Por ejemplo, consideremos el experimento de lanzar una moneda. Tenemos que Ωáguila, sol. Podemos definir la variable aleatoria X como:

Transcripción

1 Las variables aleatorias son una herramienta que permite traducir los posibles resultados de un experimento aleatorio en números reales. Definiremos a una variable aleatoria como una función X : Ω R tal que para todo x R se cumple que: Si w Ω entonces X(w) x (1) Por ejemplo, consideremos el experimento de lanzar una moneda. Tenemos que Ωáguila, sol. Podemos definir la variable aleatoria X como: X(águila) = 1 (2) X(sol) = 0 (3) entonces los posibles resultados de nuestro experimento aleatorio son los números 0 y 1, los cuales se escogieron de manera arbitraria. Notemos que los únicos valores que puede tomar nuestra v.a. son el 0 y el 1, por lo que el dominio de nuestra función es el conjunto {0, 1}. Además podemos establecer que P ( X = 0 ) = 1 2 (4) P ( X = 1 ) = 1 2 (5)

2 Variables aleatorias discreta y continua (v.a.d y v.a.c)

3 Variables aleatorias discreta y continua (v.a.d y v.a.c) Diremos que una variable aleatoria es discreta si el rango de la función X es un conjunto finito o numerable. En caso de que el rango de X es un conjunto infinito no numerable entonces decimos que X es una variable aleatoria continua.

4 Variables aleatorias discreta y continua (v.a.d y v.a.c) Diremos que una variable aleatoria es discreta si el rango de la función X es un conjunto finito o numerable. En caso de que el rango de X es un conjunto infinito no numerable entonces decimos que X es una variable aleatoria continua. En nuestro ejemplo de la moneda la variable es una v.a. discreta. De ahora en adelante, en los experimentos se elegirá solo un tipo de variable: discreta o continua.

5 Funciones de densidad y de distribución Sea X una v.a.d que toma los valores x 0, x 1, x 2,..., x n. Definimos la función de densidad de X denotada por f X(x) : R R como: { ( ) P X = x si x = x 0, x 1, x 2,..., x n f X(x) = (6) 0 en otro caso

6 Funciones de densidad y de distribución Sea X una v.a.d que toma los valores x 0, x 1, x 2,..., x n. Definimos la función de densidad de X denotada por f X(x) : R R como: { ( ) P X = x si x = x 0, x 1, x 2,..., x n f X(x) = (6) 0 en otro caso Para una variable aleatoria continua X, definimos la función de densidad de X como aquella función continua f X : R R tal que para todo intervalo [a, b] R, se cumple que: P ( X [a, b] ) = b a f X(x)dx (7)

7 Para el caso discreto y continuo, la función de densidad satisface las siguientes propiedades. Sea f X(x) la función de densidad de la v.a.c. (v.a.d) X, entonces se cumplen las siguientes propiedades: f X(x) 0

8 Para el caso discreto y continuo, la función de densidad satisface las siguientes propiedades. Sea f X(x) la función de densidad de la v.a.c. (v.a.d) X, entonces se cumplen las siguientes propiedades: f X(x) 0 fx(x)dx = 1 ( n i=1 f(xi) = 1)

9 Para el caso discreto y continuo, la función de densidad satisface las siguientes propiedades. Sea f X(x) la función de densidad de la v.a.c. (v.a.d) X, entonces se cumplen las siguientes propiedades: f X(x) 0 fx(x)dx = 1 ( n i=1 f(xi) = 1) Ahora definamos la función de distribución.

10 Para el caso discreto y continuo, la función de densidad satisface las siguientes propiedades. Sea f X(x) la función de densidad de la v.a.c. (v.a.d) X, entonces se cumplen las siguientes propiedades: f X(x) 0 fx(x)dx = 1 ( n i=1 f(xi) = 1) Ahora definamos la función de distribución. Dada una variable aleatoria X, discreta o continua, se define la función de distribución de X, denotada por F X(x) : R R, como F X(x) = P (X x) (8)

11 Para el caso discreto y continuo, la función de densidad satisface las siguientes propiedades. Sea f X(x) la función de densidad de la v.a.c. (v.a.d) X, entonces se cumplen las siguientes propiedades: f X(x) 0 fx(x)dx = 1 ( n i=1 f(xi) = 1) Ahora definamos la función de distribución. Dada una variable aleatoria X, discreta o continua, se define la función de distribución de X, denotada por F X(x) : R R, como F X(x) = P (X x) (8) Así, la relación entre la función de densidad f X y la función de distribución F X de una v.a.c. X se expresa como: F X(x) = P (X x) = x f X(u)du (9)

12 Las funciones de distribución satisfacen las siguientes propiedades: Sea X una variable aleatoria cualquiera con función de distribución F X(x), entonces: 1 lim x FX(x) = 1

13 Las funciones de distribución satisfacen las siguientes propiedades: Sea X una variable aleatoria cualquiera con función de distribución F X(x), entonces: 1 lim x FX(x) = 1 2 lim x FX(x) = 0

14 Las funciones de distribución satisfacen las siguientes propiedades: Sea X una variable aleatoria cualquiera con función de distribución F X(x), entonces: 1 lim x FX(x) = 1 2 lim x FX(x) = 0 3 Si a b entonces F X(a) F X(b)

15 Las funciones de distribución satisfacen las siguientes propiedades: Sea X una variable aleatoria cualquiera con función de distribución F X(x), entonces: 1 lim x FX(x) = 1 2 lim x FX(x) = 0 3 Si a b entonces F X(a) F X(b) 4 F X(x) es una función continua por la derecha Luego si X es una v.a.c., entonces: P (a < X b) = P (a X b) = P (a X < b) = P (a < X < b)(10) = b f X(x)dx = F X(b) F X(a) (11) a

16 Ahora, para calcular a F X(x) la función de distribución a partir de la función de densidad f X(x), debemos integrar para el caso continuo o sumar para el caso discreto: F X(x) = x f X(u)du (12)

17 Ahora, para calcular a F X(x) la función de distribución a partir de la función de densidad f X(x), debemos integrar para el caso continuo o sumar para el caso discreto: F X(x) = x f X(u)du (12) en el caso discreto se suman todos los valores de f X(u) para valores de u menores o iguales a x. Para el otro caso, si conocemos la función de distribución F X(x) y deseamos calcular la función de densidad f X(x), debemos calcular: f X(x) = d FX(x) (13) dx

18 Ahora, para calcular a F X(x) la función de distribución a partir de la función de densidad f X(x), debemos integrar para el caso continuo o sumar para el caso discreto: F X(x) = x f X(u)du (12) en el caso discreto se suman todos los valores de f X(u) para valores de u menores o iguales a x. Para el otro caso, si conocemos la función de distribución F X(x) y deseamos calcular la función de densidad f X(x), debemos calcular: Para el caso de variables discretas usamos la relación: f X(x) = d FX(x) (13) dx f X(x) = F X(x + ) F X(x ) (14)

19 Ahora, para calcular a F X(x) la función de distribución a partir de la función de densidad f X(x), debemos integrar para el caso continuo o sumar para el caso discreto: F X(x) = x f X(u)du (12) en el caso discreto se suman todos los valores de f X(u) para valores de u menores o iguales a x. Para el otro caso, si conocemos la función de distribución F X(x) y deseamos calcular la función de densidad f X(x), debemos calcular: Para el caso de variables discretas usamos la relación: f X(x) = d FX(x) (13) dx f X(x) = F X(x + ) F X(x ) (14) Es decir, f X(x) es el tamaño de la discontinuidad de F X en el punto x.

20 Ejemplo 1 La variable aleatoria X tiene la siguiente función de densidad: { 3 f(x) = 2 x2, x ( 1, 1) 0, x / ( 1, 1) (15) Grafique f(x) y calcule las siguientes probabilidades. Muestre estas probabilidades gráficamente sombreando las correspondientes áreas bajo la función de densidad. 1 P ( 1/4 < X < 2/3 ) 2 P ( X < 1/2 ) 3 P (X ( 3/4, 1/4) ( 1/2, 1/2))

21 Para el primer caso, debemos integrar lo siguiente: P ( 1/4 < X < 2/3 ) = = 1 2 2/3 1/4 3 2 x2 dx = /3 3 x3 1/4 (16) [ ( ) 3 ( 2 1 ) ] 3 = (17) Figure: P ( 1/4 < X < 2/3 )

22 Para el segundo caso integraremos: P ( X < 1/2) = = 1 2 1/2 1/2 3 2 x2 dx = /2 3 x3 1/2 (18) [ ( ) 3 ( 1 1 ) ] 3 = 1 = (19) Figure: P ( X < 1/2 )

23 Y finalmente, P (X ( 3/4, 1/4) ( 1/2, 1/2)) = = 1 2 [ ( ) 1 3 ( ) ] = 1/4 1/2 3 2 x2 dx = ( 3 x ( ( Figure: P (X ( 3/4, 1/4) ( 1/2, 1/2))

24 Ejemplo 2 Sea X una v.a.c. con función de densidad dada por: kx 3, x [ 1, 0) f X(x) = kx 3, x [0, 1) (23) 0, x / ( 1, 1) 1 Obtenga el valor de k y grafique f X(x) 2 Obtenga y grafique F X(x) 3 Obtenga el valor α tal que P ( α X α) = 1/2 y muestre gráficamente esta probabilidad.

25 Solución Para el punto 1, recordemos que una función de densidad de una v.a.c debe satisfacer que: f X(x)dx = 1 (24) Así, para la función de densidad dada debemos verificar que: Así, k = f X(x)dx = 1 (25) = 0 1 = k 4 x4 kx 3 dx k 4 x4 1 kx 3 dx (26) 0 (27) = k 4 + k 4 = 2 4 k = 1 (28)

26 Figure: Gráfica de la función de densidad f X(x)

27 Ahora, la función de distribución es la integral de la función de densidad sobre todo el intervalo donde esté definida esta, luego: 1, x [ 1, 0) 2 1 F X(x) =, x [0, 1) (29) 2 0, x / ( 1, 1) Figure: Gráfica de la distribución de probabilidad F X(x)

28 Finalmente para encontrar a α recordemos que: α P ( α X α) = f X(x)dx = F X(α) F X( α) = 1 2 α (30) De nuestro problema la constante α sólo puede tomar valores entre -1 y 1 ya que la función sólo está definida en ese intervalo. Por lo que podemos separar esta integral como: 0 α f X(x)dx + 0 α α 0 2x 3 dx + f X(x)dx = (31) α 0 2x 3 dx (32)

29 1 2 x4 0 α x4 α 1 2 ( α) (α)4 = = (33) (34) α 4 = 1 2 (35) α = (36) Así, la solución pedida es: P ( 2 1/4 X 2 1/4 ) =