IMADIL /12/2014

Transcripción

1 IMADIL Introducción 2. Definiciones previas 3. Axiomas de la probabilidad 4. Definición de variable aleatoria 5. Variables aleatorias discretas y continuas 6. Modelos de probabilidad: Distribución normal 2 Introducción: Ramas de la estadística 1

2 Introducción: Por qué la probabilidad? Leyes deterministas: la presencia de una causa conduce invariablemente a la aparición de un efecto Leyes probabilísticas: Una misma causa puede dar origen a la ocurrencia de varios efectos En las ciencias humanas y de la salud resulta difícil en muchas ocasiones establecer leyes que no conlleven un componente aleatorio, bien porque el fenómeno tiene por sí misma un componente aleatorio, bien porque no podemos controlar las variables y las interacciones que lo determinan. 4 Situaciones aleatorias: aquellas que en las mismas condiciones o causas, pueden dar lugar a diferentes resultados o efectos. Experimento aleatorio: son aquellos en que se presentan situaciones aleatorias, por ejemplo, la tirada de un dado es una experiencia que cada vez que se realiza puede dar origen a un resultado diferente, aunque aparentemente se haya realizado de la misma forma. 5 Suceso elemental: cada uno de los posibles resultados del experimento aleatorio y que no pueden descomponerse en otros más simples. Espacio Muestral (E): Es el conjunto formado por todos los posibles sucesos elementales de un experimento aleatorio. E={x 1, x 2, x 3 x n } Por ejemplo, del lanzamientode un dado de 6 caras E={{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}} 6 2

3 Ejemplos: Lanzar una moneda: E={C,X} Tirar al aire dos veces una moneda E={CC,CX,XC,XX} Tirar dos monedas simultáneamente: {CC,CX,XX} Lanzar dos veces el dado: E: {(1,1),(1,2),(1,3), (1,4), (1,5), (1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2),(3,3),(3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2),(4,3),(4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3),(5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2),(6,3),(6,4), (6,5), (6,6)} 7 Suceso: cualquier subconjunto del Espacio muestral. A veces el interés no está en los sucesos elementales, sino en una colección de sucesos elementales que comparten alguna característica particular. 1. Por ejemplo, en el experimento de lanzar dos veces una moneda E={CC,CX,XC,XX} podemos definir: Suceso A= sale cara al menos una vez, definido por :A={CC,CX,XC} Suceso B = no salen cruces, definido por B= {CC} Muestra: el conjunto de resultados que se obtienen al repetir cierto número de veces n un experimento aleatorio. Por ejemplo, lanzar un dado 10 veces y obtener el siguiente resultado: (6, 5, 1, 5, 3, 3, 3, 1, 4, 1). Frecuencia: el cociente entre el número de veces que ha ocurrido el suceso y el tamaño de la misma. Por ejemplo, la frecuencia de 5 será: 2/10= 0,20 8 A cada suceso A le corresponde un número real positivo, llamado probabilidad de A y que notaremos P(A), es decir: A (E), P(A) 0 La probabilidad del suceso seguro E es igual a la unidad, P(E)=1 La probabilidad de la unión de un conjunto numerable de sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos 9 3

4 1.- Si Ā es el suceso contrario de A, entonces: P(Ā)=1-P(A) 2.- P(φ)=0 3.- Si el suceso A implica al suceso B, A B entonces: P(A) P(B) 4.- Puesto que cualquier suceso implica el suceso seguro E, entonces: A P( A ) Dados dos sucesos compatibles A y B, tales que A B φ, entonces: P( A B ) = P( A ) + P( B ) - P( A B ) 6.- Como consecuencia de la propiedad anterior: P( A B ) P( A ) + P( B ) 7.-La probabilidad de un suceso A puede ser definida como la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen: 8.- Si el suceso seguro puede descomponerse en k sucesos elementales equiprobables, entonces la P(A) es igual al número de sucesos elementales que pertenecen a A dividido por K, es decir, P(A)=h/k (REGLA DE LAPLACE) Definición de variable aleatoria Consideremos un experimento con espacio muestral asociado E. Recibe el nombre de variable aleatoria a una función X, que asigna un número real a cada resultado posible sobre el espacio E (X: E R) 4

5 Ejemplo 1: Supongamos que seleccionamos en la Facultad de Psicología a tres personasconsecutivamente y vemos de que sexo son. El espacio muestral(e) asociado al experimento sería: E={(M,M,M), (M,M,H), (M,H,M), (M,H,H), (H,M,M), (H,M,H), (H,H,M), (H,H,H)} Se pueden definir diferentes variables aleatorias sobre el espacio muestralanterior. Por ejemplo, sea X la variable cuyos valores coinciden con el número de mujeres seleccionadas, la variable así definida toma los valores siguientes: E MMM MMH MHM HMM MHH HMH HHM HHH X Ejemplo 2: Sobre los sucesos elementales de E pueden definirse distintas variables aleatorias Ejemplo: variables aleatorias definidas sobre los resultados del experimento Tirar un dado no trucado V.A. Número de puntos resultantes V.A. Obtener un múltiplo de 3 5. Tipos de variables aleatorias (v. a.): Una v. a. es discreta si puede tomar un número finito o infinito numerable de valores. Se definen sobre espacios muestrales finitos o infinitos numerables (Ej.: sacar un múltiplo de 3 en el lanzamiento de un dado; número de palabras recordadas en una tarea de memoria o número de errores en una tarea experimental) Una v. a. es continua si puede tomar un número infinito no numerable de valores. se definen sobre espacios muestrales infinitos no numerables (Ej.: Extraer una persona al azar de la clase y anotar su altura, su peso, su nivel intelectual) 5

6 5. 1. Funciones en v.a. discretas Si X es una v.a.discreta, la función de probabilidadde una variable aleatoria discreta a aquella que asocia a cada valor de la variable la probabilidad de que ésta adopte dicho valor Se cumple que: f(x i )=p[x=x i ]=p i f(x)=p(x=x) para cualquier x valor posible de X f(x)=0 para cualquier x que no es valor posible de X PROPIEDADES: Σf(x i )=1 Ejemplo 3: f(x i )=p[x=x i ]=p i f(1)=p[x=1]=1/6=0.167 f(2)=p[x=2]=1/6=0.167 f(3)=p[x=3]=1/6=0.167 f(4)=p[x=4]=1/6=0.167 f(5)=p[x=5]=1/6=0.167 f(6)=p[x=6]=1/6=0.167 Ejemplo 4: 6

7 Se denomina función de distribución de una v.a. discreta X a aquella que asocia a cada valor de la variable (x) la probabilidad de que ésta adopte como mucho dicho valor Es decir, la probabilidad de que la v.a. adopte dicho valor o cualquiera inferior. Se denota como F(x i ), indicando: F(x i ) = P(X x i ) f(x i )=p[x=x i ]=p i f(1)=p[x=1]=1/6=0.167 f(2)=p[x=2]=1/6=0.167f(3)=p[x=3] =1/6=0.167 f(4)=p[x=4]=1/6=0.167 f(5)=p[x=5]=1/6=0.167 f(6)=p[x=6]=1/6=0.167 F(x i )=p[x x i ] =Σp[x=x j ] F(1)=p[x 1]= p[x=1]=1/6=0.167 F(2)=p[x 2]= p[x=2]+ p[x=1]=1/6+1/6=0.333 F(3)=p[x 3]= p[x=3]+ p[x=2]+ p[x=1]= F(4)=p[x 4]=.. =0,667 F(5)=p[x 5]=.. =0,833 F(6)=p[x 6]=.. =1,000 Parámetros de una v.a.discreta La media, esperanza matemática o valor esperadode una variable aleatoria discreta E[X]= µ = i p i x i La medianade una variable aleatoria discreta será el valor x en el que se cumple que F(x)=0,5 La moda en dicha variable será el valor de x en el que la función de probabilidad de la misma alcanza un máximo absoluto o relativo La varianza de una variable aleatoria discreta es: V(X)=σ 2 =E[x 2 ]-{E[x]} 2 La desviación típica sería 7

8 5. 2 Funciones de v. a. continuas Una variable aleatoria es continua si sus valores posibles son todos los números reales de un intervalo, es decir, si dados dos valores siempre hay uno intermedio. Existen infinitos valores posibles y entre cada dos de ellos se podrían definir infinitos más Puede tomar, por tanto, una infinidad no numerable de valores y por consiguiente la probabilidad de quetomeunvalorconcretoesnula. Por tanto, en este caso no podemos hablar de la probabilidad de que la v.a. tome un valor, sino de la probabilidad de que el valor que tome se encuentre en un intervalo determinado. La función de distribución se define igual que para las v.a discretas, es decir como la probabilidad de obtener valores menores o iguales que un valor dado (sería igual decir menor, ya que la probabilidad de ser igual es 0) Las propiedades de la función de distribución son similares a las ya vistas para las v.a. discretas: Si F(x) es derivable puede obtenerse la función de densidad de probabilidad f(x i ), que es la derivada de F(x i ) en x i y que nos dice cómo crece en cada punto la F(x), es decir, con que rapidez va aumentando la probabilidad acumulada La relación entre F(x i ) y f(x i ) se expresa mediante la siguiente integral definida: La función de densidad también está sometida a las leyes de la probabilidad, es decir: 8

9 6. MODELOS DE PROBABILIDAD Por lo visto hasta ahora, puede parecer que el trabajo con V.A es muy laborioso, dado que el valor esperado, la varianza y la probabilidad exige el conocimiento exhaustivo de valores y probabilidades y a veces queremos saber cosas de una población que es para nosotros inaccesible. Para trabajar con variables en ciencias de la salud, la función de probabilidad y la de densidad de probabilidad se va a ajustar a una fórmula determinada, y por tanto a un modelo teórico concreto. Los modelos teóricos son importantes, ya que nos van a permitir conocer la distribución de una V.A. y todas sus características, que habrán sido previamente calculadas de forma general. Esto conlleva que el primer paso, en el estudio de una situación donde intervenga una V.A. no sea hallar directamente su distribución, sino buscar el modelo teórico que mejor se adecua al problema Vamos a ver aquí los modelos teóricos que más pueden interesarnos como logopedas, sea bien porque algunas variables de interés se ajustan a ellos (binomial o normal) bien porque sean muy útiles como instrumentos estadísticos (ji-cuadrado (ℵ 2 ) t-student o la F de Snedecor) 6.1 Distribución NORMAL Además de una función matemática se trata de un fenómeno natural, puesto que es frecuente encontrar variables con distribuciones muy similares a la de la normal. El primero en llegar a su formulación fue de Moivre (1733) en un intento de dar una solución al cálculo de las probabilidades binomiales acumuladas con n grande. Desarrollos importantes fueron los de Gauss y Laplace, que hace que la función se conozca como distribución de Gauss o de Laplace-Gauss. Muchas variables en ciencias de la salud (cociente intelectual, razonamiento espacial, fluidez verbal, etc ) y en otras disciplinas como en la Biología o la Física, se asemejan a la normal lo suficiente como para trabajar con ellas como si fueran normales sin cometer demasiados errores 9

10 Son más probables los valores próximos a uno central, en el que coinciden la media o valor esperado, la mediana (que divide a la curva en dos zonas de igual área) y la moda, que es el punto de la distribución con máxima ordenada. Este valor, representado por µ,es uno de los parámetros de la distribución Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda, es decir, la distribución es simétrica La probabilidad va decreciendo de manera más o menos rápida dependiendo de un parámetro σ, que es el otro parámetro que caracteriza la distribución, y que es su desviación típica Se denota como X (µ,σ) Es asintótica con respecto al eje de abscisas, es decir, por mucho que se extienda jamás llega a tocar los ejes, que solamente se tocarían en Existe toda una familia de curvas normales, dependiendo de los valores de los parámetros. De entre ellas la más conocida es la N(0,1) o normal estandarizada Función de densidad de probabilidad Función de distribución 5.2 Distribución NORMAL estandarizada Normalmente se usa otro más simplificado: el de la Normal Tipificada, Estandarizada o Unitaria Una puntuación típica o tipificada es = µ σ En la fórmula anterior se puede reconocer la fórmula de las variables tipificadas. Sabemos que las variables tipificadas tienen media (µ=0) y desviación típica (σ=1), lo que facilitaría las operaciones con este modelo. N (0,1) 10

11 Se obtiene una distribución normal cuya función de densidad se puede expresar como Esta distribución es la que se usa en la práctica, ya que es común a todas las distribuciones normales (previa tipificación) y sus valores están tabulados 11