Estadística Grado en Nutrición Humana y Dietética

Transcripción

1 Estadística Grado en Nutrición Humana y Dietética Tema 3: Probabilidad y variables aleatorias Francisco M. Ocaña Peinado Departamento de Estadística e Investigación Operativa Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

2 Tema 3: Probabilidad y variables aleatorias 1 Introducción a la probabilidad 2 Concepto de variable aleatoria 3 Variables aleatorias discretas 4 Variables aleatorias continuas 5 Aproximación entre variables aleatorias 6 Bibliografía Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

3 Introducción Introducción La humanidad siempre ha estado interesada en cuantificar el mundo que le rodea. Cuántos habitantes tiene una localidad, cuál es la riqueza de un país, qué distancia separa a la Tierra de la Luna, cuánto pesa un átomo... Medir ha sido uno de los retos de todas las sociedades a través de los siglos. En la actualidad, el desarrollo de las técnicas e instrumentos de medida permiten cuantificar prácticamente cualquier fenómeno de la Naturaleza. En cualquier ámbito, un fenómeno o experimento puede ser de dos tipos: determinista o aleatorio. Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

4 Tipos de fenómenos Tipos de fenómenos A qué temperatura hierve el agua a nivel del mar? La ebullición comenzará cuando alcance una temperatura de 100 grados centígrados. La ebullición del agua es un fenómeno determinista. En las mismas condiciones ambientales, el resultado siempre será el mismo, único, previsible y medible con el instrumento apropiado En la Naturaleza existe otro tipo de fenómenos denominados aleatorios. En ellos, el resultado será imprevisible, desconocido, aunque se repita en las mismas condiciones. Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

5 Experimentos aleatorios Experimentos aleatorios: Características Se conocen de antemano todos los posibles resultados del experimento No es posible determinar el resultado del experimento antes de realizarlo El experimento se puede repetir en idénticas condiciones Ejemplos Ejemplos: El lanzamiento de un dado, contar el número de pacientes que llegan a urgencias en una hora, medir el colesterol en un grupo de personas... Para estudiar este tipo de fenómenos la herramientas matemáticas a usar son las variables aleatorias y la probabilidad Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

6 Introducción a la Probabilidad Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

7 Notación en Probabilidad Tipos de fenómenos Experimento aleatorio S : es un experimento que cumple las tres condiones anteriormente mencionadas Espacio muestral Ω : conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio Suceso (evento) de un espacio muestral: grupo de posibles resultados contenidos en el espacio muestral. Por ello, un suceso es un subconjunto del espacio muestral. Se representan mediante las letras del abecedario en mayúsculas (A, B, C,... ). Por tanto, según su definición, se puede establecer que para un suceso A se tiene que A Ω. Suceso elemental: suceso que contiene un sólo posible resultado. Suceso seguro: cualquier suceso que ocurre siempre en la realización del experimento (sea cual sea el resultado), por tanto éste es Ω. Suceso vacío, o suceso nulo: cualquier suceso que no puede ocurrir al realizar el experimento, por tanto éste es. Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

8 Notación en Probabilidad Ejemplos de fenómenos aleatorios y espacios muestrales 1. Lanzamiento de un dado. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. Recuento del número de individuos que practican deporte regularmente en una población. Ω = {0, 1, 2,...} 3. Recuento del número de individuos que tienen una enfermedad. Ω = {0, 1, 2,...} 4. Tiempo que una persona permanece haciendo una dieta. Ω = (0, + ) 5. Peso de un bebé al nacer Ω = [500, 5000] Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

9 Operaciones con sucesos Operaciones con sucesos 1 Se define la unión de los sucesos A y B como el suceso C que ocurre siempre que ocurra A u ocurra B o simultáneamente A y B. Se representa C = A B 2 Se define la intersección de los sucesos A y B como el suceso D que ocurre siempre que ocurran A y B simultáneamente. Se representa como D = A B 3 Se denomina suceso contrario o suceso complementario del suceso A y se representa como Ā, al suceso que ocurre siempre que no ocurra A 4 Dos sucesos A y B se dicen disjuntos, incompatibles o mutuamente excluyentes si al ocurrir uno, no puede ocurrir el otro. Es decir que A B =. 5 Dados dos sucesos A y B, se define el suceso diferencia como B A = B Ā. Es decir, el suceso diferencia B A contiene a todos los elementos de B que no pertenecen a A. Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

10 Concepto de probabilidad Probabilidad. Idea intuitiva Objetivo: Medir la posibilidad de ocurrencia de un suceso. Frecuentemente se miden longitudes, volúmenes, velocidades, etc. pero no tanto o al menos no de una forma consciente se mide con exactitud la posibilidad de ocurrencia de algún suceso Probabilidad de un suceso: como un número en el intervalo [0,1] que mide el grado de posibilidad de que ocurra el suceso Improbable Probable Imposible (Suceso vacío) Equiprobable Seguro (Suceso seguro) Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

11 Concepto de probabilidad Probabilidad. Definición matemática Dado que la probabilidad es una medida, sería deseable expresarla matemáticamente Matemáticamente la probabilidad es una función que debe cumplir tres condiciones (axiomas de Kolmogorov): (i) P(A) 0 (ii) P(Ω) = 1 (iii) A 1,..., A n sucesos disjuntos dos a dos: P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A n ) que en una forma más compacta se expresa como: ( n ) n P A i = P(A i ) i=1 Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52 i=1

12 Concepto de probabilidad Definición matemática. Consecuencias (i) La probabilidad del suceso vacío, o suceso nulo es cero P( ) = 0 (ii) Para cualquier suceso, se tiene que su probabilidad es un número del intervalo [0, 1] 0 P(A) 1 (iii) La probabilidad de un suceso se puede obtener como 1 menos la del suceso contrario P(A) = 1 P(Ā) (iv) Si A implica B, entonces la probabilidad de A es menor o igual que la de B. A B P(A) P(B) (v) Regla de cálculo de la unión de dos sucesos. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

13 Concepto de variable aleatoria Introducción Cuando se trabaja con experimentos aleatorios, no siempre el espacio muestral Ω asociado al experimento, es un conjunto numérico (por ejemplo el caso del lanzamiento de la moneda), lo cual dificulta el estudio riguroso de este tipo de experimentos Una de las ideas que se tiene con el uso de la variable aleatoria (v.a.) es dejar de trabajar con sucesos para trabajar con cantidades numéricas Se puede decir que una v.a. es una representación mediante números de un fenómeno aleatorio Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

14 Concepto de variable aleatoria Definición Una v.a. es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral Definición matemática Sea Ω, un espacio muestral sobre el que se encuentra definida una función de probabilidad P. Una v.a. X es una función real definida sobre Ω tal que transforma los sucesos elementales en puntos de la recta real. Con simbología matemática: X :Ω R A X (A) Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

15 Concepto de variable aleatoria Ejemplo S Lanzamiento de dos monedas. Ω = {(c, c), (c, +), (+, c), (+, +)} Un ejemplo de v.a. podría ser: X Número de caras obtenidas en el lanzamiento La v.a. X sería la función siguiente: X : Ω R (+, +) 0 (+, c) 1 (c, +) 1 (c, c) 2 Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

16 Recorrido de una v.a. Definición de recorrido Los distintos valores que puede tomar una v.a. X, se denomina rango o recorrido, y se representa como R X. En el ejemplo anterior, se tiene que R X = {0, 1, 2} Ejemplos Y N o de pacientes que llegan a urgencias en una hora R Y = {0, 1, 2, 3, 4,...} Z Cantidad de colesterol en un individuo (mg/dl) R Z = [50, 300] U Peso de un bebé (gramos) R U = [500, 5000] V N o de personas con sobrepeso en una población de N individuos R V = {0, 1, 2, 3, 4,..., N} Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

17 Clasificación de variables aleatorias Variables aleatorias discretas y continuas Atendiendo al recorrido, se clasifican en: Discretas: El rango es un conjunto finito o infinito numerable (los valores que puede tomar la variable son ptos. aislados). Frecuentemente cuentan el número de veces que ocurre algo Y N o de pacientes que llegan a urgencias en una hora R Y = {0, 1, 2, 3, 4,...} V N o de personas con sobrepeso en una población de N individuos R V = {0, 1, 2, 3, 4,..., N} Continuas: El rango es un conjunto infinito (intervalo de números reales). Frecuentemente miden una magnitud Z Cantidad de colesterol en un individuo (mg/dl) R Z = [50, 300] U Peso de un bebé (gramos) R U = [500, 5000] Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

18 Variables aleatorias discretas Variables aleatorias discretas Una variable aleatoria, X, es discreta si su R X son puntos aislados de la recta real. En el estudio de este tipo de v.a. se conocerá: (i) R X = {x 1, x 2,..., x n,...} (ii) p i = P[X = x i ] i = 1, 2,..., n,... Ejemplo S Lanzamiento de dos monedas Ω = {(c, c), (c, +), (+, c), (+, +)} X Número de caras obtenidas en el lanzamiento R X = {0, 1, 2} P[X = 0] = 1/4 P[X = 1] = 1/2 P[X = 2] = 1/4 Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

19 Variables aleatorias discretas Función masa de probabilidad p(x i ) Función masa de pobabilidad p(x i ) = P[X = x i ] = p i Es la función que que asigna a cada valor de la v.a. discreta X la probabilidad de que la variable tome dicho valor. Se deberá verificar que p i = 1 i Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

20 Variables aleatorias discretas Función de distribución F (x) Función de distribución F : R [0, 1] F (x) = P[X x] = x i x p i Uso de la Función de distribución Es la función que asigna a cualquier número real x, la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que x F (x) está definida para cualquier número real, permite calcular la probabilidad que hay acumulada hasta un cierto valor x Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

21 Ejemplo cálculo función distribución: caso discreto S: Lanzamiento de una moneda dos veces. Consideramos toda la recta real para hallar la F(t) t < 0 F() t = P( X t) = 0 0 t < 1 F() t = P( X t) = P( X = 0) = 1/4 1 t < 2 F() t = P( X t) = P( X = 0) + P( X = 1) = 3/4 t 2 F() t = P( X t) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) = 1 F(x)= 0 six < 0 1/4 si0 x < 1 3/4 si1 x < 2 1 six 2 Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

22 Esperanza y varianza de una v.a. discreta Esperanza de una v.a. Dada una v.a. X, su esperanza se representa como E[X ] o como µ Representa el valor promedio de X, si se realiza el experimento aleatorio un número muy grande de veces Esperanza: cálculo Si X es v.a. discreta: E[X ] = i x i p i Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

23 Esperanza y varianza de una v.a. Varianza de una v.a. Dada una v.a X su varianza se representa como Var[X ] o como σ 2. Es una medida de dispersión de los valores de la v.a con respecto de E[X ], su objetivo es informar acerca de la variabilidad de la v.a. σ 2 = Var[X ] = E[(X E[X ]) 2 ] =... = E[X 2 ] (E[X ]) 2 Varianza: cálculo Si X es v.a. discreta: E[X 2 ] = i x 2 i p i σ 2 = Var[X ] = E[X 2 ] (E[X ]) 2 Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

24 Variable aleatoria Binomial Contexto Un experimento aleatorio con únicamente dos posibles (éxito y fracaso) Se conoce P[Éxito] = p P[Fracaso] = 1 p = q Se llevan a cabo n realizaciones independientes del experimento Definición Se define X Número de éxitos en las n realizaciones del experimento X se dice que es una v.a. Binomial de parámetros n y p La notación para esta v.a. es: X B(n, p) Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

25 Variable aleatoria Binomial Binomial: Recorrido y función masa i) R X = {0, 1, 2,..., n} ii) P[X = k] = p k = ( n k) p k q n k k = 0, 1, 2..., n Ejemplo: X B(12, 0.45) P[X = 10] = ( 12 10) = Binomial: Esperanza y varianza E[X ] = k kp[x = k] = k k ( n k) p k q n k =... = np Var[X ] = (k np) 2 P[X = k] = k k Ejemplo: X B(12, 0.45) E[X ] = 5.4 Var[X ] = 2.97 (k np) 2( n k) p k q n k =... = npq Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

26 Variable aleatoria Poisson Contexto Sea un fenómeno aleatorio que va sucediendo de forma independiente a lo largo del tiempo o del espacio Se conoce λ Promedio de ocurrencias del fenómeno por unidad de tiempo o espacio Definición Se define X Número de ocurrencias del fenómeno por unidad de tiempo o espacio X se dice que es una v.a. de Poisson de parámetros λ La notación para esta v.a. es: X P(λ) Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

27 Variable aleatoria Poisson Poisson: Recorrido y función masa i) R X = {0, 1, 2,...} ii) P[X = k] = p k = e λ λ k k = 0, 1, 2,... k! Ejemplo: X P(1.3) P[X = 2] = e ! = Poisson: Esperanza y varianza E[X ] = k kp[x = k] = k k e λ λ k k! =... = λ Var[X ] = (k λ) 2 P[X = k] = (k λ) 2 e λ λ k k k k! Ejemplo: X P(1.3) E[X ] = Var[X ] = 1.3 =... = λ Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

28 Variables aleatorias continuas Variables aleatorias continuas X es una v.a. continua, si puede tomar cualquier valor dentro un intervalo o dentro de un campo de variación dado, es decir si su recorrido R X, es un conjunto infinito no numerable Si X es una v.a. continua no es posible definir la Función masa de probabilidad, ya que R X es un conjunto con infinitos valores La función que expresa cómo se encuentra concentrada la probabilidad dentro del R X se denomina Función de densidad y se representa como f (x) Si X es v.a. continua P[X = k] = 0 Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

29 Variables aleatorias continuas Función de densidad: Propiedades i) f (x) es no negativa f (x) 0 ii) El área bajo f (x) y el eje x vale 1 f (x)dx = 1 iii) P[a X b] = b a f (x)dx Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

30 Variables aleatorias continuas Función de distribución F (x) Función de distribución F : R [0, 1] F (x) = P[X x] = x f (x)dx Uso de la Función de distribución Es la función que asigna a cualquier número real x, la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que x F (x) está definida para cualquier número real, permite calcular la probabilidad que hay acumulada hasta un cierto valor x Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

31 Variables aleatorias continuas Función de distribución: caso continuo P[X = k] = P[k X k] = k k f (x)dx = 0 P[a X b] = P[a X < b] = P[a < X b] = P[a < X < b] = b a f (x)dx Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

32 Ejemplo cálculo función distribución: caso continuo Ejemplo: Ejercicio 1 de la relación, (apartado a) Se considera toda la recta real para hallar la F. Distribución La F. Distribución, F(t), se calcula como: t F () t P( X t) f( xdx ) X = = Sit < 0 F () t = P( X t) = f( x) dx = 0 X Sit 0 F () t = P( X t) = f( x) dx + f( x) dx = X t1 1 = e dx = ( 2) e = e 1 = 1 e t x/2 x/2 t t/2 t/2 0 t 0 Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

33 Esperanza y varianza de una v.a. continua Esperanza de una v.a. Dada una v.a. X, su esperanza se representa como E[X ] o como µ Representa el valor promedio de X, si se realiza el experimento aleatorio un número muy grande de veces Esperanza: cálculo Si X es v.a. continua: E[X ] = x f (x)dx Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

34 Esperanza y varianza de una v.a. Varianza de una v.a. Dada una v.a X su varianza se representa como Var[X ] o como σ 2. Es una medida de dispersión de los valores de la v.a con respecto de E[X ], su objetivo es informar acerca de la variabilidad de la v.a. σ 2 = Var[X ] = E[(X E[X ]) 2 ] =... = E[X 2 ] (E[X ]) 2 Varianza: cálculo Si X es v.a. continua: E[X 2 ] = x 2 f (x)dx σ 2 = Var[X ] = E[X 2 ] (E[X ]) 2 Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

35 Ejemplo cálculo esperanza y varianza: caso continuo Ejemplo caso continuo. Ejerc2 de la relación: E( X ) = x f ( x) dx = x f ( x) dx = Var(X) = σ 2 = E(X 2 ) -(E(X)) 2 = = min 2 Desviación Típica de X = σ = min x = xdx = = 45min E( X ) = x f ( x) dx = x f ( x) dx = x = x dx = = Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

36 Variable aleatoria Uniforme Definición X es una v.a. Uniforme de parámetros a y b si su f (x) es: f (x) = { 1 b a si a x b 0 en otro caso La notación para este tipo de v.a. es: X U(a, b) Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

37 Variable aleatoria Uniforme Idea de una v.a. uniforme Se tiene que todos los intervalos de igual longitud en la distribución en su rango son igualmente probables El dominio está definido por dos parámetros, a y b, que son sus valores mínimo y máximo Esperanza, varianza y Función de distribución Compruébese que: E[X ] = a + b (b a)2 Var[X ] = y que: si x < a x a F (x) = b a si a x < b 1 si x b Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

38 Variable aleatoria Exponencial Definición X es una v.a. exponencial negativa de parámetro 1, (λ > 0) si su f (x), es: λ f (x) = { λe λx si x > 0 0 en otro caso La notación para este tipo de v.a. es: X Exp(λ) Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

39 Variable aleatoria Exponencial Idea de una v.a. exponencial A medida que se aleja del cero la probabilidad de ocurrencia disminuye Sólo pueden darse valores positivos Es frecuente el uso de esta v.a. para modelizar tiempos Esperanza, varianza y Función de distribución Compruébese que: E[X ] = 1 λ Var[X ] = 1 λ 2 y que: { 0 si x < 0 F (x) = 1 e λx si x 0 Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

40 Variable aleatoria Normal Importancia de la Normal Gran número de aplicaciones que presenta: biometría (tallas, pesos, envergaduras, perímetros), sociología (puntuaciones en un test, respuestas en encuestas), psicología (cociente intelectual, grado de adaptación a un medio),... Bajo ciertas condiciones cualquier v.a. se comporta de manera aproximada como una v.a. Normal. Definición X es una v.a. Normal o de Gauss de parámetros µ y σ si su función de densidad asociada, f (x), tiene la siguiente forma: f (x) = 1 2πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2 x R, µ R, σ > 0 Notación: X N (µ, σ) Además E[X ] = µ y Var[X ] = σ 2 Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

41 Variable aleatoria Normal X N (µ, σ) f (x) = 1 2πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2 x R, µ R, σ > 0 Máximo de f (x) en x = µ. Simetría respecto recta x = µ Dominio es R Asíntota en el eje X Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

42 Variable aleatoria Normal X N (µ, σ) f (x) = 1 2πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2 x R, µ R, σ > 0 Los valores más probables para una v.a. normal son aquellos que estén más cercanos µ Conforme nos separamos de ese valor µ, la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha y a izquierda Conforme nos separamos de ese valor µ, la probabilidad va decreciendo de forma más o menos rápida dependiendo de σ Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

43 Variable aleatoria Normal Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

44 Variable aleatoria Normal F (x) = P[X x] = x f (x)dx = x 1 e 1 2 ( x µ σ ) 2 2πσ 2 La función de distribución es el área sombreada bajo el gráfico de f (x), y se calcula integrando la función de densidad Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

45 Variable aleatoria Normal Tipificación: Si X N (µ, σ) Z = X µ σ N (0, 1) Z N (0, 1) resultante de la tipificación: normal estándar o normal tipificada. E[Z] = 0, Var[Z] = 1 f (z) simétrica respecto el eje Y Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

46 Variable aleatoria Normal Tipificación: Si X N (µ, σ) Z = X µ σ N (0, 1) Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

47 Variable aleatoria Normal Tipificación: Si X N (µ, σ) Z = X µ σ N (0, 1) Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

48 Variable aleatoria Normal Tipificación: Si X N (µ, σ) Z = X µ σ N (0, 1) Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

49 Aproximación entre variables aleatorias Esperanza y varianza de algunas v.a. X B(n, p) con E[X ] = np y con Var[X ] = npq X P(λ) con E[X ] = λ y con Var[X ] = λ X N (µ, σ) con E[X ] = µ y con Var[X ] = σ 2 Aproximaciones i) X B(n, p) con n 30 y np 10 B(n, p) P(λ = np) ii) X B(n, p) con n 30 y np > 10 B(n, p) N (µ = np, σ = npq) iii) X P(λ) con λ > 10 P(λ) N (µ = λ, σ = λ) Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

50 Variable aleatoria t de Student V.A. t de Student densidad 0,4 0,3 0,2 0,1 Grad. de libertad x Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

51 Variable aleatoria χ 2 V.A. Chi- Cuadrado de Pearson densidad 0,16 0,12 0,08 0,04 Grad. de libertad x Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52

52 Bibliografía Aguilera A. M. (2000): Curso y ejercicios de cálculo de probabilidades. Ed. La autora (Depósito legal: GR ). Canavos G. C. (2003): Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos. McGraw-Hill, Madrid. (Capítulos II al V) Martín-Andrés A. y Luna del Castillo J.D. (2004): Bioestadística para las ciencias de la Salud. Norma, Madrid. (Capítulos III y IV) Milton J.S. (2007): Estadística para Biología y Ciencias de la Salud. edición ampliada. McGraw-Hill Interamericana, Madrid. (Capítulos II al V) Rius F. y Barón F.J. (2005): Bioestadística. Thomson, Madrid. (Capítulos IV al VI) Spiegel M.R.; Schiller J. y Alu R. (2009): Probabilidad y Estadística (3 a edición). McGraw-Hill Interamericana, México DF. Valderrama M.J. (2011): Biometría. Ediciones Sider, Granada. (Capítulo VI) 3 a Francisco M. Ocaña Peinado (UGR) TEMA 3 Curso 2017/ / 52