Ejemplo de la señal aleatoria

Transcripción

1 VARIABLE ALEATORIA

2 Ejemplo de la señal aleatoria En el contexto de las telecomunicaciones, cualquier señal debe considerarse aleatoria, ya que por muchas razones, no existen garantías de que la señal enviada sea exactamente igual a la señal recibida. 1. Cuál es el experimento aleatorio? 2. Cuáles son los resultados posibles de dicho experimento? 3. Establezca una correspondencia entre el espacio muestral y los números reales. 4. Defina variable aleatoria.

3 Variable aleatoria Se llama variable aleatoria a toda función X que asigna a c/u de los elementos del espacio muestral S, un número Real X(s). Variable de Bernoulli S s X : S X(s) Rx Rx es el recorrido o Imagen de la variable. Son los posibles valores de X Supongamos que se conoce la probabilidad de transmitir correctamente la señal, p=0.4. (p es la probabilidad de éxito). Escriba la distribución de probabilidades de la variable aleatoria asociada a dicho experimento.

4 Experimentos o pruebas repetidas Se transmiten 5 señales. Cuál es el espacio muestral asociado? Se define la variable aleatoria X: número de señales transmitidas correctamente que se obtienen en los cinco lanzamientos 1. Determine Rx, (conjunto de valores que toma la variable). 2. Analice si las pruebas repetidas son independientes. 3. Son equivalentes los sucesos (c, c, c, i, i) y (c,i, i, c,c)? A y B son sucesos equivalentes si sólo si ocurren simultáneamente

5 Clasificación La variable aleatoria puede ser discreta o continua. Variable discreta: Se dice que una variable aleatoria X es discreta, si a cada valor posible xi que toma la variable se le puede asociar un número real p(xi )= P (X=xi) llamado probabilidad de xi, que satisface las siguientes condiciones: a) p (x ) 0 i b) p(x ) 1 i1 i i La función p definida se llama función de probabilidad de X o función de peso. El conjunto de pares (xi, p(xi)) es la distribución de probabilidades de X.

6 Interpretación Geométrica P(x3) P(x1) P(x2) X1 X2 X3 xi

7 Función de probabilidad de la variable aleatoria X Suma de los puntos obtenidos al arrojar dos dados P 5/36 6/36 5/36 4/36 4/36 3/36 3/36 2/36 2/36 1/36 1/ X Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva y está normalizada.

8 Ejemplos de variable aleatoria Experimento Llamar a cinco clientes por teléfono Inspeccionar un embarque de 40 chips Funcionamiento de un restaurante durante un día discreta Variable aleatoria Cantidad de clientes que atendieron Cantidad de chips defectuosos Cantidad de clientes Valores posibles V.A 0, 1,2,3,4,5 0,1,2,.,40 0,1,2,3. Vender un automóvil Sexo Cliente 0 si es hombre y 1 si es mujer

9 Ejemplo Un lote de 8 calculadoras contiene 3 defectuosas. Se selecciona una calculadora al azar y se la prueba, repitiéndose la operación hasta que aparezca una calculadora no defectuosa. Hallar la distribución de probabilidades de X definida como el número de extracciones que se hacen xi P(xi) 1 P(x1)= 2 P(x2)= 3 P(x3)= 4 P(x4)=

10 Variable aleatoria continua Se dice que X es una variable aleatoria continua si: existe una función f(x), llamada función de densidad de probabilidad de X, (fdp) que satisface las siguientes condiciones: a) f(x) 0 x b) f(x)dx 1 c) Para cualquier intervalo (a,b)/ - a b P( a x b) f(x)dx b a

11 Consideraciones P(a<x<b)= 1. P(X=Xo) = 0 porque P(X = Xo)= x x 0 0 f(x)dx 0 La probabilidad cero no significa que el suceso sea imposible, ya que Si A es vacio, la P(A) = 0 pero la recíproca no es cierta. P(a x<b)= P(a x b)= P(a<x b) 2. Si f*(x) es mayor o igual que cero para todo x de su dominio, y f*(x) dx = k R f*(x) no es una fdp legítima. Pero puede convertirse en tal si f(x)= f*(x) k x

12 Consideraciones 3. Si X toma sólo valores en el intervalo [a,b] podemos decir que f(x) = 0 para todo x que no pertenece al intervalo [a,b], entonces la integral entre a y b de f(x) es 1. Ejemplo: Hallar el valor de k de modo que f(x) sea una fdp legítima, y luego graficar, siendo: kx(1-x) si x 0,1 f( x) 0 si x (0,1) 4. f(x) no representa ninguna probabilidad. Sólo cuando la función se integra entre dos límites expresa alguna probabilidad.

13 Ejemplos de variable aleatoria continua Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A Funcionamiento de un banco Llenar una lata de bebida (máx = 360 cm 3 ) Proyecto para construir un biblioteca Ensayar un nuevo proceso químico Tiempo en minuto, entre llegadas de clientes Cantidad de cm 3 Porcentaje terminado del proyecto Temperatura cuando se lleva a cabo la reacción deseada (min 150º F; máx 212ºF) x 0 0 x x x 212

14 Ejemplo Con la función f( x) kx(1-x) si x 0,1 0 si x (0,1) Hallar : a) P(1/4 <x<1/2) = b) P(x >1/3 / 1/4< x <1/2)=

15 Función de distribución acumulativa FDA Dada una variable aleatoria discreta o continua X se llama función de distribución a la función F definida como: F : [0,1] F( a) P( x a) 1. Si X es VAD entonces F(a) P x a p( x j ) x a j a 2. Si X es una VAC entonces F(a)=P(x a)= f(x)dx

16 Ejemplo: Grafica la función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) (FDA) de una variable discreta X definida como: Puntos obtenidos en la cara de un dado. X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6 xi P(xi) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 x F(x) X<1 0 [1,2) 1/6 [2,3) 2/6 [3,4) 3/6 [4,5) 4/6 [5,6) 5/6 x 6 1

17 Para variables discretas 1 6 f(x) 1 F(x) x Función de probabilidad f(x) Función de distribución acumulada F(x) x

18 Para variables continuas Hallar y graficar la FDA de la variable aleatoria cuya fdp está dada por: 6x(1-x) si 0 x 1 f(x)= 0 si x (0,1)