Ondas de Materia Estados ligados. Física Facultad de Ingeniería UNMDP

Transcripción

1 Ondas de Materia Estados ligados Física Facultad de Ingeniería UNMDP

2 Pozo de potencial de paredes infinitas Consideremos una partícula confinada en una región de tamaño finito a<x<a por dos barreras de potencial infinito Solución general: V = V = V(x) x (x) = 0, x 0 ψ 2 (x) = Aexp(ikx) + Bexp( ikx),0 x a,k = ψ 3 (x) = 0, x a ZCX 1 2m a ZCX 2 a ZCX 3 Dado que e potencial es infinito E en las zonas 1 y 3 la solución en la de la ESIT es cero indicando que la ondícula esta confinada a la región [ a,a] En este caso la solución en la ZCP 2 debe conectarse a las soluciones reales en la ZCX 1,3. Dado que no hay flujo en la ZCX 1,3 resulta que el flujo en la ZCP2 J 2 =0. J 2 = k m ( A 2 B 2 ) = 0 A = Bexp(iφ)

3 Pozo de potencial de paredes infinitas Continuidad de ψ en x = 0: (0) = ψ 2 (0) Continuidad de ψ en x = a: A + B = 0 [1] Dado que la discontuidad del potencial es infinita en x=0 y x=a la derivada primera es discontinua en dichos puntos ψ 2 (a) = ψ 3 (a) Aexp(ika) + Bexp( ika) = 0 Usando [1] tenemos que A= B resulta que ASen(ka) = 0 ka = nπ Dado que la ondícula tiene solo energía cinética en la ZCP resulta que E = 2 k 2 2m E n = h2 n 2 ψ 8ma 2 n (x) = ASen( nπ a x) Sorpresa la energía no puede tomar cualquier valor. ES DISCRETA!!

4 Pozo de potencial de paredes infinitas Por qué el espectro de energía es discreto? Para comprender la naturaleza discreta del espectro de energía de la ondícula confinada entre dos zonas clásicamente prohibidas, note que la energía cinética de la ondícula ψ "(x) = 2m Asen(ka) = 0 ka = nπ E = 2 k 2 (V E)ψ está relacionada con la curvatura (derivada segunda) de la función de onda. Dado que la solución debe ser continua en los puntos de discontinuidad entonces no cualquier curvatura de la función puede ajustar a las soluciones en las ZCX de modo continuo y por lo tanto no cualquier energía es posible para la ondícula con lo que el espectro de energía es de naturaleza discreta 2m E n = h2 n 2 ψ 8ma 2 n (x) = Asen( nπ a x)

5 Pozo de potencial de paredes infinitas Normalización de la solución Dado que la partícula se haya confinada en la región [0,a]. Así la probabilidad de encontrarla en dicho intervalo es igual a uno ψ n (x) = Asen( nπ a x),0 x a ψ (x) 2 dx = 1 ψ 2 (x) 2 dx = A 2 sen 2 ( nπ x)dx = 1 A = 2 a a a 0 P(x) = ψ (x) 2 dx = 1 Usando las soluciones obtenidas en el paso anterior y reemplazando en la integral podemos calcular el valor de A (constante de normalización) a 0 Reemplazando obtenemos ψ n (x) = 2 L sen(nπ a x)

6 Pozo de potencial de paredes infinitas Graficamos las soluciones Soluciones de la ESIT Densidad de probabilidad ψ 3 (x) = 2 a sen(3π a x) E 3 = 9E 1 ψ 2 (x) = 2 a Sen(2π a x) E 2 = 4E 1 (x) = 2 a sen(π a x) E 1 = h2 8ma 2 Note que la probabilidad para el estado fundamental Ψ 1 es máxima en el centro, mientras que para Ψ 2 es cero en el centro. Significa esto que la partícula nunca pasa por el centro? Es interesante verificar que la densidad de probabilidad: ψ n (x) 2 = 2 L sen2 nπ L x en el límite en que n y teniendo en cuenta que el valor medio de Sen 2 x = 1 2 Se recupera la probabilidad clásica P cl (x) = 1 L Principio de correspondencia

7 Pozo de potencial de paredes infinitas Resumen El espectro de energía es discreto. Se dice que la energía está cuantificada. Esta es una caracteristica general de los problemas con estados ligados, esto es donde la ondícula está confinada a una región finita del espacio. Los niveles de energia están asociados con un número cuántico n (entero) y está relacionado con el número de nodos (n 1) de la función de onda y la energia de la ondicula en dicho estado con la curvatura de la función de onda. El nivel mas bajo de energia del sistema se conoce con el nombre de estado fundamental y esta próximo al límite establecido por las desigualdades de Heisenberg

8 Pozo de potencial de de paredes finitas Soluciones de la ESIT V(x) Se reduce la barrera de potencial a una altura finita V 0 ZCX V 0 ZCP ZCX -a a Zona 1 Zona 2 Zona 3 x 0 0 Notemos que como La ESIT es invariante ante una reflexión espacial esto es de modo que las soluciones

9 Pozo de potencial de de paredes finitas Soluciones pares e impares Soluciones pares Soluciones impares Notemos que usando los argumentos de paridad reducimos el número de coeficientes de cuatro a dos. Por lo tanto cuando planteamos las condiciones de contorno y dada la simetría del potencial solo será necesario hacerlo en uno de los dos puntos de discontinuidad x= a o x=a, simplificando así el problema de resolver un sistema de 4x4 a dos simples sistemas dos 2x2 uno para las soluciones pares y otro para las impares

10 Pozo de potencial de paredes finitas Condiciones de contorno ( a) = ψ 2 ( a) ψ 2 (a) = ψ 3 (a) x = a x = +a '( a) = ψ 2 '( a) ψ 2 '(a) = ψ 3 '(a) [1] [2] Tal como adelantamos usando los argumentos de paridad y utlizando las soluciones pares e impares, solo es necesario evaluar las condiciones de contorno en una de las discontinuidades. Hagámoslo por ejemplo en x=a [2] Soluciones pares A exp( qa) = Ccos(ka) qa exp( qa) = kcsen(ka) Soluciones impares A exp( qa) = Csen(ka) qa exp( qa) = kccos(ka) Dividiendo ambas ecuaciones obtenemos q = k tan( ka) Energías para las soluciones pares q = k cot( ka) Energías para las soluciones impares Los valores de las energías pueden obtenerse resolviendo numéricamente estas ecuaciones o bien en forma gráfica. Presentamos a continuación esta forma de solución

11 Pozo de potencial de paredes infinitas Espectro de energia Espectro continuo q imaginario Espectro discreto q>0 q=0 Las energías de soluciones pares corresponden a las intersecciones de las curvas azul y roja (siempre existe al menos una) Las energias de las soluciones impares corresponden a las intersecciones de las curvas azul y verde

12 Pozo de potencial de paredes infinitas Resumen Todos los estados de energía tienen una curvatura menor que los correpondientes al pozo de paredes infinitas dado que la ondícula puede penetrar en las zonas clásicamente prohibidas conforme V 0 E disminuye. El número de estado ligados depende de la profundidad del pozo, sin embargo encontramos que siempre existe aún cuando el potencial sea muy pequeño En el límite V 0 : k 0 soluciones ka = nπ 2 Recuperamos los energias correspondientesal pozo de paredes infinitas El espectro de energía es discreto para E<Vo y continuo para E>V0

13 Pozo de potencial tipo delta de Dirac Soluciones de la ESIT En este caso tenemos una potencial tipo delta de Dirac con P negativo en x=0. Notemos que en este caso el problema admite soluciones para E> 0 y su espectro es continuo existe solución para todo valor de E, tal lo calculamos en al clase pasada. (x) = Aexp(ikx) + Bexp( ikx),0 x a, k = (x) = C exp(ikx) + D exp( ikx),0 x a, k = 2m E 2m E T = C 2 A = mp2 2 E ZCX 1 E<0 E>0 ZCX2 x -Pδ(x) Llevando a cabo el procedimiento usual para detectar la discontinuidades del potencial notamos que en el caso que E<0 la presencia de la delta da a lugar a que la solución Ψ(x) no sea nula. De modo que podemos escribir las soluciones como (x) = Aexp(αx), x 0,α = ψ 2 (x) = D exp( αx), x 0,α = 2m ( E),con E < 0 2 2m Donde ya hemos aplicado la condición de normalización convenientemente ( E),con E < 0 2,2 (x) dx < Debemos ahora aplicar las condiciones de contorno en la discontinuidad en x=0

14 Pozo de potencial tipo delta de Dirac Condiciones de contorno y cálculo de la energía Aplicamos las condiciones de contorno en x=0 que es la única discontinuidad [1] [2] (0) = ψ 2 (0) ψ ' 2 (0) ψ ' 1 (0) = 2mP,2 (0) Note que de [1] surge que A=D. Usando esto en [2] obtenemos que 2α = 2mP E = mp2 2 [3] La ec [3] nos dice que el pozo tipo delta de Dirac tiene solo un estado ligado cuya energía depende de la magnitud del potencial P (peso de la delta) y de la masa de la ondícula. Esto es a mayor P mayor es la curvatura de la función de onda y más localizada se encuentra Note también que la discontinuidad en la derivada según [3] crece con P Curiosidad!!. Note que el valor de la energía calculado en la ec [3] coincide con el polo del coeficiente de transmisión calculado en la transparencia anterior.

15 Potencial doble delta de Dirac Un módelo simple de molécula diatómica homopolar (x) = Aexp(αx), x a,α = ψ 2 (x) = C exp(αx) + D exp( αx), x a,α = ψ 3 (x) = E exp( αx), x a,α = 2m ( E),con E < 0 2m ZCX 1 ZCX2 ZCX3 E<0 x x -Pδ(x+a) -Pδ(x-a) ( E),con E < 0 2,3(x) Note que podemos explotar la simetría del potencial para evitar tener que plantear las condiciones de contorno en x= a y x=a respectivamente. Recordemos que por ser de simetría par el potencial Ψ(x)=Ψ( x) y Ψ(x) = Ψ( x) son soluciones de la ESIT Así obtenemos. Solución par x >=a 2m ( E) ψ out (x) = Aexp( α x ) Solución impar ψ out (x) = sgn(x)aexp( α x ) E>0 Nuevamente hemos aplicado la condición de normalización a las soluciones de la ZCX1 y 3 x <=a ψ in (x) = DChαx ψ in (x) = DShαx dx < Aplicamos las condiciones de contorno en x=a que es la única discontinuidad

16 Potencial doble delta de Dirac Condiciones de contorno y cálculo de la energía ( a) = ψ 2 ( a) ψ ' 2 ( a) ψ ' 1 ( a) = 2mP,2 ( a) ψ 2 (a) = ψ 3 (a) ψ ' 3 (a) ψ ' 2 (a) = 2mP ψ 2,3 (a) Dado que vamos a utilzar las soluciones pares e impares que hallamos en la slide anterior Solo necesitamos especializar las condiciones de contorno en una de las dos discontinuidades. Si lo hacemos en x=a obtenemos Solución par DChαa = Aexp( αa) DShαa = thαa = cc en x= a 2mP α 1 Aexp( αa) Haciendo el cociente entre ambas ecuaciones obtenemos 2mP α 1 cc en x=a Solución impar DShαa = Aexp( αa) DChαa = cthαa = 2mP α 1 Aexp( αa) 2mP α 1

17 Potencial doble delta de Dirac Cálculo de la energía. Continuación Energía para la solución par thαa = z=-2αa, c=1/q 2mP α 1 exp( 2αa) = 2αa Q 1, En este caso siempre hay solución y la energía es menor que la de la delta aislada. Note que la curvatura es menor de Ψ(x) que la de las deltas por separado. Por esta razón se forma la molécula. Es más estable energéticamente Q = mpa Estado ligante cthαa = z=-2αa, c=1/q Energía para la solución impar 2mP α 1 exp( 2αa) = 1 2αa Q, Note que en esta caso puede haber o no solución dependiendo de si Q>>1 o no y claramente Ψ(X) tiene una curvatura mayor que las soluciones de las deltas por separado y que la del estado fundamental (Ligante) Q = mpa Estado anti ligante