Análisis de la Información

Transcripción

1 Análisis de la Información 2do C Clase Nº5 Mg. Stella Figueroa

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3 Medidas de Dispersión Absolutas Relativas Rango Varianza Desviación estandar Rango intercuartílico Coeficiente de variación

4 El rango de la muestra se define como la diferencia entre la observación más grande y la más pequeña : r x x max min El rango intercuartílico de la muestra se define como la diferencia entre el cuartil 3 y el cuartil 1. Allí se encuentra la distribución del 50% central de los datos. Rango intercuartílico RIC= Q3 Q1

5 Para el conjunto de datos x 1, x 2,.,x n de una población de tamaño N Las diferencias de cada dato y la media, determinan los desvíos N 2 i1 ( x x) i N 2 m 2 i1 ( ) 2 xi x fi N s n 2 i1 ( x x) i n 1 (1) (2) (3) (4) 2 s m 2 ( i ). 2 i1 x x f n 1 i Varianza Poblacional siendo N el tamaño de la población. Para datos sin agrupar (1) y agrupados (2) Varianza muestral siendo n el tamaño de la muestra. Para datos sin agrupar (3) y agrupados (4) Si los datos se agrupan por intervalos, usamos Xmi en lugar de Xi

6 Desviación estándar S n 1 n 1 i1 ( x i X ) 2 Para datos sin agrupar S n 1 n 1 i1 ( x i X ) 2 f i Para datos agrupados por frecuencias 1 k 2 S ( xmi X ) fi n 1 i1 Para datos agrupados por Intervalos

7 CV S X Mide el grado de variabilidad en una muestra o población. Compara la variabilidad entre distintas variables y poblaciones. Está desprovisto de unidades. El valor expresado en términos porcentuales, se llama coeficiente de variación porcentual. S CV % 100% X Consideraremos poca variabilidad, si el CV% es a lo sumo del 30 %

8 El desvío Estandar muestral para las mediciones de los diámetros de los rulemanes producidos por la máquina A es 0.33 ALGUNOS RESULTADOS El Coeficiente de variación porcentual de A es del 6% Distribución A asimétrica negativa: Moda < me < media

9 PARA COMENZAR A RESPONDER A LA PREGUNTA INICIAL Qué elementos le proporciona la estadística al ingeniero para poder concluir que los rulemanes tienen diámetros significativamente diferentes? El análisis de datos para cada variable (A y B), es decir : Además del cálculo de las medidas de tendencia central, sus interpretaciones en el contexto del problema. El análisis de la forma de la distribución, para decidir sobre las medidas calculadas. El análisis de la variabilidad, al calcular e interpretar el coeficiente de variación. La comparación de las dos distribuciones A y B a través de sus medidas descriptivas, de su forma y de su variabilidad El planteo de alguna hipótesis según los resultados obtenidos, que permitan ser contrastados más adelante, para poder concluir si los rulemanes producidos por cada máquina tiene diámetros significativamente diferentes. Ejercicio: Efectuar todo el análisis con calculadora por un lado, y también con GeoGebra.

10 Algunas distribuciones teóricas discretas 2do C Mg. Stella Figueroa

11 Variable estadística Variable Aleatoria

12 Variable aleatoria Es toda función X que asigna a c/u de los elementos del espacio muestral, un número Real. S Rx s X(s) Rx es el recorrido o Imagen de la variable. Son los posibles valores de X Si el recorrido o Imagen de la variable es discreto, la variable es discreta. Si la Imagen de la variable es un continuo, la variable es continua

13 Definición de Variable Aleatoria Discreta Una variable aleatoria X es discreta, si a cada valor posible xi que toma la variable se le puede asociar un número real p(xi )= P (X=xi) llamado probabilidad de xi, que satisface las siguientes condiciones: a) p (x ) 0 i b) p(x ) 1 i1 La función p definida se llama función de probabilidad de X i El conjunto de pares (xi, p(xi)) es la distribución de probabilidades de X. i

14 Función de distribución acumulativa FDA Dada una variable aleatoria discreta X se llama función de distribución a la función F definida como: F : [0,1] F(a) P x a p( x j ) x j a

15 Problema de la ingeniería En el contexto de las telecomunicaciones, cualquier señal debe considerarse aleatoria, ya que por muchas razones, no existen garantías de que la señal enviada sea exactamente igual a la señal recibida. 1. De acuerdo a esta información. Cuál/es podría/n ser el/los experimento/s aleatorio/s? 2. Determinar un experimento aleatorio y a partir de él, sus resultados posibles.

16 Variable de Bernoulli Toma dos valores posibles : X1 = 1 Es el éxito (resultado esperado del experimento) X2 = 0 Fracaso (resultado no esperado) Se transmite una señal y se observa si se recibe erróneamente. La probabilidad de que se reciba errónea es p = 0.4. Escriba la distribución de probabilidades de la variable aleatoria asociada a este experimento. Xi P(xi)

17 Experimentos aleatorios independientes o pruebas repetidas independientes Se transmiten 3 señales y se observa el estado de su llegada. Cuál es el espacio muestral asociado? Se define la variable aleatoria X: número de señales erróneas recibidas en las tres transmisiones 1. Determine Rx (conjunto de valores que toma la variable) 2. Analice si las pruebas repetidas son independientes. 3. Son mutuamente excluyentes los sucesos (c, e, e) y (e,e,c)?

18 Actividades a) Encuentre y grafique la distribución de probabilidades de la variable X: nº de señales erróneas recibidas en los tres lanzamientos. b) Calcule la probabilidad de que se reciban a lo sumo 2 transmisiones erróneas de las tres efectuadas. c) Calcule F(2) d) Represente gráficamente la función de distribución acumulativa FDA

19 El modelo Binomial Una variable binomial puede considerarse como la suma de n variables independientes de Bernoulli. El resultado de cada prueba es una variable de Bernoulli; es decir, puede resultar un éxito o un fracaso, con probabilidades p y 1-p respectivamente. Definición : X es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p si su distribución de probabilidades está dada por: X b(n,p) n P(x=k)= p k. 1 k p n k

20 n Demostrar que la variable aleatoria binomial es una legítima distribución de probabilidad n k P(x=k).. 1 nk p k p 1-p 1 k0 k0 n p Para identificar el modelo binomial: Por binomio de Newton Se efectúan n pruebas repetidas independientes y se cuenta el número de éxitos obtenidos. El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso éxito o su contrario. La probabilidad de éxito es p, constante en cada prueba. n

21 Características numéricas En Estadística En Probabilidad

22 Esperanza y varianza de una variable de Bernoulli y binomial a) Calcular la Esperanza y la Varianza de la variable de Bernoulli b) Demostrar que si x es binomial entonces E(x)= np y V(x) = n.p.(1-p) c) Cuál es el número esperado de transmisiones erróneas de las 3 enviadas?