6. Propiedades de analiticidad de las amplitudes de dispersión

Transcripción

1 Mecánica Cuántica Avanzada Caros Pena Propiedades de anaiticidad de as ampitudes de dispersión [Sch 2.5] Motivación Hemos visto que e carácter unitario de a evoución tempora, que impica en particuar a unitariedad de a matriz S, da ugar a una serie de resutados profundos, como e.g. a versión generaizada de teorema óptico. De hecho, as impicaciones de a unitariedad van más aá: a matriz S contiene no sóo toda a información sobre a dinámica de dispersión, sino también toda a información sobre os estados igados i.e. toda a información sobre e sistema. Por supuesto, esto es sóo reativamente sorprendente, ya que en un sistema hamitoniano Ŝ = f(ĥ). La manera en que esta propiedad se manifiesta es a presencia de poos en a continuación anaítica de as ampitudes de dispersión a pano compejo de energías. E objetivo espectro de a discusión igado será (discreto) ofrecer unaespectro perspectiva dispersión eementa (continuo) de esta estructura en e caso no reativista, restringiéndonos por simpicidad a formaismo sencio para un sistema de dos cuerpos con interacción centra y sin considerarecanaes ineásticos. Veremos, en concreto, cómo E =0 a continuación anaítica de a ampitud de dispersión f(k, θ) a k C permite describir todo e espectro de energía de un potencia compicado, como e esquematizado en a figura y que ya utiizamos para introducir e concepto de resonancia. +V b Vr estados metaestabes estados de dispersión r 0 r estados igados V p r p r b Resutados En primer ugar, enunciaremos una serie de resutados que pueden demostrarse de manera rigurosa. Los dos primeros son formaizaciones de conceptos que hemos men-

2 6-2 Mecánica Cuántica Avanzada Caros Pena cionado repetidamente y de as que hemos proporcionado demostraciones heurísticas, que incuimos por competitud, mientras que e tercero contiene as propiedades de anaiticidad a as que hemos audido más arriba. Recordemos que un potencia de acance finito es aque que, además de ciertas propiedades básicas de suavidad etc., satisface im rv (r) = 0. (6.1) r (i) Comportamiento a bajas energías: para todo potencia de acance finito, as ampitudes de dispersión en onda parcia a satisfacen a (k) = k 0 α k O(k n, n > 2 + 1), (6.2) donde a ongitud de dispersión 1 α es una constante finita a menos que haya un estado igado en cana con E 0, en cuyo caso diverge. (ii) Acance efectivo: esta es una formaización de concepto de acance ( tamaño ) de un potencia. Para todo potencia de acance finito se cumpe k 2+1 cot δ (k) = α r(0) k 2 + O(k 4 ), (6.3) donde e radio de convergencia de a serie de potencias es finito para k pequeño. E coeficiente r (0) caracteriza e acance de potencia, y es amado acance efectivo. 2 (iii) Propiedades de anaiticidad de a ampitud de dispersión: Sea f (k) := 1 k a (k), de manera que f(k, θ) = (2 + 1)f (k)p (cos θ). (6.4) =0 Construimos as funciones F en dos pasos: 1. F (k 2 ) := f (k) (e.g., si f (x) = 1 x entonces F (y) = 1 y) ; 2. continuamos anaíticamente F a pano compejo. Entonces: (6.5) (a) F está definida sobre dos hojas de Riemann, correspondientes a Im k > 0 (:= hoja física) e Im k < 0 (:= hoja no física), con cortes de rama en Re k 2 > 0, correspondiente a os estados de dispersión, y en Re k 2 < C, con C > 0, amado dinámico. 1 Que, recordemos, tiene dimensiones de ongitud sóo para = 0. 2 Como a ongitud de dispersión, r (0) sóo tiene dimensiones de ongitud para = 0. En genera, tanto r (0) como α tienen dimensiones de ongitud a a potencia

3 Mecánica Cuántica Avanzada Caros Pena 6-3 (b) F tiene poos en a primera hoja de Riemann situados en z n = 2m E n 2, (6.6) donde E n son as energías de os estados igados de potencia. (c) F tiene poos en a segunda hoja de Riemann situados en ( ) z n = 2m 2 E (n) R + i Γ(n), (6.7) 2 donde E (n) R, Γ(n) son as energías y anchuras de as resonancias de potencia. poos resonancias Im k 2 corte de rama dinámico x x hoja física x x x Re k 2 corte de rama (estados de dispersión) hoja no física poos estados igados A continuación discutiremos agunos detaes de esta estructura de F, así como de su interpretación. Las demostraciones rigurosas van más aá de ámbito de curso, y se pueden encontrar en os textos más formaes de mecánica cuántica (e.g. Gaindo y Pascua). Poos de estado igado Consideremos a forma asintótica de a función de onda radia u (r) r sin[kr + δ (k) π 2 ] = 1 2i [ e i[ π 2 δ (k)] e ikr e i[ π 2 δ (k)] e ikr], (6.8)

4 6-4 Mecánica Cuántica Avanzada Caros Pena y reaicemos a continuación anaítica a pano compejo de as fases que contienen δ (k), e ±i[ π 2 δ (k)] φ (±) (k 2 ), k 2 C. (6.9) Estos objetos son amados funciones de Jost, y definen una función de onda generaizada (a menos de fases gobaes irreevantes) u (r) φ ( ) r (k 2 )e ikr + φ (+) (k 2 )e ikr. (6.10) Recordando a reación S = e 2iδ entre ampitudes de transición eásticas y defasajes, podemos definir una ampitud continuada a pano compejo sustituyendo δ por su expresión en términos de as funciones de Jost, o que da ugar a S = ( 1) +1 φ( ) φ (+). (6.11) Nótese que si e potencia es rea, de manera que también o sea δ, esto inmediatamente impica a igadura Tomemos ahora φ (+) (k 2 ) = [φ ( ) (k 2 )] k 2 R. (6.12) k 2 = 2m E 2. (6.13) Esto impica k = iκ, κ R; eegiremos κ 0 para parametrizar estos vaores de k 2. La forma correspondiente de a función de onda será u (r) φ ( ) r (k 2 )e κr + φ (+) (k 2 )e κr. (6.14) La presencia de a exponencia creciente e κr hará que a función de onda sea no normaizabe, a menos que e coeficiente φ (+) (k 2 ) se anue: en ta caso a función de onda tendrá una dependencia espacia e κr para r, que es precisamente o que se espera para un estado igado confinado en un pozo. Por o tanto, es consistente que si u es efectivamente a función de onda radia de un estado igado con energía E ig se cumpa ( φ (+) k 2 = 2mE ) ig 2 = 0. (6.15) Por otra parte, en este caso a continuación anaítica (6.11) de S tendrá un poo, que inducirá a su vez un poo en a continuación anaítica de a ampitud de dispersión como habíamos enunciado.

5 Mecánica Cuántica Avanzada Caros Pena 6-5 Cortes de rama y hojas de Riemann Para iustrar cómo se manifiestan os cortes de rama a nive operaciona, utiizaremos de nuevo como ejempo a ampitud de dispersión para e potencia de Yukawa V (r) = V 0 e r/r 0 r/r 0 := α e r/r0 r (6.16) en a aproximación de Born. Hemos mencionado que e resutado para as ampitudes de dispersión en onda parcia tiene a forma f (k 2 ) = 1 k a (k 2 ) = αm ( 2 k 2 Q ) 2k 2 r0 2, (6.17) donde Q son as funciones de Legendre de segunda especie, Q 0 (z) = 1 ( ) z n, z 1 Q 1 (z) = 1 ( z n z 1 Q 2 (z) = 3z n ) 1, ( z + 1 z 1 ) 3z 2, (6.18) La aparición de ogaritmo da ugar de manera natura a a aparición de puntos de rama en as singuaridades z = ±1, que corresponden, respectivamente, a k 2 = y k 2 = 1. E corte de rama que aparece entre ambos puntos es e corte de rama 4r0 2 dinámico; a discontinuidad de as ampitudes de dispersión a pasar a través de corte se puede cacuar expícitamente, [ im f (k 2 + iɛ) f (k 2 + iɛ) ] ɛ 0 corte = mα 2 k 2 [Q (z + iɛ) Q (z iɛ)] = iπ mα ( 2 k 2 P ) 2k 2 r0 2. (6.19) Nótese que a discontinuidad es proporciona a acopamiento α, y su escaeo está controado por e acance r 0 de potencia. De a misma manera, aunque con detaes técnicos ago más compicados, se prueba que en genera k 2 = 0 es un punto de rama de primer orden, o que da ugar a as dos hojas de Riemann y genera e corte de rama cinemático en Re k 2 0 i.e. para os vaores físicos de k 2 como variabe de energía de un proceso de dispersión.

6 6-6 Mecánica Cuántica Avanzada Caros Pena Ejempo de poos de estado igado: pozo esférico Usaremos e resutado para a ampitud de dispersión en cana S de pozo esférico como una iustración de a aparición de poos. Hemos cacuado f 0 (k) = 1 k cot δ 0 (k) ik, cot δ 0(k) = ζr 0 + kr 0 tan kr 0 tan ζr 0 kr 0 tan ζr 0 ζr 0 tan kr 0, (6.20) con ζ = 2m(V0 +E). Por o tanto [ kζ + k 2 ] 1 tan kr 0 tan ζr 0 f 0 (k) = ik k tan ζr 0 ζ tan kr 0 k tan ζr 0 ζ tan kr 0 = kζ + k 2 tan kr 0 tan ζr 0 ik 2 tan ζr 0 + ikζ tan kr 0 (6.21) = tan ζr 0 ζ k tan kr 0 k[1 + i tan kr 0 ][ ζ k i tan ζr 0]. E primer factor en e denominador da ugar a un poo en k = 0, que es banamente e punto de rama en e que se inicia e corte cinemático (y cuya presencia asegura e comportamiento correcto de a ampitud de dispersión a baja energía). E segundo factor no da ugar a ningún poo, ya que tan z i z C. Finamente, e tercer factor sí puede anuarse, generando poos para os vaores de k que satisfacen cot ζr 0 = i k ζ. (6.22) Por otra parte, recuérdese que a condición para a existencia de estados igados tenía a forma 2m En k := = ζ cot ζr 0, (6.23) de manera que a condición de poo tiene precisamente souciones en 2m En k n = +i k 2 = 2m E n 2. (6.24) Nótese que e signo + impica que os poos aparecen precisamente en a hoja física, q.e.d. En este caso no han aparecido resonancias, porque e pozo no tiene resonancias stricto sensu sóo a posibiidad de dispersión por un estado igado en E = 0. La aparición de poos de resonancia será iustrada con a resoución de potenciaes más compicados como probemas.