Química Cuántica I Potenciales y efecto túnel

Transcripción

1 Química Cuántica I Potenciales y efecto túnel Prof. Jesús Hernández Trujillo Facultad de Química, UNAM Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 1/29

2 Potenciales Dos tipos de potenciales: Confinante Diverge asintóticamente. lím V (x) = x ± No confinante El límite existe en al menos x = o x = : lím V (x) = c x ± convención = 0 Es decir, el potencial es asintótico en una o más coordenadas Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 2/29

3 Ejemplos de potenciales confinantes Partícula en una caja de paredes infinitas { 0 : x [0,a] V (x) = : x < 0 o x > a Oscilador armónico V = V = 0 V = x 0 a V V (x) = 1 2 x2, x (, ) x Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 3/29

4 Algunos potenciales no confinantes: V V 1/r r r V x V x V Vo V Vo Vo Vo x x Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 4/29

5 Un potencial no confinante genérico: V (x) E 3 E 2 c d x Análisis clásico: E 1 v = ± 2[E V (x)]/m a b En los puntos de retorno la velocidad vale cero, v = 0. a,b: Puntos de retorno para el estado enlazado con E = E 1. c,d: Puntos de retorno para el estado no enlazado con E = E 2. E = E 3 : La partícula se alenta y se acelera al pasar sobre la barrera pero sin rebotar. Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 5/29

6 Los potenciales no confinantes describen mejor a los sistemas reales. Cuando E > 0, la partícula es libre (no confinada) en una porción del espacio. E E 3 E E 2 1 Continuo E=0 Estados enlazados (ligados) Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 6/29

7 Pozo cuadrado Considerar los estados ligados de una partícula bajo la acción del potencial confinante: V (x) = { V o : L x L 0: x > L V(x) Region I L O Region II L Region III x Vo Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 7/29

8 La función de onda satisface: (1) (2) (3) Región I: Región II: Región III: donde (4) (5) d 2 ψ dx 2 k2 ψ = 0 solución: ψ I d 2 ψ dx 2 + α2 ψ = 0 solución: ψ II d 2 ψ dx 2 k2 ψ = 0 solución: ψ III k = 2mE α = 2m(V o + E) Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 8/29

9 Condiciones para ψ: ψ finito en x ± (cuadrático integrable) Condiciones a la frontera: (6) (7) ψ I ( L) = ψ II ( L) ψ II (L) = ψ III (L) ψ debe tener primeras derivadas continuas: dψ I dx = dψ II (8) x= L dx x= L dψ II dx = dψ III (9) x=l dx x=l Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 9/29

10 Solución par: Ψ p ( x) = Ψ p (x) Ψ p (x) = ψ I (x) =Ne kx ψ II (x)=n e kl cosαl cosαx ψ III (x)=ne kx Región I Región II Región III donde (10) k = αtan(αl) Se trata de una ecuación trascendente para E. N es la constante de normalización. Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 10/29

11 Solución impar: Ψ i ( x) = Ψ i (x) ψ I (x) =Ne kx Ψ i (x) = ψ II (x)= N e kl senαl senαx ψ III (x)= Ne kx Región I Región II Región III donde (11) k = αcot(αl) Ésta también es una ecuación trascendente para E. Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 11/29

12 Sólo las energías E que satisfacen (10) y (11) son permitidas (cuantización). Además: (12) n 1 < b π < n donde b = 2mVo L. En consecuencia, el número de estados ligados depende de m, L y V 0 Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 12/29

13 no clásico Ψ(x) no clásico I II III -L L x Estado basal Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 13/29

14 no clásico Ψ(x) no clásico I II III -L L x Primer estado excitado Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 14/29

15 La densidad de probabilidad en las regiones clásicamente prohibidas decae exponencialmente con la distancia al pozo: ψ I (x) 2 = N 2 e 2kx ψ III (x) 2 = N 2 e 2kx Cuando la masa de la partícula aumenta, disminuye la probabilidad de encontrarla fuera del pozo, pues κ m, ecuación (4). Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 15/29

16 Barrera cuadrada E V 0 x = 0 x = L I II III V = 0 V (x) = Región: 0, x < 0 I V 0 > 0, 0 x L II 0, x > 0 III Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 16/29

17 La función de onda: ψ I (x) = A 1 e ik1x + B 1 e ik 1x ψ II (x) = A 2 e k2x + B 2 e k 2x 0 ψ III (x) = Ce ik 1x donde: k 1 = k 2 = 2mE 2 2m(V0 E) 2 Las condiciones a la frontera proporcionan información sobre las constantes. Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 17/29

18 Esquemáticamente: Re[ψ(x)] Tomado de: F. S. Levin, An introduction to quantum theory, Oxford university press, 2002 Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 18/29

19 La probabilidad de que la partícula se refleje en la barrera es: R = (amplitud reflejada)2 (amplitud incidente) 2 = B2 1 A 2 1 La probabilidad de que la partícula se transmita por la barrera es: T = (amplitud transmitida)2 (amplitud incidente) 2 = C2 A 2 1 Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 19/29

20 Se obtiene: T = V 2 0 4E(V o E) senh2 (k 2 L) 1 Nótese que: T(L) T 0 incluso cuando E < V 0 (efecto túnel). T 0 cuando k 2 L 1 (límite clásico). 0 L Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 20/29

21 Efecto túnel Penetración de una partícula en una región clásicamente prohibida o su paso a través de una barrera de potencial Ejemplos: Barrera de rotación interna en una molécula E H H 2.8 kcal/mol C 1 H H H C 1 C H H 2 C H H 2 H H H φ Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 21/29

22 Cinética química Modificación a la ecuación de Arrhenius: k = σae E a/rt σ: Factor de tunelaje; importante para transferencia de H Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 22/29

23 Decaimiento radiactivo V (r) barrera de potencial partículaα r Una aproximación: V atracción nuclear repulsión culómbica R o r Dimensiones nucleares a partir del experimento + modelo Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 23/29

24 Microscopía de tuneleo: Sirve para caracterizar materiales Consiste en la aplicación práctica del efecto túnel para el estudio de superficies Proporciona evidencia directa del fenómeno Más detalles en: Positioning Single Atoms with a Scanning Tunnelling Microscope Eigler, D. M.; Schweizer, E. K. Nature 1990, 344, Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 24/29

25 Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 25/29

26 Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 26/29

27 Nature 344, (1990) Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 27/29

28 Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 28/29

29 Ver también: (Video sobre efecto túnel realizado por IBM) Efecto túnel/jesús Hernández Trujillo p. 29/29