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Tomás Castro Ortiz de Zárate
hace 6 años
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1 COMPETENCIAS Y OBJETIVOS UNIDAD IV :VARIABLE ALEATORIA Y SUS CARACTERÍSTICAS Competencia: -El estudiante debe definir correctamente lo que es una variable aleatoria, reconocer y utilizar las principales características de una variable aleatoria para poder determinar las principales medidas descriptivas: como de tendencia central,de dispersión,como de asimetría y curtosis Objetivos. -Aplicar adecuadamente la definición de una variable aleatoria,función de probabilidad, de distribución,para determinar las principales medidas descriptivas de la misma. Descripción general de la unidad: -Esta unidad comprende el desarrollo de los siguientes definiciones :Variable Aleatoria, Función de probabilidad,función de Distribución o Acumulada ; la determinación de las medidas descriptivas: de tendencia central, de dispersión y de Asimetría-Curtosis Lectura:Millar/Freund/Jonson Probabilidad y Estadística para Ingenieros Edo.de México 1992 Pgs.80 al 90 Córdova Zamora Estadística Descriptiva e Inferencial 2ª ed.perú 1996 Pags,183 al 223 Bibliografía Básica: : Moya y Saravia (1988) Probabilidad e Inferencia Estadística((2ª ed) Perú.Pags 237 al 356 Referencia electrónica: de probabilidades 51

2 Unidad IV VARIABLE ALEATORIA (X) Y SUS CARACTERÍSTICAS Se llama v.a. X a toda función definida en el tal que a cada w,le asocia un nº real x= X( w ),por los tanto aparece : Dominio de la v.a. X = Rango de la v.a.x = { x R / x = X (w), w } Ej. Sea el ε: Lanzar una moneda 3 veces,donde se define : La v.a. X: Nº de caras obtenidas.determine el Dominio y el Rango de X Sol: = { sss,ssc,scs,css,scc,csc,ccs,sss} El Dom de X=,para el rango,se evalua: X=0 { sss } X = 1 { ssc } { scs } { css };X=2 { scc } { csc } { ccs } X = 3 {ccc } Rx ={0,1,2,3 } 52

3 CLASES DE V.A. De acuerdo a su Rx una v.a. X puede ser: 1.-V.A. DISCRETA.- aquella cuyo Rx un conjunto finito o infinito numerable Rx = { x1,x2,...xn} 2.-V.A. CONTINUA.- es aquella cuyo Rx es un conjunto infinito no numerable FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA V.A.DISCRETA p(x) Sea una v.a.d X cuyo Rx es discreto P(X)=P(X=x) =P[{w /X(w)=x ],que debe satisfacer: a) P(X) 0 y b) P(X) = 1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Es el conjunto de pares [ xi, p(xi)],es similar a una Distr.de frec.relativas donde se pueden calcular todas las medidas descriptivas. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN O ACUMULADA F(x) F(x) = P( X x ) = P(X =k ) = P(k) ; - < x < 53

4 Ej.Se tiene una tienda comercial que tiene 2 vendedores A y B,donde se definen: X: Nº de TV vendidos por A ; Y: Nº de TV vendidos por B.Determinar a)las probabilidades marginales de A y de B,b)cuál la probabilidad que cada vendedor venda a lo más un 1 tv, c) Cuál el promedio de venta de A?.Si la Distribución conjunta es: X Y Px(x) b) P(x 1 ; y 1 )= =c) E(X)= x px(x) = = Py(y) b) P(0,0)+P(0,1)+P(1,0)+P(1,1)= = =

5 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA V.A. CONTINUA f(x) Es toda función f(x)= P(X=x) que satisface: a) f(x) 0 x R ; b) f(xi)dx = 1; c) P(A) =P(x A) = f(x) dx b) Nota.- a) SI X = xo P(X= xo ) = 0 c) P(a X b)= P(a X < b)=p(a< X b)= P(a< X < b) Ej. Sea una f(x)= cx² ; 0<x<2 0 e.o.c..hallar a) La constante c ; b) P(0<X<1) Sol.-Por el 2º requisito f(xi)dx = 1 cx²dx =1 cx³ /3 ] c=3 / 8 f(x)=(3 / 8)*x² ; 0<x<2 P(0<X<1) = (3 / 8)*x² dx=x³/8 = 1/8 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN O ACUMULADA.-F(X) La F(X) de una v.a.c. X cuya densidad f(x)= f(xi)dx 55

6 CARACTERÍSTICAS DE LA VARIABLE ALEATORIA A parte de función de probabilidad y /o su distribución,la v.a.x tiene otras características:la media,la mediana,la moda,la varianza,la desviación típica etc, MEDIA DE UNA V.A.D. X = x P(X) = x f(xi)dx MODA DE UNA V.A.D.X MEDIA DE UNA V.A.C X MODA DE UNA V.A.C.X Mo= p(xo) p(x), x Rx Mo= f(x0) f(xi); x Rx LA MEDIANA DE UNA V.A.D X Xm= F(xo) = P(X xo) 1 / 2 y P(X xo ) 1 / 2 LA MEDIANA DE UNA V.AC X Xm = F(xo) =P(X xo) = P(X xo ) 1 / 2 56

7 VARIANZA DE UNA V.A.X Var(x) = ² = E [ (X- )²] VARIANZA DE UNA V.A.D.X VARIANZA DE UNA V.A.C.X V(X) = ² = ( x- )² p(x) V(X) = ² = ( x- )² f(x)dx DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA V.A. X = v(x) Nota.- Las propiedades de la media como de la varianza de una V.A.X son similares al de una V. Estadística EJ.Se tiene la sigte Distrib.de probabilidades de una va.x x total Hallar a) La Moda Mo = Xo =2 p(x) b)la mediana Xm= Xo= 4 xp(x ) c)la media = x P(X) =4 x²p(x) d)la varianza ²= x²p(x)- ² = F(X) V(X)= ²= 20-4²=4 ;, = 2 57

8 Ej.Dada la variable aleatoria continua X cuya : f(x) = 2x/3, si 1 < x < 2 0 e.o.c Calcular a) La media b) la varianza,c)el coeficiente de variacion Sol.- a) E(x) =μ= x f(x) dx = x 2x/3 dx= [2 x³/9] = 16/9 2/9 = 14/9= b) V(x) = x² f(x) dx μ²= 15/6 (14/9)²= c) CV(x) = σ/ μ *100% σ = σ ² = = CV(x) = /1.5556*100%=18.21% Ej.Suponiendo que la v.a.c. x se distribuye uniformemente en el intervalo [0; 4] cuya: f(x) = ¼,si 0 x 4 0.e.o.c Calcular la varianza y el coeficiente de varianza Sol.- E(x)= E(x) =μ= x f(x) dx = x 1/4 dx= [ x²/8] = (4²/8-0²)= 2 V(x) = x² f(x) dx μ²= 16/3-2²= c) CV(x) = σ/ μ *100% σ = σ ² = = CV(x) = /2*100%=57.74% 58

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