Tema 4: Variables aleatorias I

Transcripción

1 Tema 4: Variables aleatorias I Estadística- Biología sanitaria Marcos Marvá Ruiz Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 1 / 17

2 Para empezar Ejemplo (genética) La probabilidad de que un descendiente tenga los ojos verdes es de 0.2. Si hay 5 descendientes, cuál es la probabilidad de que 2 de ellos tengan los ojos verdes? P(V ) = 0.2, P( V ) = SIMULARLO! 2 Hacer el cálculo Esencialmente, secciones 4.1 y 4.2 del libro Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 2 / 17

3 La variable aleatoria binomial X = número de descendientes con ojos verdes de entre 5 de ellos, con P(V ) = 0.2 P(X = 2) = P(C 1... C 10) son incompatibles = P(C 1) P(C 10) Calcular la probabilidad de un sumando, por ejemplo, P(C 1) P(C 1) = P ( V V V V V ) son independientes = P(V )P(V )P( V )P( V )P( V ) = = (0.2) 2 (0.3) 3 Resumiendo P(X = 2) = ( ) 5 (0.2) 2 (0.8) 3 2 Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 3 / 17

4 La variables aleatoria binomial Ejemplo: X = Número de descendientes con ojos verdes de un total 5, con P(V ) = 0.2. Entonces, P(X = 2) = ( 5 2) (0.2) 2 (0.8) 3 se calcula con 5*4*3*2*1/((2*1)*(3*2*1))*(0.2)^2*(0.8)^3 ## [1] dbinom(2, size = 5, prob = 0.2) ## [1] Observa que Se repite un experimento Bernouillí (dicotómico) 5 veces. Las repeticiones son independientes. Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 4 / 17

5 Variables aleatorias Variable aleatoria: cualquier aplicación que asigna a cada evento un valor numérico. Ejemplo 1: En el ejemplo anterior, para cada descendiente, X = Ejemplo 2: Experimento, extraer un aminoácido X = Ejemplo 3: Diámetro de una célula X(Célula i) = su diámetro Experimento de Bernoulli { X( V ) = 0 X(V ) = 1 { X(A) = 1 X(C) = 3 X(T ) = 2 X(G) = 4 Experimento aleatorio con dos resultados posibles llamados, arbitrariamente: Exito E con probabilidad p Fracaso F con probabilidad q = 1 p La variable aleatoria de Bernoullí se define como X = Se usa la notación: { 0 fracaso 1 éxito P(E) = P(X = 1) = p, P(F ) = P(X = 0) = q = 1 p Y si repetimos Bernoullí? Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 5 / 17

6 La variables aleatoria binomial Variable aleatoria binomial de parámetros n y p Es la v.a. X que representa el número de éxitos al repetir n experimentos independientes de Bernoulli, cada uno con probabilidad p de éxito (y con q = 1 p). Si X B(n, p), ( ) n P(X = k) = p k q n k. k Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 6 / 17

7 La variable aleatoria binomial Ejemplo: Usa Bioconductor para descargar el genoma completo del bacteriófago ΦX174, primer genoma basado en ADN que se secuenció (1977). Sólo necesitas su número de acceso en la base de datos GenBank del NCBI # Instalamos el software de BioConductor source(" if(!require(annotate))bioclite("annotate") # Descargamos el genoma phix174 = getseq("nc_ ") # Separamos la secuencia en caracteres (nucleótidos) genoma = strsplit(phix174, split = "")[[1]] # tabla de frecuencias relativas table(genoma)/length(genoma) ## genoma ## A C G T ## Interesados en X = número de citosinas entre 25 bases elegidas al azar Entonces X B(25, ). Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 7 / 17

8 La función de probabilidad Ejemplo: X B(5, 0.2) = Número de descendientes con ojos verdes. Calculamos la probabilidad de cada valor de X y hacemos una tabla tabla = rbind(0:5, dbinom(0:5, size = 5, prob = 0.2)) rownames(tabla) = c("x", "P(X=x)"); colnames(tabla) = rep(x = "", times = 6); tabla ## ## X ## P(X=x) la tabla es la función de densidad de probabilidad de X. Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 8 / 17

9 La función de probabilidad Formalicemos lo anterior Para nuestros propósitos, una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar una cantidad finita de valores. Si X sólo toma una cantidad finita de valores numéricos x 1, x 2, x 3,..., x k, con probabilidades p i = P(X = x i), la tabla Valor: x 1 x 2 x 3 x k Probabilidad: p 1 p 2 p 3 p k es la función de densidad de probabilidad, o función de masa de la variable aleatoria X. Ejemplo: Zoo binomial -> GeoGebra. Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 9 / 17

10 El valor esperado de una v.a. discreta La media de una variable estadística con valores x 1,...,x k y frecuencias absolutas f 1,...,f k : k x i f i k i=1 x = = x i fi n n i=1 Si X es una v.a. discreta que toma valores x 1,..., x k, con probabilidades p 1,..., p k (con p i = P(X = x i)), la media, o valor esperado, o esperanza matemática de X es: µ = k x i P(X = x i) = x 1 p 1 + x 2 p x k p k. i=1 Se usa la notación E[X] = µ. Ejemplo: X = Número de descendientes con ojos verdes de un total 5, con P(V ) = 0.2. valores = 0:5 probabilidades = dbinom(0:5, size = 5, prob = 0.2) (ValEsp= sum(valores*probabilidades)) ## [1] 1 Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 10 / 17

11 Dispersión de una v.a. discreta Ejemplo: Sean X B(4, 0.5) e Y B(10, 0.2), Nº éxitos Nº éxitos Las probabilidades P(Y=7), P(Y=8), P(Y=9), P(Y=10) son muy pequeñas. Ambas cumplen µ X = 2, µ Y = 2 pero en una los valores están más agrupados que la otra Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 11 / 17

12 Dispersión de una v.a. discreta La varianza de una variable estadística con valores x 1,...,x k y frecs absolutas f 1,...,f k : Var(x) = k f i (x i x) 2 i=1 n = k (x i x) 2 fi n i=1 Si X es una v. a. discreta, que toma valores x 1, x 2,..., x k, con probabilidades p 1, p 2,..., p k (donde p i = P(X = x i)) y valor esperado µ, entonces la varianza de X es: σ 2 X = k (x i µ) 2 P(X = x i) = (x 1 µ) 2 p (x k µ) 2 p k. i=1 y la desviación típica σ X = k (x i µ) 2 P(X = x i). i=1 Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 12 / 17

13 Dispersión de una v.a. discreta Ejemplo: X = Número de descendientes con ojos verdes de un total 5, con P(V ) = 0.2. valores_x = 0:5 probabilidades_x = dbinom(0:5, size = 5, prob = 0.2) (mu_x= sum(valores_x*probabilidades_x)) ## [1] 1 (sigma2_x=sum((valores_x-mu_x)^2*probabilidades_x)) ## [1] 0.8 Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 13 / 17

14 Función de distribución de una v.a. discreta Ejemplo: X B(5, 0.2) = Nº de descendientes con ojos verdes. Probabilidades de que haya al menos x descendientes con ojos verdes de un total de 5. tabla = rbind(0:5, dbinom(0:5, 5, 0.2), pbinom(0:5, 5, 0.2)) rownames(tabla) = c("x", "P(X=x)", "P(X<=x)") colnames(tabla) = rep(x = "", times = 6) tabla ## ## X ## P(X=x) ## P(X<=x) es la función de distribución de probabilidad de X. Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 14 / 17

15 Función de distribución de una v.a. discreta Visualización de la función de distribución Función de densidad Función de distribución Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 15 / 17

16 Función de distribución de una v.a. discreta Formalicemos lo anterior Si X es una variable aleatoria que sólo toma una cantidad finita de valores numéricos x 1, x 2, x 3,..., x k, con probabilidades p i = P(X = x i), la tabla Valor: x 1 x 2 x 3 x k Probabilidad: p 1 p 1 + p 2 p 1 + p 2 + p 3 p p k es la función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X. F (x) = P(X x) Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 16 / 17

17 Qué hemos visto Introducir la noción de variable aleatoria (v.a.). Introducir y definir las v.a. discretas Bernoullí y Binomial. Presentar media, varianza y las funciones de densidad y de distribución de probabilidad de una v.a. como generalización de sus equivalentes para variables estadísticas. Estadística- Biología sanitaria Tema 4: Variables aleatorias I Marcos Marvá Ruiz 17 / 17