2 (t s) A d 2 tβvd 2 D k e νvd2 s ( ν vd 2 s) j ds j! = K ν A d 2 βd k te νvd2 t ν = K ν A d 2 βd k ν = K ν A d 2 βd k ν t k 2 k 2 te νvd2 t j= ( ν vd 2 ) j+1 s j ds j! j= ( ν vd 2 ) j+1 t j+1 j= k 2 te νvd2 t j= (j + 1)! ( ν vd 2 t) j+1. (j + 1)! (4.76) 17

115 Así a expresión (4.67) es de a forma pedida. Ahora acotaremos a norma de (4.68) t e Avd2 (t s) Bd 2 Q (1) v (k 1, s)ds t t K ν e νvd2 (t s) βd 2 Q (1) v (k 1, s) ds k 2 K ν e νvd2 (t s) βd 2 D k e νvd2 s ( ν vd 2 s) j ds j! = K ν βd 2 D k e νvd2 t t k 2 k 2 = K ν βd 2 D k e νvd2 t j= k 2 = K ν βd 2 D k e νvd2t t j= j= ( ν vd 2 ) j s j ds j! j= ( ν vd 2 ) j t j+1 (j + 1)! ( ν vd 2 t) j (j + 1)!. (4.77) Por tanto (4.68) es de a forma pedida. Por útimo, acotaremos a norma de a expresión (4.69). Apicaremos a hipótesis de inducción. t t e Avd2 (t s) Bvd 2 d dv Q(1) v j= (k 1, s)ds H k 1 K ν e νvd2 (t s) βvd 2 ϱ j e νvd2s ( ν vd 2 s) j sds H k 1 t = K ν βvd 2 e νvd2 t ϱ j ( ν vd 2 ) j s j+1 ds j= H k 1 = K ν βvd 2 e νvd2 t ( ν vd 2 ) j ϱ j j + 2 tj+2 j= j= = K H k 1 ν t ( ν vd 2 ) j+1 ν βeνvd2 ϱ j t j+2 j + 2 = K H k 1 ν ( ν vd 2 t) j+1 ν βeνvd2t t ϱ j. j + 2 j= (4.78) Así a expresión (4.69) tiene a forma que queríamos demostrar y por tanto queda 18

116 probado e ema. En e siguiente coroario probaremos que d v (k, t) dv está acotada. Coroario Se verifica que para todo t >. d dv Q(1) dv Q(1) v (k, t) dv < Demostración.Teniendo en cuenta a proposición anterior basta probar que cada sumando está acotado. Para j = y t > como ν <, [ ] t e νvd2t e νvd2 t dv = = 1 νd 2 νd. 2 Para cuaquier j, como ν <, t e νvd2t ( ν vd 2 t) j dv = 1 ν d 2 e x x j dx = Γ(j + 1) ν d 2. Teorema Sea S un subconjunto de R y f n : S C m una sucesión de funciones taes que f n(x) converge uniformemente en S, entonces Q (1) n (k, t)f n (x) también converge uniformemente para (t, x) [, ) S. Demostración.Por e Lema 4.9, De esta forma, Q (1) n (k, t) (1 + γ)k k ν δµ Γ (k, n2 ν d 2 t). (4.79) Γ(k) para todo vaor de t y n. Por e coroario anterior, d v (k, t) dv <. Q (1) n (k, t) (1 + γ)k k ν δµ (4.8) dv Q(1) 19

117 Sea y { L = max (1 + γ)kν k δµ, f(x) = d f n (x). dv Q(1) } v (k, t) dv Lamando F n (x) a a sucesión de sumas parciaes de f(x) como {F n (x)} es una sucesión que converge uniformemente a f(x), dado ε >, Para h N, N+h n=n N N : n N 1 Q (1) n (k, t)f n (x) F n (x) f(x) < ε 3L x S. = Q (1) N (k, t)f N(x) + Q (1) N+1 (k, t)f N+1(x) Q (1) N+h (k, t)f N+h(x) = Q (1) N (k, t)(f N(x) F N 1 (x)) Q (1) N+h (k, t)(f N+h(x) F N+h 1 (x)) ( = Q (1) N (k, t)f N 1(x) + ( Q (1) N+h 1 (k, t) Q(1) Q (1) N ) N+h (k, t) ( = Q (1) N (k, t)(f N 1(x) f(x)) (k, t) Q(1) N+1 (k, t) ) F N (x) F N+h 1 (x) + Q (1) N+h (k, t)f N+h(x) Q (1) N ( ) Q (1) N+h 1 (k, t) Q(1) N+h (k, t) (F N+h 1 (x) f(x)) + Q (1) N+h (k, t)(f N+h(x) f(x)) = Q (1) N (k, t)(f N 1(x) f(x))... (N+h) 2 (N+h 1) 2 (N+1) 2 N 2 (k, t) Q(1) N+1 (k, t) ) (F N (x) f(x)) d dv Q(1) v (k, t)(f N (x) f(x))dv d dv Q(1) v (k, t)(f N+h 1 (x) f(x))dv + Q (1) N+h (k, t)(f N+h(x) f(x)). Tomando normas en as expresiones anteriores se tiene, N+h Q (1) n (k, t)f n (x) n=n ε Q (1) N 3L (k, t) ε (N+1) 2 + d 3L N dv Q(1) v (k, t) dv ε (N+h) 2 d 3L (N+h 1) dv Q(1) v (k, t) dv + ε Q (1) N+h 3L (k, t) 2 = ε Q (1) N 3L (k, t) ε (N+h) 2 + d 3L N dv Q(1) v (k, t) dv + ε Q (1) N+h 3L (k, t) 2 εl 3L + ε d 3L dv Q(1) v (k, t) εl dv + = ε. (4.81) 3L 11

118 En e próximo teorema exigiremos as condiciones suficientes a a función inicia ϕ para garantizar a convergencia y continuidad de a soución de probema (4.1)-(4.3) propuesta en e Teorema 4.4, que escribimos en a forma u(t, x) = u 1 (t, x) + u 2 (t, x) + u 3 (t, x) + u 4 (t, x) + ϕ(τ, x), (4.82) donde u 1 (t, x) = u 2 (t, x) = u 3 (t, x) = u 4 (t, x) = m m τ t mτ Q n (k, t kτ)(i + C) 1 CB n () sin( nπx ), (4.83) Q n (k, t kτ)(i + C) 1 B n (τ) sin( nπx ), (4.84) Q n (k, t s kτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds, (4.85) Q n (m, t s mτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds. (4.86) Recordemos que ϕ(t, x) C M. Diremos que ϕ(t, x) es de variación acotada si as partes reaes e imaginarias de cada componente de ϕ(t, x) son de variación acotada. Teorema Sean A, B e (I + C) matrices reguares donde cada vaor propio de a matriz A tiene parte rea positiva. Supongamos as siguientes condiciones para a función ϕ. (i) ϕ(t, x) y ϕ t (t, x) son funciones continuas en [, τ] [, ]. (ii) ϕ x (t,.) es una función continua en [, ] para cada t. Entonces a soución u(t, x) de probema (4.1)-(4.3) definida en e Teorema 4.4 es una función continua en [τ, ) [, ]. Demostración. Probaremos que cada serie es acotada, justificando así os intercambios de sumatorios e integra. La hipótesis de que ϕ sea continuamente diferenciabe en t se utiiza para e cácuo de B n(t) como comentamos en e caso escaar. Según e Lema 4.8, se tienen as expresiones Q n (k, t kτ) = ( 1) k (A 1 B) k 1 (I + A 1 B) + Q (1) n (k, t kτ). (4.87) 111

119 Así, cada uno de os sumandos de u(t, x) se puede escribir de forma que haya una parte constante, que sae fuera de os sumatorios y de as integraes. Veamos para cada uno de os sumandos as acotaciones necesarias, que son semejantes a caso escaar estudiado en e Capítuo 2. Empezamos con u 1 (t, x). La parte constante que no depende de t para 1 k m de u 1 (t, x) daría ugar a a serie ( 1) k (C) k 1 (I + C)(I + C) 1 CB n () sin( nπx = ( 1) k (C) k ϕ(, x). (4.88) A a parte no constante de u 1 (t, x) que sí depende de t a amaremos u (1) 1 (t, x). Dado 1 k m, para probar que u (1) 1 (t, x) = m Q (1) n está acotada apicaremos e Teorema Lamaremos f n (x) = (k, t kτ)(i + C) 1 CB n () sin( nπx ) (4.89) (I + C) 1 CB n () sin( nπx A ser ϕ x continua, podemos apicar e Lema 2.11 a cada término de a matriz anterior para concuir que esta serie converge uniformemente en [, ]. ). ) En consecuencia, hemos probado que u 1 (t, x) está bien definida y es una función continua en [mτ, (m + 1)τ] [, ]. Según se observa en a definición de u(t, x), a expresión de u 2 (t, x) es simiar a u 1 (t, x), por o que no repetiremos os cácuos. Ahora nos ocuparemos de u 3 (t, x) y, como antes hemos hecho, pasaremos a estudio de u (1) 3 (t, x), u (1) τ 3 (t, x) = Q (1) n (k, t s kτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds. Lamando L 1 a una cota superior de γδµ B n(s) K k ν para todo n natura y teniendo en cuenta e Lema 4.9, a expresión anterior se puede acotar como sigue, 3 (t, x) L 1 u (1) τ Γ (k, n 2 ν d 2 (t s kτ)) ds. (4.9) Γ(k) 112

120 Razonando de forma anáoga a como hicimos en (2.54), = Por tanto, se tiene u (1) τ Γ ( k, n 2 ν d 2 (t kτ s) ) ds (4.91) Γ ( ) k ν d 2 τ ds t kτ s 2 Γ(k + 1 ( t ν d 2 2 ) ) kτ t (k + 1)τ 3 (t, x) 2L 1 ν d 2 Γ(k )( t kτ t (k + 1)τ) Γ(k) y esta útima expresión está acotada para t en e intervao [mτ, (m + 1)τ]. (4.92) Una situación simiar se tiene para u (1) 4 (t, x), donde os cácuos no se vueven a repetir, 4 (t, x) = u (1) t mτ Q (1) n (m, t s mτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds, y de forma anáoga a como hicimos en e caso escaar, véase (2.56), y amando L 2 a una cota de γδµ B n(s) K m ν, se tiene que a expresión anterior se puede acotar por Así u (1) 2L 2 ν d 2 Γ(m + 1) 2 t mτ. Γ(m) 4 (t, x) está acotada para vaores de t en e intervao [mτ, (m + 1)τ]. Hemos probado que u es continua en [mτ, (m + 1)τ] [, ]. Como es trivia comprobar, as expresiones de u en os intervaos [(m 1)τ, mτ] y [mτ, (m + 1)τ] coinciden en e extremo común t = mτ, por o que se deduce que u es continua en [τ, ) [, ] Reguaridad de a soución En esta sección estabecemos condiciones que permiten derivar término a término a serie soución propuesta en e Teorema 4.4, asegurando a convergencia de as series 113

121 derivadas y competando, por tanto, a demostración de que a serie forma propuesta en e Teorema 4.4 es reamente soución de probema (4.1)-(4.3). E siguiente teorema resume estos resutados. Teorema Supongamos as condiciones de Teorema 4.13 y además (a) ϕ xx es continua en [, τ] (, ) y de variación acotada para vaores de x en (, ). (b) ϕ t (t,.) es dos veces continuamente diferenciabe para cada t. Entonces, a función u(t, x) definida en e Teorema 4.4 es una soución de probema (4.1)-(4.3) y además u t (t, x) y u xx (t, x) son funciones continuas en (τ, ) (, ). Demostración. Vovemos a escribir a expresión de u(t, x). u(t, x) = m m τ t mτ Q n (k, t kτ)(i + C) 1 CB n () sin( nπx ) Q n (k, t kτ)(i + C) 1 B n (τ) sin( nπx ) Q n (k, t s kτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds Q n (m, t s mτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds + ϕ(τ, x). (4.93) Vamos a estudiar a existencia de as derivadas parciaes u t y u xx. Empezamos buscando a existencia de u t (t, x). La soución es de a forma (véase (4.45)), u(t, x) = T n (t) sin( nπx ). (4.94) Si probamos que T n(t) sin( nπx ) (4.95) 114

122 converge uniformemente t [mτ, (m + 1)τ], por e Lema 2.6, habremos probado que u t = T n(t) sin( nπx ) (4.96) Para probar que (4.95) converge uniformemente utiizamos a expresión (4.11), es decir, y (4.96) se escribiría de a forma T n(t) = A( nπ )2 T n (t) B( nπ )2 T n (t τ) (4.97) T n(t) sin( nπx ) (4.98) = A ( nπ )2 T n (t) sin( nπx ) B ( nπ )2 T n (t τ) sin( nπx ). (4.99) Por tanto, probaremos que y ( nπ )2 T n (t) sin( nπx ) ( nπ )2 T n (t τ) sin( nπx ) convergen uniformemente t [mτ, (m + 1)τ]. Como ambas expresiones son anáogas, nos dedicaremos sóo a estudio de una de eas. Así, donde S 1 = S 2 = S 3 = S 4 = S 5 = ( nπ )2 T n (t) sin( nπx ) = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 m ( nπ )2 Q n (k, t kτ)(i + C) 1 CB n () sin( nπx ) m ( nπ )2 Q n (k, t kτ)(i + C) 1 B n (τ) sin( nπx ) τ ( nπ )2 Q n (k, t s kτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds ( nπ )2 Q n (m, t s mτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds B n (τ)( nπ )2 sin( nπx ) t mτ 115

123 Probaremos que S 1, S 2, S 3, S 4 S 5 convergen uniformemente t [mτ, (m + 1)τ]. Vamos a empezar por S 1. Separaremos a parte constante que no depende de t. Apicando e Lema 4.8, Q n (k, t) = ( 1) k (A 1 B) k 1 (I + A 1 B) + Q (1) n (k, t). (4.1) Así, S 1 = m ( 1) k C k ( nπ )2 B n () sin( nπx ) m ( nπ )2 Q (1) n (k, t kτ)(i + C) 1 CB n () sin( nπx ). (4.11) Por ser ϕ xx continua y de variación acotada en (, ), amando d 2 = π2, y razonando 2 igua que en e caso escaar, se tiene, m S 1 = ( 1) k C k ϕ xx (, x) (4.12) m Q (1) n (k, t kτ)(i + C) 1 Cn 2 d 2 B n () sin( nπx ). (4.13) La expresión (4.12) es continua ya que por hipótesis ϕ xx es una función continua en [, τ] (, ). La expresión (4.13) converge uniformemente en [mτ, (m + 1)τ] (, ) apicando e Teorema 4.12, tomando S = (, ) y f n (x) = n 2 d 2 B n () sin( nπx ), ya que apicando e Lema 2.9, como ϕ xx es continua y de variación acotada en a variabe x a serie anterior es uniformemente convergente a ϕ xx en un intervao compacto que contenga a un punto de x de intervao (, ). Así, S 1 converge uniformemente y es una función continua en [mτ, (m + 1)τ] (, ). E estudio de S 2 es exactamente igua a de S 1. En e estudio de as derivadas parciaes de S 3 y S 4 apicaremos e Lema 2.7, ya que ϕ t (t, x) es dos veces continuamente diferenciabe en a variabe x para todo t [, τ]. Por tanto H 1 > cumpiendo B n(s) H 1 n. (4.14) 2 116

124 Vamos a desarroar S 3. Vamos a extraer fuera de a integra a parte constante que no depende t. Teniendo en cuenta e Lema 4.8, se tiene y por tanto S 3 = τ Q n (k, t) = ( 1) k C k 1 (I + C) + Q (1) n (k, t) (4.15) τ ( 1) k C k ( nπ )2 B n(s) sin( nπx )ds ( nπ )2 Q (1) n Operando a primera integra, S 3 = (k, t s kτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds. ( 1) k C k ( nπ )2 (B n (τ) B n ()) sin( nπx )ds τ o o que es o mismo Por tanto, ( nπ )2 Q (1) n (k, t s kτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds S 3 = ( 1) k C k τ ( nπ )2 Q (1) n ( nπ )2 (B n (τ) B n ()) sin( nπx )ds S 3 = ( 1) k C k (ϕ xx (τ, x) ϕ xx (, x)) τ ( nπ )2 Q (1) n Teniendo en cuenta que d 2 = π2 2, S 3 = ( 1) k C k (ϕ xx (τ, x) ϕ xx (, x)) τ n 2 d 2 Q (1) n (k, t s kτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds. (k, t s kτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds. (k, t s kτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds.(4.16) 117

125 Por hipótesis de teorema, a primera expresión de (4.16) es continua. Vamos a acotar a serie de as expresiones dadas por (4.16), τ n 2 d 2 Q (1) n (k, t kτ s)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds. (4.17) Teniendo en cuenta (4.14), y apicando e Lema 4.9 o anterior se acota por (I + C) 1 C H 1 d 2 Kk ν γδµ Γ(k) τ τ H 1 d 2 Q (1) n (k, t kτ s) ds (4.18) Γ ( k, n 2 ν d 2 (t kτ s) ) ds (4.19) y a igua que se hizo en e caso escaar (2.75) a expresión anterior se puede acotar por 2H 1 d 2 Kk ν γδµγ(k ) Γ(k) ν d 2 ( t kτ t (k + 1)τ ). (4.11) Así, a serie (4.16) converge uniformemente en [mτ, (m + 1)τ] [, ]. Por útimo vamos a desarroar S 4 de forma anáoga a S 3. Teniendo en cuenta que se tiene S 4 = Q n (m, t) = ( 1) m C (I + C) + Q (1) n (m, t), (4.111) t mτ t mτ ( 1) m C m n 2 d 2 B n(s) sin( nπx )ds n 2 d 2 Q (1) n Operando a primera integra, se tiene Por tanto, S 4 = (m, t s mτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds.(4.112) ( 1) m C m n 2 d 2 (B n (t mτ) B n ()) sin( nπx )ds t mτ n 2 d 2 Q (1) n (m, t s mτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds.(4.113) S 4 = ( 1) m+1 C m ((ϕ xx (t mτ, x) ϕ xx (, x)) t mτ n 2 d 2 Q (1) n (m, t s mτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds.(4.114) 118

126 Por hipótesis de teorema, a primera expresión de (4.114) es continua. Vamos a acotar a serie de (4.114) de a misma forma que hicimos con S 3, t mτ n 2 d 2 Q (1) n (m, t mτ s)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds (4.115) y teniendo en cuenta a acotación de B n es decir, como se cumpe a condición de que ϕ t (., t) admite derivada parcia continua de segundo orden con respecto a a variabe x se tiene, B n(s) H 1 n 2. De esta forma a expresión (4.115) se acota por (I + C) 1 C H1 d 2 t mτ Q (1) n (m, t mτ s) ds. Apicando e Lema 4.9 y razonando igua que en (2.77) a expresión anterior se acota por (1 + γ) 1 γh 1 d 2 t mτ t mτ Q (1) n (m, t mτ s) ds H 1 d 2 Kν m γδµ Γ ( m, n 2 ν d 2 (t mτ s) ) ds Γ(m) 2H 1 d 2 K m ν γδµ Γ(m ) Γ(m) ν d 2 t mτ y esta expresión está acotada en [mτ, (m + 1)τ]. De esta forma hemos probado que S 4 es una función continua en [mτ, (m + 1)τ] [, ]. En cuanto a S 5, S 5 = B n (τ)( nπ )2 sin( nπx ) = ϕ xx (τ, x) (4.116) que es una función continua en e intervao (, ). De esta forma hemos probado a existencia y continuidad de u t en [mτ, (m + 1)τ] (, ). Es trivia comprobar que as expresiones de u t en os intervaos [(m 1)τ, mτ] y [mτ, (m + 1)τ] coinciden en e extremo común t = mτ. Así hemos probado que u t es continua en (τ, ) (, ). 119

127 Ahora probaremos a existencia y continuidad de u xx (t, x). Se tiene u t (t, x) = T n(t) sin( nπx ) (4.117) = A ( nπ )2 T n (t) sin( nπx ) B ( nπ )2 T n (t τ) sin( nπx ) (4.118) La expresión (4.117) es igua a Au xx (t, x) + Bu xx (t τ, x) siguiendo e mismo razonamiento que en e caso escaar. Queda por tanto demostrada a existencia y continuidad de as derivadas parciaes de a soución y que ésta verifica a ecuación diferencia de probema Aproximaciones numéricas En esta sección vamos a tomar a soución de probema (4.1)-(4.3) dada en (4.82) truncada en N términos. Utiizando e Lema 4.8, Q n (k, t) = ( 1) k (A 1 B) k 1 (I + A 1 B) + Q (1) n (k, t). Por tanto u(t, x) se escribe de a forma siguiente, donde u 1 (t, x) = u(t, x) = u 1 (t, x) + u 2 (t, x) + u 3 (t, x) + u 4 (t, x) + ϕ(τ, x) m o o que es igua donde ( 1) k C k B n () sin( nπx u (1) 1 (t, x) = De a misma forma u 1 (t, x) = m u 2 (t, x) = m Q (1) n m )+ m Q (1) n ( 1) k C k ϕ(, x) + u (1) 1 (t, x) (k, t kτ)(i+c) 1 CB n () sin( nπx ) (k, t kτ)(i + C) 1 CB n () sin( nπx ). ( 1) k C k 1 ϕ(τ, x) + u (1) 2 (t, x). 12

128 donde Iguamente u (1) 2 (t, x) = m Q (1) n (k, t kτ)(i + C) 1 B n (τ) sin( nπx ). u 3 (t, x) = ( 1) k C k (ϕ(τ, x) ϕ(, x)) + u (1) 3 (t, x) donde Y por útimo u (1) 3 (t, x) = τ Q (1) n (k, t s kτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds. u 4 (t, x) = ( 1) m C m (ϕ(t mτ, x) ϕ(, x)) + u (1) 4 (t, x) donde u (1) 4 (t, x) = t mτ Q (1) n (m, t s mτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds. Por tanto, as expresiones de os restos serían as siguientes, R1 N = R2 N = R3 N = R4 N = m n=n+1 m n=n+1 τ Q (1) n Q (1) n n=n+1 t mτ n=n+1 (k, t kτ)(i + C) 1 CB n () sin( nπx ), (4.119) (k, t kτ)(i + C) 1 B n (τ) sin( nπx ), (4.12) Q (1) n Q (1) n (k, t s kτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds, (4.121) (m, t s mτ)(i + C) 1 CB n(s) sin( nπx )ds.(4.122) Vamos a acotar cada expresión. Si amamos γ = C y tenemos en cuenta que ϕ(., t) admite derivada parcia continua de segundo orden con respecto a a variabe x, por e Lema 2.7 H > ta que B n (s) H n 2 s [, τ]. Entonces R N 1 m n=n+1 Q (1) n (k, t kτ) (I + γ) 1 γ B n (), 121

129 extrayendo constantes fuera se tiene R N 1 H(I + γ) 1 γ m n=n+1 Q (1) n (k, t kτ). n 2 Vamos a acotar esta expresión teniendo en cuenta e Lema 4.9. n=n+1 Q (1) n (k, t kτ) (1 + γ)kk ν δµ n 2 Γ(k) n=n+1 Γ(k, n 2 ν d 2 (t kτ)) n 2 Con cácuos muy simiares a os que se hicieron en e Capítuo 2, tenemos n=n+1 Γ(k, n 2 ν d 2 (t kτ)) n 2 Γ(k, (N + 1)2 ν d 2 (t kτ)). N De esta forma, y por tanto n=n+1 Las expresiones de R N 2 Q (1) n (k, t kτ) R N 1 (1 + γ)kk ν δµ n 2 Γ(k) m HγK k ν δµ Γ(K) Γ(k, (N + 1) 2 ν d 2 (t kτ)) N Γ(k, (N + 1) 2 ν d 2 (t kτ)). N son anáogas (véase 4.12). Por tanto, R N 2 m HK k ν δµ Γ(K) Γ(k, (N + 1) 2 ν d 2 (t kτ)). N Procedemos ahora con R N 3. Como se tiene, B n(s) H 1 n 2 R N 3 H 1 (1 + γ) 1 γ n=n+1 τ Q (1) n (k, t s kτ) ds. n 2 Teniendo en cuenta e Lema 4.9 nuevamente, τ n=n+1 Q (1) n (k, t s kτ) ds (1 + γ)kk ν δµ n 2 Γ(k) (1 + γ)kk ν δµτ Γ(k) n=n+1 n=n+1 τ Γ(k, n 2 ν d 2 (t s kτ)) ds n 2 Γ(k, n 2 ν d 2 (t (k + 1)τ)) n

130 Y a igua que acotamos esta expresión en e Capítuo 2, n=n+1 Γ(k, n 2 ν d 2 (t (k + 1)τ)) n 2 Γ(k, (N + 1)2 ν d 2 (t (k + 1)τ)) N Así pues, R N 3 H 1 γk k ν δµτ Γ(k) Por útimo, vamos a acotar R N 4. Teniendo en cuenta Γ(k, (N + 1) 2 ν d 2 (t (k + 1)τ)). N se tiene R N 4 H 1 (1 + γ) 1 γ B n(s) H 1 n 2 s [, τ] n=n+1 t mτ Q (1) n (m, t s mτ) ds. n 2 Y por e Lema 4.9, R N 4 H 1K k ν δµγ Γ(m) n=n+1 t mτ Γ(m, n 2 ν d 2 (t s mτ)) ds n 2 y con e cambio de variabe v = n 2 ν d 2 (t s mτ) a acotación para R N 4 sería R N 4 H 1K k ν δµγ Γ(m) n=n+1 Y a igua que hicimos en e Capítuo 2, o o que es o mismo R N 4 H 1K k ν δµγ Γ(m) R N 4 H 1K k ν δµγm ν d 2 1 n 4 ν d 2 n=n+1 n=n+1 n 2 ν d 2 (t mτ) 1 Γ(m + 1) n 4 ν d2 1 n H 1Kν k δµγm. 4 3 ν d 2 N 3 Γ(m, v)dv. Resumiendo todo o anterior as acotaciones correspondientes a os cuatro restos se recogen en e siguiente teorema. 123

131 Teorema Consideremos e probema (4.1)-(4.3), sea u a soución exacta dada en Teorema 4.4, y sea u N a aproximación obtenida cuando u 1, u 2, u 3 y u 4 en (4.82) son sustituidas por as correspondientes sumas parciaes con os N primeros términos. Entonces, para (t, x) [mτ, (m + 1)τ] [, ], u N (t, x) u(t, x) m + H(1 + γ)kν k δµ Γ(k, (N + 1) 2 ν d 2 (t kτ)) Γ(K) N H 1 γk k ν δµτ Γ(k) + H 1K k ν δµγm 3 ν d 2 N 3. Γ(k, (N + 1) 2 ν d 2 (t (k + 1)τ)) N Consecuentemente, dado δ > y un error prefijado ɛ >, puede encontrarse N ta que u N (t, x) u(t, x) ɛ para (t, x) [mτ + δ, (m + 1)τ] [, ]. 124

132 Concusiones La utiización de método de os pasos y de representaciones integraes adecuadas (Lemas 2.3 y 4.2) permite obtener souciones expícitas constructivas de probemas de vaores iniciaes para ecuaciones diferenciaes con retardo con coeficientes constantes, tanto escaares (Teorema 2.4) como vectoriaes (Teorema 4.3). E método de separación de variabes constituye una herramienta efectiva para a obtención de souciones exactas y de aproximaciones numéricas de probemas mixtos para ecuaciones en derivadas parciaes con retardo con coeficientes constantes. Los Teoremas 2.15 y 2.17 proporcionan a soución exacta en forma de serie infinita de probema mixto para a ecuación generaizada de difusión con retardo abordado en e Capítuo 2. E Teorema 2.19 permite acotar e error cometido a aproximar a serie soución mediante una suma finita, pudiéndose obtener con eo aproximaciones anaítico-numéricas con cotas de error prefijadas en dominios acotados. Los Teoremas 2.2, 2.21 y 2.22 proporcionan resutados simiares para a ecuación de reacción-difusión con retardo considerada en e Capítuo 2. E Teorema 3.14 y a Proposición 3.15 muestran que a utiización de aproximaciones poinómicas de a función inicia permite incrementar, en dominios adecuados, a eficiencia computaciona de as aproximaciones numéricas obtenidas en e Capítuo 2. E método de separación de variabes puede ser también apicado de forma efectiva para a resoución exacta y anaítico-numérica de probemas mixtos para sistemas acopados de ecuaciones en derivadas parciaes con retardo con coeficientes constantes. Los Teoremas 4.4, 4.13 y 4.14 proporcionan a soución exacta en forma de serie 125

133 infinita de probema mixto abordado en e Capítuo 4 para a ecuación vectoria de difusión con retardo. En e Teorema 4.15 se obtienen as acotaciones de os errores de truncación que permiten a construcción de aproximaciones numéricas constructivas con cotas de error a priori en dominios acotados. Los métodos utiizados y os resutados obtenidos en este trabajo podrían ser extendidos en diferentes aspectos y apicados a otros tipos de probemas, o que en agunos casos ya está siendo evado a cabo dentro de grupo de investigación en ecuaciones diferenciaes con retardo de a Universidad de Aicante. Así, por ejempo, se podrían utiizar condiciones de contorno más generaes que as condiciones de tipo Dirichet empeadas en esta memoria, se podrían considerar probemas, escaares o vectoriaes, con coeficientes variabes o se podría abordar a obtención de souciones para otros tipos de ecuaciones, como a ecuación de ondas con retardo. 126

134 Apéndice Programas en Mape En este apéndice se recogen os códigos, para e programa Mape, de os agoritmos que impementan os métodos desarroados en esta memoria y que se han utiizado para reaizar os cácuos de os ejempos y figuras incuidos en a misma, de acuerdo con a reación siguiente. Soución numérica aproximada, truncada en n términos, de a ecuación generaizada de difusión con retardo. Cácuo de error cometido en a soución numérica aproximada de a ecuación generaizada de difusión con retardo. Cácuo de número de términos n en a soución numérica aproximada con un error dado. Soución numérica aproximada, truncada en n términos y aproximando a derivada de a función inicia por un poinomio en a variabe t, de a ecuación generaizada de difusión con retardo. Cácuo de error cometido en a soución numérica aproximada que se obtiene aproximando a derivada de a función inicia por un poinomio. Cácuo de número de términos n en a soución numérica aproximada, que se obtiene aproximando a derivada de a función inicia por un poinomio en a variabe t, con un error dado. 127

135 Soución numérica aproximada, truncada en n términos, de a ecuación generaizada de difusión con retardo vectoria. 128

136 SOLUCIÓN NUMÉRICA APROXIMADA, TRUNCADA EN N TÉRMINOS, DE LA ECUACIÓN GENERALIZADA DE DIFUSIÓN CON RETARDO. Vamos a representar gráficamente a soución truncada, es decir, vamos a tomar os N primeros términos de cada una de as series que definen a soución u ( t, x ) = Σ + Σ + Σ + Σ Iniciamos e proceso. > restart:with(pots): > assume(n,integer); > with(inag): > with(linearagebra): > with(inag, exponentia): Introducimos a función inicia en e intervao [, τ ] a a que amaremos φ. > phi(t,x):=sin(t)*x*(1-x); Cácuo de os coeficientes de Fourier de a función inicia en e intervao [, ] a os que amamos B[n](t). > phi[n](t,x):=sin(t)*x*(1-x)*sin(n*pi*x/)*2/; > B[n](t):=int(phi[n](t,x),x=..); Cácuo de os coeficientes de Fourier de a función inicia derivada en e intervao [, ] a os que amamos "Bderivada[n](s)". > Bderivada[n](s):=subs(t=s,diff(int(phi[n](t,x),x=..),t)); Introducimos as constantes, τ, cd., > :=1;tau:=1;c:=1;d:=Pi; Lamamos m a entero que determina e intervao [ m τ, ( m + 1) τ ]. > for m from 1 to 4 do m ( k 1 ) ( 2( k 1 )) ( 1 ) c Γ ( kn, 2 d 2 ( t kτ) ) Sea sumqt_ktau =. m k = 1 Γ( K ) > sumqt_ktau[m]:=; > for k from 1 to m do > sumqt_ktau[m]:=sumqt_ktau[m]+(-1)^(k-1)*c^(2*(k-1))*gamma(k,n^2* d^2*(t-k*tau))/gamma(k) > od: Lamamos τ m 1 sumqt_ktau_s = ( 1 ) ( k 1 ) c ( 2 k) Bprima Γ ( kn, 2 d 2 ( t k τ s) ) n ds. m 1 k = 1 Γ( K) > sumqt_ktaut_s[m-1]:=; > for k from 1 to m-1 do > sumqt_ktaut_s[m-1]:=sumqt_ktaut_s[m-1]+(-1)^(k-1)*c^(2*k)*int(su bs(t=s,diff(int(phi[n](t,x),x=..),t))*gamma(k,n^2*d^2*(t-k*tau 129

137 -s))/gamma(k),s=..tau) > od: Lamamos "sum(uu1[m]*sin(n*pi*x/,..n)" a a expresión de a teoría Σ truncada en "N" 1 términos. > uu1[m]:=sumqt_ktau[m]* (subs(t=tau,int(phi[n](t,x),x=..))+c^2*subs(t=,int(phi[n](t,x ),x=..))); Lamamos "sum(uu2[m]*sin(n*pi*x/,..n)" a a expresión de a teoría Σ truncada en "N" 2 términos. > uu2[m]:=sumqt_ktaut_s[m-1]; Lamamos "sum(uu3[m]*sin(n*pi*x/,..n)" a a expresión de a teoría Σ truncada en "N" 3 términos. > uu3[m]:=(-1)^(m-1)*c^(2*m)*int((subs(t=s,diff(int(phi[n](t,x),x=..),t))*gamma(m,n^2*d^2*(t-m*tau-s))/gamma(m),s=..t-m*tau)); Lamamos "uu4[m]" a a expresión de a teoría Σ = ( c 2 m ) φ ( t mτ, x ) y "so[m]" a a soución 4 fina u ( t, x ) en e intervao [ m τ, ( m + 1 ) τ ] truncada en "N" términos os tres primeros sumandos. > uu4[m]:=(-1)^m*c^(2*m)*subs(t=t-m*tau,phi(t,x)); > so[m]:=sum(simpify(uu1[m]*sin(n*pi*x/)+uu2[m]*sin(n*pi*x/)+u u3[m]*sin(n*pi*x/)),..2)+uu4[m]; Sea "dib[m]" a soución dibujada para vaores de x en e intervao [, ] y vaores de t en e intervao [ m τ, ( m + 1) τ ]. > dib[m]:=pot3d(so[m],t=m*tau..(m+1)*tau,x=..):dispay(dib[m], axes=frame); > od: Lamamos "dib" a a soución dibujada para vaores de x en e intervao [, ] y vaores de t en e intervao [, τ ]. > dib:=pot3d(phi(t,x),t=..1,x=..):dispay(dib,axes=frame); > dispay(dib,dib[1],dib[2],dib[3],dib[4],axes=frame); 13

138 CÁLCULO DEL ERROR COMETIDO EN LA SOLUCIÓN NUMÉRICA APROXIMADA DE LA ECUACIÓN GENERALIZADA DE DIFUSIÓN CON RETARDO. Cacuamos e error cometido que será a suma de os tres restos a os que amaremos "R1", "R2", "R3", en función de número "N" a truncar as expresiones Σ, Σ, Σ de a soución exacta en N términos. Iniciamos e proceso. > restart:with(pots): > Digits:=2; > assume(n,integer); > with(inag): > assume(k,integer); Introducimos a función inicia que amaremos φ ( t, x ) en e intervao inicia [, τ ] para a variabe t ý [, ] para a variabe x ý os datos de probema c, τ, d., Consideramos a soución de probema en e intervao [ m τ, ( m + 1) τ ]. > phi(t,x):=sin(t)*x*(1-x); > c:=1;tau:=1;d:=pi;:=1; Cacuamos e vaor de a constante B de resto R que aquí amaremos "B". 1 1 > phi[n](t,x):=sin(t)*x*(1-x)*sin(n*pi*x/)*2/; > V[n](t):=int(phi[n](t,x),x=..); > B:=maximize(abs(evaf(subs(t=tau,V[n](t))+c^2*subs(t=,V[n](t))) ),..infinity); Cacuamos e vaor de a constante B (prima) de resto R 2 que aquí amaremos "B1". > Vderivada[n](s):=evaf(subs(t=s,diff(int(phi[n](t,x),x=..),t)) ); > B1:=maximize(maximize(abs(Vderivada[n](s)),..infinity),s=..1 ); Ahora definimos e procedimiento que cacua e vaor de error que será a suma de os tres restos a partir de un número de términos N en e intervao compacto [ m τ+ δ, ( m + 1) τ ] siendo δ un número mayor que y menor que τ. Lamaremos "R1", "R2" ý "R3" a as expresiones de os tres restos. > deta:=.1; > PT:=proc(N,m) > oca R,R1,R2,R3,k;R1:=;R2:=; > for k from 1 to m do > R1:=R1+evaf((B/N)*c^(2*k-2)*GAMMA(k,(N+1)^2*d^2*(m*tau+deta-k* tau))/gamma(k)) > od: > for k from 1 to m-1 do > R2:=R2+evaf((B1/N)*tau*c^(2*k)*GAMMA(k,(N+1)^2*d^2*(m*tau+deta -(k+1)*tau))/gamma(k)) > od: 131

139 > R3:=evaf(B1*c^(2*m)*m/(d^2*3*N^3)); > R:=evaf(og1(evaf(R1+R2+R3))); > return(r); > end; Representamos e error en función de número de términos N en e que se trunca a serie para os vaores m = 2 y m = 1. En e eje x representamos os vaores de "N" ý en e eje y e vaor de error, "R" en escaa ogarítmica. > u1:=[seq([n,pt(n,2)],n=5..3)]: > u2:=[seq([n,pt(n,1)],n=5..3)]: > Digits:=1; > p1:=pot(u1,stye=point,coor=red,symbo=circle,symbosize=12): > p2:=pot(u2,stye=point,coor=bue,symbo=cross,symbosize=12): > dispay(p1,p2,abes=[`n`,`error (og)`],abedirections=[horizontal,vertical],abefont=[courier,12],axes=boxed,symbosize=12); 132

140 CÁLCULO DEL NÚMERO DE TÉRMINOS N EN LA SOLUCIÓN NUMÉRICA APROXIMADA CON UN ERROR DADO. Supongamos que hemos tomado N términos de a soución exacta correspondientes a Σ, Σ, Σ Lamamos "epsion" a error cometido en todo e proceso. Nos preguntamos por e número de términos "N" necesarios para conseguir ese error prefijado en e intervao [ m τ+ δ, ( m + 1) τ ] siendo δ un número mayor que y menor que τ. Iniciamos e proceso. > restart:with(pots): > Digits:=2; > assume(n,integer); > with(inag): > assume(k,integer); Introducimos a función inicia que amaremos φ ( t, x ) en e intervao inicia [, τ ] para a variabe t ý [, ] para a variabe x ý os datos de probema cdτ,,,, m. Consideramos a soución de probema en e intervao [ m τ, ( m + 1) τ ]. > phi(t,x):=sin(t)*x*(1-x); > c:=1;tau:=1;d:=pi;:=1;m:=4; Cacuamos e vaor de a constante B de resto R que aquí amaremos "B". 1 1 > phi[n](t,x):=sin(t)*x*(1-x)*sin(n*pi*x/)*2/; > V[n](t):=int(phi[n](t,x),x=..); > B:=maximize(abs(evaf(subs(t=tau,V[n](t))+c^2*subs(t=,V[n](t))) ),..infinity); Cacuamos e vaor de a constante B (prima) de resto R 2 que aquí amaremos "B1". > Vderivada[n](s):=evaf(subs(t=s,diff(int(phi[n](t,x),x=..),t)) ); > B1:=maximize(maximize(abs(Vderivada[n](s)),..infinity),s=..1 ); Ahora cacuamos e procedimiento que cacua e vaor de "N" a partir de un error dado que amaremos "epsion" en e intervao compacto [ m τ+ δ, ( m + 1) τ ] para un deta dado. Lamaremos "R1", "R2" ý "R3" a as expresiones de os tres restos que proceden de truncar en N términos as series dadas por Σ, Σ, Σ. Este procedimiento nos devueve e vaor de N > deta:=.1; > PT:=proc(epsion) > oca N,R1,R2,R3,R,k;N:=1;R1:=;R2:=; > for k from 1 to m do > R1:=R1+evaf((B/N)*c^(2*k-2)*GAMMA(k,(N+1)^2*d^2*(m*tau+deta-k* tau))/gamma(k)) > od: > for k from 1 to m-1 do > R2:=R2+evaf((B1/N)*tau*c^(2*k)*GAMMA(k,(N+1)^2*d^2*(m*tau+deta -(k+1)*tau))/gamma(k)) 133

141 > od: > R3:=evaf(B1*c^(2*m)*m/(d^2*3*N^3)); > R:=evaf(R1+R2+R3); > whie R > epsion do > N:=N+1; > R1:=; > for k from 1 to m do > R1:=R1+evaf((B/N)*c^(2*k-2)*GAMMA(k,(N+1)^2*d^2*(m*tau+deta-k* tau))/gamma(k)) > od: > R2:=; > for k from 1 to m-1 do > R2:=R2+evaf((B1/N)*tau*c^(2*k)*GAMMA(k,(N+1)^2*d^2*(m*tau+deta -(k+1)*tau))/gamma(k)) > od: > R3:=evaf(B1*c^(2*m)*m/(d^2*3*N^3)); > R:=evaf(R1+R2+R3); > od: > return(n); > end; Cacuamos e número de términos N en función de un error dado. Tomaremos como vaores de "epsion" 1 g siendo g un número negativo. > for g from -12 to -1 do > N[g]:=PT(1^(g)) > od; Representamos os datos. En e eje x representamos os vaores de "g" que son e error cometido en escaa ogarítmica y en e eje y e número de términos "N". > pot([seq([g,n[g]],g= )],stye=point); 134

142 SOLUCIÓN NUMÉRICA APROXIMADA, TRUNCADA EN N TÉRMINOS Y APROXIMANDO LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INICIAL POR UN POLINOMIO EN LA VARIABLE t, DE LA ECUACIÓN GENERALIZADA DE DIFUSIÓN CON RETARDO. La función inicia se amará φ. Los datos de nuestro probema son c, τ, a,, d ý L (grado de poinomio que aproxima a a derivada de a función inicia, es decir a φ ( tx)., ) E intervao en t e que estudiamos a soución es [ m τ, ( m+ 1) τ ], para a variabe t y [, ] para a variabe x. Iniciamos e proceso. > restart:with(pots): > assume(n,integer); > with(inag): > with(linearagebra): > with(inag, exponentia): Definimos a función inicia. > phi(t,x):=sin(t)*x*(1-x); L En este caso P L, φt ( t, x) = x( 1 x) t k. Más adeante cacuaremos os coeficientes de Fourier k = g n, k. De momento definimos os "g[n]" que utiizaremos después. > g[n]:=(2/)*int(x*(1-x)*sin(n*pi*x/),x=..); Definición de os coeficientes de Fourier de a función φ ( t, x ) que amamos "B[n](t)". > phi[n](t,x):=sin(t)*x*(1-x)*sin(n*pi*x/)*2/; > B[n](t):=int(phi[n](t,x),x=..); Definición de os coeficientes de Fourier de a función φ ( t, x ) a os que amamos t "Bderivada[n](s)". > Bderivada[n](s):=subs(t=s,diff(int(phi[n](t,x),x=..),t)); > with(orthopoy): > with(numapprox): Cacuamos e poinomio de Chebyshev que aproxima a a parte que depende de t de a función inicia con error de aproximación "epsion". > epsion:=.1; > Po:=expand(eva(chebyshev(cos(t), t=..1, epsion)),t); Introducción de os datos L,, τ, c, d, a. > L:=degree(Po); > :=1;tau:=1;c:=1;d:=Pi; a:=1; sin n π x ( 1 ) n Cacuamos as series infinitas n = 1 n k. Nótese que e exponente máximo k de estas series es 2L+1, por tanto egaremos hasta ahí. Empezaremos por definir a fórmua por 135

143 recurrencia I = k, n 2 π ( k 1 ) ( ) 1 ( n + 1 ) k ( k 1 ) I k 2, n n n 2. > II[1]:=-2*(-1)^(n)/n; > for k from 3 by 2 to 2*L+1 do II[k]:=expand(2*Pi^(k-1)*(-1)^(n+1)/n-k*(k-1)*II[k-2]/n^2); > od; Ahora introducimos a fórmua π ( k 1 ) I sin( nx) k 2, n x k( k 1) n = 1 n 2. > eq[3]:=pi^(2)*x-3*2*expand(sum(ii[1]*sin(n*x)/n^2,..infinity) ): > for k from 5 by 2 to 2*L+1 do > eq[k]:=pi^(k-1)*x-k*(k-1)*expand(sum(op(1,expand(ii[k-2]*sin(n*x )/n^2)),..infinity)): > for j from 2 to (k-1)/2 do > eq[k]:=eq[k]-k*(k-1)*expand(sum(op(j,expand(ii[k-2]*sin(n*x)/n^2 )),..infinity)); > od: > od: Definimos as ecuaciones de a proposición de a teoría x k = π ( k 1) I sin( n x ) k 2, n x k( k 1) n= 1 n 2. > for k from 3 by 2 to 2*L+1 do > ee[k]:=x^k=eq[k]; > od; sin( nx )( 1) Despejamos os sumatorios n que queremos cacuar. n = 1 n k > sum(sin(n*x)*(-1)^n/(n^k),n = 1.. infinity); > s[3]:=sove(ee[3],sum(sin(n*x)*(-1)^n/n^3,n=(1.. infinity))); > for k from 5 by 2 to 2*L+1 do > for j from 3 by 2 to k-2 do > ee[k]:=agsubs(sum(sin(n*x)*(-1)^n/n^j, n = (1.. infinity))=s[j],ee[k]); > od: > s[k]:=sove(ee[k],sum(sin(n*x)*(-1)^n/n^k, n = (1.. infinity))); > od; 136

144 sin n π x ( 1 ) n Definimos os sumatorios n = 1 n k. > for k from 3 by 2 to 2*L+1 do > sum(sin(n*pi*x/)*(-1)^n/n^k,n=(1..infinity)):=subs(x=x*pi/,s[k ]); > od; > sum(sin(n*pi*x/)*(-1)^n/n,..infinity):=-pi*x/(2*); Cácuo de os coeficientes de poinomio que aproxima a a derivada de a función inicia a que hemos amado "Po". > T[]:=op(1,Po); > for i from 2 to 4 do > T[i-1]:=op(1,op(i,Po)); > od; De esta forma os coeficientes de desarroo en serie de Fourier de os coeficientes de poinomio "Po" a os que amamos en teoría g serían aquí en nuestro programa equivaentes a nk, "T[k]*g[n]". i i Cacuamos as integraes iteradas "F[k]" ý "Fx[k]". Lo que en teoría amamos F k () y Fk (x) en nuestro programa serán igua a "F[i]*T[k]" ý "Fx[k]*T[k]" respectivamente. En nuestro caso e "i" máximo sería igua a grado de poinomio mas uno mutipicado por dos. > F[]:=*(1-); > Fx[]:=x*(1-x); > for k from 2 by 1 to 2*(degree(Po)+1) do > f[k]:=x[1]*(1-x[1]): > for i from 1 by 1 to k do > f[k]:=int(f[k],x[i]=..x[i+1]): > od: > F[k]:=vaue(agsubs(x[k+1]=,f[k])); > Fx[k]:=vaue(agsubs(x[k+1]=x,f[k])); > od: Definimos v, v, v, v que en nuestro probema serán "v1[m]", "v2[m]", "v3[m]", "v4[m]" Introducimos as fórmuas. Lamaremos "M" a vaor máximo de m de intervao [ m τ, ( m + 1) τ ] para e que representaremos a soución. > M:=4; > for m from 1 to M do > v2[m]:=; > for K from to L do > for j from to K+1 do > for p from 1 to K-j+1 do > v2[m]:=v2[m]+(-1)^(m-1)*c^(2*m)*(2*(-1)^(k+j)*(t-m*tau)^j*factor ia(k+m-j))*factoria(k)/(factoria(m-1)*factoria(j)*factoria( K-j+1)*a^(2*(K-j+1))*)*(-1)^p*F[2*p]*T[K]*(/Pi)^(2*(K-j+1-p)+1 )*sum(sin(n*pi*x/)*(-1)^n/n^(2*(k-j+1-p)+1),n= 1..infinity): 137

145 > od:od:od: En v4 cambiamos os índices de a teoría, es decir "k" por "k1" y "j" por "J". m > v4[m]:=sum(sum((((-1)^(m-1)*c^(2*m)*(-1)^(k1+j+1)*(t-m*tau)^j*fa ctoria(k1))/(factoria(m-1)*factoria(j)*factoria(k1+1-j)))*g[ n]*t[k1]*gamma(k1+m-j+1,n^2*d^2*(t-m*tau))/((n^2*d^2)^(k1-j+1)), J=..k1+1),k1=..L): > v1[m]:=(-1)^(m-1)*c^(2*m)*t[]*(t-m*tau)*x*(1-x); > for k from 2 by 1 whie k<degree(po)+2 do > v1[m]:=v1[m]+(-1)^(m-1)*c^(2*m)*t[k-1]*(t-m*tau)^(k)/(k)*x*(1-x) > od; > v3[m]:=; > for K from to L do > for j from to K+1 do > v3[m]:=v3[m]+(-1)^(m-1)*c^(2*m)*((t-m*tau)^j*factoria(k+m-j))*f actoria(k)/(factoria(m-1)*factoria(j)*factoria(k-j+1)*a^(2*( K-j+1)))*Fx[2*(K-j+1)]*T[K]: > od:od: Ahora seguimos con e primer, segundo y cuarto sumando, es decir Σ 1, Σ 2 y Σ 4. Lamamos sumqt_ktau = m m k = 1 ( 1 ) ( k 1 ) c ( 2( k 1 )) Q ( kn, 2 d 2 ( t kτ )). > sumqt_ktau[m]:=; > for k from 1 to m do > sumqt_ktau[m]:=sumqt_ktau[m]+(-1)^(k-1)*c^(2*(k-1))*gamma(k,n^2* d^2*(t-k*tau))/gamma(k) > od: m 1 m 1 k = 1 Lamamos sumqt_ktaut_s = τ 1 ( k 1 ) c ( 2 k) derivadab n ( s ) Q ( kn, 2 d 2 ( )) d ( ) t kτ s s. > sumqt_ktaut_s[m-1]:=; > for k from 1 to m-1 do > sumqt_ktaut_s[m-1]:=sumqt_ktaut_s[m-1]+(-1)^(k-1)*c^(2*k)*int(su bs(t=s,diff(int(phi[n](t,x),x=..),t))*gamma(k,n^2*pi^2*(t-k*ta u-s))/gamma(k),s=..tau) > od: Ahora mutipicamos "sumqt_ktau[m]" por B ( τ) + c 2 B (. ) n n > uu1[m]:=sumqt_ktau[m]* (subs(t=tau,int(phi[n](t,x),x=..))+c^2*subs(t=,int(phi[n](t,x ),x=..))); > uu2[m]:=sumqt_ktaut_s[m-1]: > uu4[m]:=(-1)^m*c^(2*m)*subs(t=t-m*tau,phi(t,x)): > v1[m]:=(-1)^(m-1)*c^(2*m)*t[]*(t-m*tau)*x*(1-x); > for k from 2 by 1 whie k<degree(po)+2 do > v1[m]:=v1[m]+(-1)^(m-1)*c^(2*m)*t[k-1]*(t-m*tau)^(k)/(k)*x*(1-x) > od: 138

146 Lamamos "dib[m]" a a soución dibujada para vaores de t en e intervao [ m τ, ( m + 1 ) τ ], y vaores de x en e intervao [, ]. > N:=2; > so1[m]:=simpify(sum(uu1[m]*sin(n*pi*x/)+uu2[m]*sin(n*pi*x/),..n)+uu4[m]): > so2[m]:=evaf(v2[m]-v3[m]+v1[m])+evaf(sum(v4[m]*sin(n*pi*x/),..n)): > so[m]:=so1[m]+so2[m]; > dib[m]:=pot3d(so[m],t=m*tau..(m+1)*tau,x=..):dispay(dib[m], axes=frame): > od: Dibujamos a soución. > dib:=pot3d(phi(t,x),t=..1,x=..):dispay(dib,axes=frame); > dispay(dib,dib[1],dib[2],dib[3],dib[4],axes=frame); 139

147 CÁLCULO DEL ERROR COMETIDO EN LA SOLUCIÓN NUMÉRICA APROXIMADA QUE SE OBTIENE APROXIMANDO LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INICIAL POR UN POLINOMIO. Cacuremos e error cometido "R" que será a suma de os tres restos a os que amaremos "R1", "R2", "R3", en función de número de términos "N" a truncar a soución u que P aproxima a soución exacta u en N términos mas e error obtenido cuando se aproxima a soución exacta u por u, en e intervao [ m τ + δ, ( m + 1) τ ] con δ un número positivo menor P que τ. Iniciamos e proceso. > restart:with(pots): > Digits:=2; > assume(n,integer); > with(inag): > assume(k,integer); Introducimos a función inicia que amaremos φ ( t, x ) en e intervao inicia [, τ ] para a variabe t y [, ] para a variabe x ý os datos de probema c, τ, d,, m. Consideramos a soución de probema en e intervao [ m τ, ( m + 1) τ ]. > phi(t,x):=sin(t)*x*(1-x); > c:=1;tau:=1;d:=pi;:=1;m:=1; Cacuamos e vaor de a constante B de resto R que aquí amaremos "B". 1 1 > phi[n](t,x):=sin(t)*x*(1-x)*sin(n*pi*x/)*2/; > V[n](t):=int(phi[n](t,x),x=..); > B:=maximize(abs(evaf(subs(t=tau,V[n](t))+c^2*subs(t=,V[n](t))) ),..infinity); Cacuamos e vaor de a constante B (prima) de resto R que aquí amaremos "B1". 2 > Vderivada[n](s):=evaf(subs(t=s,diff(int(phi[n](t,x),x=..),t)) ); > B1:=maximize(maximize(abs(Vderivada[n](s)),..infinity),s=..1 ); Cacuamos e poinomio de Chebyshev a que amaremos "Po" que aproxima a a derivada de a 1 ( 15 ) d función inicia con un error menor que 8 c ( 2 m). m τ > with(orthopoy): > with(numapprox): > Po:=expand(eva(chebyshev(cos(t), t=..1, evaf(1^(-15)*d/(8*c^(2*m)*sqrt(m*tau))))),t): Lamaremos "L" a grado de poinomio de Chebyshev. > L:=degree(Po); Ahora vamos a cacuar a constante g y para eo necesitamos e cácuo de os coeficientes de poinomio "Po" que amaremos "T[i]". 14

148 > for i from to L do > T[i]:=coeff(Po,t,i); > od: Cácuo de os g de a teoría que se necesitan para haar e vaor de "g". nk, > g[n]:=abs((2/)*int(x*(1-x)*sin(n*pi*x/),x=..)); > for k from to L do > T[k]:=coeff(Po,t,k): > G[k]:=evaf(maximize(abs(T[k]*g[n]),..infinity)); > od: > g:=; > for k from to L do > if g<g[k] then g:=g[k]; fi; > od: > print(g); Ahora cacuamos e procedimiento que evaúa e error cometido en función de número de términos "N" en e intervao compacto [ m τ + δ, ( m + 1) τ ]. Lamaremos "R1", "R2" ý "R3" a as expresiones de os tres restos y "R" a error tota acumuado en todo e proceso. > deta:=.1; > PT:=proc(N) > oca R,R1,R2,R3,k;R1:=;R2:=;R3:=; > for k from 1 to m do > R1:=R1+evaf((B/N)*c^(2*k-2)*GAMMA(k,(N+1)^2*d^2*(m*tau+deta-k* tau))/gamma(k)) > od: > for k from 1 to m-1 do > R2:=R2+evaf((B1/N)*tau*c^(2*k)*GAMMA(k,(N+1)^2*d^2*(m*tau+deta -(k+1)*tau))/gamma(k)) > od: > for k from to L do > R3:=R3+evaf(g*c^(2*m)*2^(k+1)*GAMMA(k+m+1,(N+1)^2*d^2*(deta))/ ((k+1)*d^(2*(k+1))*n^(2*k+3)*gamma(m))) > od: > R:=evaf(og1(evaf(R1+R2+R3+1^(-15)/2))); > return(r); > end; > u2:=[seq([n,pt(n)],n=5..3)]: > m:=2; > u1:=[seq([n,pt(n)],n=5..3)]: > Digits:=1; Representamos os errores en función de número N. En e eje x representamos os vaores de "N" y en e eje y e vaor de error cometido en escaa ogarítmica. > p1:=pot(u1,stye=point,coor=red,symbo=circle,symbosize=12): > p2:=pot(u2,stye=point,coor=bue,symbo=cross,symbosize=12): > dispay(p1,p2,abes=[`n`,`error (og)`],abedirections=[horizontal,vertical],abefont=[courier,12],axes=boxed,symbosize=12); 141

149 CÁLCULO DEL NÚMERO DE TÉRMINOS N EN LA SOLUCIÓN NUMÉRICA APROXIMADA, QUE SE OBTIENE APROXIMANDO LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INICIAL POR UN POLINOMIO EN LA VARIABLE t, CON UN ERROR DADO. Supongamos que hemos tomado a soución truncada en N términos de a soución formada por a aproximada, u P, es decir a que en e tercer sumando se aproxima a derivada de a función inicia por un poinomio en a variabe "t". Sea 1 p con p un número negativo e error cometido en todo e proceso. Nos preguntamos por e número de términos N necesarios para conseguir ese error prefijado en e intervao [ m τ+ δ, ( m + 1 ) τ ] siendo δ un número positivo menor que τ. Iniciamos e proceso. > restart:with(pots): > Digits:=2; > assume(n,integer); > with(inag): > with(orthopoy):with(numapprox): > assume(k,integer); Introducimos a función inicia que amaremos φ ( t, x ) en e intervao inicia [, τ ] para a variabe t y [, ] para a variabe x ý os datos de probema c, τ, dm.,, Consideramos a soución de probema en e intervao [ m τ, ( m + 1) τ ]. > phi(t,x):=sin(t)*x*(1-x); > c:=1;tau:=1;d:=pi;:=1;m:=4; Cacuamos e vaor de a constante B de resto R que aquí amaremos "B". 1 1 > phi[n](t,x):=sin(t)*x*(1-x)*sin(n*pi*x/)*2/; > V[n](t):=int(phi[n](t,x),x=..); > B:=maximize(abs(evaf(subs(t=tau,V[n](t))+c^2*subs(t=,V[n](t))) ),..infinity); Cacuamos e vaor de a constante B (prima) de resto R que aquí amaremos "B1". 2 > Vderivada[n](s):=evaf(subs(t=s,diff(int(phi[n](t,x),x=..),t)) ); > B1:=maximize(maximize(abs(Vderivada[n](s)),..infinity),s=..1 ); Cacuamos e poinomio de Chebyshev a que amaremos "Po" en este procedimiento, que 1 p d aproxima a a derivada de a función inicia con un error menor que 8 c ( 2 m ). m τ > Po:=proc(p) > expand(eva(chebyshev(cos(t), t=..1, evaf(1^(p)*d/(8*c^(2*m)*sqrt(m*tau))))),t); > end; Cacuamos e grado de poinomio de Chebyshev cacuado anteriormente. 142

150 > grado:=proc(p) > degree(po(p)); > end; Cacuamos a constante g que depende de poinomio de Chebyshev antes cacuado, y por tanto depende de vaor de "p". Lamamos "ge" a a constante g dentro de siguiente procedimiento. Para eo necesitamos e cácuo de os coeficientes de poinomio "Po" que aproxima a a derivada de a función inicia y que amaremos "T[k]". También necesitamos cacuar os g de a teoría que nk, se necesitan para haar e vaor de g, para esto haremos uso de os vaores de "G[k]" en e siguiente procedimiento. > g:=proc(p) > oca g,k,t,g,ge; > g[n]:=abs((2/)*int(x*(1-x)*sin(n*pi*x/),x=..)): > for k from to grado(p) do > T[k]:=coeff(Po(p),t,k): > G[k]:=evaf(maximize(abs(T[k]*g[n]),..infinity)); > od: > ge:=; > for k from to grado(p) do > if ge<g[k] then ge:=g[k]; fi; > od: > return(ge); > end; Ahora cacuamos e procedimiento que cacua e vaor de "N" a partir de un error dado, 1 p, en e intervao compacto [ m τ+ δ, ( m + 1) τ ] para un δ dado. Lamaremos "R1", "R2" y "R3" a as expresiones de os tres restos que proceden de truncar en N términos as series dadas por a soución aproximada u. Este procedimiento nos devueve e vaor de "N". P > deta:=.1; > PT:=proc(p) > oca N,R1,R2,R3,R,k;N:=1;R1:=;R2:=;R3:=; > for k from 1 to m do > R1:=R1+evaf((B/N)*c^(2*k-2)*GAMMA(k,(N+1)^2*d^2*(m*tau+deta-k* tau))/gamma(k)) > od: > for k from 1 to m-1 do > R2:=R2+evaf((B1/N)*tau*c^(2*k)*GAMMA(k,(N+1)^2*d^2*(m*tau+deta -(k+1)*tau))/gamma(k)) > od: > for k from to grado(p) do > R3:=R3+evaf(g(p)*c^(2*m)*2^(k+1)*GAMMA(k+m+1,(N+1)^2*d^2*(deta ))/((k+1)*d^(2*(k+1))*n^(2*k+3)*gamma(m))) > od: > R:=evaf(R1+R2+R3); > whie R > (1^(p))/2 do > N:=N+1; 143

151 > R1:=; > for k from 1 to m do > R1:=R1+evaf((B/N)*c^(2*k-2)*GAMMA(k,(N+1)^2*d^2*(m*tau+deta-k* tau))/gamma(k)) > od: > R2:=;R3:=; > for k from 1 to m-1 do > R2:=R2+evaf((B1/N)*tau*c^(2*k)*GAMMA(k,(N+1)^2*d^2*(m*tau+deta -(k+1)*tau))/gamma(k)) > od: > for k from to grado(p) do > R3:=R3+evaf(g(p)*c^(2*m)*2^(k+1)*GAMMA(k+m+1,(N+1)^2*d^2*(deta ))/((k+1)*d^(2*(k+1))*n^(2*k+3)*gamma(m))) > od: > R:=evaf(R1+R2+R3); > od: > return(n); > end; Cacuamos e vaor de N en función de error. > for h from -12 to -1 do > N[h]:=PT(h); > od; Representamos os datos. En e eje x representamos os vaores de "h" que son e error cometido en escaa ogarítmica y en e eje y e número de términos "N". > pot([seq([h,n[h]],h= )],stye=point); 144

152 SOLUCIÓN NUMÉRICA APROXIMADA, TRUNCADA EN N TÉRMINOS, DE LA ECUACIÓN GENERALIZADA DE DIFUSIÓN CON RETARDO VECTORIAL. Truncaremos os cuatro primeros sumandos de a siguiente soución vectoria en "N" términos, u ( t, x ) = u 1 ( t, x ) + u 2 ( t, x ) + u 3 ( t, x ) + u 4 ( t, x ) + φ ( τ, x ), donde φ ( t, x ) es a función inicia para vaores de t en e intervao [, τ ] y de x en e intervao [, ]. Iniciamos e proceso. > restart:with(pots): > assume(n,integer); > with(inag): > with(linearagebra): > with(inag, exponentia): Definimos a función inicia a a que amamos φ ( tx., ) > phi(t,x):=array(1..2,[t*x*(x^2-1),exp(-t)*x*(x^2-1)]); Definimos os coeficientes de Fourier de a función inicia y os de a derivada de ésta. Los amaremos "B[n](t)" y "Bderivada[n](s)" respectivamente. > phi[n](t,x):=array(1..2,[t*x*(x^2-1)*sin(n*pi*x/)*2/,exp(-t)*x *(x^2-1)*sin(n*pi*x/)*2/]); > B[n](t):=map(int,phi[n](t,x),x=..); > Bderivada[n](s):=subs(t=s,map(diff,map(int,phi[n](t,x),x=..),t )); Introducimos os datos, as matrices A, B, a matriz inversa de B a a que amamos "B_1", a matriz identidad, a matriz C+I de a teoría que amamos aquí "Ga" y a inversa de C+I que amamos "Ga_1". > A:=matrix(2,2,[2,1,1,2]); > B:=matrix(2,2,[1,,1,-1]); > B_1:=inverse(B); > Id:=matrix(2,2,[1,,,1]); > Ga:=evam(B_1 &*A+Id) ; > Ga_1:=inverse(Ga); Introducimos os datos y τ. > :=1;tau:=1; An 2 π 2 ( t s) 2. Definimos a matriz exponencia e > eat_s:=exponentia(-a*n^2*pi^2/^2*(t-s)); Definimos a matriz Q n ( 1, t ) a a que amamos aquí "Qn1t". > Qn1t:=-map(int,evam(eAt_s&*(A+B)*n^2*Pi^2/^2),s=..t); Definimos a matriz Q n ( k, t ) que aquí amamos "Qnkt[k]". Lamamos "sumqt_ktau[m]" a m siguiente vaor, Q n ( k, t k τ ) y "sumqt_ktau_s[m-1]" a a siguiente suma, m 1 k = 1 k = 1 Q n ( k, t k τ s ). Lamaremos "uu1[m]", "uu2[m]", "uu3[m]" y "uu4[m]" a as 145

153 correspondientes expresiones de a teoría, u 1, u 2, u 3 y u 4 en e intervao [ m τ, ( m + 1) τ ] y amaremos "uu5[m]" a φ ( τ, x ). > for m from 1 to 4 do > sumqt_ktau[m]:=matrix(2,2,[,,,]); > for k from 1 to m do > Qnkt[k]:=Qn1t; > for j from 1 to k-1 do > Qnkt[k]:=-map(int,evam(eAt_s&*B &*subs(t=s,qnkt[k])*n^2*pi^2/^2),s=..t) > od: > sumqt_ktau[m]:=evam(sumqt_ktau[m]+subs(t=t-k*tau,qnkt[k])) > od: > sumqt_ktau_s[m-1]:=matrix(2,2,[,,,]); > for k from 1 to m-1 do > sumqt_ktau_s[m-1]:=evam(sumqt_ktau_s[m-1]+subs(t=t-k*tau-s,qnkt [k])) > od: > uu1[m]:=evam(sumqt_ktau[m]&* Ga_1&* subs(t=,map(int,phi[n](t,x),x=..))); > uu2[m]:=evam(sumqt_ktau[m]&*b_1 &* A &*Ga_1&*subs(t=tau,map(int,phi[n](t,x),x=..))); > uu3[m]:=map(int,evam(sumqt_ktau_s[m-1]&*ga_1&* subs(t=s,map(diff,map(int,phi[n](t,x),x=..),t))),s=..tau); > uu4[m]:=map(int,evam(subs(t=t-m*tau-s,qnkt[m])&*ga_1&*subs(t=s, map(diff,map(int,phi[n](t,x),x=..),t))),s=..t-m*tau); > uu5:=subs(t=tau,phi(t,x)); > so1[m]:=sum(simpify(uu1[m][1]*sin(n*pi*x/)+uu2[m][1]*sin(n*pi *x/)+uu3[m][1]*sin(n*pi*x/)+uu4[m][1]*sin(n*pi*x/)),..2)+ uu5[1]; > so2[m]:=sum(simpify(uu1[m][2]*sin(n*pi*x/)+uu2[m][2]*sin(n*pi *x/)+uu3[m][2]*sin(n*pi*x/)+uu4[m][2]*sin(n*pi*x/)),..2)+ uu5[2]; > dib1[m]:=pot3d(so1[m],t=m*tau..(m+1)*tau,x=..):dispay(dib1[ m],axes=frame); > dib2[m]:=pot3d(so2[m],t=m*tau..(m+1)*tau,x=..):dispay(dib2[ m],axes=frame); > od: > dib1:=pot3d(phi(t,x)[1],t=..1,x=..1):dispay(dib1,axes=fram e); > dib2:=pot3d(phi(t,x)[2],t=..1,x=..1):dispay(dib2,axes=fram e); Dibujamos as dos componentes de vector soución, es decir as dos componentes de u ( t, x ). > dispay(dib1,dib1[1],dib1[2],dib1[3],dib1[4],axes=frame); > dispay(dib2,dib2[1],dib2[2],dib2[3],dib2[4],axes=frame); 146

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